精品解析：广东省深圳市龙岗区龙城高级中学2025-2026学年高一上学期第二次段考数学试题

2025-2026学年上高一年级第二次段考数学试卷 命题人：孙兴君 审题人：张钢权 【时间：120分钟 总分；150分】 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：对于任意的都有，，且成立，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若α终边上一点的坐标为，则 B. 若角α为锐角，则2α为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D. 若且，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设m是实数，集合，若，则 B. 两个函数若定义域相同，对应关系相同，两个函数的值域可以不同 C. 已知是上的奇函数，当时，，则时， D. 函数的图像关于对称 三、填空题（每题5分，共15分） 11. ______． 12. 已知，且，则_____． 13. 设，若对任意，恒有成立，则的最小值是___________． 四、解答题（每题需写出必要的推理、计算过程，共77分） 14. 已知函数的定义域为集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 15. 幂函数在第一象限的大致图象如图所示. （1）求的解析式，并写出其值域； （2）若，求的值. 16. 已知函数：，. （1）若过定点，求的单调递增区间； （2）若值域为，求的取值范围. 17. 开中冯大师体格健硕极其雄壮，自比彭于晏，为了健身塑型，委托体育组量身打造一项体能训练助于肌力改善，其肌力增长速度值（值越大，表示肌力增长速度越快、效果越好）与训练时间（分钟）的函数关系如下： （1）训练开始多长时间，训练的效果可以达到最好？最多维持多少分钟？ （2）若在训练中，要求运动员的肌力增长速度值不低于，并且至少保持分钟才能达标，请判断进行该项体能训练能否达标？并说明理由. 18. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数. （1）已知，判断和是否为倒函数； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式. （3）若定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，若，函数，求在上的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上高一年级第二次段考数学试卷 命题人：孙兴君 审题人：张钢权 【时间：120分钟 总分；150分】 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的子集个数公式可求得结果. 【详解】由已知可得，因此，的子集个数为. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】全称称量词命题的否定是存在量词命题，把全称改为存在，把结论否定。 【详解】由题可知命题“，”的否定是“，”， 故选：C. 3. 若，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】 ，当且仅当，即时，等号成立． 故选：A． 4. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二分法可得答案. 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间  内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 5. 关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由方程有一个正根和一个负根可求得的范围，进而可求得结论. 【详解】方程有两个不等实根，则，解得； 方程有一正实根和一负实根，则， 所以方程有一个正实根和一个负实根，则； 若，则，又，所以方程有一正实根和一负实根； 所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件. 故选：C． 6. 已知，，，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，故； 因为函数在上单调递增，所以，故； 因为函数在上单调递减，所以，故； 综上，. 故选：D. 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 已知定义在上的函数满足：对于任意的都有，，且成立，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令结合建立方程求得判断A；结合奇函数性质判断B；令结合建立方程求得判断C；先求得，然后由及基本不等式求解即可判断D. 【详解】令，由得，即， 所以，故A错误； 令，由得，即， 所以，故C错误； 若定义在上的函数为奇函数，则，显然与矛盾，故B错误； 令，由得，即， 因为，则， 因为，所以， 则，所以， 当且仅当即时等号成立，故D正确. 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若α终边上一点的坐标为，则 B. 若角α为锐角，则2α为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D. 若且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据三角函数的定义判断A项；举反例排除B项；利用扇形的弧长与面积公式计算可判断C项；根据已知求出的值，即可得正切值判断D项. 【详解】对于A，因，则，则，故A错误； 对于B，当角α为锐角时，若，而 不是钝角，故B错误； 对于C，依题意，扇形的半径为，则该扇形的面积为，故C正确； 对于D，由①两边取平方，可得，化简得， 因，故，则， 由可得②， 联立①②，解得，故.故D正确. 故选：CD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设m是实数，集合，若，则 B. 两个函数若定义域相同，对应关系相同，两个函数的值域可以不同 C. 已知是上的奇函数，当时，，则时， D. 函数的图像关于对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，以及元素的互异性，可得判定A正确；根据同一函数的概念，可判定B不正确；根据奇偶性，求得函数的解析式，可判定C正确；求得，可判定D正确. 【详解】对于A，由集合，若，可得或， 当时，此时，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当，解得或（舍去），此时，所以A正确； 对于B，若两个函数定义域相同，对应关系相同，则两个函数为同一函数， 此时两个函数的值域一定相同，所以B错误； 对于C，由是上的奇函数，当时，， 当时，可得，则， 所以C正确； 对于D，由函数，可得， 所以，所以函数的图像关于对称，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数幂运算计算得解. 【详解】 . 故答案为： 12. 已知，且，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角函数诱导公式的应用，解题的关键在于找出与之间的关系，然后利用诱导公式进行化简求值. 【详解】因为，所以，所以 ； 故答案为： . 13. 设，若对任意，恒有成立，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式成立的条件确定的关系，再将其代入所求式子，最后利用基本不等式求最小值. 【详解】，若对任意，恒有成立， 当时，，此时也应满足，， 又，把代入，得， ，又，，即， ，，则， 令，，则，上式化为， 利用基本不等式可得，， 当且仅当，即等号成立， 则， 故答案为：. 四、解答题（每题需写出必要的推理、计算过程，共77分） 14. 已知函数的定义域为集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据的定义域，求出集合，再根据，求出集合，最终求得的结果. （2）已知集合，且，判断，解不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得： ，所以，解得：， 即的定义域为：，所以集合； 因为，所以集合； 计算可得：. 【小问2详解】 解：由（1）得：集合； 因为，所以，解得； 故实数的取值范围为：. 15. 幂函数在第一象限的大致图象如图所示. （1）求的解析式，并写出其值域； （2）若，求的值. 【答案】（1），值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程可求出的两个可能取值，根据图象可排除一个，得到的解析式，进而可写出其值域； （2）根据的解析式可得到的表达式，结合已知条件即可求解. 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以，解得或, 所以或. 由图知在第一象限的图象是曲线，不是直线，所以. 所以的定义域为，值域也为. 【小问2详解】 由（1）知， 由得. 所以. 16. 已知函数：，. （1）若过定点，求的单调递增区间； （2）若值域为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由过定点求出，再由真数大于零求出定义域，根据复合函数的单调性可得答案； （2）由题意可知可以取到的任何数，令，然后分、、讨论可得答案. 【小问1详解】 由过定点，则， 即，解得，所以， 由得函数的定义域是：， 因为在上单调递增，在上单调递减， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是； 【小问2详解】 若值域为，则可以取到的任何数， 令， 当时，，显然可以取到的任何数，故成立； 当时，开口向上，只需要其， 即，即，解得，又，故； 当时，开口向下，不可以取到的所有值，故不符合； 综上可知，的取值范围是. 17. 开中冯大师体格健硕极其雄壮，自比彭于晏，为了健身塑型，委托体育组量身打造一项体能训练助于肌力改善，其肌力增长速度值（值越大，表示肌力增长速度越快、效果越好）与训练时间（分钟）的函数关系如下： （1）训练开始多长时间，训练的效果可以达到最好？最多维持多少分钟？ （2）若在训练中，要求运动员的肌力增长速度值不低于，并且至少保持分钟才能达标，请判断进行该项体能训练能否达标？并说明理由. 【答案】（1）分钟；分钟； （2）能；理由见解析 【解析】 【分析】（1）求分段函数的最值，以及取最值时的范围即可； （2）解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，，则， 则且等号成立时； 当时，； 当时，， 则开始训练分钟，训练的效果可以达到最好，最多维持分钟； 【小问2详解】 当时，，得； 当时，； 当时，，得， 则得， 因，则该项体能训练能达标. 18. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数. （1）已知，判断和是否为倒函数； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式. （3）若定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，若，函数，求在上的值域. 【答案】（1）是倒函数，不是倒函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）判断函数是否为倒函数，先检验定义域对称性，再验证函数乘积恒为； （2）已知是上的倒函数，且已知时的表达式，利用倒函数的性质，将未知区间转化为已知区间求解； （3）已知是单调递增的倒函数，且，利用，结合单调性确定在区间上的取值范围，通过换元将复杂表达式转化为二次函数，利用单调性确定变量范围，进而求值域. 【小问1详解】 对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立， 又，故是倒函数， 对于，定义域为，当时， 不符合倒函数的定义，故不是倒函数； 【小问2详解】 令，则，由倒函数的定义，可得， 即，故； 【小问3详解】 由题可得是倒函数，且在上单调递增，， ，， 设，，则 ，， 设， 令，，则， 代入得， 即， 对称轴，在区间上单调递增， 时，，时，， 故，即在上的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $