精品解析：甘肃省天水市麦积区部分高中2025-2026学年高三上学期1月教育教学质量调研（期末）数学试题

2025—2026学年度第一学期教育教学质量调研试卷 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若“，成立”为真命题，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 不存在 3. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 5. 已知正项等差数列的前项和为，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 8 6. 已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表30公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：.当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（ ）（参考数据：） A. 360公里 B. 510公里 C. 570公里 D. 600公里 8. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时，取得最大值 D. 时，取得最小值 11. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递减数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知直线与圆相交于两点，则__________. 13. 已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围_______． 14. 曲线上的点到直线距离的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的角平分线交边于点，，，求的周长. 17. 已知四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，平面平面，， 为中点． （1）求证：； （2）求平面和平面夹角的余弦值． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 19. 拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得．已知函数，数列满足，且． （1）求； （2）证明：数列为等比数列； （3）若数列，记为数列的前项和，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期教育教学质量调研试卷 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式求解集合Q，然后利用交集运算求解即可. 【详解】由，解得，则，故， 又，则. 故选：B 2. 若“，成立”为真命题，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，结合函数的单调性求出在上的最大值即可. 【详解】由题意得，因为函数在单调递减，所以时，，所以，因此实数的最小值为1. 故选：A. 3. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】由题可知圆锥的底面半径，母线长，高， ∴圆锥的体积为. 故选：A. 4. 已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由是偶函数，得到为奇函数，结合．列出方程，即可求解. 【详解】由函数的图象关于轴对称，可得函数是偶函数， 因为为奇函数，所以函数为奇函数， 所以．即， 所以，所以. 故选：B. 5. 已知正项等差数列的前项和为，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式及等差数列通项的下标和性质可得，又，进而利用“1”的代换技巧求解最值即可. 【详解】由等差数列前项和公式可得，所以， 所以，又， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：C 6. 已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可． 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 7. 某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表30公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：.当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（ ）（参考数据：） A. 360公里 B. 510公里 C. 570公里 D. 600公里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列方程，结合指对互化与对数运算法则即可得的值，从而得此时汽车大约行驶里程. 【详解】由题意，当时,有， 所以解得， 所以两边取对数可得解得， 所以， 所以,所以此时汽车大约行驶了(公里). 故选：B. 8. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将看成一个整体，找出其范围，再根据有且仅有3个零点列出不等式求解. 【详解】， 令，得，. 由有且仅有3个零点得： ，化简得. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合共轭复数、复数运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，假设， 则，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，设，则， 又，，故C正确， 对于D，假设时，，，，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时，取得最大值 D. 时，取得最小值 【答案】AB 【解析】 【分析】由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由图象可知：当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减； 对于A，，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误； 对于D，由单调性知，D错误. 故选：AB. 11. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递减数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可求出等比数列的首项和公比，即可求出其通项公式以及前n项和公式，分别判断各选项，即可求得答案. 【详解】设正项等比数列公比为， 对于A，由题意得， 结合，解得或（舍去），故A正确； 对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确； 对于D，，则，故D正确， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知直线与圆相交于两点，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再用直线与圆相交的弦长公式即得. 【详解】设圆心到直线的距离为，因为，所以. 故答案为：4. 13. 已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 则取值的范围为. 故答案为：. 14. 曲线上的点到直线距离的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】的定义域为， 求导得，令得，即，解得或（舍去）， 当时，，此时切点为， 所以曲线到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离， 即为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称中心坐标为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期公式以及正弦函数的对称中心求解； （2）求出的范围，结合正弦函数的图象可得. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的对称中心的坐标为，； 【小问2详解】 当时，， 因函数在区间上的最大值为1，最小值为， 则在上的最大值为1，最小值为， 因，结合正弦函数图象可知，，得， 所以的取值范围为. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得； （2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. 【小问2详解】 如图： ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 17. 已知四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，平面平面，， 为中点． （1）求证：； （2）求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质可得，利用线面垂直的判定定理可证平面，进而可得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量夹角公式可得答案. 【小问1详解】 连接，在正三角形中，因为为中点，所以． 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 所以． 如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系, 底面为菱形， 为中点，由（1）知，则， 设，则，，，． ，， 设平面的一个法向量， 则，取． ，， 设平面的一个法向量， 则，取． 因为，所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为0． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】（1） （2） 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由， 求得切线方程； （2），分与讨论可得函数的单调性； （3）求出，分与结合函数的单调性，计算函数的最小值得出参数. 【小问1详解】 当时，∵，∴，， 函数在点处的切线方程为， ． 【小问2详解】 因为，函数的定义域为，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）, 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去； 当时， 若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意； 若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意； 若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1，则. 19. 拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得．已知函数，数列满足，且． （1）求； （2）证明：数列为等比数列； （3）若数列，记为数列的前项和，证明：． 【答案】（1）． （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，根据题意，得到，化简得到，进而求得的值； （2）由（1）中，得到，结合等比数列的定义，即可得证；又由，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列． （3）由（2）求得，得到，结合裂项法求和，求得，进而证得. 【小问1详解】 解：由函数，则， 则，可得， 即， 又由，所以； 【小问2详解】 解：由（1）知：，可得，即， 又由，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列． 【小问3详解】 证明：由（2）可得，则， 所以， 则. 因为，可得，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $