19.3二次根式的加法与减法寒假预习讲义 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.3二次根式的加法与减法寒假预习讲义 预习目标导航 1.掌握合并被开方数相同的最简二次根式的方法. 2.掌握二次根式加减的法则，会运用法则进行二次根式的加减运算. 3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算.预习内容概览 预习必备 知识点梳理 1.可以合并的二次根式 2.二次根式的加减 3.二次根式的混合运算 常考题型 精讲精炼 1.同类二次根式 2.二次根式的加减运算 3.二次根式的混合运算 4.分母有理化 5.已知字母的化简求值 6. 已知条件式，化简求值 7. 比较二次根式的大小 8.二次根式的应用 9.复合二次根式的化简 强化巩固 题型通关 (17题) 知识点梳理 【知识点1 可以合并的二次根式】 1.可以合并的二次根式需要满足的条件 (1)二次根式是最简二次根式；(2)被开方数相同. 拓展：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 2.合并同类二次根式的方法 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如 其中a≥0. 注意 (1)判断几个二次根式是否可以合并，一定要先看它们是不是最简二次根式， (2)被开方数不相同的最简二次根式不能合并，如 应为最终结果，而不能错误地合并为 拓展：同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是在运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用， 【知识点2 二次根式的加减】 1.二次根式加减的法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 2.二次根式加减法的步骤 (1)将各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出化简后被开方数相同的二次根式；(3)合并被开方数相同的二次根式————将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变. 3.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化成最简二次根式或整式 先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 注意 (1)在二次根式的加减法中，化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分.(2)整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用。 提示 二次根式的加减运算可类比整式加减中的合并同类项来进行，合并的依据是乘法分配律，系数进行加减法运算要加括号，“类”与“类”之间用加号连接.如 【知识点3 二次根式的混合运算】 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的(或先去掉括号). 二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式. 提示： 在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式(平方差公式、完全平方公式)仍然适用. 注意 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式. 题型精讲精练 【题型1 同类二次根式】 【典例1】．下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 【变式训练1】．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式化简，同类二次根式；找出与是同类二次根式的选项，即化简后被开方数均为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数为3，故A不符合题意； B、，被开方数为2，故B符合题意； C、，是整式，不是二次根式，故C不符合题意； D、，被开方数为3，故D不符合题意． 故选：B. 【变式训练2】．下列根式不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，同类二次根式才能进行合并，把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．将选项中的二次根式进行化简，根据同类二次根式才能相加减选出答案即可． 【详解】解：， A、能与合并，故此选项不符合题意； B、能与合并，故此选项不符合题意； C、能与合并，故此选项不符合题意； D、不能与合并，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式训练3】．若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 【题型2 二次根式的加减运算】 【典例2】．矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据矩形周长公式，周长等于两倍的长加宽，先化简为，再计算周长，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形相邻两边长分别为，，且， ∴它的周长是， 故选：D． 【变式训练1】．计算． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算乘法，然后计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【变式训练2】．计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，先证明，再化简二次根式，最后根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：∵式子和有意义，且， ∴， ∴ ． 【变式训练3】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的性质，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型3 二次根式的混合运算】 【典例3】．估计的运算结果应在（   ） A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先算乘法，再算减法，最后用平方法估算平方根的取值范围． 【详解】解： = ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ 结果在 3 到 4 之间． 故选：B． 【变式训练1】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需要根据二次根式的运算法则逐一判断选项的正确性． 【详解】解：A、是有理数，是无理数，二者不是同类二次根式，不能合并，所以，不符合题意； B、根据二次根式的除法法则（，），则，符合题意； C、根据二次根式的乘法法则，则，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题关键是掌握同类二次根式才能合并，以及二次根式乘除运算的法则． 【变式训练2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，二次根式的混合运算，平方差公式，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算减法，即可作答． （2）根据平方差公式进行展开，再运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式训练3】．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【题型4 分母有理化】 【典例4】．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式的概念． 根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可． 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】．下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 【变式训练2】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． 先分母有理化，化简二次根式，再进行加减计算． 【详解】解： ． 【变式训练3】．阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【题型5 已知字母的化简求值】 【典例5】．已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，通过计算x与y的和与积，利用恒等式将原式转化为，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式训练1】．当时，代数式的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式化简求值的方法． 根据分式的除法和因式分解可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：， ， 当时，原式， 故选：D． 【变式训练2】．已知，求的值 【答案】3 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，整理得，，，再把化简得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， ． 【变式训练3】．已知． (1)若． ①直接写出的值为________； ②求的值； ③求的值． (2)若，求的最小值． 【答案】(1)① ② ③ (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式及完全平方公式的应用，关键是灵活应用知识点解题； （1）①直接根据平方差公式计算即可； ②先通分，再展开，然后将的结果代入即可； ③先提出，再仿照②解答； （2）由已知得，再将待求式整理为含，的式子，然后分两种情况讨论最小值即可． 【详解】（1）①解：由题意得：． 故答案为：； ②解：∵， ∴ ∴原式； ③解：原式 ； （2）解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵有实数根， ∴， 即： 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式最小，最小值为：， 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式的值最小，最小值为； 综上所述，的最小值为． 【题型6 已知条件式，化简求值】 【典例6】．已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 【变式训练1】．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 【变式训练2】．已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 【变式训练3】．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 【题型7 比较二次根式的大小】 【典例7】．下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次根式的大小分别判断各个选项即可． 【详解】解：A选项中， ， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； B选项中，， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； C选项中，，， ∵， ∴， 故C选项符合题意； D选项中， ， ， ∵， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 【变式训练2】．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 【变式训练3】．比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：，， ， ． ． 故答案为：． 【题型8 二次根式的应用】 【典例8】．为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式分别求得正方形和正方形的边长，进而得出长方形的长和宽，最终可求得总面积． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为， 正方形的边长为， ∴长方形的长为，宽为， ∴， 故选：B． 【变式训练1】．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 根据焦耳定律公式求解电流，需将已知量代入公式，通过代数运算求出电流的值． 【详解】解：已知焦耳定律公式，其中，，，将这些值代入公式求解电流： ． 故选：C． 【变式训练2】．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为， ∵， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为， 故选：D 【变式训练3】．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用二次根式的性质进行计算是解答本题的关键． 先利用二次根式的性质计算出两小正方形的边长，则可得到大正方形的边长，然后用大正方形的面积分别减去两小正方形的面积得到留下部分的面积． 【详解】由条件可知两个阴影小正方形的边长是，， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 余下部分的面积=大正方形的面积-阴影部分的面积． 故选：A． 【题型9 复合二次根式的化简】 【典例9】．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 【变式训练1】．计算（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 【变式训练2】．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 【变式训练3】．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 过关检测训练 1．估计的值应在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的混合运算，先根据二次根式的运算法则化简式子，再利用无理数的估算即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在2到3之间． 故选：B． 2．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算． 先根据算术平方根的定义得到，可得，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， ． 故选：C． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故原式计算错误，不符合题意； B、，故原式计算错误，不符合题意； C、，故原式计算正确，符合题意； D、，故原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 5．已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（   ） ①若，则， ②若，且，则不存在任何的m，n满足条件； ③若，则M，N共有4种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据x不是完全平方数，得到为无理数，得到时，，进而得到判断①；根据且，得到，进而推出，判断②；根据，得到，求出正整数解，进行判断即可． 【详解】解：∵x不是完全平方数， ∴为无理数， ∵，其中a，b，c，d，x均为正整数， ∴当时，， ∵， ∴， ∴；故①正确； 当且时，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵均为正整数， ∴为正整数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 不存在正整数，使； 故不存在任何的m，n满足条件；故②正确； 当时，则， ∴， ∵均为正整数，， ∴或， 当时，则，，， 不存在正整数满足条件； 当时，则或，，，或， ∴或； 当时，；满足题意； 当时，；满足题意； ∴M，N共有2种结果；故③错误； 故选C． 6．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 7．如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查同类二次根式的定义，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此解答即可． 【详解】解：∵最简二次根式 与 最简二次根式 是同类二次根式， ∴被开方数相等， 即 ， 解得 ． 故答案为：1． 8．分母有理化： ． 【答案】/ 【分析】本题考查分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质等知识，熟记分母有理化的方法步骤是解决问题的关键． 通过分母有理化，将分子和分母同时乘以，利用平方差公式化简即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 9．已知，，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化， 先对x和y进行分母有理化，得到 ，然后分别计算和的值，最后求和即可． 【详解】解：； ， ， ， ， ． 故答案为：15． 10．已知，则 ． 【答案】 2029 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，利用已知条件变形，得到，再通过平方运算求出的值，最后代入原式计算． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：2029． 11．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查二次根式化简、代数式求值；先对进行分母有理化，得到，进而得到，平方后得到，然后利用这个关系简化代数式． 【详解】解：， ∴， 两边平方得，即， ∴． ∴． 故答案为：2026． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据乘法分配律展开，再进行二次根式的化简与计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算乘法公式，再计算加减即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可； （4）先化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分数的化简求值等知识，先进行分式化简，再代入求值即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 15．如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 【答案】(1) (2) (3)甲的侧面积更小，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得，根据甲，乙两个盒子侧面积可推出，结合即可求解； （3）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴． ∴， ∴甲盒子的侧面积为：， 故答案为： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵甲，乙两个盒子侧面积和为， ∴， 又， ∴． ∴． （3）解：甲的侧面积为：，乙的侧面积为：． ∴ ∵（） ∴ 又 ∴ ∴，即 ∴当时，甲的侧面积更小， 16．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化，例如： ；． (1)请根据以上方法进行分母有理化： ①_______；②_______；③_______； (2)计算： 【答案】(1)①；②；③ (2)2022 【分析】本题考查分母有理化； （1）①分子分母同时乘以即可；②分子分母同时乘以即可；③分子分母同时乘以即可； （2）先将括号内的式子分母有理化，找到互相抵消的项，即可算出结果. 【详解】（1）解：①， ②， ③. 故答案为：①；②；③. （2）解： . 17．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 【答案】的面积为，的面积为 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解题意；根据海伦公式求解的面积，然后利用秦九韶公式求解的面积，然后问题可求解． 【详解】解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴； ∵的三边长分别为，，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3二次根式的加法与减法寒假预习讲义 预习目标导航 1.掌握合并被开方数相同的最简二次根式的方法. 2.掌握二次根式加减的法则，会运用法则进行二次根式的加减运算. 3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算.预习内容概览 预习必备 知识点梳理 1.可以合并的二次根式 2.二次根式的加减 3.二次根式的混合运算 常考题型 精讲精炼 1.同类二次根式 2.二次根式的加减运算 3.二次根式的混合运算 4.分母有理化 5.已知字母的化简求值 6. 已知条件式，化简求值 7. 比较二次根式的大小 8.二次根式的应用 9.复合二次根式的化简 强化巩固 题型通关 (17题) 知识点梳理 【知识点1 可以合并的二次根式】 1.可以合并的二次根式需要满足的条件 (1)二次根式是最简二次根式；(2)被开方数相同. 拓展：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 2.合并同类二次根式的方法 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如 其中a≥0. 注意 (1)判断几个二次根式是否可以合并，一定要先看它们是不是最简二次根式， (2)被开方数不相同的最简二次根式不能合并，如 应为最终结果，而不能错误地合并为 拓展：同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是在运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用， 【知识点2 二次根式的加减】 1.二次根式加减的法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 2.二次根式加减法的步骤 (1)将各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出化简后被开方数相同的二次根式；(3)合并被开方数相同的二次根式————将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变. 3.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化成最简二次根式或整式 先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 注意 (1)在二次根式的加减法中，化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分.(2)整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用。 提示 二次根式的加减运算可类比整式加减中的合并同类项来进行，合并的依据是乘法分配律，系数进行加减法运算要加括号，“类”与“类”之间用加号连接.如 【知识点3 二次根式的混合运算】 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的(或先去掉括号). 二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式. 提示： 在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式(平方差公式、完全平方公式)仍然适用. 注意 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式. 题型精讲精练 【题型1 同类二次根式】 【典例1】．下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练1】．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】．下列根式不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【题型2 二次根式的加减运算】 【典例2】．矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是（   ） A． B． C．4 D． 【变式训练1】．计算． 【变式训练2】．计算： 【变式训练3】．计算： (1)． (2)． 【题型3 二次根式的混合运算】 【典例3】．估计的运算结果应在（   ） A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间 【变式训练1】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．计算： (1)； (2)． 【变式训练3】．计算： (1)； (2) 【题型4 分母有理化】 【典例4】．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】．下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】．计算：． 【变式训练3】．阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【题型5 已知字母的化简求值】 【典例5】．已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 【变式训练1】．当时，代数式的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式训练2】．已知，求的值 【变式训练3】．已知． (1)若． ①直接写出的值为________； ②求的值； ③求的值． (2)若，求的最小值． 【题型6 已知条件式，化简求值】 【典例6】．已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【变式训练1】．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式训练2】．已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【变式训练3】．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【题型7 比较二次根式的大小】 【典例7】．下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【变式训练3】．比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【题型8 二次根式的应用】 【典例8】．为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 【变式训练2】．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式训练3】．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【题型9 复合二次根式的化简】 【典例9】．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练1】．计算（   ） A． B． C．5 D．1 【变式训练2】．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【变式训练3】．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 过关检测训练 1．估计的值应在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 2．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 5．已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（   ） ①若，则， ②若，且，则不存在任何的m，n满足条件； ③若，则M，N共有4种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 6．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 7．如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 8．分母有理化： ． 9．已知，，则代数式 ． 10．已知，则 ． 11．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 12．计算： (1) (2) 13．计算： (1) (2) (3) (4) 14．先化简，再求值：，其中． 15．如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 16．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化，例如： ；． (1)请根据以上方法进行分母有理化： ①_______；②_______；③_______； (2)计算： 17．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $