福建省福州第八中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（1月份）

2025-2026学年福建省福州八中九年级（上）月考数学试卷（1月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯.如图是某个部件“榫”的实物图，那么它的俯视图是(    ) A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是(    ) A. B. C. D. 5.对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如表： 抽取件数件 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 900 合格频率 若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是(    ) A. 18000件 B. 16800件 C. 3200件 D. 2000件 6.如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是(    ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 7.某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染上了流感.设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，列方程为(    ) A. B. C. D. 8.牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设(    ) A. 三角形中有一个内角是直角 B. 三角形中有两个内角是直角 C. 三角形中有三个内角是直角 D. 三角形中不能有内角是直角 9.综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示下列说法正确的是(    ) A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 10.已知点，是二次函数的图象上任意两点，设，若当且时，都有，则t的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.二次函数的图象的顶点坐标是______. 12.如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，，若AE：：3，则        . 13.设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则        . 14.如图，已知反比例函数和的图象分别为，，A是上一点，过点A作轴，垂足为B，AB与交于点若的面积为3，则k的值为        . 15.我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点E，连接BE，，连接OE交AB于点若，则图中阴影部分的面积为        . 16.如图，在中，，，，D是线段BC上一点不与端点B，C重合，连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为        . 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解下列方程： ； 18.本小题8分 如图，在中，，，D为AC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接BD， 求证： 19.本小题8分 已知二次函数是常数 求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； 已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值. 20.本小题8分 如图所示，在中，，以AB为直径的交BC于点 尺规作图：过点P作的切线l，并交于AC于点D，保留作图痕迹，不写作法 若，，求CD的值. 21.本小题8分 某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下. 摸球方案：①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中5个黄球，4个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回. 获奖规则：①若取出的是黄球，则获得奖品A； ②若取出的是白球，则获得奖品 求该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率是______；“获得奖品 B”的概率是______； 若从原方案的盒子中取走4个黄球和2白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品A”和“获得奖品B”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等. 22.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点 求一次函数的解析式； 根据函数的图象，直接写出不等式的解集； 点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标. 23.本小题10分 已知抛物线经过点 求该抛物线的对称轴； 当时，若点P在第一象限，且点P为抛物线对称轴上一点，记原点为O，连接OP，将线段OP绕点P顺时针旋转，使点O的对应点M恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； 点和分别在抛物线和上与原点都不重合当时，若是一个与无关的定值，求a与b的值. 24.本小题12分 某纸杯的尺寸单位：如图所示，展开它的侧面得到扇环纸片可以看作扇形纸片OAD剪去扇形纸片OBC后剩余的部分 的长为______ cm，______  记表示两边长分别为a，，单位：的矩形纸片的大小. ①图是可以剪出扇环纸片ABCD的一张矩形纸片，它的一边与相切，点B，C在对边上，点A，D分别在另外两边上，直接写出a，b的值. ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD吗？说明理由. ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，写出求b的范围的思路无需算出最终结果 25.本小题14分 如图1，中，，直径AF交弦BC于点E，点D在弦BC上，连接AD并延长交于点 若，，求用含的式子表示 如图2，在的条件下，过点F作，交AB于点J，过点B作于点N交AF于点M，连接FG， ①求证：； ②当，时，连接CM，并延长交AB于点H，连接BF、CF，探究四边形HBFC的面积是否为定值，若是，请求出四边形HBFC的面积；若不是，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意； B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意． 故选： 根据轴对称图形和中心对称图形进行判断即可． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解答本题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：这个几何体的俯视图为： 故选： 根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形作答． 本题考查了简单组合体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是，即 故答案为： 故选： 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数平移的法则是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：， A.，有两个角对应相等，能使与相似， 故该选项不符合题意； B.由得，有两个角对应相等，能使与相似， 故该选项不符合题意； C.，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使与相似， 故该选项不符合题意； D. ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使与相似， 故该选项符合题意． 故选： ①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，则两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 5.【答案】A  【解析】解：抽取件数达到1000件时，合格频率为，且频率在附近稳定， 合格概率约为， 出售20000件衬衣，合格品件数约为件 故选： 由频数表可知，当抽取件数较大时，合格频率稳定在附近，因此可用频率估计概率，合格概率约为，乘以20000即可． 本题考查了根据频数求频率，根据频率求数量，掌握其相关知识点是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：如图，P、为一组对应点，线段的垂直平分线为直线BD，N、为一组对应点，线段的垂直平分线与直线BD交于D， 旋转中心是 故选： 分别作两组对应点连线段的垂直平分线，它们的交点就是旋转中心． 此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转性质找到旋转中心的确定方法． 7.【答案】C  【解析】解：设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，则在第一次感染中有x人被感染，第二轮感染中有人被感染， 根据题意得：， 即 故选： 设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，则在第一次感染中有x人被感染，第二轮感染中有人被感染，根据“该校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染上了流感”，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时， 第一步先假设三角形中有两个内角是直角， 故选： 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立． 9.【答案】C  【解析】解：根据题意得，反比例函数解析式为：， A、当液体密度时，浸在液体中的高度，故原说法错误，不符合题意； B、当液体密度时，浸在液体中的高度，故原说法错误，不符合题意；， C、当浸在液体中的高度时，该液体的密度，正确，符合题意； D、当液体的密度时，浸在液体中的高度，故原说法错误，不符合题意；， 故选： 根据图象和反比例函数性质逐项分析判断即可． 本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 10.【答案】B  【解析】解：已知点，是二次函数的图象上任意两点， 抛物线的对称轴为直线， ， 开口向上， ， 离对称轴更远，分四种情况讨论， ①当A、B都在对称轴右边，如图， ，即， ， ； ②当A、B都在对称轴左边，如图，   ，即， ， ； ③当A在对称轴左边，B在对称轴右边，如图，   ，即， ， ， ， 且， 当，时，最大，值为， ； ④当B在对称轴左边，A在对称轴右边，如图，   ，即， ， ， ， 且， 当，时，最小，值为， ； 综上或， 故选： 先求得抛物线的对称轴为直线，判断得出离对称轴更远，分四种情况讨论，画出图形，根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标是 故答案为： 根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：点D，E分别在AB，AC上，， ∽， ：：3， ， ， ， 故答案为： 由，证明∽，由AE：：3，推导出，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键． 13.【答案】2026  【解析】解：由题知， 因为m，n分别为一元二次方程的两个实数根， 所以，， 则， 所以 故答案为： 利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：过点A作轴，垂足为B，AB与交于点D， ，，， ， 反比例函数图象位于第二象限， ， ， 故答案为： 根据反比例函数k值的几何意义计算即可． 本题考查反比例函数k值的几何意义，理解反比例函数k值的几何意义是正确解答关键． 15.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ， 边CD与相切于点E， ， ， ，且， ， 于点F，且， ， ， ， ， 故答案为： 由矩形的性质得，由切线的性质得，则，由，根据圆周角定理得，由，根据垂径定理得，则，求得，即可由，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的性质、切线的性质、平行线的性质、垂径定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，推导出及于点F是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：作于点H，则， ，， ， ， ， 是等边三角形，DE交AC于点F， ，， ， ∽， ， ， ， 当AD最小时，则CF最大， ， ， 的最小值为， 当时，， 线段CF长度的最大值为， 故答案为： 作于点H，则，由，求得，由，求得，则，因为是等边三角形，所以，可证明∽，得，求得，则，可知当AD最小时，则CF最大，由，求得AD的最小值为，当时，，于是得到问题的答案． 此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17.【答案】，  ，  【解析】解：， ， 或， ， ， ， ， 或， ， 利用因式分解法解一元二次方程即可． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 18.【答案】将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE， ，， ， 在和中， ， ≌，   【解析】证明：将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE， ，， ， 在和中， ， ≌， 根据旋转可得，，证明≌，根据全等三角形的性质即可证明． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 19.【答案】解：当时，， ， 一元二次方程有实数根， 无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； 当时，， 得， ，， ， 或  【解析】令，可得关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； 令，可得关于x的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到A、B两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质，正确根据相关知识点代入数据进行计算是解题关键． 20.【答案】如图，直线l，点D即为所求；    【解析】解：如图，直线l，点D即为所求； 如图，连接 是直径， ， 即， ， ， ， ， ， ∽， ， 连接OP，过点P作交AC于点D即可； 利用相似三角形的性质求解． 本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21.【答案】  新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球，2个白球中先随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再随机摸取一个小球． 获奖规则：若取出的两个球是一个黄球，一个白球，则获得奖品A；若取出的两个球都是白球，获得奖品B， 此时列表如下： 黄 白 白 黄 黄，黄 黄，白 黄，白 白 白，黄 白，白 白，白 白 白，黄 白，白 白，白 共有9种等可能的结果，其中取出的两个球是一个黄球，一个白球的结果有4种，取出的两个球都是白球的结果有4种， “获得奖品A”的概率，“获得奖品B”的概率， “获得奖品A”的概率=“获得奖品B”的概率  【解析】解：由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有5种，取出的是白球的结果有4种， 该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率为，“获得奖品B”的概率为， 故答案为：，； 新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球，2个白球中先随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再随机摸取一个小球． 获奖规则：若取出的两个球是一个黄球，一个白球，则获得奖品A；若取出的两个球都是白球，获得奖品B， 此时列表如下： 黄 白 白 黄 黄，黄 黄，白 黄，白 白 白，黄 白，白 白，白 白 白，黄 白，白 白，白 共有9种等可能的结果，其中取出的两个球是一个黄球，一个白球的结果有4种，取出的两个球都是白球的结果有4种， “获得奖品A”的概率，“获得奖品B”的概率， “获得奖品A”的概率=“获得奖品B”的概率． 直接由概率公式求解即可； 根据题意设计一个新的摸球方案与获奖规则即可． 本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22.【答案】解：反比例函数的图象经过点，， ，， 解得，， ，， 把A、B的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为 观察图象，不等式的解集为：或 连接OA，OB，由题意， ， 设， 由题意， 解得， 或  【解析】利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题． 观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题． 根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题． 本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． 23.【答案】直线    ，  【解析】解：将点代入， ， ， ， 对称轴为直线； 当时，， 设， 设对称轴与x轴的交点为E，过点M作交于N， ， ， ， ， ， ≌， ，， ， 点在抛物线上， ， 解得或舍， ； 点和分别在抛物线和上， ，， ， ， ， ， ， ， 是一个与无关的定值， ，， ， ， 将点代入，再求对称轴即可； 设，设对称轴与x轴的交点为E，过点M作交于N，可证明≌，得到，由M点在抛物线上，求出； 由题意可知，，则，得到，令，整理得到，由题意可知，，求出a、b的值即可． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等判定及性质是解题的关键． 24.【答案】；18；     ①，；   ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，理由：   将扇环纸片ABCD按如图所示放置，AB在矩形的边AG上，延长AB，DC，延长线交于点O，过点D作于点E，过点C作于点F，      由题意得：，，，，   ，，，   ，   ，，   ，，   用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片   ③设的矩形纸片为矩形MNKS，，将扇环纸片ABCD如图放置，使点A在MS边上，点B在KS边上，点D在NK边上，与边MN相切于点P，      则此时的b值最小，若求b的范围，则此时的MN为b的最小值．   延长AB，DC，延长线交于点O，连接OP，OP交SK于点H，过点D作于点E，过点A作于点F，设OD交SK于点G，   由题意得：，，，，   与边MN相切于点P，   ，   ，，四边形MNKS为矩形，   四边形PNDE，四边形AFPM，四边形PNKH为矩形，   ，，，   ，   求得AF，DE的值即可求得b的最小值；   由于，解和即可求得结论  【解析】解：由题意得：的长为，的长为，  设， cm，则，  ，  ，    故答案为：；18；  ①延长AB，CD，延长线交于点O，设矩形的边与相切于点E，连接OE，交BC于点F，如图，    则，  四边形GHMN为矩形，  四边形GHFE，MNEF为矩形，  ，  由题意得：，，，，  为等边三角形，  ，，，  ，，  ，，  ，    ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，理由：  将扇环纸片ABCD按如图所示放置，AB在矩形的边AG上，延长AB，DC，延长线交于点O，过点D作于点E，过点C作于点F，    由题意得：，，，，  ，，，  ，  ，，  ，，  用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片  ③设的矩形纸片为矩形MNKS，，将扇环纸片ABCD如图放置，使点A在MS边上，点B在KS边上，点D在NK边上，与边MN相切于点P，    则此时的b值最小，若求b的范围，则此时的MN为b的最小值．  延长AB，DC，延长线交于点O，连接OP，OP交SK于点H，过点D作于点E，过点A作于点F，设OD交SK于点G，  由题意得：，，，，  与边MN相切于点P，  ，  ，，四边形MNKS为矩形，  四边形PNDE，四边形AFPM，四边形PNKH为矩形，  ，，，  ，  求得AF，DE的值即可求得b的最小值；  由于，解和即可求得结论． 设， cm，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可；  ①延长AB，CD，延长线交于点O，设矩形的边与相切于点E，连接OE，交BC于点F，利用圆的切线的性质定理，矩形 的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形 的边角关系定理解答即可；  ②将扇环纸片ABCD按如图所示放置，AB在矩形的边AG上，延长AB，DC，延长线交于点O，过点D作于点E，过点C作于点F，利用直角三角形 的边角关系定理求得DE，AF的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可；  ③设计出能够放置扇环纸片ABCD的最小的的矩形纸片即可． 本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 25.【答案】  ①证明：连接AK，KC，如图， ，AF为圆的直径， ，， 即AF为BC的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 为圆的直径， ， ， 四边形AKFG为矩形， ， ；②四边形HBFC的面积是定值，四边形HBFC的面积为  【解析】解：设， ，AF为圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ①证明：连接AK，KC，如图， ，AF为圆的直径， ，， 即AF为BC的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 为圆的直径， ， ， 四边形AKFG为矩形， ， ； ②解：四边形HBFC的面积是定值，四边形HBFC的面积为理由： 连接AK，OB，如图， ，AF为圆的直径， ， 由①知：，∽， ， 为圆的直径， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 或不合题意，舍去， ，， 设，则， ， ， ， ， ， 为BC的垂直平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 为圆的直径， ， ， ， 四边形HBFC为直角梯形， ， ， ， ， 四边形HBFC的面积 四边形HBFC的面积是定值，四边形HBFC的面积为 设，利用垂径定理和直角三角形的性质得到，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可得出结论； ①连接AK，KC，利用垂径定理和线段的垂直平分线的性质得到，利用平行线的性质，圆周角定理得到，利用相似三角形的判定与性质得到；利用矩形的判定与性质得到，则结论可得； ②连接AK，OB，利用相似三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，利用垂径定理和等腰三角形的性质得到，，，利用勾股定理求得a值，则，，设，则，利用勾股定理求得r值，BF，利用全等三角形的判定与性质得到，则，利用圆周角定理和平行线的判定与性质得到四边形HBFC为直角梯形，利用三角形的面积公式和勾股定理求得CH，BH，最后利用梯形的面积公式解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是加减此类问题常添加的辅助线． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $