精品解析：河南省青桐鸣联考2025-2026学年高三上学期1月联考数学试卷

高三年级质量检测 数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知为虚数单位，复数与复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的离心率为，则的虚轴长与焦距之比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在上偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 设是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 经过点，半径为4的圆的圆心为，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 7. 已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知实数是函数的两个零点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错得0分. 9. 在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（ ） A. B. 角B为钝角 C. D. 10. 已知抛物线的焦点为F，直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则下列正确的有（ ） A. 线段AB的长度最短为2 B. 若，则M到y轴的距离为2 C. M到y轴的最短距离为1 D. 当的斜率存在时，的取值范围为 11. 如图，在四面体中，，，记的中点为，则下列正确的有（ ） A. 是二面角的平面角 B. C. 是的充要条件 D. 若平面，则直线与平面所成的角可能都相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线（为实数）是曲线的一条切线，则______. 13. 已知等比数列的前n项和为，若，则______. 14. 定义：表示三个数中最大的数. 将个苹果分配给个孩子，每个孩子至少分得一个苹果，记三个孩子分得的苹果数分别为，从所有可能的分配方案中随机选择一种，记，则的数学期望________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，，若数列满足：，求解下列问题. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的通项公式. 16. 某农业科研团队为探究不同的施肥种植方式对作物产量的影响，在一片试验田里，对采用有机肥料种植的作物和化学肥料种植的作物进行研究. 经统计，试验田里采用有机肥料种植的作物有800株，采用化学肥料种植的作物有400株. 现按分层随机抽样的方法，从两类施肥种植的作物中一共抽取120株进行产量检测，以每株作物产量达到500克作为达标标准，得到以下部分列联表： 单位：株 施肥种植方式 产量达标情况 合计 产量达标 产量不达标 有机肥料种植 60 化学肥料种植 20 合计 120 （1）请完成上述列联表； （2）依据的独立性检验，能否认为不同的施肥种植方式与作物产量达标情况有关联？ 附：，其中 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 17. 如图，在三棱台中，上、下底面都是正三角形，平面，，是线段的中点，分别是线段的中点. （1）求三棱台的体积； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 长轴长为 ，且 经过点. （1）求椭圆 的标准方程. （2）已知直线 与椭圆 相交于 两点， （ⅰ）若 ，且 ，求 的值； （ⅱ）已知直线 与圆 相切，是否存在常数 ，使 ？ 若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数奇函数，且.函数. （1）求的值. （2）（ⅰ）设是函数的一个极值点，证明：； （ⅱ）证明：函数有且仅有一个零点.（参考数据：，，，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级质量检测 数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，再根据集合交集及子集个数公式求解即可. 【详解】由题知， 所以，所以的子集个数有个. 故选：D. 2. 已知为虚数单位，复数与复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出即可. 【详解】，其在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点为，所以. 故选：C. 3. 若双曲线的离心率为，则的虚轴长与焦距之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用离心率得，进而得，即可求解. 【详解】设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为， 由题知，，于是，则. 故选：A. 4. 已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数，可得，解得结合题意判断即可． 【详解】依题意，，则， 又，则当时，， 故的最小值为. 故选：B． 5. 设是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，列出方程，即可求解. 【详解】由函数是定义在上且周期为4的奇函数， 可得 因为当时，，且， 可得，解得. 故选：A. 6. 经过点，半径为4的圆的圆心为，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆，接着求出点到直线的距离为，再由圆上的点到直线的距离最大值为即可求解． 【详解】依题意，点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆， 可得点到直线的距离为， 设圆的半径为， 所以点到直线的距离的最大值为， 点到直线的距离的最大值为. 故选：B． 7. 已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，点在原点，任取两点作为向量坐标，求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 9个点的坐标为，，，，，，，，， 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值， 故的最大值为6. 经检验可知，当，，取其他坐标时，的值均不会超过6. 故选：C 8. 已知实数是函数的两个零点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导求出函数的单调区间，代入求出，，，，进而得到，即可求出答案. 【详解】由题意得，令，得，令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， ， ， ， 所以， 所以，，， ，故ACD正确，B错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错得0分. 9. 在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（ ） A. B. 角B为钝角 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题干等式结合两角和公式和诱导公式可验证A，B，C选项；通过正弦定理可验证D选项. 【详解】由，得，得， 对于A，B，由，可得，因为， 且均不为，则，且不为，则或， 即或，因为为斜三角形，故，即角为钝角， 故A，B均正确； 对于C，由A项已得角为钝角，则，因为，故，故C错误； 对于D，由正弦定理，，又，将代入得，故D正确. 故选ABD. 10. 已知抛物线的焦点为F，直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则下列正确的有（ ） A. 线段AB的长度最短为2 B. 若，则M到y轴的距离为2 C. M到y轴的最短距离为1 D. 当的斜率存在时，的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，当垂直于轴时，即可判断，对于B，利用焦点弦公式即可判断，对于C，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可判断，对于D，当直线的斜率存在时，设为，与抛物线方程联立，结合韦达定理得，进而得，即可判断. 【详解】由题意有：抛物线的方程为，焦点，准线：， 设，点， 对于A，当垂直于轴时，的长度最短为4，故A错误； 对于B，由抛物线的定义知，，有， 所以到轴的距离为，故B正确； 对于C，当直线的斜率不存在时，到轴的距离为1. 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为， 联立，得， 则，所以到轴的距离为， 综上，到轴的最小距离为1. 故C正确； 对于D，当直线斜率存在时，同上设为， 则 ， ， 则 ， 因为，所以，所以，所以， 所以，即，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，在四面体中，，，记的中点为，则下列正确的有（ ） A. 是二面角的平面角 B. C. 是的充要条件 D. 若平面，则直线与平面所成的角可能都相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据二面角的平面角的定义即可判断；对于B，证明平面即可证明；对于C，利用充要条件的定义证明即可；对于D，利用反证法证明即可判断. 【详解】对于A，因为，，的中点为， 所以，， 所以是二面角的平面角， 故A正确； 对于B，因为，又平面，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 对于C，当时，，， 所以，而分别是与边上的中线，所以， 当时，又，， 所以，所以， 故是的充要条件，故C正确； 对于D，若平面，则直线与平面所成的角为， 直线与平面所成的角为， 直线与平面所成的角为， 假设， 则， 得，则， 则， 又，所以， 所以， 而过直线外一点只有一条直线与直线垂直，所以矛盾， 故直线与平面所成的角不可能都相等，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线（为实数）是曲线的一条切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求得，设切点为，得到，得出切点为，代入切线方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， 设切点为，可得， 因为直线是曲线的一条切线，所以， 解得，所以切点为， 代入切线方程为，可得，解得. 故答案为：. 13. 已知等比数列的前n项和为，若，则______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据等比数列片段和性质可得,,成等比数列，从而可得的值. 【详解】由等比数列的性质可知,,成等比数列， 已知,， 所以， 即， 化简得： 解得或， 当时，所成等比数列，其公比为，即，在实数范围内无解，不符合题意，故舍去. 当时，所成等比数列公比为1，符合题意. 故答案为：12 14. 定义：表示三个数中最大数. 将个苹果分配给个孩子，每个孩子至少分得一个苹果，记三个孩子分得的苹果数分别为，从所有可能的分配方案中随机选择一种，记，则的数学期望________________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用隔板法求出将个苹果分配给个孩子，每个孩子至少分得一个苹果的所有方法数，再确定的可能取值，利用古典概型概率公式求出取各值的概率，再由期望公式求结论. 【详解】因为三个孩子分得的苹果数分别为，所以，又每个孩子至少分得一个苹果， 个苹果分成份，且每份至少有一个苹果，相当于用个隔板插入个空，故有种分法， 因为各孩子分得的苹果数分别为，，所以的取值有， 因为的情况有共种情况， 所以； 的情况有共种情况， 故； 的情况有共6种情况， 故； 的情况有共3种情况， 故， 综上，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，，若数列满足：，求解下列问题. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对取倒数，再由，根据等差数列的定义求证即可. （2）由（1）可求数列的通项公式，再由即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 16. 某农业科研团队为探究不同的施肥种植方式对作物产量的影响，在一片试验田里，对采用有机肥料种植的作物和化学肥料种植的作物进行研究. 经统计，试验田里采用有机肥料种植的作物有800株，采用化学肥料种植的作物有400株. 现按分层随机抽样的方法，从两类施肥种植的作物中一共抽取120株进行产量检测，以每株作物产量达到500克作为达标标准，得到以下部分列联表： 单位：株 施肥种植方式 产量达标情况 合计 产量达标 产量不达标 有机肥料种植 60 化学肥料种植 20 合计 120 （1）请完成上述列联表； （2）依据的独立性检验，能否认为不同的施肥种植方式与作物产量达标情况有关联？ 附：，其中 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析 （2）能 【解析】 【分析】(1)根据分层抽样方法计算各层抽取株数，再结合题中信息可完善列联表； （2）根据独立性检验方法求解值，再结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 解:采用有机肥料种植的作物抽取株数为（株）， 因为抽取的有机肥料种植的作物中产量达标的有60株，所以产量不达标的有20株. 采用化学肥料种植的作物抽取株数为（株）， 因为抽取的化学肥料种植的作物中产量不达标的有20株，所以产量达标的有20株. 完成后的列联表如下： 单位：株 施肥种植方式 产量达标情况 合计 产量达标 产量不达标 有机肥料种植 60 20 80 化学肥料种植 20 20 40 合计 80 40 120 【小问2详解】解： 零假设为：不同的施肥种植方式与作物产量达标情况无关联. 根据公式， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为不同的施肥种植方式与作物产量达标情况有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 17. 如图，在三棱台中，上、下底面都是正三角形，平面，，是线段的中点，分别是线段的中点. （1）求三棱台的体积； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求上下底面面积，再利用棱台的体积公式计算得解； （2）先证明，再由线面平行判定定理证明即可； （3）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求解． 【小问1详解】 在三棱台中，平面，， 因为与分别是边长为的正三角形， 所以，， 所以 ． 小问2详解】 连接，，，如下图所示， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以， 又，所以是平行四边形，所以是的中点， 又是的中点，所以是的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问3详解】 如图，以为坐标原点，以垂直于平面的直线， 以及所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知点， 则， 设平面的一个法向量为， 则，得， 令，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的长轴长为 ，且 经过点. （1）求椭圆 的标准方程. （2）已知直线 与椭圆 相交于 两点， （ⅰ）若 ，且 ，求 的值； （ⅱ）已知直线 与圆 相切，是否存在常数 ，使 ？ 若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得的方程，求出即可； （2）（ⅰ）联立 消去 y 得 ，由韦达定理可得，代入化简即可求解； （ⅱ）由直线 与圆 相切，联立 消去 y 得 ，由韦达定理可得， 代入化简即可得到结论. 【小问1详解】 由已知椭圆的长轴长为 ，即 ， 又椭圆经过点 ，所以 ， 解得 ， 故椭圆 的标准方程为 【小问2详解】 （ⅰ）若 ，则直线 ，设 ， 联立 消去 y 得 ， 故 ， 即 则 ， 则 ， 由题意， ， 解得 （ⅱ）不存在. 理由如下：因为直线 与圆 相切， 所以 ， 即 联立 消去 y 得 ， 则，则. 且， 则 ， 故不存在常数，使恒为定值（因结果与有关）. 19. 已知函数为奇函数，且.函数. （1）求的值. （2）（ⅰ）设是函数的一个极值点，证明：； （ⅱ）证明：函数有且仅有一个零点.（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）或； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，在定义域内求解. （2）（i）在定义域内对函数进行求导即可，（ii）分析函数的单调性、连续性及端点极限即可. 【小问1详解】 由，得， 若，则定义域为，要使其关于原点对称， 所以，解得，此时， 由，得，得， 所以，整理得对任意恒成立，则； 若，则定义域为，则，即， 解得，此时，由 ，得 ，得，所以 ，整理得对任意恒成立，则. 综上，或. 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，求导得， 令，得，所以，即，得证； （ii）因为， ， 由零点存在定理可知，存在，使得， 唯一性：，作出与大致图象如下， 因为，，， 存在，使得，即，所以， 当时，，，当时，，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 设，，则， 因为，所以，，即， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 即时，，作出与的大致图象如下， 观察图象可知，当时，，当时，， 综上， 当时，，函数无零点， 当时，单调递减， 当时，；当时，， 存在唯一实数，使得时，时， 所以，又在上单调递减，， 所以，则在上有一个零点，在上无零点， 故在上只有一个零点，即时，函数有唯一的零点， 综上，函数有且仅有一个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $