第五章 一元一次方程期末复习专项训练（10大考点）2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第五章 一元一次方程 考点01 方程的判断 ……………………………………………………………………………………… 1 考点02 一元一次方程的判断 …………………………………………………………………………… 2 考点03 判断是否为方程的解 …………………………………………………………………………… 4 考点04 等式的性质 ……………………………………………………………………………………… 6 考点05 列方程 …………………………………………………………………………………………… 11 考点06 已知方程的解求参 ……………………………………………………………………………… 15 考点07 解一元一次方程 ………………………………………………………………………………… 19 考点08 根据一元一次方程的解求参 …………………………………………………………………… 31 考点09 绝对值方程 ……………………………………………………………………………………… 41 考点10 解自定义背景下的一元一次方程 ……………………………………………………………… 50 提升训练 …………………………………………………………………………………………………… 59 地 城 考点01 方程的判断 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）下面式子中，是方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是方程的定义，解题关键是熟练掌握方程的定义． 方程是指含有未知数的等式．根据该定义判断即可得解． 【详解】解：、不是等式，不符合方程定义，该选项错误； 、是含有未知数的等式，符合方程定义，该选项正确； 、没有未知数，不符合方程定义，该选项错误； 、不是等式，不符合方程定义，该选项错误． 故选：． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】A．，不含“＝”，不是方程； B．，含不等号，不是方程； C．是方程； D．，不含未知数，不是方程； 故选：C． 二、填空题 3．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 【详解】解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 地 城 考点02 一元一次方程的判断 一、单选题 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的概念，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程．根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程． A：中，x在分母位置，不是整式方程； B：中，x的最高次数为2； C：，即，只含一个未知数x，且次数为1，是整式方程； D：中含有两个未知数． ∴ 只有C选项是一元一次方程， 故选：C． 2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）下列各式中，一元一次方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义即含有一个未知数且未知数的指数为1的整式方程，判断即可． 本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：① ：分母含有未知数，不是整式方程， ∴不是一元一次方程； ② ：只含一个未知数，且次数为1，是整式方程， ∴是一元一次方程； ③ ：含有两个未知数， ∴不是一元一次方程； ④ ，化简得， ∴是一元一次方程； ⑤ ：未知数的最高次数为2，不是一元一次方程。 综上，只有②和④是一元一次方程，共2个， 故选：B． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列式子，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程，据此判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，该选项不合题意； 、是一元一次方程，该选项符合题意； 、不是方程，该选项不合题意； 、含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 二、填空题 4．（24-25六年级上·上海·月考）一元一次方程的一次项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程中，一次项为作答即可． 【详解】解：一元一次方程的一次项是． 故答案为：． 地 城 考点03 判断是否为方程的解 一、单选题 1．（25-26六年级上·上海普陀·月考）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）当（　　）时，． A．9 B．7 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据等式的性质解方程， 先方程两边同时乘以8，再两边都减去36，然后根据两边同时除以可得答案． 【详解】解：方程两边同时乘以8，得， 两边都减去36，得， 两边同时除以，得． 故选：A． 二、填空题 3．（24-25七年级上·山西太原·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程得解，正确得出一元一次方程是解题的关键．一元一次方程为，根据图表求得即可得解． 【详解】 由表可知：， 故答案为： 地 城 考点04 等式的性质 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东茂名·月考）下列等式的性质的运用中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质：等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数或式子，结果仍相等，逐一判断即可． 【详解】解：根据等式的性质， A．若，等式两边乘2，结果仍相等，则正确； B．若，则，一边加2一边减2，结果不相等，故错误； C．若，则，等式两边同时乘以，再同时加2，结果仍相等，正确； D．若，则，等式两边同时减4，结果仍相等，正确； 故选：B． 2．（25-26七年级上·广东清远·月考）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的基本性质，掌握 “等式两边同时加、减、乘同一个数（或式），等式仍成立；除以同一个数（或式）时需保证除数不为 0” 是解题的关键．根据等式的性质，等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立进行判断即可． 【详解】 等式变形必须基于等式的性质：等式两边同时加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，等式仍成立． A．如果，那么，故选项不符合题意； B．如果，那么，故选项不符合题意； C．如果，两边同乘，得，故选项符合题意； D．如果，但可能为零，当时，不成立，故选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵天平①平衡， ∴， ∴，即， ∴天平一定平衡的是C， 故选：C． 4．（25-26七年级上·山西运城·月考）等式的性质在生活中广泛应用．如图，分别表示两支铅笔的长度，表示铅笔盒的高度，左边铅笔比右边铅笔长，则图中两支铅笔的情况体现的数量关系可表示为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据左边那幅图可得，则根据右边那幅图可得，据此可得答案． 【详解】解：∵左边铅笔比右边铅笔长， ∴， ∵表示铅笔盒的高度， ∴， 故选：A． 5．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）如果，那么下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质．根据等式的性质，等式两边同时加、减、乘同一个数，或除以同一个非零数，等式仍成立． 根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：选项A：两边同时减去3，得，成立； 选项B：两边同时加上5，得，成立； 选项C：当时，恒成立，但m与n不一定相等，故不一定成立； 选项D：两边同时乘以，得，成立； 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，通过等式变形求解空白处． 【详解】解：给定等式 ， 根据等式的性质，等式两边同时加上 ， 得 ． 因此，空白处应填 ． 故答案为 ． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质解一元一次方程． 方程两边同时减去 ，得 ． 方程两边同时 ，得 ． 【答案】 8 5 除以 【分析】本题考查等式的性质，解题关键是明确等式的性质的内容，会用等式的性质解方程．根据等式的性质即可解答． 【详解】解：解方程：， 第一步：根据等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式，方程两边都减去8，得到． 第二步：根据等式的基本性质：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式，方程两边都除以，得到． 故答案为：8；5；除以；． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）请在下列各题的横线上填上适当的式子． （1）如果，那么 ．（2）如果，那么 ． （3）如果，那么 ． （4）如果，那么 ． 【答案】 10 【分析】本题考查等式的基本性质．熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案． （2）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案． （3）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案． （4）根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等即可得出答案． 【详解】解：（1）根据等式的性质1，两边都加2；如果，那么； 故答案为：10； （2）根据等式的性质1，两边都减3；如果，那么； 故答案为：； （3）根据等式的性质1，两边都加；如果，那么； 故答案为：； （4）根据等式的性质2，两边都除以5；如果，那么． 故答案为：． 9．（24-25六年级下·江苏南京·期末）学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 【答案】A，B 【分析】本题主要考查数学基本事实应用，根据2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质；2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等，由此可得结论． 【详解】解：2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质； 2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等， 故答案为：A，B． 三、解答题 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果能使等式成立，那么a的值是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质． 将代入，根据等式的性质求解a即可． 【详解】解：∵能使等式成立， ∴将代入得， 即， ∴， ∴． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，请利用等式的基本性质写出三个关于x和y的等式，并说明依据． 【答案】，等式的基本性质1；，等式的基本性质1；，等式的基本性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 利用等式的基本性质，从推导出三个等式即可． 【详解】解：根据等式的基本性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立．由，两边同时加上5，得； 根据等式的基本性质1：等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立．由，两边同时减去3，得； 根据等式的基本性质2：等式两边同时乘以同一个数（除数不为零），等式仍然成立．由，两边同时乘以2，得． 地 城 考点05 列方程 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列方程，将文字描述转化为数学方程，注意“y的7倍”为，“x减去y的7倍”即，列出方程即可 【详解】解：的7倍为，x减去y的7倍为，等于8，即， 方程为， 故选：A 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）根据下列条件能列出等式的是（    ） A．y与5的差的一半 B．a与2的和 C．一个数的相反数是 D．x的与y的3倍的和 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式和等式，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 根据题意列出对应的式子即可确定正误． 【详解】解：A、y与5的差的一半，，不是等式，不符合题意； B、a与2的和，，不是等式，不符合题意； C、一个数的相反数是（设这个数为），，是等式，符合题意； D、x的与y的3倍的和，，不是等式，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列方程，解题关键是弄清题意，把这周产生的可回收垃圾的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，得到最终的结果． 根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量上一周产生的可回收垃圾的质量，假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程即可． 【详解】解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克． 根据题意得，，即 方程可变换成：和，不能变换为． 故选：C． 二、填空题 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为x，，面积为6， 则， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川资阳·月考）根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，仔细审题，x的3倍即是，x的3倍与5的和表示为，和比x多2表示为，故可列出方程． 【详解】解：由题意列方程式为：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，两边都放着物体的天平处于平衡状态，用等式表示天平两边所放物体质量的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式，列方程，根据等式的表示方法即可求解，熟练掌握等式的表示方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，表示天平两边所放物体质量的关系为， 故答案为：． 三、解答题 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． 【详解】（1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长(长+宽)，周长为， ∴方程为； （2）解：当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意表示出长方形的长，进而利用矩形周长公式求出即可； （2）长方体底面的长和宽分别是：和，根据长方形的面积公式即可列出方程； （3）根据“足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这个长方形的宽为，则长为，则可列方程； （2）解：根据题意得； （3）解：设黑色皮块有个，则白色皮块有块，根据题意得． 地 城 考点06 已知方程的解求参 一、单选题 1．（25-26七年级上·广西南宁·月考）关于的方程的解是，则的值是（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】A 【分析】本题考查方程解的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．将 代入方程，求解 m． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴ 代入得， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级上·河北张家口·月考）方程，处被盖住了一个数字，已知方程的解为，那么处的数字是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将已知解代入方程，解出被盖住的数字． 【详解】解：∵ 方程的解是， ∴代入方程为：， 即， 两边乘以得， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的概念，解题关键是将方程的解代入方程，得到关于的关系式，再整体代入求值． 将 代入方程 ，得到 ，从而 ，再代入所求表达式计算即可． 【详解】∵ 是方程 的解， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选B． 4．（25-26七年级上·河北张家口·月考）若关于的方程是一元一次方程，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 一元一次方程要求未知数的最高次数为，因此指数必须为． 【详解】解：∵ 方程是一元一次方程， ∴， ∴的值为1， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若是方程的解，则值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元一次方程的解的概念和代数式求值．将代入原方程，可推出，再对所求代数式进行变形，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵是方程 的解， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·广东茂名·月考）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程是只含有一个未知数且未知数的次数是1的方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义列关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，解得：． 故答案为3． 7．（25-26七年级上·重庆·期中）若方程是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，方程中只能含有一个未知数，且未知数的最高次数为1．因此，二次项系数必须为零，进而判断是否成立即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，解得 故答案为：3． 三、解答题 8．（25-26七年级上·广西崇左·月考）若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足什么条件？ 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义． 若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出关于的方程，以及，从而求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 所以a，b应满足且． 9．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）当为何值时，关于的一元一次方程的解是一元一次方程的解的2倍？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，掌握方程的解的定义和一元一次方程的解法和步骤是解题关键．先解方程，进而得到方程的解，再代入方程求出的值即可． 【详解】解：解方程得，， ∵关于的一元一次方程的解是一元一次方程的解的2倍， ∴关于x的方程的解为， 把代入方程中得，， 解得：． 地 城 考点07 解一元一次方程 一、解答题 1．（25-26七年级上·广东汕头·月考）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·广东·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 4．（25-26七年级上·重庆·月考）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化． （1）根据解一元一次方程的步骤依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此计算可得； （2）根据解一元一次方程的步骤依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此计算可得． 【详解】（1）解： （2）解： 5．（25-26七年级上·广东清远·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： 6．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键； 先去分母，然后去括号，移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 7．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确解方程是解题的关键． （1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可； （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 8．（25-26七年级上·陕西商洛·月考）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键． 先去括号、移项，再系数化为1即可求解； 先去分母、去括号，移项，合并同类项，再系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得，即， 系数化为1解得； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 9．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 10．（25-26六年级上·上海·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟知去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为是解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先去括号，再移项，合并同类项，把的系数化为即可． 【详解】解： 去括号得， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 所以，原方程的解是． 11．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 解得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 12．（25-26七年级上·江苏南京·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查“解一元一次方程”，掌握解一元一次方程的方法是解题关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解方程即可； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 13．（25-26七年级上·河南周口·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解： （2）解： 14．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 去分母，去括号，移项、合并同类项，方程的两边都除以即可． 【详解】解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． 15．（25-26七年级上·辽宁营口·月考）（1）计算 （2）解方程： 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程． （1）先计算乘方，再计算括号里的加减，计算乘法，最后计算加减即可； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴两边同乘6得， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解法是解题的关键． （1）合并同类项、再把系数化为1求解即可； （2）去括号、移项，合并同类项、系数化为1求解； （3）去分母，去括号、移项，合并同类项、系数化为1求解即可； （4）先去分母，去括号、移项，合并同类项、系数化为1，求解即可． 【详解】（1）解： ， ． （2）解： ， ， ． （3）解： ， ， ． （4）解： ， ， ． 17．（25-26七年级上·江苏常州·月考）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的求解步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据一元一次方程的求解步骤计算即可； （2）根据一元一次方程的求解步骤计算即可； （3）根据一元一次方程的求解步骤计算即可； （4）根据一元一次方程的求解步骤计算即可． 【详解】（1）解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得 （2）解： 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 （3）解： 去括号得 合并同类项常数项得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 （4）解： 去分母，两边同乘6得 去括号得 合并同类项得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 18．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解方程即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解方程即可； 【详解】（1）解：去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得， 故原方程的解为； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故原方程的解为． 19．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的一般步骤解方程即可； （2）根据解一元一次方程的一般步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得, 合并同类项，得． 20．（25-26七年级上·山东日照·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用去括号法解方程即可． （2）利用去分母法解方程即可． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 整理，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． 地 城 考点08 根据一元一次方程的解求参 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）若是关于的一元一次方程，则的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握“一元一次方程中未知数的最高次数为1”是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，确定未知数的次数，从而列方程求解m的值． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元一次方程， ∴ ， 解得． 故选：B． 2．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，解题关键是掌握方程的解并能运用求解． 根据方程的解的意义求解即可． 【详解】解：原方程可变形为： 令， 则方程化为 关于的一元一次方程的解为， ∴ 对于方程，与方程形式相同， ∴方程的解为， 故选：A． 3．（25-26七年级上·广东茂名·月考）若关于x的方程和的解相同，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．先求解第一个方程得到 x 的值，再代入第二个方程求解m． 【详解】解：解方程 ， 移项得 ， ∴ ， ∴ ． ∵ 两个方程的解相同， ∴ 将 代入方程 ∶ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解看错系数后代入解满足方程是解题关键． 设同学看错的系数为，将代入看错的方程，求解． 【详解】解：设同学看错的系数为， ∵ 同学看错系数后解得， ∴ 将 代入方程 得： ∴ ∴ 故他把“□”处的系数看成了 6． 故选：C． 5．（24-25七年级上·河北邢台·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先将方程可变形为，根据关于的一元一次方程的解为，得出关于的一元一次方程的解满足，求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：方程可变形为， 因为关于的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程的解满足， 解得：， 所以关于的方程的解为． 故选：C． 6．（24-25七年级上·广东广州·月考）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，m的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程、一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义是解决本题的关键． 先解，再根据方程的解及相反数的定义解决此题． 【详解】解：∵， ∴． ∵关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数， ∴方程的解为． ∴． ∴． 故选：A． 7．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．分别解方程和方程，根据两个方程的解互为倒数，得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 关于的一元一次方程和方程的解互为倒数， ， 解得：． 故选：A． 8．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取和题意符合的解，即可求解； 【详解】解： 关于的方程的解是整数； 则整数，，共个； 故选：C 9．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若方程无解，则与需要同时满足以下哪个条件（    ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据方程无解，可知含的系数为，常数不为，据此求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当，时，方程有无数个解， 当，时，方程无解， 当时，方程有唯一解， 故选：B． 10．（25-26七年级上·山东日照·月考）已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．14 B．45 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法，一元一次方程的解是解题的关键．根据解一元一次方程的方法求出，然后再根据方程的解为非正整数，可得，进而得出的值为，，分别求出的值求和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：． 要想使方程的解为非正整数，则整数满足：， 是负整数，且是5的约数， 的值为，， 当时，解得：， 当时，解得：， 符合条件的所有整数的和为：． 故选：D． 二、解答题 11．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为． (1)求的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． （1）由题意得知去分母后得到错误方程为，把代入方程即可求解， （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】（1）解：∵在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为， ∴把代入方程得 ， ， ， ， ； （2）解：方程， ， ， ， ． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）当m为何值时，关于x的方程的解与关于x的方程的解相同？ 【答案】 【分析】先求出的解，再把x的值代入，得到关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：解方程，解得：， 把代入，， 解得：． 故时，关于x的方程的解与方程的解相同． 【点睛】本题考查了同解方程，先解第二个方程，把方程的解代入第一个方程得出关于m的一元一次方程是解题关键． 13．（25-26七年级上·全国·周测）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程． 先解方程求出，再将代入中，求出的值即可． 【详解】解：解方程得． 因为方程的解与关于的方程的解互为相反数， 所以方程的解是． 把代入方程， 得， 解得． 14．（24-25六年级下·山东淄博·月考）已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负整数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 方程有非负整数解， 取，，． 或，时，方程的解都是非负整数． 则， 故答案为∶． 15．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）若是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若表示不大于的最大整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义即可解答； （2）根据一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程，即可解答； （3）根据题意即可解答． 【详解】（1）解：由题意得且， 所以． 答：的值为． （2）解：由（1）可知，， 则方程可化为， 解得，． 将代入方程， 得， 即， 解得，． 答：的值为． （3）解： ， ． 答：的值为． 16．（25-26七年级上·河南安阳·期中）按要求完成下列各题： (1)关于的方程的解与方程的解互为倒数，求的值． (2)小马虎在解关于的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求的值和原方程的解． 【答案】(1) (2)，原方程的解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于的方程是解题关键． （1）根据方程的解互为倒数，可得关于的方程，根据解方程，可得的值，再根据乘方的性质，可得答案； （2）先根据错误方程的解，求出的值，再列出正确的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵方程的解与方程的解互为倒数， ∴方程的解为． ，解得． ． （2）由题意得：错误的方程为：， 将代入得：，解得， ∴原方程为：，解得． 17．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解3倍，求k的值． 【答案】(1)a的值是4，方程的解是 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟知一元一次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义可得，且，据此求出a的值，代入原方程，再解方程即可得到答案； （2）根据（1）可知，关于x的方程的解为，再把代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，且， ，且， ， 将代入方程，得， 解得， ∴a的值是4，方程的解是； （2）解：由题意得，关于x的方程的解为， 将代入方程，得， 解得． ∴k的值是． 18．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，求的值． ① ② 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次方程（三）——去分母，已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出方程①的解，再根据两个方程解的关系求出方程②的解，得到关于的方程求解． 【详解】解：方程， 解得：， 方程①的解比方程②的解小4， 方程②的解为， 所以， 解得：． 地 城 考点09 绝对值方程 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东汕尾·月考）若的绝对值与3的绝对值相等，则等于（   ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的概念和求代数式的值，由绝对值的意义，，解得x的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴或． 当时，； 当时，． ∴的值为2或． 故选：D． 2．（25-26七年级上·安徽黄山·期中）若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值方程的性质，将方程分为两种情况求解． 【详解】解：， 或， 当时，； 当 时，， 的取值为或 2， 故选： C． 3．（25-26七年级上·浙江·月考）若，则数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或 D．或4 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．先求出m的值，再设数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是x，根据题意得出或，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是x， 由题意得 ① 当时，满足上式， 即， 解得； ② 当时，满足上式， 即， 解得； 综上，数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是2或， 故选：C． 二、填空题 4．（25-26七年级上·四川成都·月考），那么 ． 【答案】 或 【分析】本题考查绝对值方程，先计算等号右边的绝对值，得到，再根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：，即， 则或， 解得或． 故答案为：或． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）定义新运算，如；那么 ，若，则x可以取的值有 ． 【答案】 和 【分析】本题考查有理数的加减运算，去绝对值，绝对值方程的解法等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．对于第一部分，根据新运算定义，先计算，再计算结果与3的运算；对于第二部分，先根据定义将方程化简为，再分区间讨论求解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 当时，方程化为，解得 ，符合条件， 当时，方程化为，无解， 当时，方程化为，解得 ，符合条件， 故x可以取的值为和， 故答案为：；和． 6．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）已知，，且则式子的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的化简与计算，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 由绝对值的非负性可知，，，且，因此，，解得，，由，得或，即或，又因为，且，所以，故，最后代入计算即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 又， 或， 解得或， ，且， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 7．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程． 【答案】 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程求解，运用分类讨论思想，关键是先化简绝对值内表达式，再根据绝对值性质分情况解方程，易错点为忽略绝对值的非负性及解方程时的符号错误；解题思路是先化简绝对值内的式子，再根据绝对值的性质分两种情况去掉绝对值符号，进而解方程． 【详解】， 根据绝对值的意义，得：或， 当时： 当时： 检验：因为绝对值的结果为非负数， 所以，解得 当时，不满足，是增根，应舍去； 当时，满足， 故原方程的解为． 8．（2025六年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】此题考查了解绝对值方程，根据绝对值的性质化简求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）， ， 解得或． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查解绝对值方程，熟记绝对值的代数意义：是解决问题的关键． 根据绝对值代数意义逐步去绝对值求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则或（负值，舍去）， ， 则或， 或（负值，舍去）， 或． 10．（25-26七年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中，且与互为倒数． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，涉及去括号、合并同类项、绝对值意义及倒数性质等知识，熟练掌握相关概念及合并同类项是解决问题的关键． 先去括号，再合并同类项即可化简，然后根据绝对值意义及倒数性质得到，，代入化简后的式子计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴或， ∵与互为倒数， ∴，， 当，时，原式． 11．（25-26七年级上·重庆·月考）已知，，． (1)若且，求的值； (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查绝对值定义、代数式求值，根据题中要求，分类讨论确定字母的值是解决问题的关键． （1）先由绝对值定义求出，再由且，得到，且，从而确定，代入代数式计算即可得到答案； （2）先由绝对值定义求出，再由且，分类讨论确定满足条件的，确定三种情况：；；，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ，， ，， 即或，， ， 与异号， ， ，且， 则， ； （2）解： ，，， ，，， 即或，，， ， ， ， ， 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，符合要求； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，符合要求； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，符合要求； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 综上所述，有三种情况能使，且： 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)10或 (2)10或 【分析】（1）根据绝对值的性质， 成立的条件是x和y同号，由此可求出的值． （2）表示x和y异号，由此可求出的值． 本题考查了绝对值的性质和有理数的加减法，根据绝对值的性质得出x、y的符号是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ，． 又， ∴ x与y同号． 若，，则． 若，，则． 的值为10或． （2）解：，， ，． 又， ∴ x与y异号． 若，，则． 若，，则． 的值为10或． 13．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示两个有理数4与2在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示两个有理数4与在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 解答问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是 ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是 ； (2)若，求m的值； (3)若，写出整数n的值； (4)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 【答案】(1)10，； (2)或 (3)整数n的值为或3 (4)或 【分析】本题考查绝对值，数轴，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据绝对值的定义进行计算即可； （3）根据n的取值范围分别根据绝对值的定义进行计算即可； （4）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是，数轴上表示x与2的两点之间的距离是， 故答案为：10，； （2）解：∵， ∴或， 解得或； （3）解：当时，即，解得， 当时，即，，无解， 当时，即，解得， 答：整数n的值为或3； （4）解：代数式的最小值是4， 则，即， 解得：或， 所以或． 地 城 考点10 解自定义背景下的一元一次方程 一、单选题 1．（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者， ∴． 对化简： ，即，， ∴，也就是． 对变形可得． 把代入上式，得． 故选：C 2．（24-25七年级下·福建泉州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键：先求出的解，根据新定义，得到的解，再利用换元法求出的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴方程的解为：， ∴关于y的方程即：的解为：， ∴； 故选A． 二、填空题 3．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】（）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值即可； （）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值，然后把的值代入方程，解方程即可求解； 本题考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， ∴方程为， 解得， 故答案为：． 三、解答题 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，理解题中定义是解答的关键． （1）先解两个方程，再根据定义判断即可； （2）先解方程得到，解方程得，根据两个方程为“互反方程得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：方程与为“互反方程．理由： 解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程与为“互反方程； （2）解：解方程，得， 解方程， 得， 则， 即， 解得， ∵两个方程为“互反方程”，， ∴是方程的解， ∵， ∴． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． (1)判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查新定义“m的后移方程”的定义、一元一次方程的解、代数式求值等知识点，理解“m的后移方程”是解题的关键． （1）先分别求解两个方程，再计算解的差，判断是否为正整数即可解答； （2）根据两个方程的解满足差值2，得到关于n的方程求解即可； （3）根据两个方程的解满足差值4，得到b与c的关系，然后再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：解方程可得：， 方程可得：， ∵，即两方程解的差值为正整数， ∴方程是的“m的后移方程”． 故答案为：是． （2）解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”， ∴，解得：． （3）解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”， ∴，整理得：， ∴． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：； （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或； （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解为， ∴． 7．（25-26七年级上·重庆·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“和谐方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先求解方程，然后利用“和谐方程”的定义得到方程的解，将解代入方程即可求得的值； （2）根据“和谐方程”的定义可表示出另一个方程的解，再根据“和谐方程”的两个解的差为，列出关于的方程解答即可． 【详解】（1）解：方程的解为， 关于的方程与方程是“和谐方程”， 方程的解是， 把代入方程得：， ； （2）解：“和谐方程”的两个解的和为，其中方程的一个解为， 另一个方程的解为， 又“和谐方程”的两个解的差为， ，即， 或， 或． 8．（25-26七年级上·山西运城·月考）阅读与思考 下面是小明同学研究解一元一次方程时的笔记片段，请完成相应任务． 【概念理解】 定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程2和互为“成双方程”． 【问题解决】 问题1：请判断方程与方程是否互为“成双方程”． 解：方程与方程不是“成双方程”． 理由：解方程，得__________① 解方程，得___________②． 因为_____①______+_____②_____≠2， 所以方程与方程不是“成双方程”． 问题2：若关于的方程与方程互为“成双方程”，则___________ 任务： (1)问题1中的①为___________，问题1中的②是___________． (2)问题2中的为___________． (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程 的解 【答案】(1)，1 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，定义新运算，掌握一元一次方程的解法和“成双方程”的定义是解决本题的关键． （1）先解两个方程，再根据互为“成双方程”的定义进行判断； （2）先解两个方程，用含的代数式表示出解，再根据互为“成双方程”的定义得关于的一次方程，求解即可； （3）先解方程，根据互为“成双方程”的定义求出的解，再将所求方程进行适当变形发现与的关系即可求解． 【详解】（1）解：解方程， 得， 解方程， 得， ， 所以方程与方程不是“成双方程”； 故答案为：，1； （2）解：， 得． 解方程， ， ， ， ． 两个方程互为“成双方程”， ， ， ， ． 故答案为： （3）解：， ， ； 关于的方程与互为“成双方程”， 的解为， 方程 可变形为即， ． ． 地 城 提升训练 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）根据等式的基本性质，下列各等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的基本性质的运用，根据等式的基本性质（等式两边同时加、减、乘或除以同一个不为零的数，等式仍成立），逐一判断各选项的变形是否正确。 【详解】解：A、∵，得，故原选项错误，不符合题意； B、∵，得，故原选项错误，不符合题意； C、∵，得，正确，符合题意； D、∵，当时，与不一定相等，结论不成立，故原选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，求代数式的值，将代入方程得到的值，再整体代入代数式计算即可．利用整体代入的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 即代数式的值是． 故选：C． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程有无数多个解，那么的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，方程的解的定义，正确理解方程的解的含义是解题的关键．方程有无数多个解的条件是未知数的系数为0且常数项为0，由此求出a和b的值，再代入所求代数式计算． 【详解】解：∵ 方程 有无数多个解， ∴ 且 ， 由 得 ， 代入 得 ，即 ， ∴ ， 则 ． 故选：D． 4．（25-26七年级上·北京·期中）一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了8小时．已知此人在水平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人所走的全程是（    ）千米． A．50 B．38 C． D．32 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，代数式求值． 根据题意，总时间由水平道路和山坡的时间组成，去程和回程时间之和为8小时，列出方程求解，再求全程即可． 【详解】∵总时间去程水平时间去程上山时间回程下山时间回程水平时间， ∴， 化简得：， 即， ∴， ∴全程千米． 故选D． 5．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）如果单项式与可以合并，则关于的方程的解为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项与一元一次方程的解法，熟练掌握同类项的概念是解题关键． 两个单项式可以合并的条件是它们为同类项，即相同字母的指数相等，由此求出a和b的值，再代入方程求解． 【详解】解：∵ 单项式 与 可以合并， ∴ 它们为同类项，相同字母的指数相等， 对于x：，即， 对于y：，即 ， 代入方程得， ， 解得，， 因此，方程的解为． 故选：D． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）已知关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的绝对值为（    ） A．－26 B．26 C．14 D．－14 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，相反数，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键．先解方程 得的值，根据解互为相反数，得第二个方程的解，代入求，再求的绝对值 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ∵ 两个方程的解互为相反数， ∴ 方程 的解为 将 代入： ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：B． 7．（25-26七年级上·山东济宁·月考）若是方程的解，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：将代入方程可得： ， 整理得：， 解得：． 故选：A． 8．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，将方程中的视为整体，与已知方程对比，利用整体代换求解． 【详解】解：在方程中， 设，则方程化为， 又∵方程的解为， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 9．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，方程正确的解为（   ） A． B．13 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据小明错误去分母得到的方程，将代入求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：∵小明去分母时，左边的1没有乘以10， ∴错误方程为：， 将代入错误方程， ， 解得， 那么原方程为：， 那么， 解得， ∴方程正确的解为， 故选：B． 10．（25-26七年级上·北京海淀·月考）互不重合的、、三点在同一直线上，已知，，，这三点的位置关系是（    ） A．点在、两点之间 B．点在、两点之间 C．点在、两点之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查线段的和差关系及一元一次方程的解法，分类讨论是解题关键． 通过讨论三点位置关系的三种情况，建立方程求解a，并验证线段长度是否为正． 【详解】∵三点共线且互不重合， ∴可能情况如下： 情况1：点A在B、C之间，则， 即， 解得， 此时，，，成立． 情况2：点B在A、C之间，则， 即， 解得， 此时，不成立； 情况3：点C在A、B之间，则， 即， 得，无解． ∴只有情况1成立，点A在B、C之间． 故选：A． 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是2或4．定义为数表中第a行第b列的数．例如，数表第行第列所对应的数是，所以．若，则的值为（    ） 第1列 第2列 第3列 第1行 2 2 2 第2行 4 4 4 第3行 2 4 2 A．0，2 B．1，2 C．，1 D．，2 【答案】C 【分析】本题考查新定义下的运算，一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据数表确定的值，再根据第2列的值分布，令等于该值，解方程求x． 【详解】解：∵表示第2行第3列的数，由数表可知为4． 又∵表示第行第2列的数， 第2列的数：第1行为2，第2行为4，第3行为4， ∴ 要使，则或． 当时，； 当时，． ∴ x的值为或1． 故选C． 12．（25-26七年级上·四川达州·期中）当的值为 25 时，代数式的值是（ ） A．51 B．15 C．51 或 D．15 或 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的意义．由得出，将变形为，利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴ 代数式的值为51或， 故选：C． 13．（25-26七年级上·河南许昌·期中）按下面的程序计算： 若输入，输出结果是101，若输入，输出结果是131，若开始输入的的值是一个自然数，最后输出的结果是106，则开始输入的的值是（   ） A．1 B．4 C．1或21 D．4或21 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，利用倒推法求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵最后输出的结果是106， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，最后输出的结果也是106， 解得：， ∵， ∴当时，最后输出的结果也是106， 解得：（不合题意，舍去）， 综上，的值是或， 故选：D． 14．（25-26七年级上·广东清远·月考）已知关于x的方程 是一元一次方程，m的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握 “一元一次方程需满足‘未知数次数为1且系数不为0’” 是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1，且系数不能为零进行解题即可． 【详解】∵方程是一元一次方程， ∴，且， 由，得，即， 又∵，∴， ∴． 因此，的值为． 故选：B． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键． 根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案． 【详解】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥， 则个正方体个三棱锥个球， 由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体， 则1个正方体个三棱锥个球， 那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球， 故1个三棱锥个球， 那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球， 由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球， 则天平右边应放个球， 故选：D． 16．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，．若x是大于3且小于4的有理数，且，则x的值为（    ） A．3.75 B．3.25 C．3.5 D．3.2 【答案】B 【分析】本题考查新定义计算，一元一次方程，理解新定义，能将所求问题转化为一元一次方程是解题的关键．由题意可知，x 在3和4之间，因此整数部分，将代入给定方程，并利用的关系，将方程转化为关于 x 的一元一次方程求解． 【详解】解：∵ x是大于3且小于4的有理数， ∴， 又 ∵， ∴， 即， 由，得， 代入方程：， 解得． 故x的值为3.25， 故选：B． 17．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）某数学兴趣小组成员在讨论两个实数m，n满足关系时，有以下两种观点：①若m与n的和为正数，则m，n都为正数；②若m与n的差为0，则m，n都为0．则下列判断正确的是（   ）． A．①错②对 B．①对②错 C．①②都对 D．①②都错 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义以及绝对值方程，举反例：，，即可判断①；由结合可得 ，即可判断②． 【详解】解：对于观点①：当，时，符合，，但不符合m，n都为正数，故①错误． 对于观点②：若，即， 又， 则， ∴，故②正确． 故选：A． 二、填空题 18．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，通过解绝对值方程，得到，然后代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由 当时， 解得 但，与矛盾，故无解 当时， 解得 ，满足条件 所以 所以 所以 故答案为：． 19．（25-26七年级上·辽宁营口·月考）一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现以为例进行讨论：设，由得，于是，解得．于是得，则无限循环小数化成分数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 对于无限循环小数，循环节为507，设其为，乘以1000后相减消去循环部分，解方程可得分数． 【详解】解：设， 则， 于是， 即， 解得． 故答案为：． 20．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键． 通过将关于y的方程进行变形，使其与关于x的方程形式一致，然后利用已知解进行求解即可． 【详解】解：∵，即， 又∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 故答案为：． 21．（25-26七年级上·江西南昌·期中）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据正方形的面积公式、等边三角形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得，所有正方形的面积为、所有等边三角形的面积为， 因此，列方程为：， 故答案为：． 22．（25-26七年级上·河北张家口·月考）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，方程的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 解方程得到的表达式，由解为正整数确定的可能值；再根据多项式为二次三项式的条件筛选的值，最后求满足条件的整数的和． 【详解】解：， 两边乘以得：， 即， ∴， ∵解是正整数， ∴，且为整数， ∴为负整数，且整除4， ∵4的正因数为， ∴可能为， ∵多项式是二次三项式， ∴二次项系数，且一次项系数， 解得：，， 结合方程解的条件，的可能值中排除（因二次项系数为零），排除（但，均不为）， ∴满足条件的为和， ∴其和为， 故答案为：． 三、解答题 23．（24-25七年级上·浙江金华·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤，是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得： （2）解： ， ， ， ， 解得：． 24．（25-26七年级上·江苏南通·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解：， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， （2）． 去分母（两边同时乘以12），得 ， 去括号，得 ， 合并同类项，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 25．（25-26七年级上·广东茂名·月考）计算： (1)； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据去分母解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：原式， ， ， ． （2）解： 去分母（两边同乘6），得， ， ， ． 26．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，最后未知数系数化为1即可 （2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，最后未知数系数化为1． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ． 27．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 28．（25-26七年级上·广东·月考）定义一种新的运算法则：，如． (1)根据这个运算法则，计算的值； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）根据新定义，列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）， 解得． 29．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“和解方程”，例如：的解为，则方程就是“和解方程”，据上述规定解答下列问题： (1)判断：方程________和解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查一元一次方程的计算，理解“和解方程”，掌握解方程的方法是关键． （1）根据“和解方程”的概念计算即可； （2）根据“和解方程”的概念得到，由解一元一次方程的方法得到，由此即可求解； （3）根据题意得到，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴方程是和解方程， 故答案为：是； （2）解：关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， ∵， ∴， 解得，； （3）解：关于x的一元一次方程和都是“和解方程”， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 30．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程． (1)x与3的差是5． (2)代数式与的值相等． (3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为． (4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数． 【答案】(1)，是一元一次方程 (2)，不是一元一次方程 (3)，不是一元一次方程 (4)，不是一元一次方程 【分析】本题考查了列方程，一元一次方程的定义． （1）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （2）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （3）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （4）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，x与3的差是5，可得．该式只含一个未知数x，且未知数的次数为1，是一元一次方程； （2）解：根据题意，代数式与的值相等，可得．该式含有两个未知数x和y，不是一元一次方程； （3）解：根据题意，两个正方形的面积差为，可得．该式含有两个未知数x和y，且次数为2，不是一元一次方程； （4）解：根据题意，胜的场数大于负的场数，可得．该式不是等式，不是方程，因此不是一元一次方程． 32．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）方程与方程的解相同，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，同解方程即为两个方程解相同的方程． 求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出k的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 33．（25-26七年级上·福建泉州·月考）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定解决下列问题： (1)求； (2)若，求x； (3)当满足等式的x是正整数时，求整数k的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查有理数的新定义运算、解一元一次方程，有理数的混合运算，理解题干中的新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义的运算直接计算即可； （2）根据新定义的运算得出方程，求解即可； （3）根据新定义的运算计算得到，然后根据x是正整数和k是整数，得到或1，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：根据题意得：， 去括号，合并，得：， 解得：； （3）解：∵等式的x是正整数， ， ， ∵x是正整数， 或5， 或1， 或． 34．（23-24七年级下·吉林长春·月考）已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解； （1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可； （2）根据方程有无数解确定出条件即可； （3）根据方程无解确定出条件即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴当时，即，方程有唯一解 （2）∵方程有无数个解， ∴，即 （3）∵方程无解， ∴， ∴ 35．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）利用已知条件求得关于a，b，c的值，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）∵a，b互为相反数， 互为倒数，， 故答案为：； 已知，当，的值是2023， 当时， 故答案为：－2007； ； 关于x的一元一次方程的解， ， ． 36．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；     ①（      ） ②（      ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)； (2)或 (3)当时，；当且时，无解；当且时， 【分析】本题考查了新概念的理解，一元一次方程，正确理解题中的新概念，利用分类讨论的思想解题是关键． （1）根据“幸福方程”的概念，逐一判断即可； （2）根据“幸福方程”的概念，分类列方程，逐一解出即可； （3）根据“幸福方程”的概念，列出式子，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”； ②解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”， 故答案为：；； （2）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， 解得或； （3）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， ①当时， 可化简为， 则， ②当， 可化简为， 变形可得， 当时，等式左边等于0，等式右边等于，故该方程无解； 当时，； 综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，． 37．（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将代入，求出m的值，然后代入求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求出，再根据已知得的值可能为，，1，2，进而即可得出m的值． 【详解】（1）解：根据题意，将代入， 得， 解得， 将代入， 得， 解得； （2） 去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1： ， 该方程的解为整数，且m为整数， 的值可能为，，1，2， m的值可能为：0，1，3，4． 38．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2)5或1 (3)或 (4)1秒或2秒或3秒或秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离的求解方法． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）由得到或，再解方程即可； （3）分类讨论去绝对值，再解一元一次方程即可； （4）点表示的数为，设运动时间为,当时，点表示的数为，点表示的数为，则由题意得，；当时，点表示的数为，点表示的数为，由题意得，，再分别解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为， 故答案为：， 故答案为：； （2）解： 则或 解得或， 故答案为：5或1； （3）解： 时，，解得； 时，，不符合题意，舍； 时，，解得， ∴当或时，， 故答案为：或； （4）解：∵点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧， ∴点表示的数为， 秒， 设运动时间为 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则由题意得，， 即或 解得或； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 即或 解得或， 综上：运动1秒或2秒或3秒或秒后，点P与点Q相距1个单位长度． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 考点01 方程的判断 ……………………………………………………………………………………… 1 考点02 一元一次方程的判断 …………………………………………………………………………… 2 考点03 判断是否为方程的解 …………………………………………………………………………… 2 考点04 等式的性质 ……………………………………………………………………………………… 3 考点05 列方程 …………………………………………………………………………………………… 5 考点06 已知方程的解求参 ……………………………………………………………………………… 7 考点07 解一元一次方程 ………………………………………………………………………………… 8 考点08 根据一元一次方程的解求参 …………………………………………………………………… 11 考点09 绝对值方程 ……………………………………………………………………………………… 15 考点10 解自定义背景下的一元一次方程 ……………………………………………………………… 17 提升训练 …………………………………………………………………………………………………… 21 地 城 考点01 方程的判断 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）下面式子中，是方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 地 城 考点02 一元一次方程的判断 一、单选题 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）下列各式中，一元一次方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列式子，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25六年级上·上海·月考）一元一次方程的一次项是 ． 地 城 考点03 判断是否为方程的解 一、单选题 1．（25-26六年级上·上海普陀·月考）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）当（　　）时，． A．9 B．7 C．8 D．6 二、填空题 3．（24-25七年级上·山西太原·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 地 城 考点04 等式的性质 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东茂名·月考）下列等式的性质的运用中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·广东清远·月考）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山西运城·月考）等式的性质在生活中广泛应用．如图，分别表示两支铅笔的长度，表示铅笔盒的高度，左边铅笔比右边铅笔长，则图中两支铅笔的情况体现的数量关系可表示为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）如果，那么下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）如果，那么 ． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质解一元一次方程． 方程两边同时减去 ，得 ． 方程两边同时 ，得 ． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）请在下列各题的横线上填上适当的式子． （1）如果，那么 ．（2）如果，那么 ． （3）如果，那么 ． （4）如果，那么 ． 9．（24-25六年级下·江苏南京·期末）学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 三、解答题 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果能使等式成立，那么a的值是多少？ 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，请利用等式的基本性质写出三个关于x和y的等式，并说明依据． 地 城 考点05 列方程 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）根据下列条件能列出等式的是（    ） A．y与5的差的一半 B．a与2的和 C．一个数的相反数是 D．x的与y的3倍的和 3．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程 ． 6．（24-25七年级下·四川资阳·月考）根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程 ． 7．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，两边都放着物体的天平处于平衡状态，用等式表示天平两边所放物体质量的关系为 ． 三、解答题 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 地 城 考点06 已知方程的解求参 一、单选题 1．（25-26七年级上·广西南宁·月考）关于的方程的解是，则的值是（   ） A． B． C．1 D．7 2．（25-26七年级上·河北张家口·月考）方程，处被盖住了一个数字，已知方程的解为，那么处的数字是（   ） A．7 B．5 C． D． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 4．（25-26七年级上·河北张家口·月考）若关于的方程是一元一次方程，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．0 二、填空题 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若是方程的解，则值为 ． 6．（25-26七年级上·广东茂名·月考）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 7．（25-26七年级上·重庆·期中）若方程是关于的一元一次方程，则 ． 三、解答题 8．（25-26七年级上·广西崇左·月考）若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足什么条件？ 9．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）当为何值时，关于的一元一次方程的解是一元一次方程的解的2倍？ 地 城 考点07 解一元一次方程 一、解答题 1．（25-26七年级上·广东汕头·月考）解方程： 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·广东·月考）解方程：． 4．（25-26七年级上·重庆·月考）解方程 (1) (2) 5．（25-26七年级上·广东清远·月考）解方程： (1) (2) 6．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）解方程：． 7．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）解方程： (1) (2) 8．（25-26七年级上·陕西商洛·月考）解方程 (1)； (2)． 9．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）计算： (1) (2) 10．（25-26六年级上·上海·月考）解方程：． 11．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·江苏南京·月考）解方程： (1)； (2)． 13．（25-26七年级上·河南周口·月考）解方程： (1)； (2)． 14．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）解方程：． 15．（25-26七年级上·辽宁营口·月考）（1）计算 （2）解方程： 16．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 17．（25-26七年级上·江苏常州·月考）解方程 (1) (2) (3) (4) 18．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）解方程： (1)； (2)． 19．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）解方程： (1)； (2)． 20．（25-26七年级上·山东日照·月考）解方程： (1)； (2)． 地 城 考点08 根据一元一次方程的解求参 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）若是关于的一元一次方程，则的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．1 C． D． 3．（25-26七年级上·广东茂名·月考）若关于x的方程和的解相同，则m的值为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 5．（24-25七年级上·河北邢台·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·广东广州·月考）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，m的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 7．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若方程无解，则与需要同时满足以下哪个条件（    ） A．且 B．且 C． D．且 10．（25-26七年级上·山东日照·月考）已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．14 B．45 C． D． 二、解答题 11．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为． (1)求的值； (2)写出正确的求解过程． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）当m为何值时，关于x的方程的解与关于x的方程的解相同？ 13．（25-26七年级上·全国·周测）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 14．（24-25六年级下·山东淄博·月考）已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 15．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）若是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若表示不大于的最大整数，求的值． 16．（25-26七年级上·河南安阳·期中）按要求完成下列各题： (1)关于的方程的解与方程的解互为倒数，求的值． (2)小马虎在解关于的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求的值和原方程的解． 17．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解3倍，求k的值． 18．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，求的值． ① ② 地 城 考点09 绝对值方程 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东汕尾·月考）若的绝对值与3的绝对值相等，则等于（   ） A．2 B． C．或 D．2或 2．（25-26七年级上·安徽黄山·期中）若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 3．（25-26七年级上·浙江·月考）若，则数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或 D．或4 二、填空题 4．（25-26七年级上·四川成都·月考），那么 ． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）定义新运算，如；那么 ，若，则x可以取的值有 ． 6．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）已知，，且则式子的值为 ． 三、解答题 7．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程． 8．（2025六年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：． 10．（25-26七年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中，且与互为倒数． 11．（25-26七年级上·重庆·月考）已知，，． (1)若且，求的值； (2)若且，求的值． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 13．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示两个有理数4与2在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示两个有理数4与在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 解答问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是 ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是 ； (2)若，求m的值； (3)若，写出整数n的值； (4)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 地 城 考点10 解自定义背景下的一元一次方程 一、单选题 1．（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2．（24-25七年级下·福建泉州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 三、解答题 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． (1)判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 7．（25-26七年级上·重庆·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 8．（25-26七年级上·山西运城·月考）阅读与思考 下面是小明同学研究解一元一次方程时的笔记片段，请完成相应任务． 【概念理解】 定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程2和互为“成双方程”． 【问题解决】 问题1：请判断方程与方程是否互为“成双方程”． 解：方程与方程不是“成双方程”． 理由：解方程，得__________① 解方程，得___________②． 因为_____①______+_____②_____≠2， 所以方程与方程不是“成双方程”． 问题2：若关于的方程与方程互为“成双方程”，则___________ 任务： (1)问题1中的①为___________，问题1中的②是___________． (2)问题2中的为___________． (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程 的解 地 城 提升训练 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）根据等式的基本性质，下列各等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程有无数多个解，那么的值为（   ） A． B． C．2 D． 4．（25-26七年级上·北京·期中）一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了8小时．已知此人在水平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人所走的全程是（    ）千米． A．50 B．38 C． D．32 5．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）如果单项式与可以合并，则关于的方程的解为（　　）． A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）已知关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的绝对值为（    ） A．－26 B．26 C．14 D．－14 7．（25-26七年级上·山东济宁·月考）若是方程的解，则（    ） A． B．1 C． D．0 8．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，方程正确的解为（   ） A． B．13 C．4 D．5 10．（25-26七年级上·北京海淀·月考）互不重合的、、三点在同一直线上，已知，，，这三点的位置关系是（    ） A．点在、两点之间 B．点在、两点之间 C．点在、两点之间 D．无法确定 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是2或4．定义为数表中第a行第b列的数．例如，数表第行第列所对应的数是，所以．若，则的值为（    ） 第1列 第2列 第3列 第1行 2 2 2 第2行 4 4 4 第3行 2 4 2 A．0，2 B．1，2 C．，1 D．，2 12．（25-26七年级上·四川达州·期中）当的值为 25 时，代数式的值是（ ） A．51 B．15 C．51 或 D．15 或 13．（25-26七年级上·河南许昌·期中）按下面的程序计算： 若输入，输出结果是101，若输入，输出结果是131，若开始输入的的值是一个自然数，最后输出的结果是106，则开始输入的的值是（   ） A．1 B．4 C．1或21 D．4或21 14．（25-26七年级上·广东清远·月考）已知关于x的方程 是一元一次方程，m的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 16．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，．若x是大于3且小于4的有理数，且，则x的值为（    ） A．3.75 B．3.25 C．3.5 D．3.2 17．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）某数学兴趣小组成员在讨论两个实数m，n满足关系时，有以下两种观点：①若m与n的和为正数，则m，n都为正数；②若m与n的差为0，则m，n都为0．则下列判断正确的是（   ）． A．①错②对 B．①对②错 C．①②都对 D．①②都错 二、填空题 18．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知，则 ． 19．（25-26七年级上·辽宁营口·月考）一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现以为例进行讨论：设，由得，于是，解得．于是得，则无限循环小数化成分数为 ． 20．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 21．（25-26七年级上·江西南昌·期中）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为 ． 22．（25-26七年级上·河北张家口·月考）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 三、解答题 23．（24-25七年级上·浙江金华·月考）解方程： (1)； (2)． 24．（25-26七年级上·江苏南通·月考）解方程： (1)； (2)． 25．（25-26七年级上·广东茂名·月考）计算： (1)； (2)解方程：． 26．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）解方程： (1)； (2)． 27．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）解方程： (1)； (2)． 28．（25-26七年级上·广东·月考）定义一种新的运算法则：，如． (1)根据这个运算法则，计算的值； (2)求关于x的方程的解． 29．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“和解方程”，例如：的解为，则方程就是“和解方程”，据上述规定解答下列问题： (1)判断：方程________和解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 30．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程． (1)x与3的差是5． (2)代数式与的值相等． (3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为． (4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数． 32．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）方程与方程的解相同，求k的值． 33．（25-26七年级上·福建泉州·月考）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定解决下列问题： (1)求； (2)若，求x； (3)当满足等式的x是正整数时，求整数k的值． 34．（23-24七年级下·吉林长春·月考）已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 35．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 36．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；     ①（      ） ②（      ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 37．（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 38．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $