精品解析：河北张家口市桥西区2025-2026学年上学期期末学情诊断测试七年级数学试卷

2025—2026学年度第一学期期末学情诊断测试 七年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能被扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，能用∠1，∠AOB，∠O 三种方法表示同一个角的图形是( ) A. B. C. D. 2. 下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列数据是定量数据的是（ ） A. 七（1）班全班学生的性别 B. 七（1）班全班学生上学采用的交通方式 C. 七（1）班任课教师的学历情况 D. 七（1）班全班学生期中考试的数学成绩 4. 设“、、”分别表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c．现用天平称了两次，情况如图①所示（天平均平衡），并由此得到如图②的结论． 这一过程反映的代数基本事实用含字母a，b，c的式子可表示为（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为，则其中最大的圆心角是（ ） A. B. C. D. 6. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ） A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校 C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校 7. 已知是关于x的方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 9. 某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A. B. C. D. 10. 《孙子算经》记载：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸；将这根绳子对折来量，绳子差1尺．这根木材有多长？下列选项正确的是（ ） A. 设木材长为x尺，所列方程为 B. 绳子的长度为12尺 C. 设绳长为x尺，所列方程为 D. 木材的长度为6.5尺 11. 在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，下面是他们二人的作图痕迹，则下列判断正确的是（　　） A. 小明和小华的作法都正确 B. 小明的作法正确，小华的作法不正确 C. 小明的作法不正确，小华的作法正确 D. 小明和小华的作法都不正确 12. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如下图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则的值为（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 140 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 小正方形网格如图所示，点 、 、 、 、 均为格点，那么______（填“”、“”或“ ”）． 14. 下面是某市年私人汽车拥有量和年增长率的统计图．该市私人汽车拥有量年增长率最大的是________年． 15. 如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是________． 16. 某书店在世界读书日期间推出了“全民阅读”促销活动．嘉嘉通过图示的框图，清晰直观地呈现了书店从进货、标价到销售获利的完整流程及其相关数量信息，据此，x的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程，并指出每一步的依据． （1） （2） 18. A、B两种商品在一段时间内的销售总量如图所示： （1）A、B两种商品的销售总量各是多少？相差多少？ （2）统计图给你的感觉和上述结果一样吗？如果不一样，你知道其中的原因吗？ 19. 如图，． （1）与相等吗？为什么？ （2）如果，，求的值． 20. 下面解方程的过程是否正确？如果不正确，请指出错误，并加以改正． 解方程： 解： 21. 为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动.“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校名学生中随机抽取名学生，并对名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）： ××中学学生借阅图书情况调查报告 调查主题 ××中学学生借阅图书情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生 数据的收集、整理与描述 第一项各类图书借阅量统计 说明：A表示科普类；B表示文学类；C表示艺术类；D表示其他 第二项学生个人借阅量统计 图书借阅量/本 … 人数/名 … 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）求被调查的名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整． （2）估计该校所有学生中，图书借阅数量为 本及以上的学生有多少名． （3）在制定方案时，小亮给出的初步方案是随机抽取名九年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计.但经过小组讨论，方案被否决了．请指出该方案被否决的原因． 22. 某校七年级组织知识竞赛，共设20道选择题：各题分值相同，每题必答，下表记录了5个参赛学生的得分情况，请用方程的知识解答： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 （1）同学D得了76分，他答对了几道题？ （2）同学E说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 23. 利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若，则________； （2）折叠长方形纸片，， 均是折痕，点A落在点，点B落在点，连接． ①如图2，当点在上时判断与的关系，并说明理由； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，直接写出的度数． 24. 手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】 如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图2，设该长方体盒子的容积为，求V的最大值． 【探究模型】 （1）长方体的容积________（用含x的代数式表示）； （2）当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 m 576 500 384 252 128 36 ①计算：________，并在图3中补全折线统计图； ②观察表格和折线统计图，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积怎样变化，当x为何值时，所得到的无盖长方体的容积最大． 【继续研究】 当小正方形边长x不为整数时，下面给出了部分参考数据： 当时，；当时，；当时，；当时，． （3）请你观察数据变化，推测x取到何值时，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末学情诊断测试 七年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能被扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，能用∠1，∠AOB，∠O 三种方法表示同一个角的图形是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的表示方法和图形逐个进行判断即可． 【详解】A选项：不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角，故错误； B选项：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角，故正确； C选项：不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角，故错误； D选项：不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角，故错误； 故选：B． 【点睛】考查了角的表示方法，解题关键是理解角的表示方法． 2. 下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的定义：含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程． 根据一元一次方程的定义判断各选项是否符合条件． 【详解】解：A．不是等式，故不是方程； B．中未知数的最高次数为3，故不是一次方程； C．含有两个未知数，故不是一元方程； D．含有一个未知数且次数为1，是一元一次方程． 故选：D． 3. 下列数据是定量数据的是（ ） A. 七（1）班全班学生的性别 B. 七（1）班全班学生上学采用的交通方式 C. 七（1）班任课教师的学历情况 D. 七（1）班全班学生期中考试的数学成绩 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了定量数据和定性数据，定量数据是数值型数据，能够进行数学运算；定性数据是描述性分类数据，不能进行数值运算．选项A、B、C均为分类描述，属于定性数据；选项D为数学成绩，是数值数据，属于定量数据． 【详解】解：A．性别为分类数据，属定性数据； B．交通方式为分类数据，属定性数据； C．学历情况为分类数据，属定性数据； D．数学成绩为数值数据，属定量数据． 故选：D． 4. 设“、、”分别表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c．现用天平称了两次，情况如图①所示（天平均平衡），并由此得到如图②的结论． 这一过程反映的代数基本事实用含字母a，b，c的式子可表示为（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，解题关键是熟练掌握等式的基本性质．先观察图①可知：，，然后根据等式的传递性得到即可． 【详解】解：观察图①可知：，， ∴， ∴图②的结论用含字母a，b，c的式子可表示为：若，，那么． 故选：A． 5. 将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为，则其中最大的圆心角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例分配在圆心角计算中的应用，关键是将总角度按比例分配． 圆的圆心角总和为，按比例分配，总份数为6，最大比例部分为3份，然后计算最大圆心角即可． 【详解】解：∵圆的圆心角总和为，比例之和为， ∴． 故选：C． 6. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ） A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校 C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况． 【详解】解：A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意； B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意； C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意； D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 已知是关于x的方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握方程解的定义． 根据方程的解，把代入方程，得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵是关于 的方程的解， ∴， 解得： ． 故选：A． 8. 过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出n的值，得到答案． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得：， 解得：， 即这个多边形是七边形， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 9. 某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是选择合适的统计图，根据条形图，折线图，扇形图的特点进行选择即可． 【详解】解：∵扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图可以清楚地看出数量的多少；折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能清楚地看出数量的增减变化趋势； ∴最适合描述气温变化趋势的是折线统计图； 故选：C． 10. 《孙子算经》记载：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸；将这根绳子对折来量，绳子差1尺．这根木材有多长？下列选项正确的是（ ） A. 设木材长为x尺，所列方程为 B. 绳子的长度为12尺 C. 设绳长为x尺，所列方程为 D. 木材的长度为6.5尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 根据题意，设木材长为x尺，得方程，然后解方程求出，进而判断A，B，D，设绳长为x尺，根据题意得到，即可判断C． 【详解】解：设木材长为x尺，所列方程为，故A错误； 解得， ， ∴木材的长度为6.5尺，绳子的长度为11尺，故B错误，D正确； 设绳长为x尺，所列方程为，故C错误； 故选：D． 11. 在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，下面是他们二人的作图痕迹，则下列判断正确的是（　　） A. 小明和小华的作法都正确 B. 小明的作法正确，小华的作法不正确 C. 小明的作法不正确，小华的作法正确 D. 小明和小华的作法都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作一个角等于已知角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，根据作图可得，即可得出结论； 【详解】解：小明的做法：， ∴， ∴，即， 小华的做法：， ∴， ∴，即， 综上所述，小明和小华的做法都正确， 故答案为：A． 12. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如下图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则的值为（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 140 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用．由题意可知：重叠部分为：，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为80为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为：， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 小正方形网格如图所示，点 、 、 、 、 均为格点，那么______（填“”、“”或“ ”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角的大小比较，取点E，连接，由网格可知，根据可得． 【详解】解：如图，取点E，连接， 由网格可知， ， ， 故答案为：． 14. 下面是某市年私人汽车拥有量和年增长率的统计图．该市私人汽车拥有量年增长率最大的是________年． 【答案】2020 【解析】 【分析】此题考查了折线统计图，正确利用图形获取信息是解题关键． 根据折线统计图可得私人汽车拥有量年增长率最大的年份． 【详解】解：由折线统计图可得，， ∴私人汽车拥有量年增长率最大的是：2020年． 故答案为：2020． 15. 如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方向角有关的计算，根据方向角的定义，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故答案为：． 16. 某书店在世界读书日期间推出了“全民阅读”促销活动．嘉嘉通过图示的框图，清晰直观地呈现了书店从进货、标价到销售获利的完整流程及其相关数量信息，据此，x的值为________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：40． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程，并指出每一步的依据． （1） （2） 【答案】（1），依据见解析 （2），依据见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）根据等式的性质两边同时加1即可求出解； （2）根据等式的性质两边同时除以即可求出解． 【小问1详解】 解： 两边同时加1，得（等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立） 解得； 【小问2详解】 解： 两边同时除以，得（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立） 解得． 18. A、B两种商品在一段时间内的销售总量如图所示： （1）A、B两种商品的销售总量各是多少？相差多少？ （2）统计图给你的感觉和上述结果一样吗？如果不一样，你知道其中的原因吗？ 【答案】（1）A：345件；B：360件；15件；（2）不一样． 【解析】 【分析】（1）本题根据统计图得出A、B的销售总量，然后计算差； （2）根据图示可以发现纵轴的起始值不是0，所以给人的感觉不一样． 【详解】解：（1）A商品的销售总量是345件．B商品的销售总量是360件． 相差15件． （2）不一样，统计图给人的感觉是B的总量是A的4倍，原因是统计图纵轴的起始值不是从0开始的． 【点睛】本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 19. 如图，． （1）与相等吗？为什么？ （2）如果，，求的值． 【答案】（1），理由见解析 （2）180 【解析】 【分析】此题考查了几何图形中角度的计算， （1）根据题意得到，，即可得解； （2）根据角度的关系等量代换求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解： ∵，， ∴． 20. 下面解方程的过程是否正确？如果不正确，请指出错误，并加以改正． 解方程： 解： 【答案】解方程的过程错误；原解过程在去分母时，右边未乘以公分母6，且左边去括号时符号错误，导致结果错误；见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．去分母，去括号，再移项合并同类项，即可解答． 【详解】解：解方程的过程错误，原解过程在去分母时，右边未乘以公分母6，且左边去括号时符号错误，导致结果错误； 原方程为 去分母得 去括号得 移项，合并同类项得． 21. 为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动.“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校名学生中随机抽取名学生，并对名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）： ××中学学生借阅图书情况调查报告 调查主题 ××中学学生借阅图书情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生 数据的收集、整理与描述 第一项各类图书借阅量统计 说明：A表示科普类；B表示文学类；C表示艺术类；D表示其他 第二项学生个人借阅量统计 图书借阅量/本 … 人数/名 … 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）求被调查的名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整． （2）估计该校所有学生中，图书借阅数量为 本及以上的学生有多少名． （3）在制定方案时，小亮给出的初步方案是随机抽取名九年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计.但经过小组讨论，方案被否决了．请指出该方案被否决的原因． 【答案】（1）本， 补全统计图如下： （2）名 （3） 小亮在选择样本时出现问题，小组想了解全校学生在读书活动中不同种类图书的借阅情况，他只是在九年级中选择调查对象，因此样本的选择不具备代表性．（写出一条，言之有理即可） 【解析】 【分析】本题考查数据的整理与分析，解题的关键是掌握扇形统计图，样本估计总体以及样本的选择，即可． （1）根据扇形统计图和条形统计图得， 类书籍占总体书籍的，即可求出总体书籍；并补全条形统计图； （2）根据学生个人借阅量统计，求出图书借阅数量为 本及以上的学生人数，再根据样本估计总体，即可； （3）根据抽样调查选择样本，即可． 【小问1详解】 借阅图书的总数量为：（本）； ∴ 类书籍的借阅量为：（本）， 类书籍的借阅量为：（本）， 类书籍的借阅量为：（本）， 图略； 答：被调查的名学生在本次活动中借阅图书的总数量为本． 【小问2详解】 （名） 答：估计该校图书借阅数量为 本及以上的学生有名． 【小问3详解】 略 22. 某校七年级组织知识竞赛，共设20道选择题：各题分值相同，每题必答，下表记录了5个参赛学生的得分情况，请用方程的知识解答： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 （1）同学D得了76分，他答对了几道题？ （2）同学E说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】（1）他答对了16道题 （2）同学E说他得了80分，是不可能的，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解题的关键是正确得到等量关系． （1）首先求出答对一题得 分，答错一题扣 分，设同学D答对了x道题，答错了道题，根据题意建立方程求出其解即可； （2）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了道题，根据题意建立方程求解判断即可． 【小问1详解】 解：∵A参赛者答对20道题，得分100， ∴答对一题得分， ∵B参赛者答对19道题，答错1道题，得分94， ∴答错一题扣分， 设同学D答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得：． 答：他答对了16道题； 【小问2详解】 解：是不可能的， 假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了道题， 由题意，得， 解得：， ∵y为整数， ∴同学E说他得80分，是不可能的． 23. 利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若，则________； （2）折叠长方形纸片， ，均是折痕，点A落在点，点B落在点，连接． ①如图2，当点在上时判断与的关系，并说明理由； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，几何图形中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠的性质． （1）根据折叠的性质进行解答即可； （2）①由折叠得出，，根据点落在，得出，即，得出； ②由折叠得出，，根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据折叠可知，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①． 理由：由折叠知，，， ，， 点落在上， ， ， ； ②，， 由折叠知，，， ， 即的度数为． 24. 手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】 如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图2，设该长方体盒子的容积为，求V的最大值． 【探究模型】 （1）长方体的容积________（用含x的代数式表示）； （2）当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 m 576 500 384 252 128 36 ①计算：________，并在图3中补全折线统计图； ②观察表格和折线统计图，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积怎样变化，当x为何值时，所得到的无盖长方体的容积最大． 【继续研究】 当小正方形边长x不为整数时，下面给出了部分参考数据： 当时，；当时，；当时，；当时，． （3）请你观察数据变化，推测x取到何值时，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）①588；画图见解析；②；（3）x取到3.3时，容积V的值最大，最大值是． 【解析】 【分析】本题考查了画函数图象、一元一次不等式组的应用，熟练掌握函数图象的画法是解题关键． （1）根据长方体的体积公式即可的函数关系式，根据硬纸板的边长即可得 的取值范围； （2）①将代入计算即可得； ②由表格和折线统计图求解即可； （3）根据题目给出的参考数据求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴， 则． （2）①当时，，即， 画出函数的大致图象如下所示： ②由表格和折线统计图可得，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积先增大，后减小， 当时，所得到的无盖长方体的容积最大； （3）观察数据变化，推测x取到3.3时，容积V的值最大，最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $