【讲义篇】新课预习讲义：专题09 正比例和反比例（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

【讲义篇】2025-2026学年六年级下册数学人教版新课预习讲义 专题09 正比例和反比例 （知识精讲+例题讲解+巩固练习） 亲爱的同学们： 这份六年级下册数学人教版“正比例和反比例”预习讲义，专为你们衔接新学期比例核心内容打造。我们从正反比例的定义、字母表达式、图像特征，到两者的区别联系，再到判断比例关系的方法，都做了系统清晰的梳理。搭配各地期中期末典型真题作为例题，每道题都拆解思路、细致分析，还有分层巩固练习帮你们及时检验成果。希望大家通过这份讲义，吃透正反比例的本质与应用，扫清预习障碍，为新学期数学学习筑牢基础，轻松开启比例知识的进阶之旅！ 知识精讲 知识点一、正比例的相关认识 1. 成正比例的量的定义 （1）成正比例的量的核心概念 ① 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着发生变化。 ② 如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。 （2）正比例关系的字母表示：用字母 和 表示两种相关联的量，用 表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为： （ 为常数，且 ）。 （3）正比例关系的图像特征 ① 正比例关系的图像是一条经过坐标原点的直线。 ② 图像上的任意一点对应的两个量的比值都等于固定的 值，通过图像可以直观看出两种量的同向变化趋势。 知识点二、反比例的相关认识 1. 成反比例的量的定义 （1）成反比例的量的核心概念 ① 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着发生变化。 ② 如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 （2）反比例关系的字母表示 ① 用字母 和 表示两种相关联的量，用 表示它们的乘积（一定），反比例关系可以用式子表示为： （ 为常数，且 ）。 （3）反比例关系的图像特征 ① 反比例关系的图像是一条不经过原点的曲线（双曲线）。 ② 图像上的任意一点对应的两个量的乘积都等于固定的 值，曲线的两个分支分别位于不同象限，直观体现两种量的反向变化趋势。 知识点三、正比例与反比例的区别和联系 1. 两者的内在联系 （1）量的关联性一致 ① 都涉及两种相关联的量，一种量的变化必然会引发另一种量的变化，不存在独立变化的情况。 ② 都属于两种量之间的特殊依存关系，是小学阶段定量分析数量关系的重要类型。 2. 两者的核心区别 （1）变化方向不同 ① 正比例关系中，两种量的变化方向相同：一种量扩大（或缩小）若干倍，另一种量也随之扩大（或缩小）相同的倍数。 ② 反比例关系中，两种量的变化方向相反：一种量扩大若干倍，另一种量则随之缩小相同的倍数；反之亦然。 （2）定量关系不同 ① 正比例关系中，两种量相对应的两个数的比值（商）始终保持固定不变。 ② 反比例关系中，两种量相对应的两个数的乘积始终保持固定不变。 （3）图像表现不同 ① 正比例关系的图像是一条经过原点的直线，能直观呈现量的线性变化规律。 ② 反比例关系的图像是双曲线，能直观呈现量的反向非线性变化规律。 知识点四、判断两种量成比例关系的方法 1. 成正比例的判断步骤 （1）第一步：确认量的关联性 ① 首先判断两种量是否为相关联的量：即一种量的变化是否会引起另一种量的变化，若两种量无关联，则直接排除成正比例的可能。 （2）第二步：验证比值的固定性 ① 计算两种量中多组相对应数的比值，若所有比值都相等且为固定常数，则这两种量成正比例；若比值不固定，则不成正比例。 2. 成反比例的判断步骤 （1）第一步：确认量的关联性 ① 与正比例判断第一步一致，先验证两种量是否相关联，无关联则直接排除成反比例的可能。 （2）第二步：验证乘积的固定性 ① 计算两种量中多组相对应数的乘积，若所有乘积都相等且为固定常数，则这两种量成反比例；若乘积不固定，则不成反比例。 3. 不成比例的特殊情况 （1）无关联的量：若两种量之间没有依存关系，一种量的变化不会影响另一种量，那么这两种量不成任何比例关系。 （2）关联但无固定定量关系：若两种量相关联，但相对应数的比值和乘积都不固定，则这两种量既不成正比例，也不成反比例。 例题讲解 题型一、正比例的意义及辨识 【典型例题】（24-25六年级下·北京顺义·期末）下面（    ）说法中的两个量成正比例。 A．长方形周长一定，它的长和宽。 B．圆柱的体积一定，它的底面积和高。 C．一套运动服是178元，购买运动服的数量和总价。 D．李明阅读完《红楼梦》，他平均每天看的页数和天数。 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值是否一定，如果是比值一定，就成正比例。 【详解】A．长方形的长＋宽＝长方形的周长÷2（一定），和一定，所以长和宽不成比例。 B．底面积×高＝圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高不成正比例。 C．总价÷数量＝单价，运动服的单价一定时，总价与数量的商一定，成正比例。 D．看的天数×平均每天看的页数＝总页数（一定），是乘积一定，不成正比例。 故答案为：C 【跟踪训练】（23-24六年级下·甘肃临夏·期末）以下各组x和y中成正比例的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；据此解答。 【详解】A．根据y＝5x可知＝5，因为x和y的比值一定，所以x和y成正比例； B．根据y＝可知xy＝8，不满足x和y的比值一定，所以x和y不成正比例； C．xy＝7不满足x和y的比值一定，所以x和y不成正比例；     D．x＋y＝10不满足x和y的比值一定，所以x和y不成正比例。 故答案为：A 题型二、正比例图象的认识 【典型例题】（2025·福建漳州·小升初真题）有一种弹簧秤，挂上物品（质量在100克以内）时，物品的质量与弹簧伸长的长度情况如图所示，如果挂40克重物，弹簧伸长的长度是( )厘米。 【答案】10 【分析】图上横轴表示物体的质量，纵轴表示弹簧伸长的长度，由图可知，弹簧伸长的长度与所挂物品的质量成正比例关系。根据表示物体40克的点所在的位置，可以看出此时弹簧伸长的长度。 【详解】由图可知，当物体是40克时，弹簧伸长的长度是10厘米。 【跟踪训练】（2024·辽宁鞍山·小升初真题）下面图像表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成（    ）比例关系。为什么？ （2）从图像上看，单价更贵一些的水果是（    ）。 （3）买3千克苹果要用（    ）元。 （4）20元可以买（    ）千克香蕉。 【答案】（1）正；理由见详解 （2）香蕉 （3）12 （4）2.5 【分析】（1）正比例关系的特征是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且它们的比值（商）一定；观察香蕉的总价与数量关系图像，它是一条经过原点的直线，这意味着当香蕉购买数量增加时，总价也随之增加；根据“单价＝总价÷数量”，比如取数量为2千克时，总价是16元，单价为16÷2＝8元/千克；再取数量为3千克时，总价24元，单价24÷3＝8元/千克，即总价和数量的比值（单价）始终不变。所以香蕉的总价和购买的数量成正比例关系，原因是“香蕉的总价和数量是相关联的量，且总价与数量的比值（单价）一定”。 （2）在相同数量下，总价越高，单价越贵；观察图像，取相同数量（比如2千克 ），香蕉对应的总价16元高于苹果对应的总价8元，所以单价更贵一些的水果是香蕉。    （3）从苹果的图像中找数据，比如数量是4千克时，总价是16元，根据“单价＝总价÷数量”，可得苹果单价为16÷4＝4元/千克，那么买3千克苹果的总价＝单价×数量，即4×3＝12元，所以买3千克苹果要用12元。    （4）由前面分析知香蕉单价是8元/千克，根据“数量＝总价÷单价”，20元买香蕉的数量为20÷8＝2.5千克，所以20元可以买2.5千克香蕉。 【详解】（1）香蕉的总价和购买的数量成正比例关系。 8÷1＝8（元/千克） 16÷2＝8（元/千克） 24÷3＝8（元/千克） 所以香蕉的总价和购买的数量成正比例关系，因为单价一定（或总价与数量的比值一定）。 （2）由图中可知：购买2千克香蕉对应总价16元高于2千克苹果对应的总价8元，所以单价更贵一些的水果是香蕉。    （3）16÷4×3 ＝4×3 ＝12（元） 所以买3千克苹果要用12元。 （4）20÷8＝2.5（千克） 所以20元可以买2.5千克香蕉。 题型三、正比例的应用 【典型例题】（2024·河北廊坊·小升初真题）如表反映了一款奶茶中果汁和牛奶的配比关系。 果汁用量/毫升 40 80 120 160 … 牛奶用量/毫升 60 120 180 240 … （1）由表可知，果汁用量和牛奶用量成（          ）比例关系，体积比是（          ）。 （2）如果有54毫升牛奶，要调配同样的奶茶，需要果汁多少毫升？ 【答案】（1）正；2∶3 （2）36毫升 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （2）根据上一题可知果汁用量∶牛奶用量＝2∶3，已知有牛奶54毫升，对应3份，用（54÷3）求出一份的量，再用一份的量乘2，求出2份的量，即需要果汁的量。 【详解】（1）40∶60＝40÷60＝ 80∶120＝80÷120＝ 120∶180＝120÷180＝ 160∶240＝160÷240＝ 果汁用量和牛奶用量的比值一定。 由表可知，果汁用量和牛奶用量成（正）比例关系，体积比是（2∶3）。 （2）果汁用量∶牛奶用量＝2∶3 54÷3×2 ＝18×2 ＝36（毫升） 答：需要果汁36毫升。 【跟踪训练】（24-25六年级下·山西晋中·期中）成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速”。用数学的眼光看该成语，是应用了比例的知识。 如表所示为同一时间、同一地点测得的树高和影长。 树高/m 2 3 4 6 影长/m 1.6 2.4 3.2 4.8 （1）在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们连起来。 （2）连线以后观察，可以发现：影长与树高成（    ）比例关系。 （3）利用图像判断，树高8米时，影长多少米？影长4米时，树高多少米？ 【答案】（1）见详解 （2）正 （3）6.4米；5米 【分析】（1）根据统计图提供的数据，绘制统计图。 （2）成正比例的量，图像是一条射线；成反比例的量，图像是一条曲线；据此解答。 （3）再根据图像，找出与树高8米对应的点，找出与影长4米对应的点即可。 【详解】（1）如图： （2）连线以后观察，可以发现：影长与树高成正比例。 （3）根据图像可知，树高8米时，影长是6.4米， 影长4米时，树高5米。 答：树高8米时，影长6.4米，影长4米时，树高5米。 题型四、反比例的意义及辨识 【典型例题】（24-25六年级下·江西抚州·期中）圆柱的侧面积一定，底面直径和高成( )比例。 【答案】反 【分析】判断两个量是否成比例关系，需看它们的乘积或比值是否一定。圆柱的侧面积公式为，当侧面积一定时，直径和高的乘积为定值（），符合反比例定义。据此解答。 【详解】底面直径×高＝（一定），根据反比例的定义，两种相关联的量的乘积一定时，它们成反比例关系。 因此圆柱的侧面积一定，底面直径和高成反比例。 【跟踪训练】（24-25六年级下·广东佛山·期中）如果x和y成正比例，则“？”处应填( )；如果x和y成反比例，则“？”处应填( )。 x 4 ？ y 12 24 【答案】 8 2 【分析】根据正比例和反比例的定义，正比例时比值一定，反比例时乘积一定。利用已知数据建立比例关系求解。 【详解】正比例关系： 4∶12＝？∶24 解：12？＝4×24 12？＝96 ？＝96÷12 ？＝8 反比例关系： 4×12＝24？ 解：24？＝48 ？＝48÷24 ？＝2 如果x和y成正比例，则“？”处应填8；如果x和y成反比例，则“？”处应填2。 题型五、反比例的应用 【典型例题】（24-25六年级下·河北邢台·期中）爷爷要给屋子重新铺地砖，不同面积的地砖与所需的块数的关系如下。如果爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多（    ）块。 每块地砖的面积 0.3 0.4 0.5 … 所需的块数 160 120 96 … A．20 B．60 C．80 D．140 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。根据表格数据，每块地砖面积与所需块数成反比例关系。 根据“每块地砖面积×所需块数＝屋子地面总面积”，结合表格中任意一组数据计算屋子地面总面积。以每块地砖面积0.3m2，所需块数160块为例，可得屋子地面总面积为：0.3×160＝48（m2）。根据“所需块数＝屋子地面总面积÷每块地砖面积”，可得48÷0.6＝80（块）。同理，48÷0.8＝60（块）。用0.6m2的地砖铺地所需块数减去用0.8m2的地砖铺地所需块数即可。 【详解】0.3×160＝48（m2） 48÷0.6＝80（块） 48÷0.8＝60（块） 80－60＝20（块） 爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多20块。 故答案为：A 【跟踪训练】（24-25六年级下·河北唐山·期中）某物流公司将120吨货物运往某一个工厂，如果要一次把所有货物全部运出，运输情况如下表。车的载重和所需车的数量成（    ）比例。请把表格补充完整。 车的载重（吨） 2.5 3 5 所需车的数量 48 40 12 【答案】反；表见详解 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；用总吨数除以车的载重就是所需车的数量，用总吨数除以所需车的数量就是车的载重。 【详解】车的载重×所需车的数量＝120（吨），乘积一定，所以车的载重和所需车的数量成反比例。 120÷5＝24（辆） 120÷12＝10（吨） 车的载重（吨） 2.5 3 5 10 所需车的数量 48 40 24 12 巩固练习 一、选择题 1．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）佳佳超市运来的面粉袋数一定，卖出去的袋数和剩下的袋数（    ）。 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例 D．无法确定 【答案】C 【分析】正比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。 反比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。 对于卖出去的袋数和剩下的袋数，存在“卖出去的袋数＋剩下的袋数＝运来的面粉总袋数（一定）”，是和一定，而非比值一定或乘积一定。 【详解】因为卖出去的袋数与剩下的袋数是和一定，不满足正比例（比值一定）和反比例（乘积一定）的条件，所以它们不成比例。 故答案为：C 2．（24-25六年级下·河南驻马店·期中）x和y成正比例关系的是（    ）。 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】两种相关联的量，如果比值一定，那么成正比例关系。据此解题。 【详解】A．，x和y的乘积一定，x和y不成正比例； B．因为，那么xy＝6，x和y的乘积一定，x和y不成正比例； C．因为6x＝y，那么y∶x＝6，y和x的比值一定，x和y成正比例； D．，x和y是减法的关系，x和y不成比例。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·江西九江·期末）下面相关联的两个量成反比例关系的有（    ）。 ①长方形的面积一定，它的长和宽 ②圆的直径和周长 ③一本书已看的页数和未看的页数 ④一个数和它的倒数 A．①② B．②③ C．①④ 【答案】C 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值（商）不一定，就不成比例。 【详解】①由长方形的面积公式可知，长×宽＝长方形的面积（一定），所以长方形的面积一定，它的长和宽成反比例关系。 ②由圆的周长公式可知，圆的周长÷直径＝圆周率（一定），所以圆的直径和周长成正比例关系。 ③已看的页数＋未看的页数＝这本书的总页数（一定），所以一本书已看的页数和未看的页数不成比例关系。 ④如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，或者说一个数是另一个数的倒数，一个数×它的倒数＝1（一定），所以一个数和它的倒数成反比例关系。 综上所述，相关联的两个量成反比例关系的有①④。 故答案为：C 4．（24-25六年级下·广东梅州·期末）如图表示两个相关联变量的关系，这两个变量可能是（    ）。 A．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积和地砖的块数 B．某班今天的出勤人数和缺勤的人数 C．工程队修一条路，平均每天修路的长度和所需的天数 D．笔记本的单价一定，购买笔记本的数量和所用的总钱数 【答案】D 【分析】图象是一条经过原点的直线，即是正比例图象，所以这两个相关联的量成正比例关系；据此逐项分析，找出成正比例关系的即可。 判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】A．每块地砖的面积×地砖的块数＝一间教室的面积（一定），乘积一定，则每块地砖的面积和地砖的块数成反比例关系，与图象不相符； B．出勤的人数＋缺勤的人数＝总人数（一定），和一定，则出勤人数和缺勤的人数不成比例，与图象不相符； C．平均每天修路的长度×所需的天数＝一条路的长度（一定），乘积一定，则平均每天修路的长度和所需的天数成反比例关系，与图象不相符； D．所用的总钱数÷购买笔记本的数量＝笔记本的单价（一定），商一定，则购买笔记本的数量和所用的总钱数成正比例关系，与图象不相符。 故答案为：D 二、填空题 5．（24-25六年级下·云南德宏·期末）圆柱的底面积一定，圆柱的( )和( )成正比例。 【答案】 体积 高 【分析】根据题意，圆柱的体积公式为V＝Sh（V是体积，S是底面积，h是高）。当底面积S一定时，＝S（一定），也就是体积和高的比值一定，所以它们成正比例，据此解答。 【详解】由圆柱体积公式V＝Sh，底面积S一定，＝S（定值） 所以圆柱的体积和高成正比例。 6．（2025·河北衡水·小升初真题）若3x－2y＝0（x、y均不为0），则x与y成( )比例，x∶y＝( )。 【答案】 正 2∶3 【分析】已知3x－2y＝0（x、y均不为0），对等式进行变形得3x＝2y，两边同时除以3y，可得。此时x与y的比值是固定不变的，根据正比例的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系。因此x与y成正比例。 因为3x－2y＝0变形得3x＝2y，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，把x和3看作外项，y和2看作内项，可将等式转化为比例式：x∶y＝2∶3。 【详解】3x－2y＝0（x、y均不为0） 3x＝0＋2y 3x＝2y 3x÷3y＝2y÷3y （一定） 因为3x＝2y，把x和3看作外项，y和2看作内项。 x∶y＝2∶3 若3x－2y＝0（x、y均不为0），则x与y成正比例，x∶y＝2∶3。 7．（24-25六年级下·新疆阿勒泰·期末）已知x、y均不为0，如果，那么x和y成( )比例；如果y＝6x，那么x、y成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】对于，变形可得xy＝5×3＝15。因为x和y的乘积是一个定值15，根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，所以x和y成反比例。 对于y＝6x，变形可得＝6。因为x和y的比值是一个定值6，根据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，所以x和y成正比例。 【详解】由可知，xy＝5×3＝15（一定），此时x和y成反比例； 由y＝6x可知，＝6（一定），此时x和y成正比例。 8．（24-25六年级下·湖南怀化·期末）下边是小明未完成的一张表格。若x、y成正比例关系，则“？”处为( )；若x、y成反比例关系，则“？”处为( )。 x 3 9 y 12 ？ 【答案】 36 4 【分析】如果两种相关联的量成正比例关系，那么这两种量对应数值的比值一定，如果两种相关联的量成反比例关系，那么这两种量对应数值的乘积一定，据此列比例式解答。 【详解】9∶y＝3∶12 解：3y＝9×12 3y＝108 y＝108÷3 y＝36 9y＝3×12 解：9y＝36 y＝36÷9 y＝4 所以，若x、y成正比例关系，则“？”处为36；若x、y成反比例关系，则“？”处为4。 9．（2025·甘肃庆阳·小升初真题）庆城县充分利用生态资源丰富的优势，大力发展“采摘农业”，推动乡村旅游发展。李叔叔家种植的油桃已经成熟，他将采摘的一批油桃装箱，下面是每箱油桃的质量和装的箱数之间的关系。 每箱油桃的质量／kg 5 6 8 10 装的箱数／箱 72 60 45 36 (1)这批油桃共( )kg。 (2)如果用表示每箱油桃的质量，表示装的箱数。与成( )比例关系，请你写出这个关系式为( )。 【答案】(1)360 (2) 反 ＝360/＝360 【分析】（1）根据“总质量＝每箱油桃的质量装的箱数”，装的是同一批油桃，表格上的数据只是体现出来的不同分装单位下的箱数不一样，所以我们可以任选一组数据计算即可。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且商（比值）一定，这两种量就成正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且乘积一定，这两种量就成反比例关系。 这里每箱质量箱数＝总质量（一定），也就是＝360，所以与成反比例关系。 【详解】（1）根据分析可得：572＝360（kg） （2）每箱质量箱数＝总质量，总质量是不变的，所以根据反比例的定义可知，与的乘积一定，所以与成反比例，关系式为＝360，也可以写成＝360。 三、作图题 10．（24-25六年级下·山东菏泽·期中）小安同学去某书店购买演算本数量与总价的情况如下： 数量/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 … （1）购买演算本的总价与数量成（    ）比例关系。 （2）把上表中演算本的数量与总价所对应的点描在方格纸上，并连线。 （3）购买40本演算本需要（    ）元。 【答案】（1）正 （2）见详解 （3）60 【分析】（1）一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就成正比例关系。由表格可知，1.5÷1＝1.5，3÷2＝1.5，4.5÷3＝1.5，…＝1.5（一定），即总价与数量的比值一定。 （2）根据表格中的数据，在方格纸上找到对应的点（0，0）、（1，1.5）、（2，3）、（3，4.5）、（4，6）、（5，7.5）、（6，9）等，然后用直线依次连接这些点（因为成正比例关系，图像是一条经过原点的直线）。 （3）因为总价与数量成正比例关系，且单价为1.5元/本。根据“总价＝单价×数量”，可得购买40本演算本的总价为1.5×40＝60（元）。 【详解】（1）1.5÷1＝1.5，3÷2＝1.5，4.5÷3＝1.5，…＝1.5（一定） 购买演算本的总价与数量成正比例关系。 （2）如图： （3）1.5÷1＝1.5（元） 1.5×40＝60（元） 购买40本演算本需要60元。 四、解答题 11．（23-24六年级下·广东东莞·期末）东东记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下： 行驶路程（千米） 100 120 130 140 150 耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5 （1）观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成（    ）比例关系。 （2）当电动汽车行驶了600千米时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？（用比例解答） 【答案】（1）正 （2）90千瓦时 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （2）已知行驶路程与耗电量成正比例关系。设行驶 600千米时消耗x千瓦时的电。因为两者成正比例，所以它们的比值相等。即＝，这个比例方程可以求出消耗的电量的值。 【详解】（1）观察表格中行驶路程和耗电量的数据。计算它们的比值： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 可以看出，无论行驶路程和耗电量如何变化，其比值始终为，保持恒定。根据正比例关系的定义，当两个相关联的量比值一定时，这两个量成正比例关系。所以，电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例关系。 （2）解：设电动汽车将消耗x千瓦时的电。 ＝ 解：100x＝15×600 100x＝9000 100x＝9000 100x÷100＝9000÷100 x＝90 答：电动汽车将消耗90千瓦时的电。 12．（23-24六年级下·浙江宁波·期末）学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 … （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量成（    ）比例关系。 （2）如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大？（用比例解答） 【答案】（1）反 （2）0.24平方米 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答即可。 （2）可假设所用的地砖每块面积是x平方米，根据每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系，据此即可列比例求解。 【详解】（1）0.2×600＝0.3×400＝0.4×300＝0.6×200＝0.8×150＝120（平方米） 因为每块地砖的面积×需要的块数＝铺地面积（一定），所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。 （2）解：设所用地砖的面积为x平方米。 500x＝0.2×600 500x＝120 500x÷500＝120÷500 x＝0.24 答：所用的地砖每块面积是0.24平方米。 13．（24-25六年级下·广东汕头·期末）下面是某一银行存一年定期，不同金额的本金和对应利息的情况。 （1）看图填表。 本金/万元 1 2 4 6 7 利息/元 120 240 720 （2）本金和利息成（    ）比例关系。 （3）如果本金是8万元，那么在这家银行定期存款一年，连本带息一共可以拿回多少钱？ 【答案】（1）480；840 （2）正； （3）80960元 【分析】（1）观察图中数据，1万元对应120元利息，2万元对应240元利息，4万元对应480元利息，6万元对应720元利息，7万元对应840元利息。据此把表补全。 （2）观察表中的数据，发现利息与本金之间的固定比例关系（利率），利息÷本金＝利率，120÷10000＝0.012；240÷20000＝0.012，本金与利息的比值一定，说明它们成正比例关系。 （3）连本带息＝本金＋利息，先计算利息再求和。如果本金是 8 万元，根据上面的规律：利息＝120×8＝960（元），连本带息共＝80000＋960＝80960（元）。 【详解】（1）根据图中数据，填表如下： 本金/万元 1 2 4 6 7 利息/元 120 240 480 720 840 （2）120÷10000＝0.012 240÷20000＝0.012 480÷40000＝0.012 720÷60000＝0.012 本金与利息的比值一定，本金和利息成正比例关系。 （3）120×8＝960（元） 80000＋960＝80960（元） 答：连本带息一共可以拿回80960元。 试卷第1页，共3页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 【讲义篇】2025-2026学年六年级下册数学人教版新课预习讲义 专题09 正比例和反比例 （知识精讲+例题讲解+巩固练习） 亲爱的同学们： 这份六年级下册数学人教版“正比例和反比例”预习讲义，专为你们衔接新学期比例核心内容打造。我们从正反比例的定义、字母表达式、图像特征，到两者的区别联系，再到判断比例关系的方法，都做了系统清晰的梳理。搭配各地期中期末典型真题作为例题，每道题都拆解思路、细致分析，还有分层巩固练习帮你们及时检验成果。希望大家通过这份讲义，吃透正反比例的本质与应用，扫清预习障碍，为新学期数学学习筑牢基础，轻松开启比例知识的进阶之旅！ 知识精讲 知识点一、正比例的相关认识 1. 成正比例的量的定义 （1）成正比例的量的核心概念 ① 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着发生变化。 ② 如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。 （2）正比例关系的字母表示：用字母 和 表示两种相关联的量，用 表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为： （ 为常数，且 ）。 （3）正比例关系的图像特征 ① 正比例关系的图像是一条经过坐标原点的直线。 ② 图像上的任意一点对应的两个量的比值都等于固定的 值，通过图像可以直观看出两种量的同向变化趋势。 知识点二、反比例的相关认识 1. 成反比例的量的定义 （1）成反比例的量的核心概念 ① 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着发生变化。 ② 如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 （2）反比例关系的字母表示 ① 用字母 和 表示两种相关联的量，用 表示它们的乘积（一定），反比例关系可以用式子表示为： （ 为常数，且 ）。 （3）反比例关系的图像特征 ① 反比例关系的图像是一条不经过原点的曲线（双曲线）。 ② 图像上的任意一点对应的两个量的乘积都等于固定的 值，曲线的两个分支分别位于不同象限，直观体现两种量的反向变化趋势。 知识点三、正比例与反比例的区别和联系 1. 两者的内在联系 （1）量的关联性一致 ① 都涉及两种相关联的量，一种量的变化必然会引发另一种量的变化，不存在独立变化的情况。 ② 都属于两种量之间的特殊依存关系，是小学阶段定量分析数量关系的重要类型。 2. 两者的核心区别 （1）变化方向不同 ① 正比例关系中，两种量的变化方向相同：一种量扩大（或缩小）若干倍，另一种量也随之扩大（或缩小）相同的倍数。 ② 反比例关系中，两种量的变化方向相反：一种量扩大若干倍，另一种量则随之缩小相同的倍数；反之亦然。 （2）定量关系不同 ① 正比例关系中，两种量相对应的两个数的比值（商）始终保持固定不变。 ② 反比例关系中，两种量相对应的两个数的乘积始终保持固定不变。 （3）图像表现不同 ① 正比例关系的图像是一条经过原点的直线，能直观呈现量的线性变化规律。 ② 反比例关系的图像是双曲线，能直观呈现量的反向非线性变化规律。 知识点四、判断两种量成比例关系的方法 1. 成正比例的判断步骤 （1）第一步：确认量的关联性 ① 首先判断两种量是否为相关联的量：即一种量的变化是否会引起另一种量的变化，若两种量无关联，则直接排除成正比例的可能。 （2）第二步：验证比值的固定性 ① 计算两种量中多组相对应数的比值，若所有比值都相等且为固定常数，则这两种量成正比例；若比值不固定，则不成正比例。 2. 成反比例的判断步骤 （1）第一步：确认量的关联性 ① 与正比例判断第一步一致，先验证两种量是否相关联，无关联则直接排除成反比例的可能。 （2）第二步：验证乘积的固定性 ① 计算两种量中多组相对应数的乘积，若所有乘积都相等且为固定常数，则这两种量成反比例；若乘积不固定，则不成反比例。 3. 不成比例的特殊情况 （1）无关联的量：若两种量之间没有依存关系，一种量的变化不会影响另一种量，那么这两种量不成任何比例关系。 （2）关联但无固定定量关系：若两种量相关联，但相对应数的比值和乘积都不固定，则这两种量既不成正比例，也不成反比例。 例题讲解 题型一、正比例的意义及辨识 【典型例题】（24-25六年级下·北京顺义·期末）下面（    ）说法中的两个量成正比例。 A．长方形周长一定，它的长和宽。 B．圆柱的体积一定，它的底面积和高。 C．一套运动服是178元，购买运动服的数量和总价。 D．李明阅读完《红楼梦》，他平均每天看的页数和天数。 【跟踪训练】（23-24六年级下·甘肃临夏·期末）以下各组x和y中成正比例的是（    ）。 A． B． C． D． 题型二、正比例图象的认识 【典型例题】（2025·福建漳州·小升初真题）有一种弹簧秤，挂上物品（质量在100克以内）时，物品的质量与弹簧伸长的长度情况如图所示，如果挂40克重物，弹簧伸长的长度是( )厘米。 【跟踪训练】（2024·辽宁鞍山·小升初真题）下面图像表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成（    ）比例关系。为什么？ （2）从图像上看，单价更贵一些的水果是（    ）。 （3）买3千克苹果要用（    ）元。 （4）20元可以买（    ）千克香蕉。 题型三、正比例的应用 【典型例题】（2024·河北廊坊·小升初真题）如表反映了一款奶茶中果汁和牛奶的配比关系。 果汁用量/毫升 40 80 120 160 … 牛奶用量/毫升 60 120 180 240 … （1）由表可知，果汁用量和牛奶用量成（          ）比例关系，体积比是（          ）。 （2）如果有54毫升牛奶，要调配同样的奶茶，需要果汁多少毫升？ 【跟踪训练】（24-25六年级下·山西晋中·期中）成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速”。用数学的眼光看该成语，是应用了比例的知识。 如表所示为同一时间、同一地点测得的树高和影长。 树高/m 2 3 4 6 影长/m 1.6 2.4 3.2 4.8 （1）在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们连起来。 （2）连线以后观察，可以发现：影长与树高成（    ）比例关系。 （3）利用图像判断，树高8米时，影长多少米？影长4米时，树高多少米？ 题型四、反比例的意义及辨识 【典型例题】（24-25六年级下·江西抚州·期中）圆柱的侧面积一定，底面直径和高成( )比例。 【跟踪训练】（24-25六年级下·广东佛山·期中）如果x和y成正比例，则“？”处应填( )；如果x和y成反比例，则“？”处应填( )。 x 4 ？ y 12 24 题型五、反比例的应用 【典型例题】（24-25六年级下·河北邢台·期中）爷爷要给屋子重新铺地砖，不同面积的地砖与所需的块数的关系如下。如果爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多（    ）块。 每块地砖的面积 0.3 0.4 0.5 … 所需的块数 160 120 96 … A．20 B．60 C．80 D．140 【跟踪训练】（24-25六年级下·河北唐山·期中）某物流公司将120吨货物运往某一个工厂，如果要一次把所有货物全部运出，运输情况如下表。车的载重和所需车的数量成（    ）比例。请把表格补充完整。 车的载重（吨） 2.5 3 5 所需车的数量 48 40 12 巩固练习 一、选择题 1．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）佳佳超市运来的面粉袋数一定，卖出去的袋数和剩下的袋数（    ）。 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例 D．无法确定 2．（24-25六年级下·河南驻马店·期中）x和y成正比例关系的是（    ）。 A． B． C．6 D． 3．（24-25六年级下·江西九江·期末）下面相关联的两个量成反比例关系的有（    ）。 ①长方形的面积一定，它的长和宽 ②圆的直径和周长 ③一本书已看的页数和未看的页数 ④一个数和它的倒数 A．①② B．②③ C．①④ 4．（24-25六年级下·广东梅州·期末）如图表示两个相关联变量的关系，这两个变量可能是（    ）。 A．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积和地砖的块数 B．某班今天的出勤人数和缺勤的人数 C．工程队修一条路，平均每天修路的长度和所需的天数 D．笔记本的单价一定，购买笔记本的数量和所用的总钱数 二、填空题 5．（24-25六年级下·云南德宏·期末）圆柱的底面积一定，圆柱的( )和( )成正比例。 6．（2025·河北衡水·小升初真题）若3x－2y＝0（x、y均不为0），则x与y成( )比例，x∶y＝( )。 7．（24-25六年级下·新疆阿勒泰·期末）已知x、y均不为0，如果，那么x和y成( )比例；如果y＝6x，那么x、y成( )比例。 8．（24-25六年级下·湖南怀化·期末）下边是小明未完成的一张表格。若x、y成正比例关系，则“？”处为( )；若x、y成反比例关系，则“？”处为( )。 x 3 9 y 12 ？ 9．（2025·甘肃庆阳·小升初真题）庆城县充分利用生态资源丰富的优势，大力发展“采摘农业”，推动乡村旅游发展。李叔叔家种植的油桃已经成熟，他将采摘的一批油桃装箱，下面是每箱油桃的质量和装的箱数之间的关系。 每箱油桃的质量／kg 5 6 8 10 装的箱数／箱 72 60 45 36 (1)这批油桃共( )kg。 (2)如果用表示每箱油桃的质量，表示装的箱数。与成( )比例关系，请你写出这个关系式为( )。 三、作图题 10．（24-25六年级下·山东菏泽·期中）小安同学去某书店购买演算本数量与总价的情况如下： 数量/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 … （1）购买演算本的总价与数量成（    ）比例关系。 （2）把上表中演算本的数量与总价所对应的点描在方格纸上，并连线。 （3）购买40本演算本需要（    ）元。 四、解答题 11．（23-24六年级下·广东东莞·期末）东东记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下： 行驶路程（千米） 100 120 130 140 150 耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5 （1）观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成（    ）比例关系。 （2）当电动汽车行驶了600千米时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？（用比例解答） 12．（23-24六年级下·浙江宁波·期末）学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 … （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量成（    ）比例关系。 （2）如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大？（用比例解答） 13．（24-25六年级下·广东汕头·期末）下面是某一银行存一年定期，不同金额的本金和对应利息的情况。 （1）看图填表。 本金/万元 1 2 4 6 7 利息/元 120 240 720 （2）本金和利息成（    ）比例关系。 （3）如果本金是8万元，那么在这家银行定期存款一年，连本带息一共可以拿回多少钱？ 试卷第1页，共3页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $