第一章二次函数单元复习检测卷（一）2025-2026学年湘教版数学九年级下册

第一章二次函数单元复习检测卷（一）湘教版2025—2026学年九年级下册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y有最大值 D．当时，y随x的增大而减小 3．已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为轴，出水口为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线（单位：）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（   ） A． B． C． D． 5．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 6．将抛物线 向下平移3个单位长度后，所得新抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 7．抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．关于二次函数，下列命题中正确的是（    ） ①若，则； ②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ④若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点有2个或3个． A．①③ B．①③④ C．①④ D．② 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　 　． 10．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　 平方米． 11．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　 　 ． 12．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　 ． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若该抛物线的顶点为P，求的面积． 14．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程的两个根． (2)直接写出不等式的解集． (3)直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 15．某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系，并且当时，；当时，．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过45元． (1)求y关于的函数关系式； (2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？ (3)求商家销售该商品每天获得的最大利润． 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，，是常数且）和直线，抛物线经过点． (1)若该抛物线的对称轴为直线，且经过点，求该抛物线的表达式； (2)若抛物线与直线交于轴上同一点． （ⅰ）用含的代数式表示，并说明理由； （ⅱ）已知，当时，若二次函数的最大值为，最小值为，求的最小值． 17．已知是自变量的函数，当（为常数）时，称函数为函数的“阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的阶升幂点”，点在函数的“阶升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“2阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的2阶升幂点”，点在函数的“2阶升幂函数”的图象上． (1)求函数的“3阶升幂函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，点“关于的1阶升幂点”在点的上方，当时，求点的坐标； (3)已知函数是函数的“阶升幂函数”，与的图象交于，两点，若，且，求的取值范围． 18．如图1，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S，S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．D 5．C 6．C 7．B 8．A 二、填空题 9．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　m≤　． 【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×m≥0， 解得m≤， 即m的取值范围为m≤． 故答案为：m≤． 10．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　450　平方米． 【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米， 又墙长为40米， ∴0＜60﹣2x≤40． ∴10≤x＜30． 又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450， ∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450， 即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 11．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　（﹣1，5）　 ． 【解答】解：原式可化为y＝2x2﹣3x+k（x+1）， ∵二次函数的图象必过定点，即该定点坐标与k的值无关， ∴x+1＝0，解得x＝﹣1， 此时y的值为y＝2+3＝5，图象必过定点（﹣1，5）． 故答案为：（﹣1，5）． 12．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　﹣5或1　 ． 【解答】解：y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1， ∵二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31， ∴①当﹣1﹣t＞t+3，即t＜﹣2时，2t2+4t+1＝31 解得 t1＝﹣5，t2＝3（舍去）． ②当﹣1﹣t＜t+3，即t＞﹣2时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31， 解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1； ③当t＞﹣1时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31， 解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1； 综上所述，t的值是﹣5或1． 故答案为：﹣5或1． 三、解答题 13．【解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：∵， ∴顶点， ∴． 14．【解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方， 不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 方程组有一组解， 方程有两个相等的实数根， 当时， 方程组有两组解， 方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根时，． 15．【解】（1）解：设关于的函数关系式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴． （2）解：成本为元，，每天获得的利润是元， ∴， 解得：，． ∵物价部门规定，该商品的销售单价不能超过元， ∴不合题意，应舍去． ∴当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润是元． （3）解：设商家销售该商品每天获得的利润为元， 则， ∵， ∵， ∴当时，取最大值为（元）． 答：商家销售该商品每天获得的最大利润为元． 16．【解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，且经过点， ∴， 解得， 抛物线的表达式为； （2）把代入得：， ， 在中，令得， ∴直线交轴于， 把代入得：， ； 由知，抛物线解析式为，对称轴为直线， ， ， 当时，随的增大而增大， ，， ， 当时，的值最小为； 的最小值为． 17．【解】（1）解：由题意，得： （2）∵点在函数的图象上， ∴设， 由题意，得：，即：， ∵点在点的上方，， ∴， 解得：， ∴； （3）， 令，整理，得：， ∵与的图象交于，两点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，则：，与矛盾，不符合题意， ∴， ∴， ∵ ， ， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴． 18．【解】（1）解：∵拋物线经过，，三点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交直线于，连接、， 由题意可得，点、关于直线对称， ∴， ∵的周长，其中为定值， ∴的周长的最小值为， ∵，，， ∴，， ∴周长的最小值为； （3）解：∵， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），设点E的横坐标为m， ∴， ∵过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G， ∴，， ∴，，， 如图，连接， ∴四边形的面积为 ， ∵，， ∴当时，四边形的面积为S最大，最大值为，此时，即． $