精品解析：安徽省部分高中学校2026届高三上学期（1月）期末质量检测数学试题

2026届高三第一学期1月期末质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 （i为虚数单位），则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知直线平面，则过且与垂直的平面（ ） A. 有且仅有1个 B. 有且仅有2个 C. 有无数个 D. 不存在 4. 若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（ ） A 增函数且有最大值 B. 增函数且有最小值 C. 减函数且有最大值 D. 减函数且有最小值 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列满足，在和之间插入k个1，得到新数列，则的前90项和为（ ） A. 168 B. 188 C. 212 D. 222 7. 在平面直角坐标系xOy中，设抛物线的焦点为F，点A，B在C上，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 8. 记的面积为，若，且，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，圆，则（ ） A. 的半径为4 B. 若相切，则 C. 当时，相交弦所在直线的方程为 D. 当时，相交弦的长度为 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线与圆相切，点N在C左支上，则（ ） A. B. 直线与C的右支恰有两个交点 C. 周长的最小值为 D. 的最小值为2 11. 已知正方体的棱长为2，E为CD的中点，F在棱上（不包括端点），则（ ） A. 若F为棱的中点，则平面ADF截正方体所得截面为矩形 B. 若F为棱的中点，则B，到平面ADF的距离之比为2 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥外接球表面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为________．. 13. 若函数的图象关于点对称，则________． 14. 已知函数，点在曲线上，则最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为T，；的图象关于点中心对称． （1）求的解析式； （2）将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求满足的x的取值范围． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的通项公式． 17. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面,分别为的中点． （1）证明：平面SAD； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）求异面直线公垂线段的长度（同时和两条异面直线都垂直并相交的直线叫做异面直线的公垂线，交点之间的距离就是公垂线段的长度）． 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，圆，过的直线与交于，两点，当直线垂直于轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，设在圆上，且也在上，判断是否存在点满足，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由； （3）当时，直线交圆于，两点，求的最大值． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在，使得关于x方程有三个不同的实数根，求b的取值范围； （3）若为函数的极小值点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第一学期1月期末质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的概念求解. 【详解】由题， 由，解得， 可得，故. 故选：B． 2. 已知 （i虚数单位），则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出后，再由复数的模的公式即得. 【详解】， 所以， 故选：C． 3. 已知直线平面，则过且与垂直的平面（ ） A. 有且仅有1个 B. 有且仅有2个 C. 有无数个 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】根据面面垂直的判定定理，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 又因为经过的平面有无数个，所以会有无数个平面垂直平面. 故选：C. 4. 若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（ ） A. 增函数且有最大值 B. 增函数且有最小值 C. 减函数且有最大值 D. 减函数且有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇函数的对称性，判断单调性，再根据单调性，判断最值出现在区间的端点即可. 【详解】因为奇函数的图像关于原点对称， 若 在 上是增函数，则它在对称区间 上也是增函数， 因为 在 上的最小值为 ，即 ， 根据奇函数性质 ，可得， 又因为 在 上是增函数， 所以在区间右端点 处取得最大值， 即最大值为 . 故选：A． 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式，即可求得答案. 【详解】由题意得. 故选：A． 6. 已知等差数列满足，在和之间插入k个1，得到新数列，则的前90项和为（ ） A. 168 B. 188 C. 212 D. 222 【答案】D 【解析】 【分析】设新数列的前90项包含原数列的前项，得到新数列到为止的总项数为，确定出新数列的前90项包含原数列的前项和78个1，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设新数列的前90项包含原数列的前项， 因为和之间插入k个1，所以在前插入的1的总数为， 则新数列到为止的前的总项数为， 当时，可得； 当时，可得， 所以新数列的前90项包含原数列的前项和78个1， 因为等差数列满足， 所以新数列的前90项和为. 故选：D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，设抛物线的焦点为F，点A，B在C上，若，则的最小值为（ ） A 4 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的定义与向量垂直的条件，通过代数变形求最值. 【详解】设，且， 由可得，，又，解得， 由抛物线的定义知， 因为，当且仅当或时取等号， 所以. 故选：D． 8. 记的面积为，若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出角，再用角表示，即可求出最小值. 【详解】因为，且， 所以则由，可得， 整理得，而，所以. 由，得， 所以. 而, 所以 . 因为，则，所以， 则. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，圆，则（ ） A. 半径为4 B. 若相切，则 C. 当时，相交弦所在直线的方程为 D. 当时，相交弦的长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】将的一般方程化为标准方程后可判断A，根据相切得圆心距，再求出后可判断B的正误，两圆方程相减后得相交弦方程，故可判断C的正误，利用几何法求出弦长后可判断D的正误. 【详解】对于A，整理为， 所以半径为4，A选项正确； 对于B，由A的判断可得，而，故且的半径为1， 若相切，则或，故或， 解得或，B选项错误； 对于C，当时，将两圆方程相减可得即， 故相交弦所在直线方程为，故C选项正确； 对于D，由C可得相交弦方程为, 故到直线的距离为， 所以相交弦的长度为，D选项错误， 故选：AC． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线与圆相切，点N在C左支上，则（ ） A. B. 直线与C的右支恰有两个交点 C. 周长的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的距离即可求解A，根据直线的斜率与渐近线的斜率比较，即可求解B，根据双曲线的定义，结合三点共线即可求解C，根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解D. 【详解】由题意得C的渐近线为，圆心为， 由于C的渐近线与圆相切， 所以，选项A正确； 且，得到直线的斜率为， 因为直线的斜率大于渐近线的斜率， 所以直线与C的左、右支各有1个交点，选项B错误， 而周长为， 当且仅当三点共线时等号成立，选项C正确； 设，所以，即， 可得， 所以的最小值为，选项D错误． 故选:AC． 11. 已知正方体的棱长为2，E为CD的中点，F在棱上（不包括端点），则（ ） A. 若F为棱的中点，则平面ADF截正方体所得截面为矩形 B. 若F为棱的中点，则B，到平面ADF的距离之比为2 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥外接球表面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行和垂直的性质可判断A，根据相似即可求解B，根据等体积法，结合体积公式即可求解C，根据正切的两角差公式，结合外接球的性质即可求解D. 【详解】若F为棱的中点，过F作BC的平行线交于点G，则G为中点， 则,故四边形为截面， 由于平面，平面， 故，因此四边形矩形，A选项正确； 连接，DG交于点O，则B，到平面ADF的距离之比为，B选项错误； 三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 的面积为定值，而到平面的距离为定值， 故三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值，C选项正确； 设，则， 当且仅当时取到等号，故的最大值为， 此时由于取到最大值， 所以的最大值为，所以外接圆半径最小值为， 故三棱锥外接球的半径为, 所以三棱锥外接球表面积的最小值为，D选项正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为________．. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算求解. 【详解】， 在方向上投影向量的坐标为． 13. 若函数的图象关于点对称，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得到，代入解析式即可求解. 【详解】由可得: ， 即恒成立， 得到恒成立，即， 即，恒成立， 因为在定义域内不恒为0， 所以， 即恒成立， 展开可得，即或， 当时，定义域为空集，舍去， 所以，所以． 故答案为：2 14. 已知函数，点在曲线上，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数单调性，进而求解值域范围，计算得到结果. 【详解】求导得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以， 点在曲线上，则，所以， 设，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，故单调递增， 故，即的最大值是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为T，；的图象关于点中心对称． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求满足的x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求得，由的图象关于点中心对称及求得，得到解析式； （2）由得到求解. 【小问1详解】 ，所以， 因为，所以， 由的图象关于点中心对称可知， 所以，故，因为，所以， 所以； 【小问2详解】 ， 即，即． 则，即． 所以． 解得． 即x的取值范围为. 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据通项与前项和的关系得到，再根据等比数列通项公式求解； （2）利用累加法和错位相减法求解. 【小问1详解】 ∵， ∴时，， ∴时，，即， 又， ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴． 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， 令，设数列的前n项和为， ①， ②， ①-②得， ∴， ∴，又，∴， ∴时，，又符合上式， ∴． 17. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面,分别为的中点． （1）证明：平面SAD； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）求异面直线公垂线段的长度（同时和两条异面直线都垂直并相交的直线叫做异面直线的公垂线，交点之间的距离就是公垂线段的长度）． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接BD，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以A为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）过作垂直于，证得为异面直线的公垂线，在直角中，求得长度，即可求解. 【小问1详解】 证明：连接BD，因为为的中点，且四边形为正方形， 所以为的中点，又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由向量为平面SAD的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 解：因为平面，平面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 过作垂直于，即，因为平面，所以， 所以为异面直线的公垂线， 在直角中，，可得， 所以，所以异面直线的公垂线的长度为. 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，圆，过的直线与交于，两点，当直线垂直于轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，设在圆上，且也在上，判断是否存在点满足，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由； （3）当时，直线交圆于，两点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率和通径的计算即可求解； （2）通过斜率为0，斜率不存在，和斜率存在且不为0三种情况讨论求解即可； （3）①当直线AB的斜率为0时，得到，②当直线AB的斜率不为0时，设直线，联立椭圆方程，结合椭圆弦长公式和圆的弦长公式得到，再令，构造函数，求导确定单调性即可求解. 【小问1详解】 依题意，，所以， 当时，可得，解得， 所以，解得， 所以C的标准方程为． 【小问2详解】 易知，设，显然当直线AB斜率为0时，不符合题意． 当直线AB斜率不存在时，，满足题意，此时直线方程为； 当直线AB斜率存在时，设A、B两点的坐标分别为，则， 则，两式相减可得， 即，易知， 所以，因为， 即，解得或，均不符题意． 综上所述，存在点D满足，此时直线AB的方程为． 【小问3详解】 ①当直线AB的斜率为0时，，，所以． ②当直线AB的斜率不为0时，设直线， 联立直线l与C的方程，得， ∴， 由韦达定理得， ， 则， 圆心到直线AB的距离， 则， 因此，， 令，则， 设，则， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以， 因为，所以的最大值为． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在，使得关于x的方程有三个不同的实数根，求b的取值范围； （3）若为函数的极小值点，求m的取值范围． 【答案】（1）上单调递减，上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定函数的定义域，求出函数的导数，判断其正负，即可得答案； （2）由题意可得方程有三个不同实数根，由此构造函数，讨论b的取值范围，从而判断函数单调性，即可求解； （3）求出的导数，利用构造函数，结合分类讨论m的范围判断其单调性，判断是否为函数的极小值点，即可确定答案. 【小问1详解】 由题意知的定义域为，． ∴当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增； 【小问2详解】 依题意，方程有三个不同实数根， 设，则， 由于， 当时，， 在上单调递减，至多有一个实数根，不符合题意； 当时，令，则， 恰有两个零点，设为， 令，则即，其两零点为， 当或时，，即， 当时，，即， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又当时，，当时，， ∴存在，使得方程有三个不同实数根， ∴b的取值范围是； 【小问3详解】 ，设，则， ，设， 当，即时，； 当，即时，； ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，， ， ∴存在使得， ∴当时，单调递减， ∵，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴为的极大值点，不符合题意； 当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，∵， ∴当时，，∴单调递减，不符合题意； 当时，， ， ∴当时，，单调递增， ∵，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴为的极小值点，符合题意； 当时，， 存在，使得， ∴当时，单调递增， ∵，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴为的极小值点，符合题意， 综上所述，m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $