精品解析：上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷

松江区2025学年度第一学期期末质量监控试卷 初三数学 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 在中， ， 、、分别是、、 的对边，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个锐角所对的直角边的长与斜边长的比值，余弦值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与斜边长的比值，正切值等于这个锐角所对的直角边的长与另一直角边的长的比值，余切值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与该锐角所对的直角边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵在中， ， 、、分别是、、 的对边， ∴，，，， 故选：B． 2. 已知与 相似，，那么 的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 利用相似三角形的性质，对应角相等，但对应顶点不确定，需讨论对应或 的情况，从而求出 的可能值． 【详解】解：∵与 相似， ∴对应角相等． ∵， ∴，故不对应． 情况1∶若对应，则， ∴； 情况2∶若对应 ，则； ∴ 可能为 或． 只有C符合． 故选：C． 3. 已知二次函数的图象上有两点、，那么、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算两点对应的函数值，比较大小即可． 【详解】解：对于点，， 对于点，， 又∵， ∴， 即． 故选：B． 4. 已知二次函数 的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象性质，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键； 根据图象特点可得到， ， ， ，即可判断选项A；根据对称轴不是直线，可得，即可判断选项B；根据图象可知，当时，，即可判断选项C；根据图象可知，当时，，即可判断选项D． 【详解】解：由二次函数图象可知，函数图象开口向上，即 ， ∵对称轴在轴的右侧， ∴ ， ∵图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴ ， ∴，可判断选项A错误； ∵当对称轴时，可得， 而由图象分析可知，二次函数的对称轴不是直线， ∴，故选项B错误； 由图象可知当时，，故选项C正确； 由图象可知当时，，故选项D错误； 故选：C． 5. 已知四边形的对角线交于点，如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，向量的相关知识，若两个非零向量满足（其中k是实数，且 ），那么，且，则，证明得到，据此可判断A、B；可证明与不平行， 与 不平行，据此可判断C、D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，故A正确，B不正确， ∵四边形的对角线交于点， ∴与不平行， ∴，故C不正确； ∵， ∴四边形不是平行四边形， ∴ 与 不平行， ∴，故D不正确； 故选：A。 6. 已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A. ①和②都是真命题 B. ①和②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，如图1所示，等腰三角形一腰上的高都为，且两个三角形的腰长相等，而此时两个三角形不相似，据此可判断①；如图2所示，可证明，得到，进而可证明；同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似，据此可判断②． 【详解】解：如图1所示，在中，点D和点E都是 上的点，且， ∴都是等腰三角形， 此时满足，但是和 不相似， ∴命题①是假命题； 当两个三角形都为锐角三角形时， 如图2所示，中，，中， ， ∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴； 同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似， 综上所述，命题②是真命题； 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝________________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题的关键． 根据比例中项的定义，线段是 和的比例中项时，满足，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵线段是 、的比例中项， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为． 8. 如果向量、和满足，那么_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查向量的运算． 利用等式性质解向量方程即可． 【详解】解：由， 得， 移项，得， 所以． 故答案为：． 9. 已知抛物线经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是____________． 【答案】向上 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征． 抛物线经过第二象限，说明存在点满足，，代入抛物线得 ，故开口向上． 【详解】解：∵抛物线经过第二象限， ∴存在点在第二象限，即，， 代入抛物线，得， ∵， ∴ ， ∴抛物线的开口方向向上． 故答案为：向上． 10. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律． 根据二次函数的平移规律，左右平移改变x，上下平移改变y． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，得； 再向下平移1个单位，得． 故答案为：． 11. 如图， 已知，点、分别在边 、的延长线上， ，，，，那么______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：2． 12. 如图，点是的重心，经过点，且 ，那么与面积的比值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，重心的性质，连接并延长交 于点，根据平行线分线段成比例，结合重心的性质，得到，进而得到，证明 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交 于点， ∵点是的重心， ∴， ∵经过点，且 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴与面积的比值为； 故答案为：． 13. 如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆 的水平距离米，那么旗杆 的高度是______________米． 【答案】10.7 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式，求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：作交 于点， 由题意可知：四边形均为矩形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即旗杆 的高度是10.7米； 故答案为：10.7． 14. 如图，已知，与交于点，，， ，那么的长是____________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明，求出，进而得到，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ； 故答案为：18． 15. 如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到 的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到 的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到 的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时， ， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 16. 已知一副三角板中，含三角板的斜边（）与含三角板的长直角边（）相等．如图，将一副三角板拼在一起，点、、在一条直线上，那么的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，设 ，分别解，求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， 设 ， 在中， ， ∴； 在 中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，网格中求三角函数值，连接，交于点，易得，均为等边三角形，求出的长，再利用正切的定义，进行计算即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵菱形 ， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴， 同理： 为等边三角形，，， ∴， ， ∴； 故答案为：． 18. 已知中，，点、分别在边 、 上，如果 与相似，且是等腰三角形，那么的值是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得只存在和这两种情况，当时，可证明，一定是钝角，故 ，导角可得，再解直角三角形即可；当时，同理可得 ，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵ 与相似，且， ∴只存在和这两种情况， 如图所示，当时，则， ∴， ∴， ∴此时只能是， ∴； ∵是锐角， ∴一定是钝角， ∵是等腰三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作 于点H，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∵是等腰三角形， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 的三边分别是 、、，且， （1）如果的周长为60，求 的值； （2）如果的面积为 60，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查比例的性质和勾股定理逆定理． （1）设，则，利用周长公式列方程求解即可； （2）设，则，通过勾股定理逆定理判断直角三角形，再利用面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：设， 则， ∵的周长为60， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设， 则， ∵，， ∴， 即是直角三角形， ， ∵的面积为60， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 20. 在画二次函数的图象时，列表如下： 0 1 0 0 （1）直接写出、、、的值： ________________；________________； ________________；________________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势 【答案】（1） （2） 解：描点，连线，画出函数图象如下： 由图象可知：在直线的左侧图象下降，在直线的右侧图象上升． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握五点作图法是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进而求出的值即可； （2）描点，连线画出函数图象，根据图象描述增减性即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，函数图象与轴的两个交点坐标为和， ∴二次函数的解析式为 ， ∴ ， 当时， ； 当时， ； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中， ，，，点在边 上，且． （1）求的长； （2）求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）过点作于点，分别解和 ，进行求解即可． （2）作于点，勾股定理求出 的长，进而求出 的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用余弦的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， 在中， ，， ∴， 在 中，， ∴，； ∴； 【小问2详解】 解：如（1）图，作于点， 由（1）知：， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴． 22. 如图，是在小区入口处安装的摄像头， 是摄像头的监控区域． 为水平地面，点、在直线 上． 已知摄像头离地面的高度米，，． （1）求 的长． （2）一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（ ）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 【答案】（1）15.6米 （2）9秒 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）分别解，求出 的长，进而求出 的长即可； （2）分别解，求出的长，进而求出货车行驶的路程，利用时间等于路程除以速度进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴； 在中，，， ∴； ∴（米）； 【小问2详解】 解：由题意，，， 在 中，； 在 中，， ∴厢式货车在监控范围内行驶的路程为（米）； ， ∴（秒）； 答：从车头（ ）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要9秒． 23. 如图，在梯形中，，，是边 上一点，与交于点，如果 平分，且 ． （1）求证： ； （2）求证： ． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ； （2） 证明：由（1）知： ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，求出 ，进而推出 ，证明 ，即可得证； （2）证明 ，得到 ，等角的余角相等结合对顶角相等，得到 ，进而得到 ，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． （1）求该抛物线的表达式和点的坐标； （2）是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 【答案】（1）， （2）①②或个单位长度 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）求出点坐标，设出交点式，待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）①根据，，得到，进而得到，设直线与轴交于点，则：，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可；②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线，进而得到，，设，根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式求出点坐标，代入新的函数解析式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一条抛物线与轴交于点、点， ∴设抛物线的解析式为， ∵，， ∴ ， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，则：， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴ ， 联立，解得或， ∴； ②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线， ∵， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 由①知：， ∴， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴为对角线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或； 即平移的距离为或个单位长度． 25. 在中，是边 上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线 于点． （1）如图1，当四边形是矩形时，如果 ，，求四边形的面积； （2）如图2， 如果， ，四边形 的面积是，求的正弦值； （3）如果 且 ，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到 ，证明、，得到、，根据可知，设，则，求出，进而求出 ，，根据矩形的面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质得到 ，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，则，证明，得到，求出，则，连接 ，设的面积是，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”得到 的面积是， 的面积是，根据四边形 的面积是得到 的面积是，列方程求出，则的面积是，作交 延长线于G，根据三角形面积公式求出，根据正弦的定义得到，即； （3）根据折叠的性质得到 ，，，，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，根据等边对等角得到，即，则、，得到、，即，设， ，则，可得，，，则，根据 ，得到，当点F在线段上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，根据完全平方公式得到，开平方即可；当点F在线段的延长线上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，开平方即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 即， ∴四边形的面积； 【小问2详解】 解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴ ，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 如图，连接 ， 设的面积是，则 的面积是， ∴的面积是， ∵，， ∴ 的面积是， ∵四边形 的面积是， ∴ 的面积是， 即， 解得：， ∴的面积是， 的面积是， ∴的面积是， 作交 延长线于G， 则， 解得：， ∵ ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴ ，，，，， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 即， 设， ，则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即， ∵ ，， ∴， 如图，当点F在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴ ， ∴ ， 即； 如图，当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，求正弦值，全等三角形的判定和性质，完全平方公式变形求值，分母有理化，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江区2025学年度第一学期期末质量监控试卷 初三数学 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 在中，， 、、 分别是、、 的对边，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知与 相似，，那么 的度数可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象上有两点、，那么、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 已知二次函数 的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形的对角线交于点，如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A. ①和②都是真命题 B. ①和②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝________________． 8. 如果向量、和满足，那么_____________． 9. 已知抛物线经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是____________． 10. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是____________． 11. 如图， 已知，点、分别在边、的延长线上， ，，，，那么______． 12. 如图，点是的重心，经过点，且 ，那么与面积的比值是________． 13. 如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆 的高度是______________米． 14. 如图，已知，与交于点，，， ，那么的长是____________． 15. 如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到 的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米． 16. 已知一副三角板中，含三角板的斜边（）与含三角板的长直角边（）相等．如图，将一副三角板拼在一起，点、、在一条直线上，那么的值是__________． 17. 如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是____________． 18. 已知中，，点、分别在边 、上，如果 与相似，且是等腰三角形，那么的值是___________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 的三边分别是 、、 ，且， （1）如果的周长为60，求 的值； （2）如果的面积为 60，求 的值． 20. 在画二次函数的图象时，列表如下： 0 1 0 0 （1）直接写出、 、、的值： ________________；________________； ________________；________________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势 21. 如图，在中， ，，，点在边上，且． （1）求的长； （2）求的余弦值． 22. 如图，是在小区入口处安装的摄像头， 是摄像头的监控区域． 为水平地面，点、在直线 上． 已知摄像头离地面的高度米，，． （1）求 的长． （2）一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 23. 如图，在梯形中， ，，是边 上一点，与交于点，如果 平分，且 ． （1）求证： ； （2）求证： ． 24. 在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． （1）求该抛物线的表达式和点的坐标； （2）是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 25. 在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． （1）如图1，当四边形是矩形时，如果 ，，求四边形的面积； （2）如图2， 如果， ，四边形 的面积是，求的正弦值； （3）如果 且 ，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $