课时梯级训练(10) 空间中直线、平面的垂直(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(10)　空间中直线、平面的垂直 1．(2025·丰台区高二期中)若直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则下列选项中能使l⊥α成立的是(　　) A．u＝(2，1，1)，n＝(－1，1，1) B．u＝(1，－2，0)，n＝(－2，4，0) C．u＝(1，2，4)，n＝(1，0，1) D．u＝(1，－1，2)，n＝(0，3，1) B　解析：要使l⊥α，则应有u∥n. 对于A项，由已知可知u∥n不成立，故A项错误； 对于B项，由已知可得u＝－n，所以u∥n，故B项正确； 对于C项，由已知可知u∥n不成立，故C项错误； 对于D项，由已知可知u∥n不成立，故D项错误．故选B． 2．设a，b是两条直线，a，b分别为直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：由题意可得a，b分别是平面α，β的法向量，所以α⊥β等价于a⊥b，即“α⊥β”是“a⊥b”的充要条件．故选C． 3．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　) A．成30°角 B．垂直 C．成45°角 D．成60°角 B　解析：因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥，即AB⊥AP；因为·＝4×(－1)＋ 2×2＋0×(－1)＝0，所以⊥，即AD⊥AP.又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥底面ABCD．故选B． 4．如图，F是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点．若D1F⊥DE，则有(　　) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E与B重合 A　解析：由题意，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB，故选A． 5．(多选)(2025·自贡高二段考)给出以下命题，其中错误的是(　　) A．平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β B．直线l的方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α C．直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝(2，1，－)，则l与m垂直 D．平面α经过三个点A(1，0，－1)，B(0，－1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1 ABD　解析：对于A，由n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)可知两向量不具有倍数关系，故α，β不平行，A错误；对于B，由于a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，则a·n＝(0，1，－1)·(1，－1，－1)＝0－1＋1＝0，故a⊥n，则l∥α或l⊂α，B错误；对于C，由于a·b＝(1，－1，2)·(2，1，－)＝2－1＋2×(－)＝0，即得l⊥m，C正确；对于D，由于A(1，0，－1)，B(0，－1，0)，C(－1，2，0)，故＝(－1，－1，1)，＝(－1，3，0)， 向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则解得 故u＋t＝，D错误． 6．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，＝______． 答案：1　解析：由题意可知，PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD．又四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E(，1，0)，P(0，0，a).设F(0，y，0)，则＝(－1，y，0)，＝(，1，－a).因为BF⊥PE，即·＝(－1)×＋y＝0，解得y＝，又F(0，，0)是AD的中点，故＝1. 7．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________． 答案：垂直　解析：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则P(0，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E(，，)，F(，0，0)，∴＝(0，－，－)，＝(1，1，－1)，＝(0，1，－1)，设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则令y＝1，则x＝0，z＝1，所以平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC． 8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF. 证明：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，F(，，1)，M(，，1). 所以＝(－，－，1)，＝(0，，1)，＝(，－，0). 设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 则n⊥，n⊥， 所以 取y＝1，得x＝1，z＝－，则n＝(1，1，－). 所以n＝－，即n与共线．所以AM⊥平面BDF. 9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE. 解：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，P(0，1，a)，则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，E(，1，0)，C1(0，1，1)，＝(0，1，0)，＝(－1，1，a－1)，＝(，1，0)，＝(0，1，1). 设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则 ⇒ 令z1＝1，得x1＝a－1，∴n1＝(a－1，0，1). 设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则 ⇒ 令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，∴n2＝(－2，1，－1). ∵平面A1B1P⊥平面C1DE，∴n1⊥n2，即n1·n2＝－2(a－1)＋0＋(－1)＝0，∴a＝.综上，当P为CC1的中点时，即P(0，1，)时，平面A1B1P⊥平面C1DE. 10．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2.以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为m和n，则下面选项中正确的是(　　) A．点P的坐标为(0，0，2) B．＝(4，0，－2) C．n可能为(0，－2，2) 　　 D．cos 〈m，n〉>0 C　解析：建立空间直角坐标系如图所示． 由题意可得B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(2，0，0)，P(0，2，2)，所以＝(2，－2，－2)，＝(0，2，2). 设n＝(x，y，z)， 则取z＝2，可得n＝(0，－2，2).因为AB⊥BC，PA⊥BC，AB∩PA＝A，且AB、PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以平面PBC⊥平面PAB，所以m⊥n，所以cos 〈m，n〉＝0.故选C． 11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当＝________时，D1E⊥平面AB1F. 答案：　解析：如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，F(0，t，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，2，0)，所以＝(1，2，－2)，＝(－2，t，0). 若D1E⊥平面AB1F，则⊥， 即1×(－2)＋2t＋(－2)×0＝0， 解得t＝1.所以＝. 12．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________． 答案：a或2a　解析：建立如图所示的坐标系，则B1(0，0，3a)，D(，，3a)，C(0，a，0).设E(a，0，z)(0≤z≤3a)， 则＝(a，－a，z)，B1E＝(a，0，z－3a).由题意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或z＝2a，故AE＝a或2a. 13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点． (1)求证：平面AED⊥平面A1FD1； (2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE. (1)证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 不妨设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)， ∴＝(2，0，0)，＝(2，2，1)， ＝(2，0，0)，＝(0，1，－2)， 设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 令y1＝1，得n1＝(0，1，－2). 设平面A1FD1的法向量n2＝(x2，y2，z2)，则 令y2＝2，得n2＝(0，2，1). ∵n1·n2＝0，∴平面AED⊥平面A1FD1. (2)解：＝(0，2，1)，由于点M在AE上，∴可设＝λ＝λ(0，2，1)＝(0，2λ，λ)，0≤λ≤1，可得M(2，2λ，λ)，于是＝(0，2λ，λ－2). 要使A1M⊥平面DAE，需⊥，⊥， ∴·＝(0，2λ，λ－2)·(0，2，1)＝5λ－2＝0，解得λ＝.·＝0. 故当AM＝AE时，即点M的坐标为(2，，)时，A1M⊥平面DAE. 14．如图(1)，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图(2). (1)求证：A1E⊥平面BCDE； (2)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由． (1)证明：因为DE⊥AB于点E， 所以A1E⊥DE，又A1D⊥BE，ED⊥BE，且ED∩A1D＝D，ED，A1D⊂平面A1DE，所以BE⊥平面A1DE，又A1E⊂平面A1DE， 所以BE⊥A1E，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BCDE， 所以A1E⊥平面BCDE. (2)解：假设在线段BD上存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD． 根据(1)建立如图所示空间直角坐标系． 则B(1，0，0)，D(0，，0)，A1(0，0，1)， ＝(1，0，－1)，＝(0，，－1)，＝(－1，，0)， 设P(x，y，z)，＝λ(0≤λ≤1)，则(x－1，y，z)＝λ(－1，，0)，所以P(1－λ，λ，0)， 所以＝(0，0，1)，＝(1－λ，λ，0)， 设平面A1EP的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 令x1＝λ，y1＝λ－1，z1＝0，所以m＝(λ，λ－1，0)， 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则即 令y2＝1，z2＝x2＝，所以n＝(，1，). 因为平面A1EP⊥平面A1BD， 所以m·n＝0，即3λ＋λ－1＝0，解得λ＝. 所以在线段BD上存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD，且＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$