精品解析：山西省晋中市太谷区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

太谷区2025-2026学年第一学期期末质量检测试题（卷） 八年级数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 9 D. 2. 下列数据能确定物体具体位置的是（ ） A. 朝阳大道右侧 B. 好运花园号楼 C. 东经，北纬 D. 南偏西 3. 勾股数，又称毕氏三元数，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 6，7，10 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1，1， D. 16，30，34 4. 正比例函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 5. ，是一次函数图象上的两点，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 6. 下列命题中，是真命题是（ ） A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 过直线外一点作垂线 C. 两直线平行，内错角相等 D. 点到直线的距离是垂线段 7. 已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，两函数y＝x＋5与y＝﹣x﹣1的图像的交点坐标为（ ） A. （﹣4，1） B. （1，﹣4） C. （4，﹣1） D. （﹣1，4） 8. 某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上时间共．设火车的速度为，火车的长度为，则所列方程组正确的（ ） A. B. C. D. 9. 在一次捐款活动中，某班50名同学人人拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的．如图的统计图反映了不同捐款数的人数比例，那么该班同学平均每人捐款( ) A. 32.4元 B. 31.2元 C. 31元 D. 32元 10. 周末，爸爸和小明开展“家庭趣味骑行”活动，从家出发前往“晋家门超市”．两人骑行的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，你认为正确的结论有（　　） ①家到超市的全程是2000米； ②小明先到达超市； ③从出发到4.4分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度快； ④在爸爸出发6.8分钟时，小明追上了爸爸． A ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 64的立方根是_______． 12. 已知是关于，的二元一次方程，则_____． 13. 甲、乙两位同学在本学期的几次数学测试中，他们成绩的平均数相等，方差分别为，，则成绩较稳定的是______（填“甲”或“乙”）． 14. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，则的度数是______． 15. 如图，在单位长度为1的方格纸上，，，，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算下列各题： （1） （2） 17. 如图所示，已知点． （1）作出关于轴对称的． （2）作出关于轴对称的． （3）四边形的面积为___________． 18. 如图，在中，，垂足为点．若，，，判断的形状，并说明理由． 19. 小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 20. 利用二元一次方程组解决问题 《九章算术》是中国古代重要数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？ 21. 某中学举办“校园好声音”朗诵大赛，根据初赛成绩，七年级和八年级各选出10名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的10名选手的决赛成绩如图所示．下面是七年级、八年级两组的测试成绩的统计表： 七年级 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98 八年级 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95 （1）求七年级数据四分位数． （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中八年级成绩的箱线图，绘制七年级成绩的箱线图． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对七年级和八年级成绩的看法． 22. 【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 23. 如图1，直线的解析式为，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，与交于点，且点的纵坐标为1． （1）求直线的表达式； （2）求点，点的坐标； （3）若直线存在点，使得，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太谷区2025-2026学年第一学期期末质量检测试题（卷） 八年级数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，由此即可求解． 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 【详解】解：的相反数是． 故选B． 2. 下列数据能确定物体具体位置的是（ ） A. 朝阳大道右侧 B. 好运花园号楼 C. 东经，北纬 D. 南偏西 【答案】C 【解析】 【分析】在平面中，要用两个数据才能表示一个点的位置． 【详解】解：朝阳大道右侧、好运花园号楼、南偏西都不能确定物体具体位置， 东经，北纬能确定物体的具体位置， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，要明确，一个有序数对才能确定一个点的位置． 3. 勾股数，又称毕氏三元数，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A 6，7，10 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1，1， D. 16，30，34 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项分析即可解答． 【详解】解： A、，，，∴6，7，10不是勾股数．故此选项不符合题意； B、∵0.3， 0.4，0.5 非整数，∴0.3， 0.4，0.5不是勾股数．故此选项不符合题意； C、非整数，∴1，1，不是勾股数．故此选项不符合题意； D、，，，∴16，30，34是勾股数．故此选项符合题意． 故选：D． 4. 正比例函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象，掌握当时，正比例函数的图象经过第二、四象限是解决问题的关键． 根据正比例函数的图象与性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ 正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：B． 5. ，是一次函数图象上的两点，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：， ∴随的增大而减小． ，是一次函数图象上的两点， ∴当时，；当时，． 故选： C ． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 过直线外一点作垂线 C. 两直线平行，内错角相等 D. 点到直线的距离是垂线段 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定与性质，点到直线的距离． 逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A：同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； B：过直线外一点作垂线，不是命题； C：两直线平行，内错角相等，原命题是真命题； D：点到直线的距离是垂线段的长度，原命题是假命题； 故选：C． 7. 已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，两函数y＝x＋5与y＝﹣x﹣1的图像的交点坐标为（ ） A. （﹣4，1） B. （1，﹣4） C. （4，﹣1） D. （﹣1，4） 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为 ∴在同一平面直角坐标系中，两函数y＝x＋5与y＝﹣x﹣1的图像的交点坐标为：（-4,1） 故选：A. 【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 8. 某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共．设火车的速度为，火车的长度为，则所列方程组正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据火车过桥问题，从开始上桥到完全过桥，火车行驶距离为桥长加车长；完全在桥上时，火车行驶距离为桥长减车长. 利用速度、时间和距离关系列方程． 【详解】解：设火车的速度为，长度为， ∵ 从开始上桥到完全过桥用时，行驶距离为， ． ∵ 完全在桥上用时，行驶距离为， ． 因此，方程组为． 故选：B． 9. 在一次捐款活动中，某班50名同学人人拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的．如图的统计图反映了不同捐款数的人数比例，那么该班同学平均每人捐款( ) A. 32.4元 B. 31.2元 C. 31元 D. 32元 【答案】B 【解析】 【分析】从扇形统计图得出捐5元、10元、20元、50元和100元的比例后，计算出对应的人数，再由平均数的公式计算． 【详解】解：捐5元的人数=50×8%=4人； 捐20元的人数=50×44%=22人； 捐50元的人数=50×16%=8人； 捐100元的人数=50×12%=6人； 捐10元的人数=50-4-22-8-6=10人； 平均每人捐款数=（5×4+20×22+50×8+100×6+10×10）÷50=31.2元． 故选B． 【点睛】本题考查从统计图得出信息的能力和平均数的计算方法． 10. 周末，爸爸和小明开展“家庭趣味骑行”活动，从家出发前往“晋家门超市”．两人骑行的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，你认为正确的结论有（　　） ①家到超市的全程是2000米； ②小明先到达超市； ③从出发到4.4分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度快； ④在爸爸出发6.8分钟时，小明追上了爸爸． A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效地获取信息是解题的关键，根据图象可知家到超市的全程是2000米，小明先到达超市，从出发到4.4分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度慢，求出两人的速度，根据相遇时，两人的路程相同，求出相遇时的时间，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知家到超市的全程是2000米，小明先到达超市，从出发到4.4分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度慢， 小明爸爸的速度为（米/分钟）； 小明提速后的速度为（米/分钟）； ，解得； 故在爸爸出发6.8分钟时，小明追上了爸爸； 综上：正确有①②④； 故选C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 64的立方根是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可求解. 【详解】解：∵43=64， ∴64的立方根是4， 故答案为：4. 【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义. 12. 已知是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程中未知数的次数均为是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，确定、的次数均为，从而列出关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】解：由于方程是关于的二元一次方程， 因此的指数，解得； 的指数，解得． 所以， 故答案为：． 13. 甲、乙两位同学在本学期的几次数学测试中，他们成绩的平均数相等，方差分别为，，则成绩较稳定的是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴成绩较稳定的是乙． 故答案为：乙． 14. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、同旁内角互补成为解题的关键． 先根据平角的定义求得，然后再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在单位长度为1的方格纸上，，，，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据部分点的坐标找到规律． 由，，，，可得（，且为整数），据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴可得（，且为整数）， ∵， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算下列各题： （1） （2） 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、平方差公式，解决本题的关键是根据实数的运算法则进行计算． (1)根据实数的运算法则和指数幂的运算法则进行计算即可； (2)利用平方差公式把算式展开，可得：原式，再根据实数的运算法则进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图所示，已知点． （1）作出关于轴对称的． （2）作出关于轴对称的． （3）四边形的面积为___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据网格的特点找到A，B，C关于x轴的对称点，，，顺次连接即可求解； （2）根据网格的特点找到A，B，C关于y轴的对称点，，，顺次连接即可求解； （3）根据网格的特点，利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问3详解】 解：如图， 四边形的面积为， 故答案为：5． 18. 如图，在中，，垂足为点．若，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，先根据勾股定理分别求出，，进而求出，然后根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：是直角三角形． 理由： ， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中， ， ， ， 是直角三角形． 19. 小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 20. 利用二元一次方程组解决问题 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？ 【答案】能买醇酒斗、行酒斗 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设能买醇酒x斗、行酒y斗．根据现有30钱，买2斗酒建立方程组求解即可． 【详解】解：设能买醇酒x斗、行酒y斗． 由题意得， 解得 答：能买醇酒斗、行酒斗． 21. 某中学举办“校园好声音”朗诵大赛，根据初赛成绩，七年级和八年级各选出10名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的10名选手的决赛成绩如图所示．下面是七年级、八年级两组的测试成绩的统计表： 七年级 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98 八年级 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95 （1）求七年级数据的四分位数． （2）根据四分位数可绘制如下箱线图，观察图中八年级成绩的箱线图，绘制七年级成绩的箱线图． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对七年级和八年级成绩的看法． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将七年级数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据七年级的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【小问1详解】 解：将七年级的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 所以，，； 【小问2详解】 解：由题意，画图如下： 【小问3详解】 根据箱线图和四分位数可知七年级成绩的中位数和八年级相同，但七年级成绩明显比八年级的波动大． 22. 【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 23. 如图1，直线的解析式为，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，与交于点，且点的纵坐标为1． （1）求直线的表达式； （2）求点，点的坐标； （3）若直线存在点，使得，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，一次函数与坐标轴的交点问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）分别令和，进行求解即可； （3）设设，分两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴当时， 设直线的表达式为 把代入得，解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， 当时，， ； 当时，， ； 【小问3详解】 解：∵， 又； 或； 设， ，或， 解得或； 当时，； 当时，； 或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $