精品解析：浙江省宁波市南三县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025学年第一学期期末抽测九年级数学试题 考生须知： 1.全卷共有三个大题，24个小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2.请将姓名、考号分别填写在答题卷的规定位置上． 3.答题时，请将试题答案书写在答题卷上规定区域．试题卷上书写或答题卷上规定区域外书写的答案均无效． 4.不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 一、选择题（每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数定义为形如 的函数，其中的最高次数为，据此判断即可． 【详解】解：A选项：是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； B选项：是反比例函数，不是二次函数，故B选项不符合题意； C选项：是三次函数，不是二次函数，故C选项不符合题意； D选项：符合二次函数的定义，是二次函数，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 已知⊙O 的半径为 3，点 A 与点 O 的距离为 5，则点 A 与⊙O 的位置关系是（ ） A. 点A在⊙O 内 B. 点A在⊙O 上 C. 点A在⊙O 外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由点与圆的距离可得点与圆的位置关系. 【详解】解：点 A 与点 O 的距离为 5>3,则点A与⊙O的位置关系是:点A在圆外. 故选C. 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆心的距离d, 当d>r时, 点在圆外; 当d=r时, 点在圆上; 当d<r时, 点在圆内. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 经过路口，恰好遇到绿灯 B. 全班45名同学至少有2人的生日在同一个月 C. 打开电视，正在播放浙江卫视 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件是指一定发生的事件，根据各选项的事件性质判断，熟练掌握相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、经过路口，恰好遇到绿灯，是随机事件，故不符合题意； B、一年有12个月，全班有45名同学，，故至少有两名同学生日在同一个月，是必然事件；符合题意； C、打开电视，正在播放浙江卫视，是随机事件，故不符合题意； D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合题意； 故选：B． 4. 已知点P是线段的黄金分割点，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金分割点是解题的关键． 根据题意可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点， ∴， ， ， ， 解得：或（舍去）， 故选：B． 5. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握是解题的关键．根据勾股定理得出的长，再根据，代数计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∴． 故选：B． 6. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比等于位似比可得四边形的周长四边形的周长，据此解答即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形位似，位似中心是， ∴四边形与四边形的相似比为， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为， 故选：． 7. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（ ） x … 0 … y … 0 2 2 … A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．由表格可知，当时，故是方程的一个根；由于二次函数对称，且与时y值均为2，故对称轴为，因此与关于对称，即，即可作答． 【详解】解：∵时， ∴是方程的一个根； ∵与时y值均为2， 故对称轴为， 设另一个根为， 则与关于对称，即； 解得 ∴方程的根为，， 故选：C． 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H，若H恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图“作一个角等于已知角”、相似三角形的判定及性质，根据题意可知，求得，得到，结合，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：C 9. 在中，，，分别以点B，点C为圆心，以，的长为半径画弧，分别交于点E，点D，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算、勾股定理、等腰直角三角形，根据图形和等腰三角形的性质，可以得到、的度数，和的长，再根据图形可知阴影部分的面积（扇形的面积的面积），然后代入数据计算即可． 【详解】解：作于点F，如图所示， ∵，， ∴点F为的中点，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是：， 故选：D． 10. 如图，内接于，已知是的直径，，，点D在直径上方的半圆上运动，连结交于点E，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，分别过点C，D作于点F，于点G，则，得出，由圆周角定理可得，由勾股定理可得，再结合直角三角形的性质得出，表示出，从而得出当取最大值时，的值最大，进而可得当点D位于的中点时，取最大值为2，即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：分别过点C，D作于点F，于点G， 则， ， 是直径， ， ， ∴，， ， ， 当取最大值时，的值最大， 当点D位于的中点时，取最大值为2， 的值最大值为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值．利用分式的性质，将所求表达式拆分为，再代入已知条件进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ． 故答案为：． 12. 2024年元旦假期，小明和爸爸、妈妈、妹妹去附近一家餐厅就餐，爸爸已经坐在④号座位．若小明在①～③号座位中随机选择一个座位就座，则小明恰好坐在爸爸正对面的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是概率公式，直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：小明恰好坐在爸爸正对面的概率为， 故答案为：． 13. 二次函数的顶点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把解析式化为顶点式可求得答案． 【详解】y＝2x2＋4x−1＝2（x＋1）2−3， ∴顶点坐标为（−1，−3）， 故填：（−1，−3）． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 14. 如图，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补可得的度数，再根据圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理建立方程求解． 延长交于点，连接，可得，由垂径定理得到，则，设，则，再在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， 解得， ∴的半径为， 故答案为：． 16. 如图，分别以的三边为边长，向外作正方形，和，连接，其中，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形性质，相似三角形性质和判定，熟练掌握勾股定理，正方形的性质，相似三角形性质和判定是解题的关键． 连接，，，结合正方形性质，以及勾股定理求出，再证明，利用相似三角形性质推出，即可解题． 【详解】解：如图，连接，，， ，，， ， ， ， . ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（第17至21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的混合运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 先根据特殊角的三角函数值化简各项，然后再根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：原式 ． 18. 为更好地传承和发扬浙江美食文化，浙江省举办了主题为“味美浙江·百县千碗”的非遗美食挑战赛.宁波多道美食如：“宁波桂花糖水汤圆”，“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”，“奉化八宝芋艿头”成功上榜． （1）小甬想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“宁波桂花糖水汤圆”的概率为______； （2）某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用A、B、C、D分别表示“宁波桂花糖水汤圆”，“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”，“奉化八宝芋艿头”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”的概率． 【答案】（1） （2）恰好选中“宁海雪汁长街蛏”、“象山倒笃梭子蟹”的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式即可得出结果； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小甬想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“宁波桂花糖水汤圆”的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中“宁海雪汁长街蛏”、“象山倒笃梭子蟹”的结果有2种， 所以恰好选中“宁海雪汁长街蛏”、“象山倒笃梭子蟹”的概率为． 19. 如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图中画出的外接圆圆心； （2）在图中找一个格点并作（点不与点重合），使得与相似（作出一个符合条件的图形即可）． 【答案】（1） 解：如下图所示，点即为所求； （2） 解：如图所示，点，即为所求作的图形. 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、相似三角形的判定，解决本题的关键是借助网格作图． (1)三角形的外接圆圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，作三角形中两条边的垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心； (2)连接点与的中点，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定． 【小问1详解】 解：分别作边和边的垂直平分线， 两条垂直平分线相交于点，点即为所求； 【小问2详解】 解：连接点与的中点， 由网格可知， ，， ， 又， ， 即为所求作的图形． 20. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度（参考数据：，，）． 【答案】古树的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交的延长线于点F，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，则， ，即， 设，则， 在中，， ， ∵， ． ，， ， ， ， ． 答：古树的高度约为． 21. 2025的夏天，浙江省城市篮球联赛（简称浙）火遍全网．小甬同学观察发现篮球在空中的运行路线近似为一条抛物线，他将某球员投篮后的篮球运行路线绘制成下图．已知篮圈中心距地面，球员在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）在球出手后，未达到最高点时，若被防守队员出手拦截则属于盖帽，已知某防守球员的最大摸球高度为，若该球员在距离投篮球员处起跳盖帽，请通过计算说明篮球能否顺利投进篮圈． 【答案】（1）篮球运动路线所在抛物线的函数解析式为 （2）防守球员不能成功盖帽，篮球不能顺利投进篮圈，理由： 当时，. ， 不能成功盖帽. 把代入抛物线解析式，得， ， 篮球不能顺利投进篮圈． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用——投篮问题，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，求函数值，是解题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与3.1比较判断能不能成功盖帽；将代入函数的解析式求得y的值，与篮圈中心距地面比较，进而得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为. 把代入，得， 解得， ∴ 【小问2详解】 略 22. 如图，已知是的直径，D是上一点，连接、，点C为延长线上一点，连接．且． （1）证明：； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ． 又， ． ． ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、圆周角定理等： （1）证得，进而求得 ，即可求得答案； （2）根据，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的半径为2， ． 由（1）可得， 又， ． 或． ， ． 23. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线． （1）t的值为_____； （2）当时，y的最大值为9，求抛物线对应的函数表达式； （3）当时，，求的最大值． 【答案】（1）1 （2）抛物线的表达式为 （3）的最大值是4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）将点代入抛物线解析式得出，再根据抛物线对称轴公式计算即可得出结果； （2）由题意得出当时，函数值在处取得最大值9，将，代入，计算即可得出结果； （3）由二次函数的性质可得二次函数的最小值为，再结合题意可得关于x的取值范围一定包含，当时，，解得或，若，则，若，则，由此即可得解． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∴，即， ∴抛物线的对称轴是直线； 【小问2详解】 解：， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为直线，且， 当时，函数值在处取得最大值9， 将，代入，得， ， 抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：由（1）可得：，对称轴为直线， ∴二次函数的解析式为， ∵，且当时，， ∴二次函数的最小值为， ∵当时，， 关于x的取值范围一定包含， 当时，，解得：或， 若，则，若，则， 综上所述的最大值是． 24. 如图1，是半圆O的直径，点C是半圆上一点，在直径上取点D，使得． （1）求证：； （2）如图2，在延长线上取一点E，使得，连结，过点D作于点F，交于点G，求的度数； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 解：设，则， 是直径， ， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，由圆周角定理可得，计算得出，即可得证； （2）由（1）知，，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由题意可得，从而即可得出结果； （3）延长至点K，使，连接，证明得出，设，则，则，再证明，由相似三角形的性质得出，由勾股定理计算得出，，从而可得，，证明出，过点C作于点M，再证明得出，由（2）得，再解直角三角形即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：延长至点K，使，连接， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， 设，则， ， 又，， ， ，即， 解得， 在中，由勾股定理可得：即， 解得：，（舍去）， ，，， ∴，， ， ， 过点C作于点M， ， ， 又， ， ， 由（2）得， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形内角和定理、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末抽测九年级数学试题 考生须知： 1.全卷共有三个大题，24个小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2.请将姓名、考号分别填写在答题卷的规定位置上． 3.答题时，请将试题答案书写在答题卷上规定区域．试题卷上书写或答题卷上规定区域外书写的答案均无效． 4.不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 一、选择题（每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知⊙O 的半径为 3，点 A 与点 O 的距离为 5，则点 A 与⊙O 的位置关系是（ ） A. 点A在⊙O 内 B. 点A在⊙O 上 C. 点A在⊙O 外 D. 不能确定 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 经过路口，恰好遇到绿灯 B. 全班45名同学至少有2人的生日在同一个月 C. 打开电视，正在播放浙江卫视 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 4. 已知点P是线段的黄金分割点，若，则为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（ ） x … 0 … y … 0 2 2 … A. B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H，若H恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 9. 在中，，，分别以点B，点C为圆心，以，的长为半径画弧，分别交于点E，点D，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，内接于，已知是的直径，，，点D在直径上方的半圆上运动，连结交于点E，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则_____． 12. 2024年元旦假期，小明和爸爸、妈妈、妹妹去附近一家餐厅就餐，爸爸已经坐在④号座位．若小明在①～③号座位中随机选择一个座位就座，则小明恰好坐在爸爸正对面的概率为___________． 13. 二次函数的顶点坐标为___________． 14. 如图，若，则的度数为_____． 15. 如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 16. 如图，分别以的三边为边长，向外作正方形，和，连接，其中，，则_____． 三、解答题（第17至21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 为更好地传承和发扬浙江美食文化，浙江省举办了主题为“味美浙江·百县千碗”的非遗美食挑战赛.宁波多道美食如：“宁波桂花糖水汤圆”，“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”，“奉化八宝芋艿头”成功上榜． （1）小甬想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“宁波桂花糖水汤圆”的概率为______； （2）某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用A、B、C、D分别表示“宁波桂花糖水汤圆”，“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”，“奉化八宝芋艿头”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”的概率． 19. 如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图中画出的外接圆圆心； （2）在图中找一个格点并作（点不与点重合），使得与相似（作出一个符合条件的图形即可）． 20. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度（参考数据：，，）． 21. 2025的夏天，浙江省城市篮球联赛（简称浙）火遍全网．小甬同学观察发现篮球在空中的运行路线近似为一条抛物线，他将某球员投篮后的篮球运行路线绘制成下图．已知篮圈中心距地面，球员在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）在球出手后，未达到最高点时，若被防守队员出手拦截则属于盖帽，已知某防守球员的最大摸球高度为，若该球员在距离投篮球员处起跳盖帽，请通过计算说明篮球能否顺利投进篮圈． 22. 如图，已知是的直径，D是上一点，连接、，点C为延长线上一点，连接．且． （1）证明：； （2）若的半径为2，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线． （1）t的值为_____； （2）当时，y的最大值为9，求抛物线对应的函数表达式； （3）当时，，求的最大值． 24. 如图1，是半圆O的直径，点C是半圆上一点，在直径上取点D，使得． （1）求证：； （2）如图2，在延长线上取一点E，使得，连结，过点D作于点F，交于点G，求的度数； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $