第四章 基本平面图形期末复习专项训练（24大考点）2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第四章 基本平面图形 考点01 直线、射线、线段的联系与区别 …… 1 考点14 三角板中的角度计算 ………… 70 考点02 直线相交的交点个数 ………………… 5 考点15 几何图形中的角度计算 ……… 75 考点03 点和直线的位置关系 ………………… 8 考点16 实际背景下的角度计算 ……… 80 考点04 线段的和与差 ………………………… 10 考点17 角平分线与角n等分线的有关计算 … 82 考点05 线段的中点与n等分点的有关计算 … 13 考点18 尺规作图——作一个角等于已知角 … 93 考点06 与线段有关的动点问题 ……………… 27 考点19 多边形的概念与分类 ………… 97 考点07 两点之间线段最短 …………………… 37 考点20 多边形对角线的条数 ………… 100 考点08 尺规作图——作线段 ………………… 40 考点21 对角线分成三角形的个数问题 ……… 104 考点09 角的概念与表示方法 ………………… 47 考点22 圆的基本概念 ………………… 106 考点10 角的分类 ……………………………… 51 考点23 圆的周长与面积 ……………… 111 考点11 钟面角与方向角 ……………………… 52 考点24 圆心角的基本概念与简单运算 ……… 118 考点12 角与角的度数的大小比较 …………… 58 提升训练 ………………………………… 120 考点13 角度的四则运算 ……………………… 62 地 城 考点01 直线、射线、线段的联系与区别 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点三点在同一水平线上，下列说法不正确的是（   ） A．线段和线段是同一条线段 B．直线和直线是同一条直线 C．射线和射线是同一条射线 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确解答的关键． 根据直线、射线、线段的定义进行解答即可． 【详解】解：．线段和线段是同一条线段，因此选项不符合题意； ．直线和直线是同一条直线，因此选项不符合题意； ．射线和射线不是同一条射线，因此选项符合题意； ．射线和射线是同一条射线，因此选项不符合题意． 故选：． 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（  ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．若，则点B是的中点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段的基本性质，包括射线的定义、两点之间距离的性质、直线公理和线段中点的条件． 【详解】解：射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸， 端点不同，方向相反，不是同一条射线．故A错误． 两点之间，所有连线中线段最短，直线是无限延伸的，不可比较长短，故B错误． 经过两点有且只有一条直线，这是直线公理，故 C正确． 当A、B、C三点不共线时，但B不是的中点，故 D错误． 故选：C． 3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，若射线上有一点C，下列与射线是同一条射线的是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【答案】B 【分析】本题考查了射线的定义，解题的关键是明确同一条射线需满足端点相同且延伸方向一致． 根据射线的端点和延伸方向，判断各选项射线与射线的端点、方向是否一致． 【详解】解：A、射线的端点是B，延伸方向与射线相反，此选项不符合题意； B、射线的端点是A，延伸方向与射线一致，此选项符合题意； C、射线的端点是B，与射线的端点不同，此选项不符合题意； D、射线的端点是C，延伸方向与射线相反，此选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列语句准确规范的是（   ） A．直线，相交于一点 B．延长直线 C．延长射线 D．延长线段到点，使 【答案】D 【分析】本题主要考查几何语言的规范性，准确掌握规范的几何语言是学好几何的保障． 根据几何语言的规范对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、交点应该用大写字母，故本选项错误，不符合题意； B、直线是向两方无限延伸的，不能延长，故本选项错误，不符合题意； C、射线向一个方向无限延伸，故延长射线，说法错误，不符合题意； D、延长线段到点，使，说法正确，符合题意． 故选：D． 5．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选：A． 7．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点A、B、C是直线上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（   ）    A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 【答案】C 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题，理解题意，结合图中信息，以及线段和射线定义进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，观察图中， 则有线段，线段，线段，射线，射线，射线，射线，射线，射线， ∴图中共有线段、射线条数分别是3，6 故选：C 8．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键．根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， 故选：A． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段；④过两点只能画两条射线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线和线段的性质，过两点有且只有一条直线，比较简单。由题意根据直线、射线和线段的概念利用排除法即可求解． 【详解】解：①经过两点，有且只有一条直线，故①说法正确，符合题意； ②经过两点，能画两条射线，故②说法不正确，不符合题意； ③过两点只能画一条线段，故③说法正确，符合题意； ④经过两点只能画两条射线，故④说法正确，符合题意； 其中正确的有①③④，有个， 故选： C． 地 城 考点02 直线相交的交点个数 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线、线段及射线的知识，根据直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸即可得出答案． 【详解】解：A、射线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； B、射线和延伸后不能相交，故本选项不符合题意； C、射线和直线延伸后能相交，故本选项符合题意； D、直线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】C 【分析】此题考查了直线的交点问题，找到规律是解题关键． 根据题干总结规律即可解题． 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴10条直线两两相交最多能有． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·期中）平面内五条直线两两相交，最多有x个交点，最少有y个交点，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查直线的交点问题，掌握直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，最少有1个交点，是解题的关键．由题意可得5条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出x，y的值，从而得出答案． 【详解】解：在同一平面内，条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， 则， ∴， 故选：C． 二、填空题 4．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查相交线与平行线，当直线与其中一条平行时可得交点最少．掌握相交线与平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 当直线平行于直线时，直线和原来三条直线有个交点（如上左图）； 当直线与已知的三条直线都不平行时，直线和原来三条直线有个交点（如上右图）； 综上所述，直线和原来三条直线最少有个交点． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 【答案】 【分析】本题主要考查了相交线，掌握此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有个交点，而，故可猜想，n条直线相交，最多有个交点．据此即可求解答案． 【详解】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点， 而， ∴可猜想，n条直线相交，最多有个交点， ∴八条直线两两相交最多有（个）交点， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成 区域． 【答案】7 【分析】本题考查了直线相交对平面区域划分的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据三条直线在平面内的位置关系进行作答，即可求解； 【详解】解：三条平行直线可以把平面分成4部分， 三条直线中，有两条平行时可以把平面分成6部分， 三条相交直线可以把平面分成7部分； 故答案为：7； 地 城 考点03 点和直线的位置关系 一、单选题 1．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 【答案】A 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是根据图形，能用几何语言描述它们的关系．根据直线、射线、线段的定义与图形逐项判断即可． 【详解】解：①如图1，直线、相交于点，与图相符，故选项A符合题意； ②如图2，直线与线段有公共点，故选项B不符合题意； ③如图3，只能反向延长射线，故选项C不符合题意； ④如图4，点不在直线上，故选项D不符合题意． 故选：A． 二、填空题 3．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解：①点A在直线外，正确； ②直线m和n相交于点C，正确； ③点B既在直线l上又在直线n上，原描述错误． 综上所述，其中正确的是①②． 故答案为：①②． 地 城 考点04 线段的和与差 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知线段，点C在直线上，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．点 C 在直线 上，需分两种情况讨论：当 C 在线段上时， ；当 C 在线段 的延长线上时，． 【详解】解：因为点C在直线上，有两种情况： ① 当点C在线段上时， ② 当点C在线段的延长线上时， ∴的长为或． 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，在直线上取一点，使，则点应在（   ） A．点、之间 B．点的左边 C．点的左边 D．点、之间或点的右边 【答案】D 【分析】此题考查两点间的距离，解题关键在于分情况讨论． 根据题意分两种情况，即点在线段上和射线上，分别讨论求解即可． 【详解】∵直线上取一点，使， ∴点应在点、之间或点的右边． 故选：D． 3．（25-26七年级上·北京通州·期中）下列选项中，能用表示的是（    ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键． 根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可． 【详解】 解：A． 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； B． 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； C． 这个长方形的周长：，表示为，符合题意； D． 这个图形的面积：，表示为，不符合题意； 故选C． 二、填空题 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 已知线段a，b，c，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图： 第一步，在直线上作线段； 第二步，在线段的延长线上作线段； 第三步，在线段的延长线上作线段； 第四步，在线段上作线段． 根据以上尺规作图可知，线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查尺规作图的定义，熟练掌握线段之间的和差是解题的关键．利用线段和差定义判断即可． 【详解】解：由图可知：， ， ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）若点A，B，C在同一条直线上，线段，则线段的长为 ． 【答案】5或9 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键在于能够讨论C的位置进行求解．点A、B、C在同一条直线上，点C的位置可能在线段上或的延长线上，因此需要分两种情况讨论线段的长度． 【详解】解：当点C在线段上时， ； 当点C在的延长线上时， ， 故答案为：5或9． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）定义新概念：如图1，点P在线段上，图中共有3条线段和，若有一条线段的长度是另一条线段长度的3倍，则称点P是线段的“巧点”，如图2，若，点P是的的“巧点”，则 cm． 【答案】或或或 【分析】本题考查了线段的概念，把握“巧分点”的定义，分类讨论是解题的关键；根据“巧分点”的定义分类讨论即可得到答案. 【详解】解：∵点P在线段上，根据题意   当时；则；   当时；则 ； 当时；则，所以，即；     当时；则，所以； 故答案为：或或或. 地 城 考点05 线段的中点与n等分点的有关计算 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，掌握知识点是解题的关键． 先由线段之间的关系得到，再由线段中点的定义可得，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴． 故选B． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的计算，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．根据线段中点的性质得出，根据点在上，且，得到，由即可求解． 【详解】解：∵线段，是中点， ∴， ∵点在上，且， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）直线上有三个点A、B、C，C在线段的延长线上，且分别是的中点，则长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点间的距离，由于点C在线段的延长线上，点A、B、C的位置顺序固定，即A、B、C依次排列．先计算的长度，再根据中点定义求出和，最后通过线段和差关系计算即可． 【详解】解：∵C在的延长线上，，， ∴， ∵P是的中点， ∴； ∵Q是的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据线段中点的定义可以得出点是线段的中点，点是线段的中点，即可判断A选项和B选项说法错误；根据线段等分点的定义，可以得出点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，即可判断C选项说法错误，D选项说法正确． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故A选项说法错误； 即， ∴， ∴，， 即点是线段的三等分点，故D选项说法正确； 点是线段的四等分点，故C选项说法错误． 故选：D． 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，以及线段中点的特点，根据D，E分别是线段的中点，推出，再结合求解，即可解题． 【详解】解：因为D，E分别是线段的中点， 所以， 所以 ， 又因为， 所以 ， 故选：C． 6．（24-25七年级上·陕西安康·月考）如图，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握相关知识是解决问题的关键．首先根据，是线段上任意两点，可得，，所以；然后根据，，求出的值，即可求出的值；最后用的值加上的长度，求出线段的长是多少即可． 【详解】解：，是线段上任意两点，是的中点，是的中点， ，， ； ，， ， ， ． 故选：A． 7．（25-26七年级上·河北衡水·期中）题目：“如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．若已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，，求线段的长．”甲答，乙答，丙答，下列判断正确的是（    ） A．只有甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才正确 C．甲、丙的答案合在一起才正确 D．三人的答案合在一起才正确 【答案】C 【分析】本题主要考查与线段中点有关的计算，线段的和差,熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 先根据中点定义即可求解线段的长；再分两种情况：当“折中点”在上时；当“折中点”在上时，根据“折中点”的定义,结合线段的和差即可求解． 【详解】解：∵点为线段的中点，， ∴， ∴， ①如图，当“折中点”在上时， ∵点是折线的“折中点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当“折中点”在上时， ∵点是折线的“折中点”， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述， 的长为6或14， 即甲、丙的答案合在一起才正确， 故选：C 二、填空题 8．（25-26七年级上·广东佛山·期中）已知点C为线段的中点，点D为线段上一点，若， ，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段中点的定义和线段的和差计算，由题意可得；由 ，可求出；分点在点的右边，若点在点的左边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵ ， ∴； 若点在点的右边，如图所示： ∴； 若点在点的左边，如图所示： ∴； 故答案为：或． 9．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知线段，点是的中点，点是的中点，则 cm 【答案】 【分析】本题考查线段中点的性质，解题的关键在于根据线段中点的定义求出各线段的长度，进而求出的长度． 根据中点定义，先求出和的长度，再求出的长度，最后求的长度． 【详解】解：因为是的中点，， 所以． 因为是的中点， 所以． 因此． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．解题的关键是正确地画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 根据点A、B、C的相对位置，分两种情况讨论：点B在线段上或点A在线段上． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ①当点B在线段上时， ， 点D在线段上， ∴； ②当点A在线段上时， ， 点D在线段上，且， ∵， ∴点A在线段上， ∴， 故答案为：或． 11．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键．根据点M、N为线段的三等分点，可得，再由点P为线段的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点M、N为线段的三等分点， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 12．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 13．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 14．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差． （1）先根据线段的中点定义得到，再由线段的和差得到即可； （2）根据线段的中点得到，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴ ∵， ∴ （2）解：∵N是的中点，， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为多少？（要求画出图形） 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点定义，当点在线段的延长线上，先求出，再根据中点的定义求出，然后根据得出答案；当点在线段上时，先求出，再根据中点定义求得，最后根据得出答案． 【详解】解：， ， 当点在线段的延长线上， 则， 点为线段的中点， ， ； 当点在线段上时， ， ， ， 点为线段的中点， ， ． 综上，线段的长为或． 16．（25-26七年级上·河北唐山·期中）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的___________，___________ 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有两点，是的中点，．求线段的长． 【答案】（1）中点，；（2） 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的定义，是解题的关键： （1）根据中点的定义，作答即可； （2）中点求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】（1）点把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的中点，； （2）， ， ∵D是的中点， ， ∴． 17．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 【答案】(1)，线段中点定义， (2)画图见解析，或 【分析】此题考查线段的中点定义，线段的和差计算， （1）根据线段中点定义及线段和差关系解答； （2）根据点在直线上，分类讨论：当点在线段上时，当点在点右边时，由此即可求解． 【详解】（1）解：，， ． ， ． 是线段的中点， ．（线段中点定义） ． （2）解：当点在线段上时，如图， 由（1）可得，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； 当点在点右边时，如图， ∵， ∴，， ∵C是线段的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ∴或． 18．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，已知，两点把线段从左至右依次分成三部分，是的中点，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离，先由B、C两点把线段分成的三部分，根据比例求出的长，再根据M是的中点，得出，求出的长，最后由求出线段的长． 【详解】解：∵B、C两点把线段分成的三部分，， ∴，，， ∵M是的中点， ∴， ∴，即， ∴，，，， ∴． 19．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知点C在线段上，且，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；    （2）若点C是线段上任意一点，且，点M、N分别是、的中点，请直接写出线段的长度 （用a、b的代数式表示）； （3）在（2）中，把“点M、N分别是、的中点”改为：点M、N分别是的中点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，请直接写出的长度． 【答案】（1）7cm；（2）cm；（3）会变化，． 【分析】本题考查线段中点有关的计算，线段的和差． （1）由中点的定义得到，再利用，即可得出结果； （2）同法（1）进行求解即可； （3）同法（1）进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，点M、N分别是、的中点， ∴， ∴； （2），点M、N分别是、的中点， ∴， ∴； 故答案为：； （3）会； ∵，点M、N分别是、的中点， ∴，， ∴． 地 城 考点06 与线段有关的动点问题 一、单选题 1．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 二、填空题 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【答案】5 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候，光点P就会发出红光， ∵图中共有线段，它们共有6个中点，其中线段和的中点重合， ∴最多亮5次红灯． 故答案为：5． 3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 三、解答题 4．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离,线段的和差，设，则，设运动的时间为，则，，可得，，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 5．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 6．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 7．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段，的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段，的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 【答案】(1)， (2)①②线段的长度不变， 【分析】本题考查线段的和差运算，掌握线段的和差运算是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间可求出，根据线段的和与差求出，再由中点的意义可求出； （2）①由中点意义可求出，由线段的和与差求出，由中点意义可求出；②不会发生变化，根据代入相关数据计算可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 点是线段的中点， ； （2）①由题意得， ， 点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ； ②线段的长度不变，； 由①得，； ， 线段的长度不变，． 9．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)是定值，值为2 【分析】本题考查了数轴上动点问题、多项式的定义，根据二次多项式的次数及系数，掌握数轴上两点间的距离的表示方法，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）根据代数式是关于的二次多项式，得出，代数式，二次项的系数为．得出，由．可列方程求解即可； （2）设点P的出发时间为t秒，则，，，，，当时，根据线段的和差得到，，即可求出比值；当时，此时点Q与点A重合，，点F对应的数值为，点E对应的值为，进而得出，，即可求出比值． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为b， ，， ， ， ， ， ， ，，． （2）设点P的出发时间为t秒， 由题意得：，，，，， 当时，如图1， ， ， ∴； 当时，此时点Q与点A重合，如图2， 此时，点F对应的数值为，点P在点O的右侧， ， 点E对应的值为， ， ， ， ； 综上，的值是定值，值是2． 地 城 考点07 两点之间线段最短 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查直线和线段，第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 【详解】第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 故选：A． 2．（2025·四川达州·模拟预测）如图所示，某同学的家在处，书店在处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点之间线段最短的实际运用，读懂题意是解决问题的关键．结合题中图形，根据两点之间线段最短选择路径即可得到答案． 【详解】解：根据两点之间的线段最短，可得两点之间的最短距离是线段的长度， 想尽快赶到书店，一条最近的路线是， 故选：B． 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图，在三角形中，，其理由是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段比射线短 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间线段最短即可得到结论． 【详解】解：在三角形中，，其理由是两点之间线段最短， 故选：B． 三、解答题 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，请在四边形内找一点（画出图形，标出的位置）使它与四边形四个顶点的距离之和：最小，并说出你的理由．举例说明它在实际生活中的应用． 【答案】当点是四边形对角线的交点时，数学结论：四边形对角线交点到四个顶点的距离之和最小，见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 根据“两点的所有连线中，线段最短”的性质分析即可． 【详解】连接四边形的对角线，，其交点即为所求的点． 理由：在四边形内任取一点，根据三角形两边之和大于第三边，有（当且仅当在AC上时取等号），（当且仅当在BD上时取等号）． 因此，当为与的交点时，，此时距离之和最小． 数学结论：四边形对角线交点到四个顶点的距离之和最小． 应用举例：分别为四个村庄，在村庄附近修建一个车站，要求所选地点到每个村庄的距离和最小，则修建地点应该选在四边形对角线的交点位置． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，A、B两个村庄在一条河l（河宽忽略不计）的两侧．现要在河上建一座码头C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小． (1)请你在图中确定码头C的位置，确定的理由是：________________________________； (2)在（1）的基础上，若测量出，，求线段的长度； (3)在（2）的基础上，如果比例尺是，求码头到A、B两个村庄的实际距离之和． 【答案】(1)见解析，两点之间线段最短 (2) (3)码头到A、B两个村庄的实际距离之和为6km 【分析】本题考查线段的性质，线段的和与差： （1）根据两点之间线段最短，确定点C即可； （2）根据线段的和差关系求出的长即可； （3）设的实际距离为，根据比例尺列出方程进行求解即可． 【详解】（1）如图，点C即为所求；理由是：两点之间线段最短． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴． （3）设的实际距离为， ∴， 解得，， ∴码头到A、B两个村庄的实际距离之和为． 地 城 考点08 尺规作图——作线段 一、解答题 1．（24-25七年级上·甘肃白银·月考）已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作线段．先作射线，在射线上截取，再在射线上截取，则线段即为所求． 【详解】解：如图，线段即为所求． ． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． (1)画直线； (2)延长到D，使得，连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了画直线和线段，解决本题的关键是根据直线、线段的特点画图． （1）过点、、C分别画直线和即可； （2）以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接即可． 【详解】（1）解：如下图所示，直线和即为所求作； （2）解：如下图所示， 以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点， 连接． 3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图所示，点A、B表示的数分别是a、b． 用刻度尺或圆规作图：在数轴上画出表示的点；（用两种方法，写出必要的文字说明） 方法一： 方法二： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作一条线段等于已知线段．根据作一条线段等于已知线段的作法解答即可． 【详解】解：方法一：如图，以点A为圆心，为半径画弧交原点左侧数轴点D，则点D即为所求； 方法二：如图，以原点O为圆心，为半径画弧交原点左侧数轴于点D，则点D即为所求． 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，请按如下要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上作一点D，使得； (3)比较大小： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了直线、射线、线段的概念与尺规作图方法，以及“两点之间，线段最短”的运用，解题的关键是明确直线、射线、线段的不同延伸特性，掌握“作一条线段等于已知两条线段和”的尺规作图步骤，并能运用“两点之间，线段最短”来比较线段大小． （1）根据直线（无端点、向两端无限延伸）、射线（有一个端点、向一端无限延伸）、线段（有两个端点、不延伸）的定义，用尺规分别画出直线、射线、线段； （2）先以为圆心、长为半径画弧确定等长线段，再在射线上从 出发，先截取长，再接着截取长，最终确定点； （3）利用“两点之间，线段最短”，结合，比较与的大小． 【详解】（1）解：如图所示．   （2）解：如图，点即为所求．   （3）解： ∵、、三点不共线， ∴、、可构成；   根据三角形三边关系，得；   又∵， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，线段的尺规作图，两点之间线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据直线和线段的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）以点D为圆心，的长为半径画弧交延长线于点E，则点E即为所求； （4）根据两点之间线段最短可知线段的交点即为点Q． 【详解】（1）解：如图所示，直线、线段即为所求； （2）解：如图所示，射线与射线以及点P即为所求； （3）解：如图所示，点E即为所求； （4）解：如图所示，线段的交点Q即为所求，依据为两点之间线段最短． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知四点A、B、C、D，请按下列要求作图（保留画图痕迹） (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，在线段上取点，使的值最小； (4)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)8条线段，6条射线 【分析】本题主要考查了画出直线、射线、线段，两点之间线段最短等知识点，熟练掌握直线、射线、线段的定义及“两点之间线段最短”是解题的关键． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据射线的定义画出图形即可； （3）根据两点之间线段最短作出点P即可； （4）根据线段和射线的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，射线即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作． （4）解：图中有线段，，，，，，，，共有8条； 以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以D为端点的射线有1条，共6条． 7．（25-26七年级上·福建三明·期中）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段的和差等知识点，掌握尺规作图的方法并能通过观察图形找到线段之间的数量关系是解题的关键． （1）以B为圆心，a的长度为半径画弧，交延长线于点C；以A为圆心，长为半径画弧交延长线于点D即可完成作图； （2）由（1）的作图求出，由O为的中点可得，再由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，为的中点， ，，， ， 为的中点， ， ． 8．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知线段． (1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①在线段的延长线上取点，使； ②在线段的延长线上取点，使； (2)在（1）的条件下，图中共有 条线段； (3)在（1）的条件下，若，求线段和的长度； (4)在（1）的条件下，若，点在直线上，且，求线段的长度． 【答案】(1)①见详解；②见解析 (2)6 (3) (4)或 【分析】本题考查了简单作图-做线段、线段的等量关系等知识，厘清图中线段的等量关系是解答本题的基础． （1）①以B为圆心为半径画弧交的延长线于点C，即为所求；②以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点D，即为所求； （2）任意两个点的连线即是一条线段，据此即可求解； （3）根据（1）中的等量关系即可求解． （4）分两种情况，当点在点左侧时和当点在点右侧时，画出对应的图形分别求解即可． 【详解】（1）解：①如下图：即为所求 ②如下图：即为所求； （2）解：图中的线段有：、、、、、，共计6条， 故答案为：6； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6、9． （4）解：当点在点左侧时，如下图： ∵， ∴，， ∴， ∴ 当点在点右侧时，如下图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 综上：为或． 地 城 考点09 角的概念与表示方法 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【答案】D 【分析】本题主要考查角，熟练掌握角的相关定义是解题的关键． 根据角的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，如果两条射线的端点不同，这样的两条射线组成的图形不一定是角，故A错误； 对于B，角的两条边是射线，只能反向延长，故错误； 对于C，角应该有一个顶点，由两条射线组成，不正确； 对于D，反向延长射线，成为平角的顶点，得到一个以为顶点的平角，故正确． 故选：D． 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同． 【详解】解：根据角的定义可知： ①与满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ②和满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ③和的顶点相同，两边所在的射线不相同．和不是同一个角，说法错误，不符合题意； ④和的顶点不相同，两边所在的射线也不相同．和不是同一个角，说法正确，符合题意． 说法正确的有三个， 故选：C． 【点睛】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同，解决问题的关键是掌握角的概念以及特征． 4．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）图中能用三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的概念和角的表示方法的理解和掌握．角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解． 【详解】解：在选项A、B、D中，以点C为顶点的角不只有一个，如果用表示，容易使人产生歧义，无法让人明确到底表示哪个角； 只有选项C能用，，三种方法表示同一个角，不会使人产生歧义． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图①，我们可以将角表示为 或 或 ． （2）如图②，共有 个角，它们分别是 ． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了角的相关概念，熟练掌握角的相关定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据角的表示方法并结合图形即可得解； （2）根据图形并结合角的相关定义即可得解． 【详解】解：（1）由图①可得，我们可以将角表示为或或， 故答案为：，，； （2）由图②可得，共有3个角，它们分别是，，， 故答案为：3；，，． 7．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，图中小于平角的角有 个． 【答案】10 【分析】此题考查的是角的概念．根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：图中小于平角的角有：、、、、 、、、 、、 ，共有10个 故答案为：10． 地 城 考点10 角的分类 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角的定义． 两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，因此可能是锐角、直角或钝角． 【详解】解：设两个锐角分别为和，其中，， 则它们的和满足， ∴两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角． 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 【详解】周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 【点睛】本题考查了角的分类以及周角、平角、直角的度数，掌握周角、平角、直角的度数，计算出各选项角的度数，再根据锐角定义判断是解题的关键． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法、周角和平角的定义以及射线，熟练掌握相关概念是解题关键．根据角的表示方法、周角和平角的定义以及射线的概念逐个判断即可得． 【详解】解：第1个图形：表示应该是，则原描述错误； 第2个图形：射线绕点旋转一周形成，符合周角的定义，则原描述正确； 第3个图形：的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确； 第4个图形：射线是从点出发向点方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描述错误； 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B． 地 城 考点11 钟面角与方向角 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）钟表上的时间显示为，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求钟面角，分别求出每分钟时针所走的角度，结合角度加减即可得到答案. 【详解】解：由题意可得， 每分钟时针走：， ∴时针和分针之间形成的角为：， 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角、绝对值、角的和差等知识点，确定时针和分针在3点40分时的角度位置是解题的关键． 先确定时针和分针在3点40分时的角度位置，求其差值的绝对值，并取小于180度的角即可解答． 【详解】解：∵ 时针每分钟移动度，分针每分钟移动6度， ∴ 在3点40分时，时针角度度，分针角度度． ∴ 两针夹角度． 故选B． 3．（25-26九年级上·广东汕头·月考）从6点15分到6点30分，分针旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的运算，理解题意是解决本题的关键． 根据一小时等于60分钟和一小时分针转进行求解即可． 【详解】解：∵一小时等于60分钟， ∴15分钟为小时， ∵一小时分针转， ∴小时转， 故选D． 4．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】本题考查方向角的有关计算，根据题意，得到小明向左转，即逆时针转，进行求解即可． 【详解】解：由题意，小明向左转，即逆时针转， 故左转后，他面向的是北偏西； 故选：D． 5．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】A 【分析】本题考查了仰角与方向角；过B作水平方向射线，垂直方向射线，则，；由此可求得，从而可确定点位于点的方向． 【详解】解：过B作水平方向射线，垂直方向射线，则，； 则， ∴点位于点的方向为南偏西方向上． 故选：A． 6．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（    ） A．小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B．小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C．学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D．学校在小敏家南偏西的方向，距离处 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 小敏家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； B． 小凯家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； C． 学校在小凯家南偏西的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； D． 学校在小敏家南偏西的方向，距离处，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏东的方向，同时轮船B在南偏西的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与方向角有关的计算，根据方向角的描述进行求解即可 【详解】解：根据题意可知：，， ∴， ∴ 故选：D 二、填空题 8．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）以灯塔为观察点： （1）A岛在 偏 方向上，距离是 千米； （2）B岛在 偏 方向上，距离是 千米． 【答案】 北 东 3 西 南 4 【分析】本题考查方位图，掌握用方位表示位置的方法是解题的关键． 直接根据题干所给的图进行解答即可． 【详解】解：由图可知， A岛在北偏东方向上，距离是3千米； B岛在西偏南方向上，距离是4千米； 故答案为： 北，东，，3；西，南，，4． 9．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）从凌晨1时到当日下午1时，分针追上时针 次． 【答案】11 【分析】本题考查了时钟的认识，根据凌晨1时到当日中午12时，共11个小时，每1小时内，分针与时针重合1次，而上午11时到中午12时，时针和分针重合在数字12，即中午12时到当日下午1时，时针和分针没有重合，据此即可求解． 【详解】解：因为凌晨1时到当日中午12时，共11个小时，每1小时内，分针与时针重合1次，分针有11次追上时针，而上午11时到中午12时，时针和分针重合在数字12，即中午12时到当日下午1时，时针和分针没有重合， 所以凌晨1时到当日下午1时，分针有11次追上时针． 故答案为：11． 三、解答题 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 【答案】（1）巴黎：60°；伦敦：30°；北京：120°；东京：90° （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过 （3） 【分析】（1）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案； （2）根据时针小时旋转，可得时针的旋转速度；根据分针分钟旋转，可得分针的旋转角度； （3）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：（1）巴黎时间时针与分针的夹角是； 伦敦时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 东京时间时针与分针的夹角是； ∴巴黎：；伦敦：；北京：；东京：． （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过． （3）上午10:10时，此时分针指向时钟刻度“2”，时针指向时钟刻度“10”偏右一点点． 分针与时钟刻度“12”所成的较小角是， 时针与时钟刻度“12”所成的较小角是． 故此时时针与分针所成的较小角是． 【点睛】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 11．（24-25六年级下·全国·单元测试）考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东，某考室B位于O点南偏东，请在图中画出射线，并计算的度数． 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了方向角，角的和差，解题的关键是掌握方向角的定义和角的和差的计算． 根据方向角的定义画出射线，然后根据角的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，射线即为所求， ∵， ∴． 地 城 考点12 角与角的度数的大小比较 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中为带角的三角板， ，， ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·陕西安康·月考）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度的大小比较，需要先将的度数形式统一转化为度分秒的形式，再比较三个角的大小． 【详解】解：∵， ∴， ，则， 度的数值都为，比较分的数值， ∵， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，数形结合是解题的关键．作，由图可知，即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， 故选：A． 4．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查两个角的大小的比较，根据射线在的内部，可知在的内部，且有一条公共边，进而即可判断求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴在的内部，且有一条公共边， ∴， 故选：． 二、填空题 5．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角度的单位进制是解题关键．根据，将转化为，由此即可得． 【详解】解：， ， 故， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的网格是正方形网格， （填“”“”或“”）． 【答案】＜ 【分析】本题利用正方形网格的特点，通过观察角的两边张开程度或结合网格构造特殊角，来比较两个角的大小. 【详解】解：在正方形网格中，观察,其两边所在线段可形成等腰直角三角形的角，故； 再观察,其两边的张开程度小于等腰直角三角形的角的张开程度，因此, 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了角的大小比较，解题关键是利用正方形网格的特点，结合特殊角的形状，判断角的张开程度，进而比较角的大小. 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 【答案】> 【分析】本题主要考查角度制换算和角的大小比较，通过将角度统一单位为度后比较大小。 【详解】∵ = = ， 又∵ ， ∴ ． 8．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若，，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了角的大小比较和度分秒的换算，关键是能正确进行度分秒之间的换算． 先换算，再和的度数比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 地 城 考点13 角度的四则运算 一、单选题 1．（2025七年级上·全国·专题练习）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的单位与角度制，度分秒的换算，正确计算是解题的关键．将小数度转换为度分秒表示，需将小数部分依次乘以60转换为分和秒． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·天津·期末）已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角度的计算，用三个角的和乘以所占比例即可求出的度数． 【详解】∵，且三个角的和为， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的加减计算．根据角度的加减法计算即可，注意进率为； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 5．（24-25六年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了角度的计算，分别计算度、分、秒，单位间进率为60，不够减时借位． 【详解】． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·内蒙古·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查角的度、分、秒加法运算，掌握度分秒之间的60进制换算关系是解题关键． 先将度与度相加，分与分相加，再以60为进制，把分化成度即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·黑龙江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度运算，需掌握度与分之间的换算关系，即，计算时，将度与度相加、分与分相加，若分之和超过，则需进位到度，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（25-26六年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】先将度分进行单位统一，当分不够减时，从度借化为，再进行分和度的分别相减．本题主要考查了度分秒的减法运算，熟练掌握度分秒之间的进制（）并灵活进行单位转换是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1） ′ ″． （2）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度的计算，度分秒的单位互化，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行加法运算，然后将小数位乘以换算成“分”，再将“分”的小数乘以化为“秒”； （2）将先化为，再进行减法运算． 【详解】（1）解：， ， ， ∴． 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）填空题． （1） ；         （2） ； （3） ；        （4） ； （5） = ． 【答案】 24 0.2 75 10 102 24 7.8 7 48 【分析】本题主要考查了度分秒的换算． （1）根据大单位化成小单位要乘以60进制，列出算式进行计算即可； （2）根据小单位化成大单位要除以60进制，列出算式进行计算即可； （3）度与度相加，分与分相加，若满60，向它前面的单位进1，进行计算即可； （4）度与分分别乘以4，然后把满60的向它前面的单位进位即可； （5）先把46.8除以6，再把小数度乘以60化成分即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：24； （2）， 故答案为：0.2； （3） ， 故答案为：75，10； （4） ， 故答案为：102，24； （5） ， 故答案为：7.8，7，48． 三、解答题 11．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的换算：1度分，即，1分秒，即． （1）先分别进行度、分的加法运算，然后利用60进位制转化； （2）先把化为，再分别进行度、分的减法运算； （3）先把化为，再分别进行度、分的减法运算； （4）原式进行乘法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的加、减、乘、除运算，解题的关键在于要注意度分秒是进制． （1）相同单位分别相加，满向上一位进即可； （2）先借化为，再借化为，即化为，然后同一单位分别相减即可； （3）先将每一个单位分别乘以，满的部分向上一位进即可； （4）从度开始计算，余数乘以化成下一个单位继续除以进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的运算，注意是解题的关键． （1）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （2）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与6相乘，然后依次进位． 【详解】（1）解： ； （2） ． 15．（24-25七年级上·贵州贵阳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算法则，熟练掌握角的四则运算法则是解题关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可； （3）根据角的四则运算法则求解即可； （4）根据角的四则运算法则求解即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题包含四个角的运算问题，需要根据度、分、秒的进制，按照先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序进行计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． 地 城 考点14 三角板中的角度计算 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理．在及中，可求出及的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意，，， 在中，， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据三角板中角的特点可得，再由角的和差关系求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将两个含角的三角板按如图方式摆放在水平桌面上，下列表述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，熟练掌握含角的三角板的特征是解题的关键．根据含角的三角板的特征得到，，再通过计算逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·甘肃酒泉·开学考试）下面是几个角的度数，不能用两个三角板拼合画出的角是（        ）的角 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，熟练掌握三角板的所有度数的和或差是解题的关键． 找出能用三角板画出的角，利用排除法求解． 【详解】解：A、，故能画出； B、，故能画出 C、，故能画出； D、三角板中，没有两个角的和或差是，故不能画出． 故选：D． 5．（24-25七年级上·山东枣庄·月考）如图，一个直角三角板绕其直角顶点C旋转到三角形的位置，若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，依据题意可知，然后依据图形间角的和差关系求解即可，掌握图形间角的和差关系是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，原选项不符合题意； 、由，原选项符合题意； 、由，原选项不符合题意； 故选：． 二、填空题 6．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角板中的角的和差计算． 根据三角板得到，由角平分线得到，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵恰好平分， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 【答案】75° 【分析】本题考查三角尺角度与平行线性质的结合，掌握利用三角尺的已知角度和平行线的相关性质计算角的度数是解题的关键； 利用三角尺的角度以及平行线的性质，求出的度数． 【详解】解：由三角尺的角度可知，一个三角尺的角为，另一个三角尺的角为和． 根据平行线的性质，可得． 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25七年级下·江西上饶·期中）已知两个分别含有角的一副直角三角板，如图被叠放在一起，使，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，主要利用了三角板的知识，以及同角的余角相等的性质，准确识图是解题的关键．由题意可知：，，结合题意得到，进而求出，由即可解答． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】本题考查了叠放三角板中的角的计算．熟练掌握三角板性质，余角补角定义和性质，旋转性质，平行线性质，是解题的关键． （1）先根据直角三角板的性质求出，进而可得、的度数； （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，论证即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 若， 则； 若， 则． 故答案为：，． （2）解：．证明如下： ∵， ∴． 地 城 考点15 角几何图形中的角度计算 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知点在直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的和差与度分秒的换算，解题的关键是掌握平角的定义以及度分秒的运算规则． 根据平角的定义，用减去和的度数，即可求出的度数． 【详解】解：因为点在直线上，所以， 将代入可得： ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）已知是的高，，，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的高以及角的和差计算，熟练掌握三角形高的位置情况是解题的关键．分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或， 故选：C． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角度的计算，熟练掌握角度的计算是解题的关键，根据题意分两种情况分类讨论：在内部或外部，分别计算的度数． 【详解】解：①当在内部时， ∵， ∴， ②当在外部时， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故选：C． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线相交于点O，在的内部，当时，则与的度数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是几何图形中角度计算问题，解题的关键是熟练掌握角的和差计算． 先根据在的内部得，即可求解． 【详解】解：∵在的内部， ， ∴． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图所示，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查角的和差计算，根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，是边上的高，且，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，分两种情况：当高在的内部时；当高在的外部时，分别计算即可得解，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当高在的内部时， ， ∵，， ∴； 如图，当高在的外部时， ， ∵，， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 【答案】或 【分析】本题需要分射线在内部和外部两种情况，根据角的和差关系来计算的度数． 【详解】解：当射线在内部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 当射线在外部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了角的和差计算，掌握分情况讨论射线的位置，根据角的和差关系计算角的度数是解题的关键． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，．求，的度数． 【答案】，，， 【分析】本题可利用周角的定义以及比例分配的应用，结合、、、的度数比，可通过设未知数，利用周角的度数建立方程求解各角的度数． 【详解】解：设，则，，． 依题意，得， 解得，所以，，，． 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了周角的定义，解题关键是根据角度比例设未知数，利用周角的度数建立方程求解． 9．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图， 和都是直角． (1)如果， 那么的度数是多少? (2)找出图中相等的角．如果， 它们还会相等吗? 【答案】(1) (2)；还会相等 【分析】本题考查余角和补角，正确观察并分析图形，熟练掌握余角的定义是解答本题的关键． （1）根据，求出即可； （2）根据，，故． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：图（1）中相等的角：， 如果，它们还会相等， ，，，． 地 城 考点16 实际背景下的角度计算 一、单选题 1．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，学校（记作）在蕾蕾家（记作）南偏西的方向上，且与蕾蕾家的距离是，若，且，则超市（记作）在蕾蕾家的（   ） A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距 C．北偏东的方向上，相距 D．北偏东的方向上，相距 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角定义；根据方向角的定义可求，即可得解． 【详解】解：如图： 由题意知， 所以， 所以超市（记作）在蕾蕾家的南偏东的方向上，相距， 故选：． 二、填空题 2．（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点17 角平分线与角n等分线的有关计算 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的计算是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据平角的定义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵分别是，的平分线，，， ∴，， ∵是平角， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算，熟知折叠前后的对应角相等是解题的关键． 根据折叠前后的对应角相等进行计算即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知， ， ， ， ． 故选：D． 3．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，解题的关键是根据角平分线找出角的等量关系． 由平角定义得，计算，然后利用角平分线定义即可解答． 【详解】解：因为点A、O、B在同一直线上， 所以是平角，即． 因为， 所以． 又因为平分， 所以． 故选：A． 二、填空题 4．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【答案】30 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， 先求出，再根据角平分线定义求出即可． 【详解】解：因为， 所以. 因为是的平分线， 所以． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）已知，射线和射线在内部，且，，射线分别平分，，则 【答案】5 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义， 根据已知条件，计算和的度数，再利用角平分线的定义得到和度数，最后求的度数． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴． ∵平分， ∴ ． ∵，平分， ∴． ∴． 故答案为：5． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．根据角平分线的定义求出的度数，根据可求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵，平分，且， ∴，， ∴， 故答案为：20． 7．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差计算，理解图示，掌握角的三等分线的定义，角和差计算方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵，是的三等分线， ∴每一份是， 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 故答案为：或或 ． 三、解答题 8．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角与角之间的关系是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，OB是的平分线，OC是的平分线，与有怎样的数量关系？ 【答案】 【分析】设，由题意可得，，则与的数量关系可一目了然． 【详解】解：设， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，用含有一个字母的代数式表示出两个角度，观察两个代数式之间的数量关系即可得出两个角度之间的数量关系． 10．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，已知，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查各个角之间的和差关系，列方程求解是常用的方法．求出，的度数，设未知数，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 又∵， ∴， 解得：， 即． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 12．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 地 城 考点18 尺规作图——作一个角等于已知角 一、解答题 1．（25-26八年级上·北京海淀·期中）尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，解题的关键是掌握尺规作图作一个角等于已知角的方法和步骤． 利用尺规作图的基本方法，作出与已知相等的． 【详解】解：解：如图所示，即为所求． 2．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是边上的一点．请用尺规作图法，作出，使，交边于点．（保留作图痕迹不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角作即可． 【详解】解：如图，即为所求． 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图，是用直尺和圆规作的过程，作图痕迹中，弧的半径为线段，作图时须使线段等于线段______的长； （2）如图2，在同一平面内有四个点A，B，C，D，作直线交射线于点M； （3）如图3，已知，平分，，求的度数． 解：，， ______ ______， 平分， ____________，(______) ______ 【答案】（1）MN；（2）见解析； （3） ，120，，60，角平分线的定义， 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，作射线，直线，角的和差，角平分线定义， 对于（1），根据尺规作一个角等于已知角的过程解答； 对于（2），作出直线和射线即可； 对于（3），先根据已知条件得进而求出，然后根据角平分线的定义得，最后根据得出答案． 【详解】解：（1）如图，是用直尺和圆规作的过程，作图痕迹中，弧的半径为线段，作图时须使线段等于线段的长． 故答案为：； （2）图形如图所示： （3），， ， 平分， ，角平分线的定义 ． 故答案为：，120，，60，角平分线的定义， 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）尺规作图，要求保留作图痕迹． 如图，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明． 【答案】作图，证明见解析， 【分析】本题考查了尺规作图，三角形全等的判定，熟练掌握尺规作图和三角形全等的判定是解题的关键． 用尺规作图作，然后根据判定，即可得到结论． 【详解】解：，线段，如图所示； 证明：在和中， ，，， ． ． 5．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）作图与填空． (1)已知：，（图、图）． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)填空：在图（2）中，若，且，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了用尺规作图作一个角等于已知角、角的和与差． 利用尺规作图作； 根据，，可知，根据角之间的关系求出的度数． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心任意长度为半径画弧，分别交的两边于点、， 以点为圆心，为半径画弧交于点， 以点为圆心为半径画弧，交前弧于点， 过点作射线， 则； （2）解：由可知， ， ． 故答案为：． 地 城 考点19 多边形的概念与分类 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西铜川·月考）下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键． 根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【详解】解：不是凸多边形的是选项C中的多边形． 故选：C． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列说法正确的是（   ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．学生上学采用的交通方式是定量数据 C．两点之间线段最短 D．各边相等的多边形叫正多边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的概念，线段的有关概念，定量数据与定性数据的区别等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据两点之间的距离，线段的性质，正多边形的概念以及定量数据与定性数据的概念分析即可． 【详解】解：A、两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，故错误，不合题意； B、学生上学采用的交通方式是定性数据，故错误，不符合题意； C、两点之间线段最短，正确，符合题意； D、各边都相等，各角也相等的图形叫正多边形，故错误，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的截法．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图， ，剩余图形是四边形； ，剩余图形是五边形； ，剩余图形是六边形； 故选D． 地 城 考点20 多边形对角线的条数 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北唐山·期中）一个多边形共有20条对角线，设这个多边形的边数为n，下列结论错误的是（    ） A．过多边形的一个顶点的对角线有条 B．用n表示多边形对角线的总条数为 C．依题意可得方程 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题，过n边形的一个顶点可以引条对角线，那么n边形一共有条对角线，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、过多边形的一个顶点的对角线有条，原说法正确，不符合题意； B、用n表示多边形对角线的总条数为，原说法错误，符合题意； C、依题意可得方程，原说法正确，不符合题意； D、解C选项中的方程可得，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（   ） A． 0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题， 根据多边形对角线的定义，从一个顶点出发，可以连接除自身及相邻顶点外的所有其他顶点，因此可引对角线条数为顶点数减3． 【详解】解：从一个顶点出发，可引对角线条数， ∵， ∴可引对角线条数． 故选：D． 3．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）从n边形的一个顶点出发可以连接条对角线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线性质，熟记公式是解答本题的关键； 根据边形从一个顶点出发可引出条对角线的性质，列方程求解； 【详解】解：∵从边形的一个顶点出发可引出条对角线， 由题意可得：从n边形的一个顶点出发可以连接条对角线， ∴， ∴； 故选：D； 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）一个多边形有20条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，关键是熟记多边形的对角线公式. 根据多边形的对角线公式进行计算即可得解． 【详解】解：n边形共有条对角线. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故选：C． 二、填空题 5．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）边形过一个顶点的对角线有 条，则边形的对角线的条数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线的求法，边形过一个顶点的对角线有条，个顶点共有条对角线，其中有一半的对角线条数重复计算，除以即可求解，掌握过边形一个顶点有条对角线是解题的关键． 【详解】解：边形过一个顶点的对角线有条，则边形的对角线的条数为， 故答案为：，． 6．（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）过m 边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形对角线的性质及代数运算，关键在于正确建立方程求解的值．首先根据各边形的对角线数量建立方程，解方程得到各边数后代入计算即可． 【详解】解：过m边形的一个顶点有4条对角线，每个顶点的对角线数为（因为不能与自身及相邻两个顶点连对角线）， ，即； n边形没有对角线， ； 边形有p条对角线， ， 解得（舍去）或， ； , 故答案为：8． 7．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形共有 条对角线． 【答案】35 【分析】本题主要考查了正多边形内角与外角的性质，以及多边形对角线求法，首先根据其内角和求得其边数，然后利用对角线条数的求法求得对角线的条数即可． 【详解】解：∵其内角和为， 解得： ∴这个多边形所有对角线的条数是：． 故答案为：35． 8．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．根据这些规律计算即可． 【详解】解：从边形的一个顶点出发共有6条对角线，则，解得； 从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形，，解得； 正边形的边长为7，周长为49，则，解得， ∴， 故答案为：． 地 城 考点21 对角线分成三角形的个数问题 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点出发可分成个三角形，依此可得的值，掌握多边形对角线的性质是解题的关键． 【详解】解：这个多边形是边形， ∴，解得， 故选：D． 3．（20-21七年级上·陕西汉中·期末）从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线，边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算． 【详解】解：∵从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形， ， ∴的值为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分，将一个五边形进行三角剖分，共用多少种剖分方法（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查凸五边形的三角剖分方法数，解题的关键是：列举所有不相交的对角线组合，即可得出剖分方法总数． 【详解】解：如下图，五边形， 顶点A，可连接和， 同理，连接和；连接和；连接和；连接和； 所有可能的不相交对角线组合共有5种剖分方法， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成 个三角形． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线，利用多边形的对角线性质列式计算即可． 【详解】解：从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成三角形的个数为（个）， 故答案为：5． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，n边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是多边形对角线的性质，根据从一个n边形的某个顶点出发，可分成个三角形，由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答． 【详解】解：四边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为个， 五边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为个， 六边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为个， ； 边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为个， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江西鹰潭·月考）过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形，则n的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列出方程是解题的关键． 经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形， ∴，解得：． 故答案为：8． 地 城 考点22 圆的基本概念 一、单选题 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握有关概念是解题的关键． 根据圆的基本概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A：相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故A错误； 选项B：直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆，是弧的一种；但弧可以是劣弧、优弧或半圆，故弧不一定是半圆，B正确； 选项C：等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等但圆不同则不是等弧，故C错误； 选项D：圆的切线垂直于过切点的半径，但选项未指定“过切点的”，因此说法不严谨，故D错误； 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京·月考）下列命题中正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质． 根据圆的基本性质逐一分析即可． 【详解】解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误； B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误； C．直径是一个圆中最长的弦，正确； D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误； 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列命题：正确的是（    ） ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧．③能够完全重合的两条圆弧是等弧．④长度相等的弧所对的弦相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，涉及弦、弧的关系及等弧的定义。需逐项判断命题的正确性。 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为非直径的弦对的弧有优弧和劣弧之分，本选项不符合题意； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧，本选项符合题意； ③能够完全重合的两条圆弧是等弧，本选项符合题意； ④长度相等的弧所对的弦不一定相等，本选项不符合题意； ∴正确命题为②和③， 故选：B． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心的确定方法，网格内的图形问题须充分利用格线互相垂直的特点． 圆心是圆中两条不平行的弦的垂直平分线的交点，因此看图中弦的垂直平分线是否为网格线便可求解． 【详解】解：观察图形，根据圆的轴对称性，可知是正确的． 故选：D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）下面能用来说明“直径是圆中最长的弦”的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本概念和有关性质、三角形三边关系，熟练掌握这些知识是解题的关键． 逐一分析每个选项中的图形，通过比较弦与直径的长度关系，判断能否说明“直径是圆中最长的弦”即可． 【详解】解：A、是弦，是直径，在此图中，但不能说明其他情况，故选项A不符合题意； B、 是弦，是直径，，能用来说明“直径是圆中最长的弦”，故选项B符合题意； C、 不是弦，不能用来说明“直径是圆中最长的弦”，故选项C不符合题意； D、 是弦，是直径，在此图中，但不能说明其他情况，故选项D不符合题意． 故选：B 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中 是弦， 是直径， 是以A为端点的劣弧， 是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 【答案】 ，， ，，   ， 【分析】本题考查圆中弦，直径，劣弧，优弧的定义，掌握知识点是解题的关键．根据圆的弦，直径，劣弧，优弧的定义即可解答． 【详解】解：由图，得：，，是弦，是直径，，，是以A为端点的劣弧，  ，是以A为端点的优弧． 故答案为：，，；；，，；  ，． 7．（24-25九年级上·北京顺义·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 【答案】②③ 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③． 故答案为：②③． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果在中，边固定且上的中线长为，那么顶点的轨迹是 ． 【答案】以线段的中点为圆心，以长为半径的圆，除去该圆与直线的两个交点 【分析】本题考查了圆的运动轨迹，三角形中线，设的中点为D，则，故顶点A的轨迹是以D为圆心，以长为半径的圆，为A，B，C为三角形的三个顶点，所以除去圆与直线的两个交点，从而得出答案． 【详解】解：设的中点为D，则， 故顶点A的轨迹是以D为圆心，以长为半径的圆， 因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以除去圆与直线的两个交点， 故答案为：以线段的中点为圆心，以长为半径的圆，除去该圆与直线的两个交点． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【答案】①③④⑨ 【分析】本题主要考查圆的有关性质．根据弦、直径、等圆、等弧的概念判断即可． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，说法正确； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误； ③面积相等的两个圆是等圆，说法正确； ④等弧所对的圆心角相等，说法正确； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ⑥圆周角的定义包括两个基本特征：一是顶点位于圆周上，二是角的两边都与圆相交，原说法错误； ⑦将圆绕圆心旋转一个角度可以和自身重合，原说法错误； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误； ⑨半圆是弧，说法正确； ⑩过圆心且两端都在圆上的线段是直径，原说法错误； 故答案为：①③④⑨． 地 城 考点23 圆的周长与面积 一、单选题 1．（25-26六年级上·黑龙江大庆·开学考试）把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆、长方形的周长、圆的面积，解决本题的关键是拼成的长方形的周长比圆的周长增加了 2 条半径长． 拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条半径长，从而求出半径长，代入计算即可． 【详解】解：∵圆的周长比长方形少， 半径是（厘米）， 长方形的长是（厘米）， 长方形的面积是（平方厘米）． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长，明确两个小圆的周长等于大圆的周长是解题的关键． 由题意可知，甲蚂蚁走的路程是大圆的周长，乙蚂蚁走的路程是两个小圆周长的和，设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是，观察图形可知，所以甲蚂蚁和乙蚂蚁走的路程相同，根据路程÷速度=时间，据此解答即可。 【详解】解：设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是， 则甲、乙两只蚂蚁爬行的路程分别为：，， 观察图形可知， ∴， ∵两只蚂蚁爬行的速度相同， ∴同时到达． 故选：C． 3．（25-26六年级上·全国·课后作业）要画一个周长是的圆，圆规两脚之间的距离是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．根据圆的周长半径，用圆的周长求出圆的半径，即圆规两脚之间的距离． 【详解】 所以圆规两脚之间的距离是． 故选：A． 二、填空题 4．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求圆的面积，根据：，可先求出圆的半径，进而求出圆的面积即是长方形的面积，圆的面积×就是阴影部分的面积，再分别算出圆面积和阴影部分的面积，再求出它们的比． 【详解】解：半径：（厘米) 圆面积为（平方厘米） 阴影部分的面积为 （平方厘米) 则． 故答案为： 6．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了半圆和半圆柱侧面积的求解，求出半圆的半径是解决本题的关键． 根据题意可得半圆的半径米，暖房的长度为b米，再根据面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据图片可得面积由两部分组成为半个圆柱的侧面积和一个半圆的面积， ∵半圆的直径为a米，暖房的长度为b米， ∴半径米， ∴半个圆柱的侧面积， ∴代入得，， ∵半圆面积公式， ∴代入得，， ∴所需塑料薄膜的总面积为． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）如图所示，半径为1厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从点出发不停滚动（无滑动），最后到原来的位置．小圆盘在 、、位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的周长公式，熟记公式并灵活运用是解题的关键． 根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：到转了（圈）， 到转了（圈）， 作图如下： ． 8．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图是一个长为，宽为的长方形市民广场的设计图，其中，有一个边长为的正方形水池和四个半径为的圆形休息区，其余的地方都是绿地． (1)用代数式表示绿地的面积（结果保留）； (2)根据规定，市民广场的绿地面积要占市民广场总面积的一半以上，请通过计算说明这个设计图是否符合规定． 【答案】(1) (2)符合规定，理由见解析 【分析】本题考查了代数式运算与几何图形面积的计算，解题的关键是通过总面积减去水池、休息区的面积得到绿地面积；通过比较绿地面积与总面积的一半判断是否符合规定． （1）先求长方形广场总面积，再求正方形水池面积与四个四分之一圆组成的整圆面积，用总面积减去这两部分得绿地面积； （2）计算总面积的一半，比较绿地面积与该值的大小． 【详解】（1）解：长方形总面积：； 水池面积：； 四个圆形休息区面积和：； 绿地面积：． （2）解：总面积的一半：； 绿地面积； 因，故符合规定． 答：（1）绿地面积为； （2）这个设计图符合规定． 9．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，一只狗被一根米长的绳子拴在一建筑物的墙角上，这个建筑的平面图是边长为米的正方形，狗不能进入建筑物内活动．求狗所能活动到的地面部分的面积．（精确到平方米，取） 【答案】平方米 【分析】本题考查了圆的面积公式． 根据题意可知：狗的运动范围是以12米为半径的圆的面积的，加上2个以米为半径的圆的面积的，利用圆的面积公式：，把数代入计算即可． 【详解】如图所示， （平方米）． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何清扫地面 素材1 如图1，是一款智能家用扫地机器人，以机身圆型底盘为清扫面积，机身上凸起的圆形部分（如图2，即）是激光发射器，用于发射激光以实现精准定位和避障．已知该扫地机器人机身圆型底盘大小是激光发射器的16倍，激光发射的半径是． 素材2 图3，是扫地机器人清扫矩形场地时的行走路径示意图，已知该矩形场地长为7米，宽为米，扫地机器人的行走速度为/分钟． 问题解决 任务1 确定圆的 大小 计算该扫地机器人机身圆型底盘大小． 任务2 预算扫地 时间 该扫地机器人从左上角出发，贴着墙壁清扫一圈回到原来位置，需要多少时间？ 【答案】任务1：机身圆型底盘大小为；任务2：分钟 【分析】该题主要考查了圆的面积公式，圆的实际应用，解题的关键是理解题意． （1）算出激光发射器的面积，再根据该扫地机器人机身圆型底盘大小是激光发射器的16倍即可求解． （2）由任务1出机身圆型底盘的半径，再根据题意算出路程，即可求解． 【详解】解：任务1．∵激光发射器的半径为， ∴激光发射器的面积为．         ∵机身圆型底盘大小是激光发射器的16倍， ∴机身圆型底盘大小为． 任务2．由任务1得机身圆型底盘的半径是． 该扫地机器人扫一圈的路程是， 该扫地机器人扫一圈的时间是分钟． 地 城 考点24 圆心角的基本概念与简单运算 一、单选题 1．（2025九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 2．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 二、填空题 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 地 城 提升训练 一、单选题 1．（25-26七年级上·陕西西安·月考）下列说法中错误的有（   ） ①用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”； ②如果线段等于线段，则点是线段的中点； ③画一条直线，使它的长度为； ④射线和射线是同一条射线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查几何基本概念，包括直线的性质、线段中点的定义、直线的无限延伸性以及射线的方向性． 逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：说法①：用两个钉子固定木条，原理是两点确定一条直线，正确； 说法②：如果线段等于线段，只有当、、三点共线时，点是线段的中点，错误； 说法③：直线无长度，错误； 说法④：射线以A为端点向B延伸，射线以B为端点向A延伸，方向不同，不是同一条射线，错误； 综上，错误说法有②、③、④，共3个． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北衡水·期中）下列说法正确的是（    ） A．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念，包括直径、弦、半圆和等弧的定义和性质，利用圆的有关性质分别判断后及可确定正确的选项． 【详解】解：A、过圆心的点可作无数条直径，过非圆心的点不能作直径，故A错误； B、 直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径，故B错误； C、半圆是轴对称图形，其对称轴是垂直于其直径的半径所在的直线，是轴对称图形，故C正确； D、 等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合，仅长度相等不一定等弧，故D错误； 故选：C． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，分射线在内、外两种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】如图1所示，当射线在内时， ； 如图2所示，当射线在外时， ， 综上，的度数为或， 故选C． 4．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；……，依次进行这样的标记，则（   ） A．48 B．56 C．64 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义及图形的变化规律，先根据线段中点的定义分别求出，从而求出，同理得到，，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵线段和的中点分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理：，， ∴， 故选：B． 5．（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．过一点有且只有一条直线 B．连接两点的线段叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．，则点B是线段的中点 【答案】C 【分析】本题考查了直线、线段的基本性质以及距离和中点的定义． 根据直线、线段的基本性质以及距离和中点的定义，逐一判断每个选项的正确性． 【详解】解：过一点有无数条直线， ∴ A错误； 连接两点的线段的长度叫做两点的距离， ∴ B错误； 两点之间，线段最短， ∴ C正确； 时，点B不一定在线段上，也不一定是线段的中点， ∴ D错误． 故选：C． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 【答案】C 【分析】先算出图①和图②中水池边沿的周长，再分析两者周长的关系． 【详解】解：设图①中每个外圆的直径为， ∴图①中水池边沿的周长为． 设图②中三个内圆的直径分别为、、，外圆的直径为，且， ∴图②中水池边沿的周长为外圆周长加上三个内圆的周长，即： ． ∴图①和图②水池边沿的周长相等，即砌水池边沿需要的材料一样多． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，解题关键是根据圆的周长公式，分别计算出图①和图②中水池边沿的周长，再进行比较． 7．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角的和差运算，方向角的含义，根据方向角的含义，结合角的和差运算逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与互为补角，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∴平分，故B不符合题意； ∵以为边的角为：，，，，，，共6个， ∴C符合题意； ∵，，， ∴．故D不符合题意． 故选：C 8．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且．若点E在直线AB上，且，则CE的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了与线段中点有关计算和线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，表示出线段之间的和差关系，代入求解即可得到答案． 【详解】解：点在直线上 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧时，如图所示： 是中点， . 当点在点右侧时，如图所示： 是中点， . 综上所述：的长为或. 故选：． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考察了直线的性质：两点确定一条直线，关键是按照一定的顺序寻找． 找到同时经过其中个点的直线的条数即可求解． 【详解】解：如图所示： 故同时经过其中个点的直线有条． 故选：C． 10．（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）把钟面上的时针与分针都看作射线，时针与分针就构成一个角，从6点钟到12点钟，当分针指向12时，时针此时恰好与分针构成的角，则此时是（   ） A．7点钟 B．8点钟 C．9点钟 D．10点钟 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角的有关知识，根据钟表上每一个大格之间的夹角是，当分针指向12，时针与分针构成的角，得出此时时针距分针是4个大格，应考虑两种情况，但从6点钟到12点钟，只有8点钟符合要求． 【详解】解：钟表上每一个大格之间的夹角是， 当分针指向12，时针与分针构成的角时，此时时针距分针是4个大格， 从6点钟到12点钟，只有8点钟符合要求， 故选：B． 11．（2025六年级上·全国·专题练习）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交于点，交于点．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，掌握基本的尺规作图是解题的关键．根据基本的尺规作图判断，本题的尺规作图是作一个角等于已知角，据此判断即可． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，此选项符合题意； B、∵，即，故该选项正确，此选项不符合题意； C、，故该选项正确，此选项不符合题意； D、，故该选项正确，此选项不符合题意； 故选：A． 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段两点间的距离，理解题意、分类作出相应图形是解题的关键． 分两种情况讨论：①当A、C或B、D重合且剩余两端点在重合点同侧时；②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时；让分别作出相应图形，并结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当A、C或B、D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； ②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； ∴两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 13．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 14．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据射线的表示法可判断①；根据线段中点的定义可判断②；根据两点之间的距离定义可判断③．可能是的， 也可能是的，可判断④；根据直线的基本事实可判断⑤． 【详解】① ∵ 射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，方向不同，∴ 不是同一条射线． 故①错误． ② ∵时，点B不一定在线段上（如三角形中），∴ B不一定是的中点． 故②错误． ③ ∵ 点A与点B之间的距离定义为线段的长度． ∴ ③正确． ④ ∵ 点C是线段的三等分点，若是的，则； 但若是的，则． ∴不一定为9． 故④错误． ⑤ ∵ 两颗钉子固定木条依据“两点确定一条直线”，而非“两点之间线段最短”． 故⑤错误． 综上，只有③正确，共1个正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何概念．熟练掌握射线的方向性、中点需共线、三等分点的两种情形以及几何公理的区别，几何概念的准确性是解题的关键． 15．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值和平方非负性，线段的和差．先根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，即可判断①．根据线段的中点的定义判断②．设，根据线段的和差表示出，，即可判断③．根据线段的位置分情况讨论即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，故①正确． ∵，， ∴， ∴当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点，故②正确． 当点B与点A重合时， ∵，， ∴ 设， ∴， ， ∴， ， ∴，故③正确． ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为五种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ； 第四种情况：当B、C在点A两侧时，如图： ； 第五种情况：当和都在右边时，如图： ， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D． 16．（25-26八年级上·山西大同·月考）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了新定义——多边形的三角剖分．熟练掌握新定义是解题的关键， 根据递推公式并用它来计算六边形三角剖分数．根据给定的递推关系和初始值，可逐步计算出． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 故选：C． 二、填空题 17．（25-26七年级上·陕西西安·期中）一条水平直线上有，，三点，，，为的中点，则的长为 ． 【答案】21或30/30或21 【分析】本题考查线段的和差计算，线段中点的意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 当点为线段上时，可得，则，．由中点的定义可得，则；当点为线段的延长线上时，可得，由中点的定义可得，则，进而可得答案， 【详解】解：当点为线段上时，如图， ∵， ， ， ． 为的中点， ， ． 当点为线段的延长线上时，如图， ∵， ， 为的中点， ， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：21或30 18．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差、角的平分线等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 由直角的定义、角的和差可得，再根据角平分线的定义可得、，再求得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 20．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，为线段上两点，，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查线段的和差，解题的关键是数形结合，列出方程；由题意得方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 解得：． 故答案为：9． 22．（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和与差．由于点A，B，C在直线l上的相对位置不确定，需分类讨论：当点B在点A和点C之间时，为与之和；当点A在点B和点C之间时，为与之差． 【详解】解：分两种情况： 当点B在点A和点C之间时，； 当点A在点B和点C之间时，， 故答案为：或． 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，当时钟指向上午10∶15时，时针和分针所成的角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角的计算，解题的关键是掌握分针和时针的转速，分别计算它们在10：15时的转过的角度，再求夹角． 【详解】解：分针每分钟转，15分钟转；时针每小时转，每分钟转，10时15分时针转； 夹角为，取小于的角，． 故答案为：． 24．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，，如果的中点和的中点的距离是24．那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的性质，解题的关键是设未知数表示各线段长度，利用中点求出对应的线段表达式，列方程求解． 设，，，根据中点性质得，，由求出，进而计算得解． 【详解】解：设，，， ∵M是的中点， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∵点A、B、C、D顺次排列， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 答：线段的长度为． 故答案为：． 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是 ． 【答案】北偏东 【分析】本题考查了方向角，角平分线的定义，角度的计算，熟练掌握方向角的应用是解题的关键．记正北方为，根据题意算出，利用角平分线性质得到，根据计算出，即可解题． 【详解】解：的方向是北偏东，的方向是北偏西， ， 平分， ， 记正北方为， ， 的方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 26．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的概念，代数式求值，由题意得，，求出，然后再通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2025次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2025次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 【答案】 1 3 4 【分析】首先识别图中直线、射线、线段的数量，同时结合还要能用字母表示线段、直线、射线即可解决问题． 【详解】解：直线没有端点，可向两端无限延伸。图中A、B、C三点在同一条直线上，能用字母表示的直线只有条(可表示 为直线，直线直线，本质是同一条直线)； 线段有两个端点，不可延伸，表示线段有共三条； 直线上有三个点，共有六条射线，但是用字母来表示的只有射线，射线，射线，射线共四条． 故答案为：①1  ②3  ③4． 【点睛】本题考查了线段、直线、射线的定义，其中理解能用字母表示线段、直线、射线是解本题的关键． 29．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可分为当在的左边时，当在的右边时，然后进行分类求解即可． 【详解】解：如图，当在的左边时， 设，， ∴， ∴，， ，， ∴， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当在的右边时， 同理可得：， ， ， ； 故答案为：或． 30．（24-25七年级上·辽宁本溪·开学考试）一个米一周的标准跑道，如果跑道的宽度为1米，进行米比赛时，起跑时第二道比第一道向前移 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的周长公式的应用．熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 我们需要求出两个半圆弯道的长度差，也就是第二道比第一道在弯道部分多跑的距离，这个距离就是起跑时第二道比第一道向前移的距离． 【详解】解：圆的周长公式为，那么半圆的周长就是， ∵跑道一周400米，进行200米比赛， ∴比赛跑半圈， 第一道弯道（半圆）的长度：， 第二道弯道（半圆）的长度，， 两者的长度差为：， 取，所以长度差约为米， 故答案为：． 31．（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 时 分． 【答案】 9 12 【分析】本题主要考查了钟表时间的推理，解题的关键是掌握钟表时针和分针的特征． 根据钟表时针和分针的特征进行合理的推理即可． 【详解】解：根据时针和分针所指刻度得， 时针走一个大格是60分钟，走一个小格是（分钟）， 此时，分针从12点的刻度走了12个小格， ∴分针刚走过的刻度为2， ∴现在的时刻是9时12分， 故答案为：9，12． 三、解答题 32．（24-25七年级上·陕西安康·月考）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度分秒的计算． （1）按照度与度，分与分，秒与秒相加，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可； （2）按照度与度，分与分，秒与秒相加减，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 33．（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)（精确到分）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度的计算，熟练掌握度分秒之间的换算关系，是解题的关键： （1）用度和分分别乘以5，再根据换算关系，进行计算即可； （2）取余数，余数化为分，再除以11，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴． 34．（24-25七年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查以度、分、秒为单位的角的度量；掌握度、分、秒是60进制是解题关键． （1）根据，计算求值； （2）先算乘法，再根据，计算求值 【详解】（1）解： ； （2）解： 35．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了度分秒之间的计算． （1）按照度分秒之间的计算法则进行计算即可； （2）先计括号内的加法，再计算减法即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 36．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）先将分都转化为度，再进行减法计算，两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数，，． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的换算，回忆度、分、秒之间的换算关系，解题时要熟练掌握它们之间的换算关系并灵活运用． （1）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可； （2）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可． 【详解】（1）解：根据得：， 根据得：， 所以； （2）因为，， 所以． 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知和． (1)请用直尺和圆规作两个角，使它们分别等于和．（保留作图痕迹） (2)请用两种方法比较这两个角的大小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查作一个角等于已知角和两个角大小比较，解题的关键是熟悉作一个角等于已知角的方法． （1）根据作一个角等于已知角的做法作图即可； （2）用量角器直接测量，或利用作一个角等于已知角的作法比较两个角的大小即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 方法一：由测量法可知∶ ； 方法二：利用作图方法，比较大小； 作，则， 即． 39．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a，b，且．画一条线段，使它等于： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握做一条线段等于已知线段的做法． （1）首先画射线，在射线上依次截取线段a和a，再以A为端点，在射线上截取，得到线段即可． （2）首先画射线，在射线上依次截取线段a，b，b，再以D为端点，在射线上截取，得到线段即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求 （2）解：如图所示，线段即为所求， 40．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，D是三角形的边延长线上一点．请在的内部用尺规作出（保留作图痕迹），测量并比较和的大小关系． 【答案】答图见解析；，， 【分析】本题主要考查作一个角等于已知角的尺规作图，角的大小比较，关键是熟练掌握尺规作图的步骤以及正确使用量角器．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、点，再以点为圆心，的长为半径画弧交于点， 然后以点为圆心，为半径画弧交弧于点，从而连接即可；根据测量的度数，即可比较和的大小． 【详解】解：如图所示，， 经测量得，，， ∴． 41．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，请先按要求画图，再比较线段的长短． (1)延长到点D，使，比较和的长短，并说明理由． (2)在上截取，比较和的长短，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了两点之间线段最短，画一条线段等于已知线段，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“两点间所有连线中线段最短”可得，由已知可得，而，通过等量代换可得，由此即可得到与的大小关系； （）同（）理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，在的延长线上作， 理由：根据“两点间所有连线中线段最短”可得． 因为，且， 所以； （2）解：如图所示，在上作， 理由：根据“两点间所有连线中线段最短”可得． 因为，，且， 所以． 42．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，若，请说明线段和有怎样的数量关系． （2）如图，已知线段，点M在线段上，C是线段的中点，D是线段的中点．求线段的长度． 【答案】（1）；（2）线段的长度为 【分析】本题考查了线段的和差与中点的性质，解题的关键是利用线段的和差关系及中点定义进行推导． （1）根据线段和差，由推出，进而得到； （2）利用中点定义得，，结合及计算的长度． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵ ∴ ∴ （2）解：∵ 是的中点，是的中点 ∴ ， ∵ ∴ 又∵ ∴ 答：线段的长度为． 43．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键. （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）证明：， ∴， ∴． 44．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知点B、C在线段上，线段，，且m，n满足． (1)_____，_____； (2)若M是的中点，N是的中点（如下图）． ①的长度为_____； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)10，6 (2)①8；②同意他的说法，理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值和平方的非负性，中点性质和线段的和差倍分关系，解题的关键是熟悉线段的关系， （1）根据绝对值和平方的非负性可得和，解得n和m即可； （2）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点，C在线段上，点在线段上，在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，分三种情况求解即可； 【详解】（1）解：∵点B、C在线段上，线段，，且m，n满足， ∴，， ∴，， 故答案为：10，6； （2）解：①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ②同意他的说法，理由： 当点B，C都在线段上，同①． 当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时： ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时： ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 45．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）综合与探究 【问题情境】： 已知为直线上的一点，将直三角尺的直角顶点置于点处，始终平分， 【问题实践】： （1）如图1，将直三角尺的一边与射线重合时，则_____； 【解决问题】 （2）如图2，将直三角尺绕着点顺时针旋转到图2的位置时，若，求的度数； 【深入探究】 （3）当将直三角尺绕着点逆时针旋转到如图3的位置时，提出问题：与的数量关系是什么？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的有关计算． （1）根据角平分线的定义作答即可； （2）求出，根据平分得到，根据平角的定义计算即可； （3）同（2）作答即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 46．（25-26七年级上·河北唐山·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为___________； (2)如图2，直角三角板的边在的内部，若恰好平分，求此时的度数： (3)在图2中，请直接写出与之间的数量关系：___________ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算： （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）角的和差关系求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数即可； （3）由题意得，由，得到，据此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴； （3）解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 47．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则________： (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中a为正整数），直接写出所有使的n值． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)n的值为50或70 【分析】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论． （1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）当时，，，，然后利用算得答案； （3）从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，②当时③当时，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，，在内，在内，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述：的值为50或70． 48．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图1，分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100． (1)求点A，B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段的三等分点，求点C表示的数； (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上． ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张纸条的长度之比为；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数． 【答案】(1)120 (2)20或60 (3)①80；②16，40，64． 【分析】本题考查数轴两点之间的距离、等分点、翻折问题等知识点，理解题意、掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）分点C靠近A和点C靠近B两种情况求解即可． （3）①先求得折叠点表示的数为，设与原点重合的点表示的数为x，然后根据题意列方程求解即可；②由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为100 ∴， ∴点A，B之间的距离是120． （2）解：∵，点C在数轴上且是线段的三等分点， ∴当点C靠近A时，， ∵点A表示的数为， ∴点C所对应的数为； 当点C靠近B时，， ∵点B表示的数为100， ∴点C所对应的数为． ∴点C所对应的数为20或60． （3）解：①∵将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合， ∴折叠点为的中点，其表示的数为， 设与原点重合的点表示的数为x，则，解得：， ∴与原点重合的点表示的数为80； ②∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， a.如图：当从A到B三条纸条的长度为24，24，72， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； b.如图：当从A到B三条纸条的长度为24， 72，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； c.如图：当从A到B三条纸条的长度为72，24，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是． 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 49．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及线段的和差关系． （）依据绝对值非负性，因，两个非负的绝对值相加为，则各自为，所以，解得； （）结合线段和差关系，由，得到，化简后得； （）分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（）知：， ∴ ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 则， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． 50．（25-26七年级上·广东汕头·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ，点与点之间的距离 ，点与点的中点表示的数是 ，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是 ，关于点的二次跳跃点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)，，，表示点D见解析； (2)①，，；②的值不变，为；③． 【分析】本题主要考查了数轴的相关知识，包括相反数、两点间距离、中点公式以及新定义问题的应用，熟练掌握数轴上数的表示、距离与中点的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数的定义确定点B表示的数，利用数轴上两点间距离公式计算距离，再根据中点公式求中点表示的数，进而表示点D． （2）①根据一次跳跃点的定义（互为相反数）求，再根据二次跳跃点的定义（是的中点），利用中点公式求，最后用距离公式求． ②先根据定义表示出，再根据中点关系求出，进而计算并判断是否为定值． ③结合前面的推导，总结出的长度． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点与点互为相反数， ∴点表示的数是． 点表示的数是，则． 点表示，点表示， ∴中点表示的数是， 表示点D如下： （2）解：①∵点表示的数是，与互为相反数， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． 线段的长度为， 故答案为：，，． ②∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则，解得． ∴，即的值不变，为． ③∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． ∴． ∴线段的长度为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 基本平面图形 考点01 直线、射线、线段的联系与区别 …… 1 考点14 三角板中的角度计算 ………… 26 考点02 直线相交的交点个数 ………………… 3 考点15 几何图形中的角度计算 ……… 28 考点03 点和直线的位置关系 ………………… 4 考点16 实际背景下的角度计算 ……… 31 考点04 线段的和与差 ………………………… 5 考点17 角平分线与角n等分线的有关计算 … 32 考点05 线段的中点与n等分点的有关计算 … 6 考点18 尺规作图——作一个角等于已知角 … 35 考点06 与线段有关的动点问题 ……………… 10 考点19 多边形的概念与分类 ………… 37 考点07 两点之间线段最短 …………………… 13 考点20 多边形对角线的条数 ………… 38 考点08 尺规作图——作线段 ………………… 15 考点21 对角线分成三角形的个数问题 ……… 39 考点09 角的概念与表示方法 ………………… 17 考点22 圆的基本概念 ………………… 40 考点10 角的分类 ……………………………… 19 考点23 圆的周长与面积 ……………… 42 考点11 钟面角与方向角 ……………………… 20 考点24 圆心角的基本概念与简单运算 ……… 46 考点12 角与角的度数的大小比较 …………… 22 提升训练 ………………………………… 47 考点13 角度的四则运算 ……………………… 24 地 城 考点01 直线、射线、线段的联系与区别 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点三点在同一水平线上，下列说法不正确的是（   ） A．线段和线段是同一条线段 B．直线和直线是同一条直线 C．射线和射线是同一条射线 D．射线和射线是同一条射线 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（  ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．若，则点B是的中点 3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，若射线上有一点C，下列与射线是同一条射线的是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列语句准确规范的是（   ） A．直线，相交于一点 B．延长直线 C．延长射线 D．延长线段到点，使 5．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 6．（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 7．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点A、B、C是直线上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（   ）    A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 8．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段；④过两点只能画两条射线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 地 城 考点02 直线相交的交点个数 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 3．（24-25七年级下·全国·期中）平面内五条直线两两相交，最多有x个交点，最少有y个交点，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 4．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 5．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成 区域． 地 城 考点03 点和直线的位置关系 一、单选题 1．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 二、填空题 3．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 地 城 考点04 线段的和与差 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知线段，点C在直线上，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，在直线上取一点，使，则点应在（   ） A．点、之间 B．点的左边 C．点的左边 D．点、之间或点的右边 3．（25-26七年级上·北京通州·期中）下列选项中，能用表示的是（    ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 二、填空题 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 已知线段a，b，c，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图： 第一步，在直线上作线段； 第二步，在线段的延长线上作线段； 第三步，在线段的延长线上作线段； 第四步，在线段上作线段． 根据以上尺规作图可知，线段的长是 ． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）若点A，B，C在同一条直线上，线段，则线段的长为 ． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）定义新概念：如图1，点P在线段上，图中共有3条线段和，若有一条线段的长度是另一条线段长度的3倍，则称点P是线段的“巧点”，如图2，若，点P是的的“巧点”，则 cm． 地 城 考点05 线段的中点与n等分点的有关计算 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）直线上有三个点A、B、C，C在线段的延长线上，且分别是的中点，则长为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 6．（24-25七年级上·陕西安康·月考）如图，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·河北衡水·期中）题目：“如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．若已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，，求线段的长．”甲答，乙答，丙答，下列判断正确的是（    ） A．只有甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才正确 C．甲、丙的答案合在一起才正确 D．三人的答案合在一起才正确 二、填空题 8．（25-26七年级上·广东佛山·期中）已知点C为线段的中点，点D为线段上一点，若， ，则的长为 ． 9．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知线段，点是的中点，点是的中点，则 cm 10．（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 11．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 12．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 13．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 三、解答题 14．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 15．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为多少？（要求画出图形） 16．（25-26七年级上·河北唐山·期中）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的___________，___________ 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有两点，是的中点，．求线段的长． 17．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）点是线段的中点，，点在线段上，且． (1)如图，若点在线段上，求的长； 完成下面的解答过程： 解：， ． ， __________． 是线段的中点，， （__________）．（填推理的依据） __________． (2)若点在直线上，是的中点．尝试在下面画出符合题意的图形，并直接写出__________． 18．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，已知，两点把线段从左至右依次分成三部分，是的中点，，求线段的长． 19．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知点C在线段上，且，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；    （2）若点C是线段上任意一点，且，点M、N分别是、的中点，请直接写出线段的长度 （用a、b的代数式表示）； （3）在（2）中，把“点M、N分别是、的中点”改为：点M、N分别是的中点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，请直接写出的长度． 地 城 考点06 与线段有关的动点问题 一、单选题 1．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 三、解答题 4．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 5．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 6．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 7．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段，的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段，的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 9．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 地 城 考点07 两点之间线段最短 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·四川达州·模拟预测）如图所示，某同学的家在处，书店在处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图，在三角形中，，其理由是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段比射线短 D．以上均不正确 三、解答题 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，请在四边形内找一点（画出图形，标出的位置）使它与四边形四个顶点的距离之和：最小，并说出你的理由．举例说明它在实际生活中的应用． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，A、B两个村庄在一条河l（河宽忽略不计）的两侧．现要在河上建一座码头C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小． (1)请你在图中确定码头C的位置，确定的理由是：________________________________； (2)在（1）的基础上，若测量出，，求线段的长度； (3)在（2）的基础上，如果比例尺是，求码头到A、B两个村庄的实际距离之和． 地 城 考点08 尺规作图——作线段 一、解答题 1．（24-25七年级上·甘肃白银·月考）已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． (1)画直线； (2)延长到D，使得，连接． 3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图所示，点A、B表示的数分别是a、b． 用刻度尺或圆规作图：在数轴上画出表示的点；（用两种方法，写出必要的文字说明） 方法一： 方法二： 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，请按如下要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上作一点D，使得； (3)比较大小： ． 5．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知四点A、B、C、D，请按下列要求作图（保留画图痕迹） (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，在线段上取点，使的值最小； (4)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 7．（25-26七年级上·福建三明·期中）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 8．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知线段． (1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①在线段的延长线上取点，使； ②在线段的延长线上取点，使； (2)在（1）的条件下，图中共有 条线段； (3)在（1）的条件下，若，求线段和的长度； (4)在（1）的条件下，若，点在直线上，且，求线段的长度． 地 城 考点09 角的概念与表示方法 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）图中能用三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图①，我们可以将角表示为 或 或 ． （2）如图②，共有 个角，它们分别是 ． 7．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，图中小于平角的角有 个． 地 城 考点10 角的分类 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 地 城 考点11 钟面角与方向角 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）钟表上的时间显示为，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 3．（25-26九年级上·广东汕头·月考）从6点15分到6点30分，分针旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 5．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 6．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（    ） A．小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B．小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C．学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D．学校在小敏家南偏西的方向，距离处 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏东的方向，同时轮船B在南偏西的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）以灯塔为观察点： （1）A岛在 偏 方向上，距离是 千米； （2）B岛在 偏 方向上，距离是 千米． 9．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）从凌晨1时到当日下午1时，分针追上时针 次． 三、解答题 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 11．（24-25六年级下·全国·单元测试）考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东，某考室B位于O点南偏东，请在图中画出射线，并计算的度数． 地 城 考点12 角与角的度数的大小比较 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 2．（24-25七年级上·陕西安康·月考）若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 4．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）比较大小： ．（填“”“”或“”） 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的网格是正方形网格， （填“”“”或“”）． 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 8．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若，，则 ．（填“>”“<”或“=”） 地 城 考点13 角度的四则运算 一、单选题 1．（2025七年级上·全国·专题练习）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·天津·期末）已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25六年级上·上海·月考）计算： ． 6．（25-26七年级上·内蒙古·期末） ． 7．（25-26七年级上·黑龙江·期末）计算： ． 8．（25-26六年级上·上海·期末）计算： ． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1） ′ ″． （2）计算： ． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）填空题． （1） ；         （2） ； （3） ；        （4） ； （5） = ． 三、解答题 11．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： (1)； (2)； 15．（24-25七年级上·贵州贵阳·月考）计算： (1)； (2)． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 地 城 考点14 三角板中的角度计算 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 2．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将两个含角的三角板按如图方式摆放在水平桌面上，下列表述正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·甘肃酒泉·开学考试）下面是几个角的度数，不能用两个三角板拼合画出的角是（        ）的角 A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山东枣庄·月考）如图，一个直角三角板绕其直角顶点C旋转到三角形的位置，若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 三、解答题 8．（24-25七年级下·江西上饶·期中）已知两个分别含有角的一副直角三角板，如图被叠放在一起，使，求的度数． 9．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 地 城 考点15 角几何图形中的角度计算 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知点在直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）已知是的高，，，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 3．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线相交于点O，在的内部，当时，则与的度数和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图所示，，，则的度数是 ． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，是边上的高，且，，则的度数为 ． 三、解答题 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，．求，的度数． 9．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图， 和都是直角． (1)如果， 那么的度数是多少? (2)找出图中相等的角．如果， 它们还会相等吗? 地 城 考点16 实际背景下的角度计算 一、单选题 1．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，学校（记作）在蕾蕾家（记作）南偏西的方向上，且与蕾蕾家的距离是，若，且，则超市（记作）在蕾蕾家的（   ） A．南偏东的方向上，相距 B．南偏东的方向上，相距 C．北偏东的方向上，相距 D．北偏东的方向上，相距 二、填空题 2．（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 3．（24-25九年级下·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 地 城 考点17 角平分线与角n等分线的有关计算 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）已知，射线和射线在内部，且，，射线分别平分，，则 6．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 7．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 三、解答题 8．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，OB是的平分线，OC是的平分线，与有怎样的数量关系？ 10．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，已知，，平分，，求的度数． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 12．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 地 城 考点18 尺规作图——作一个角等于已知角 一、解答题 1．（25-26八年级上·北京海淀·期中）尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 2．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是边上的一点．请用尺规作图法，作出，使，交边于点．（保留作图痕迹不写作法） 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图，是用直尺和圆规作的过程，作图痕迹中，弧的半径为线段，作图时须使线段等于线段______的长； （2）如图2，在同一平面内有四个点A，B，C，D，作直线交射线于点M； （3）如图3，已知，平分，，求的度数． 解：，， ______ ______， 平分， ____________，(______) ______ 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）尺规作图，要求保留作图痕迹． 如图，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明． 5．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）作图与填空． (1)已知：，（图、图）． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)填空：在图（2）中，若，且，则的度数为 ． 地 城 考点19 多边形的概念与分类 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西铜川·月考）下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列说法正确的是（   ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．学生上学采用的交通方式是定量数据 C．两点之间线段最短 D．各边相等的多边形叫正多边形 4．（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 地 城 考点20 多边形对角线的条数 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北唐山·期中）一个多边形共有20条对角线，设这个多边形的边数为n，下列结论错误的是（    ） A．过多边形的一个顶点的对角线有条 B．用n表示多边形对角线的总条数为 C．依题意可得方程 D． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（   ） A． 0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）从n边形的一个顶点出发可以连接条对角线，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）一个多边形有20条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 5．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）边形过一个顶点的对角线有 条，则边形的对角线的条数为 ． 6．（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）过m 边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则 ． 7．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形共有 条对角线． 8．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为 ． 地 城 考点21 对角线分成三角形的个数问题 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 3．（20-21七年级上·陕西汉中·期末）从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26八年级上·河南商丘·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分，将一个五边形进行三角剖分，共用多少种剖分方法（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 二、填空题 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成 个三角形． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，n边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为 ． 7．（24-25七年级上·江西鹰潭·月考）过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形，则n的值是 ． 地 城 考点22 圆的基本概念 一、单选题 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 2．（25-26九年级上·北京·月考）下列命题中正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列命题：正确的是（    ） ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧．③能够完全重合的两条圆弧是等弧．④长度相等的弧所对的弦相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 4．（2025九年级上·全国·专题练习）下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）下面能用来说明“直径是圆中最长的弦”的图形是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中 是弦， 是直径， 是以A为端点的劣弧， 是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 7．（24-25九年级上·北京顺义·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果在中，边固定且上的中线长为，那么顶点的轨迹是 ． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 地 城 考点23 圆的周长与面积 一、单选题 1．（25-26六年级上·黑龙江大庆·开学考试）把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 3．（25-26六年级上·全国·课后作业）要画一个周长是的圆，圆规两脚之间的距离是（ ）． A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 ． 6．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜 平方米． 三、解答题 7．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）如图所示，半径为1厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从点出发不停滚动（无滑动），最后到原来的位置．小圆盘在 、、位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图． 8．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图是一个长为，宽为的长方形市民广场的设计图，其中，有一个边长为的正方形水池和四个半径为的圆形休息区，其余的地方都是绿地． (1)用代数式表示绿地的面积（结果保留）； (2)根据规定，市民广场的绿地面积要占市民广场总面积的一半以上，请通过计算说明这个设计图是否符合规定． 9．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，一只狗被一根米长的绳子拴在一建筑物的墙角上，这个建筑的平面图是边长为米的正方形，狗不能进入建筑物内活动．求狗所能活动到的地面部分的面积．（精确到平方米，取） 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何清扫地面 素材1 如图1，是一款智能家用扫地机器人，以机身圆型底盘为清扫面积，机身上凸起的圆形部分（如图2，即）是激光发射器，用于发射激光以实现精准定位和避障．已知该扫地机器人机身圆型底盘大小是激光发射器的16倍，激光发射的半径是． 素材2 图3，是扫地机器人清扫矩形场地时的行走路径示意图，已知该矩形场地长为7米，宽为米，扫地机器人的行走速度为/分钟． 问题解决 任务1 确定圆的 大小 计算该扫地机器人机身圆型底盘大小． 任务2 预算扫地 时间 该扫地机器人从左上角出发，贴着墙壁清扫一圈回到原来位置，需要多少时间？ 地 城 考点24 圆心角的基本概念与简单运算 一、单选题 1．（2025九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 地 城 提升训练 一、单选题 1．（25-26七年级上·陕西西安·月考）下列说法中错误的有（   ） ①用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”； ②如果线段等于线段，则点是线段的中点； ③画一条直线，使它的长度为； ④射线和射线是同一条射线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·河北衡水·期中）下列说法正确的是（    ） A．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 3．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；……，依次进行这样的标记，则（   ） A．48 B．56 C．64 D．65 5．（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．过一点有且只有一条直线 B．连接两点的线段叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．，则点B是线段的中点 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 7．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ） A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且．若点E在直线AB上，且，则CE的长为（   ） A． B． C．或 D．或 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 10．（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）把钟面上的时针与分针都看作射线，时针与分针就构成一个角，从6点钟到12点钟，当分针指向12时，时针此时恰好与分针构成的角，则此时是（   ） A．7点钟 B．8点钟 C．9点钟 D．10点钟 11．（2025六年级上·全国·专题练习）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交于点，交于点．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 13．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 14．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 16．（25-26八年级上·山西大同·月考）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 二、填空题 17．（25-26七年级上·陕西西安·期中）一条水平直线上有，，三点，，，为的中点，则的长为 ． 18．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 19．（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 20．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 21．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，为线段上两点，，且，则 ． 22．（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，当时钟指向上午10∶15时，时针和分针所成的角的度数为 ． 24．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，，如果的中点和的中点的距离是24．那么 ． 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是 ． 26．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算 ． 27．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是 ． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 29．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，若，则 ． 30．（24-25七年级上·辽宁本溪·开学考试）一个米一周的标准跑道，如果跑道的宽度为1米，进行米比赛时，起跑时第二道比第一道向前移 米． 31．（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 时 分． 三、解答题 32．（24-25七年级上·陕西安康·月考）计算． (1)； (2)． 33．（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)（精确到分）． 34．（24-25七年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2) 35．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 36．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 37．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知和． (1)请用直尺和圆规作两个角，使它们分别等于和．（保留作图痕迹） (2)请用两种方法比较这两个角的大小． 39．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a，b，且．画一条线段，使它等于： (1)； (2)． 40．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，D是三角形的边延长线上一点．请在的内部用尺规作出（保留作图痕迹），测量并比较和的大小关系． 41．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，请先按要求画图，再比较线段的长短． (1)延长到点D，使，比较和的长短，并说明理由． (2)在上截取，比较和的长短，并说明理由． 42．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，若，请说明线段和有怎样的数量关系． （2）如图，已知线段，点M在线段上，C是线段的中点，D是线段的中点．求线段的长度． 43．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 44．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知点B、C在线段上，线段，，且m，n满足． (1)_____，_____； (2)若M是的中点，N是的中点（如下图）． ①的长度为_____； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 45．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）综合与探究 【问题情境】： 已知为直线上的一点，将直三角尺的直角顶点置于点处，始终平分， 【问题实践】： （1）如图1，将直三角尺的一边与射线重合时，则_____； 【解决问题】 （2）如图2，将直三角尺绕着点顺时针旋转到图2的位置时，若，求的度数； 【深入探究】 （3）当将直三角尺绕着点逆时针旋转到如图3的位置时，提出问题：与的数量关系是什么？请说明理由． 46．（25-26七年级上·河北唐山·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为___________； (2)如图2，直角三角板的边在的内部，若恰好平分，求此时的度数： (3)在图2中，请直接写出与之间的数量关系：___________ 47．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则________： (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中a为正整数），直接写出所有使的n值． 48．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图1，分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100． (1)求点A，B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段的三等分点，求点C表示的数； (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上． ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张纸条的长度之比为；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数． 49．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 50．（25-26七年级上·广东汕头·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ，点与点之间的距离 ，点与点的中点表示的数是 ，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是 ，关于点的二次跳跃点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $