第五章 微专题1　曲线运动的典型问题 小船渡河问题 讲义 -2026届高考物理一轮复习

微专题1　曲线运动的典型问题 [定位·学习目标]　1.通过运动的合成与分解,初步体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想。2.能利用运动合成和分解的知识分析小船渡河类问题,会求渡河的最短时间和最短位移。3.运用运动的合成与分解的规律来解决关联速度的实际问题。 要点一　小船渡河问题 要点归纳 小船在有一定流速的水中渡河时,实际上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动速度v水)和船相对水的运动(船在静水中的速度v船),船的实际运动是合运动(合运动的速度为v合)。 情况 图示 说明 渡河时 间最短 当船头方向垂直于河岸时,小船渡河时间最短,最短时间为tmin= 渡河位 移最小 当v水<v船且满足v水-v船cos θ=0时,合速度垂直于河岸,小船渡河位移最小(等于河宽d)。此时渡河时间t== 当v水>v船且船头方向(v船方向)与合速度方向垂直时,小船渡河位移最小,其大小为smin=,而渡河时间t= 典例研习 [例1] (渡河的最短时间问题)(多选)(2025·福建福州阶段练习)“十月里来秋风凉,中央红军远征忙;星夜渡过于都河,古陂新田打胜仗。”这是在于都县长征第一渡口纪念碑上镌刻的一首诗。假设船在静水中的速度为 2 m/s 保持不变,于都河宽600 m,水流速度为 1 m/s 且处处相等,则(　　) [A]船渡河的最短时间为300 s [B]水流速度变大后,若保持船头朝向与河岸夹角不变,过河时间变长 [C]船在河流中的航行速度大小一定为 m/s [D]小船能到达正对岸 【答案】 AD 【解析】 当船头始终垂直于河岸渡河时,渡河时间最短,其大小为tmin= s=300 s,故A正确;若保持船头朝向与河岸夹角不变,则船速在垂直于河岸方向的分速度不变,无论水流速度如何变化,渡河时间不变,故B错误;根据运动的合成可知当船头与河岸方向垂直时,船在河流中的航行速度大小为 m/s,当船头与河岸方向的角度改变时,船在河流中的航行速度大小改变,故C错误;因为船速大于水流的速度,当船头与上游河岸夹角为60°时,小船能到达正对岸,故D正确。 [例2] (渡河的最小位移问题)(2025·山西太原阶段练习)如图所示,老师组织物理兴趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为d=60 m的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏,水流的速度为v1,其大小可以通过闸门调节;游船在静水中的速度为v2,其方向决定于船头的朝向。游戏时,小组同学驾驶小游船从河的一边渡到河对岸,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。 (1)若v1=4 m/s,v2=3 m/s,则当小游船过河时间最短时,其运动轨迹与河岸的夹角及通过的位移为多少? (2)若v1=4 m/s,v2=5 m/s,则当小游船过河位移最小时,其船头朝向与河岸的夹角及过河时间为多少? (3)若v1=5 m/s,v2=3 m/s,则当小游船过河位移最小时,其过河通过的最小位移为多少? 【答案】 (1)37°　100 m　(2)37°　20 s (3)100 m 【解析】 (1)船头的指向垂直于河岸方向时,过河时间最短,即分速度v2的方向垂直于河岸,水流速度为v1,速度矢量图如图甲所示。 设运动轨迹与河岸的夹角为θ1,有tan θ1==0.75,得θ1=37°, 过河通过的位移为s==100 m。 (2)由于v2>v1,当小游船的实际速度即合速度v垂直于河岸时,过河位移最小,速度矢量图如图乙所示。设船头的指向即v2的方向指向上游方向与河岸夹角为θ2,有cos θ2==0.8, 得θ2=37°,过河时间为t=, 由图可得v=v2sin θ2,联立解得t=20 s。 (3)由于v2<v1,只有当合速度v的方向与河岸夹角α最大,即v2与OC垂直时过河位移最小,速度矢量图如图丙所示。 根据几何关系有sin α==0.6,得α=37°, 所以最小位移为s==100 m。 小船渡河问题中船速小于水速时的动态分析 (1)该类问题类同于物体受两个力的作用,其中一个力不变,另一个力为变力时合力的变化情况,可应用动态矢量三角形进行分析。 (2)由表示水流速度v水和船速v船的矢量首尾相接,并从v水首端向v船末端作矢量,构成矢量三角形。保持水速矢量不动,使船速矢量与之首尾相接,且绕水速矢量的末端转动,如图所示,则船速矢量的末端在一个圆周上移动,即合速度矢量的末端也就在这个圆周上移动。 (3)当合速度v⊥v船时,合速度v与河岸夹角最大,船的位移最小。 要点二　关联物体的速度问题 要点归纳 1.“关联物体”指物体甲通过绳或杆拉物体乙运动的问题(此处为了方便,将绳或杆统称为“绳”),需要注意以下两点: (1)物体的实际速度一定是合速度,分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直于绳方向。 (2)由于绳不可伸长,一根绳两端物体沿绳方向的速度相等。 2.常见的速度分解模型 情境图示 定量结论 v=v∥=v物cos θ vB=v∥=vAcos θ v∥=v∥′ 即v物cos θ=v物′cos α v∥=v∥′ 即v物cos α= v物′cos β 典例研习 [例3] (绳关联速度问题)(2025·黑吉辽内蒙古卷)如图,趣味运动会的“聚力建高塔”活动中,两长度相等的细绳一端系在同一塔块上,两名同学分别握住绳的另一端,保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落,则v(　　) [A]一直减小 [B]一直增大 [C]先减小后增大 [D]先增大后减小 【答案】 B 【解析】 设两边绳与竖直方向的夹角为θ,塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块,将v块沿绳方向和垂直于绳方向分解,将v沿绳方向和垂直于绳方向分解,如图所示,可得v块cos θ=vsin θ,解得v=,由于塔块匀速下落时θ在减小,故可知v一直增大,B正确。 [例4] (杆关联速度问题)(2025·福建福州检测)如图所示,一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(均可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑,当轻杆到达位置2时,小球A与球形容器球心等高,其速度大小为v1,已知此时轻杆与水平方向的夹角θ=30°,小球B的速度大小为v2,则v1与v2的关系为(　　) [A]v2=v1 [B]v1=v2 [C]v2=2v1 [D]v1=v2 【答案】 D 【解析】 当轻杆到达位置2时,小球A的速度v1竖直向下,由运动效果可知,速度v1可分解成沿着杆与垂直于杆两方向,同时小球B的速度v2也可分解成沿着杆与垂直于杆两方向,如图所示,由于A、B两球在同一杆上,沿杆的分速度相等,则有 v1sin θ=v2sin θ,所以v1=v2,选项D正确。 解决关联物体速度分解问题的一般步骤 (1)先确定合运动,物体的实际运动就是合运动。 (2)确定合运动的两个实际作用效果,一是沿“绳”方向的平动效果,改变速度的大小;二是沿垂直于“绳”方向的转动效果,改变速度的方向。 (3)根据平行四边形定则作运动关系的矢量图或矢量三角形。 (4)根据几何关系确定合运动与分运动的关系方程。 1.(2025·江西新余阶段练习)某同学设计了多个小船渡河的方案,用箭头表示小船及船头的方向,虚线表示船实际的运动方向,河水的流速恒定,下列小船渡河方案可行的是(　　) [A] [B] [C] [D] 【答案】 C 【解析】 小船渡河时,同时参与两个分运动,为水流方向的运动和小船船头方向的运动,由于两个分运动不在同一直线上,由互成角度的两个分运动的合成规律可知,小船船头的方向与船实际的运动方向不可能在一条直线上,故A、B错误;当小船的船头垂直于河岸、水流向右运动时,小船的实际运动方向应沿下游方向,不可能沿上游方向,故C正确,D错误。 2.(多选)(2025·江苏南通阶段检测)如图所示,匀速向右运动的汽车用跨过光滑定滑轮的轻绳提升物块A,则A到达滑轮之前(　　) [A]做匀速运动 [B]做加速运动 [C]做减速运动 [D]绳的拉力大于物块所受重力 【答案】 BD 【解析】 对汽车的速度v沿绳子的方向和垂直于绳子的方向分解,如图所示,有v2=vcos θ, v1=vsin θ,而物块上升的速度大小vA=v2=vcos θ,由于汽车匀速向右运动,θ角变小,所以v2变大,物块A向上做加速运动,绳的拉力大于物块所受重力,A、C错误,B、D正确。 3.(2025·山东聊城期中)火灾逃生的首要原则是离开火灾现场,如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案:用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上,N端在水平地面上向右以v0匀速运动,被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近,平台高为h,当CN=h时,被救人员向B点运动的速率是(　　) [A]v0 [B]v0 [C]v0 [D]v0 【答案】 A 【解析】 由运动效果可知,轻杆N端的速度v0分解如图,设此时v0与杆的夹角为θ,则被救人员向B点运动的速度等于v0沿杆的分量,即v人=v0cos θ,根据几何关系得cos θ=== ,解得 v人=v0,故A正确。 4.(2025·陕西渭南阶段检测)小物块置于倾角θ=45°的固定光滑斜面靠近斜面底端的C点,轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着小物块与动力小车,滑轮到地面的距离h=4 m,小物块与滑轮间的细绳平行于斜面,小车带动小物块使其以速度v0=3 m/s 沿斜面向上做匀速直线运动,小车从A点到B点的过程中,连接小车的细绳与水平方向的夹角由θ1=53°变化到θ2=30°。取 sin 53°=0.8,小物块和小车均可视为质点。求: (1)小车在A点时的速度大小vA; (2)小车从A点运动到B点的时间t。 【答案】 (1)5 m/s　(2)1 s 【解析】 (1)小车在A点时的速度vA可分解为沿绳和垂直于绳的两个分速度,沿绳方向的分速度大小vA1=vAcos θ1, 而物块的速度与小车沿绳方向的分速度大小相等,即vA1=v0,解得vA=5 m/s。 (2)小车在A点时,滑轮右侧绳的长度LA=, 小车在B点时,滑轮右侧绳的长度LB=, 右侧绳的长度变化量ΔL=LB-LA, 则小车从A点运动到B点的时间为t=, 代入数据解得t=1 s。 课时作业 (分值:70分)　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 考点一　小船渡河类问题 1.(4分)(2025·江苏镇江检测)小船匀速渡河,已知船在静水中的速度为v船=5 m/s,水流速度v水=3 m/s,河宽d=60 m,在船头斜指向上游且方向保持不变的情况下,小船渡河时间为t=20 s,则以下判断一定正确的是(　　) [A]小船恰好垂直到达河对岸 [B]小船渡河位移大小是20 m [C]小船到达对岸时在出发点上游80 m处 [D]调整船头的方向,最短的渡河时间为15 s 【答案】 B 【解析】 河宽为d=60 m,在船头方向保持不变的情况下,小船渡河时间为t=20 s,那么船在垂直于河岸方向的速度大小为v1== m/s=3 m/s,根据矢量的合成法则,船在平行于水流方向的分速度大小为v2== m/s=4 m/s,大于水流速度v水=3 m/s,即船的实际速度在沿河岸方向的分速度不为0,可知船的位移不可能垂直河岸;小船平行于河岸方向的位移x=(v2-v水)t=(4-3)×20 m=20 m,故小船到达对岸时在出发点上游20 m处,小船渡河位移大小s== m=20 m,故B正确,A、C错误。船头垂直于河岸时渡河时间最短,最短的渡河时间tmin== s=12 s,故D错误。 2.(6分)(多选)(2025·河南郑州检测)小河宽为d,河水中各点水流速度与到较近河岸的距离成正比,即v水=kx,其中k=,x是河中观察点到较近河岸的距离。若小船船头始终垂直于河岸渡河,小船在静水中的速度为v0,则下列说法正确的是(　　) [A]小船渡河时的轨迹是直线 [B]小船到达距河岸处时,船的速度大小为 v0 [C]小船渡河时的轨迹是曲线 [D]小船到达距河岸处时,船的速度大小为 v0 【答案】 BC 【解析】 小船的实际速度为船在静水中速度和随水流的速度的矢量和,而两个分速度垂直,故当水流速度最大时,合速度最大,合速度的方向随水流速度的变化而变化,故小船到达河中心时速度最大,且运动轨迹为曲线,故A错误,C正确;小船到达距离河岸处时,水流的速度为 v水=·=v0,则船的速度为v==v0,故B正确;小船到达距离河岸处时,其与较近河岸的距离为,水流的速度为v水1=·=v0,则船的速度为v1==v0,故D错误。 3.(4分)(2025·陕西咸阳阶段练习)调整跑步机使跑带水平,将一标尺垂直于两侧踏板放置,处于静止状态。跑步机模式选择“慢跑”,跑带以v0=3 m/s 运行。将一玩具小车的速率调至v1,然后将玩具小车的车头与水平线成β角放到跑带的一侧,如图所示。若使玩具小车始终以4 m/s的速度平行于标尺前进,则下列判断正确的是(　　) [A]v1=4 m/s,β=37° [B]v1=5 m/s,β=37° [C]v1=4 m/s,β=53° [D]v1=5 m/s,β=53° 【答案】 D 【解析】 玩具小车除相对跑带运动外还随跑带向左运动,其合速度平行于标尺,如图所示,由数学知识得 v1=,tan β=,代入数据得β=53°,v1=5 m/s,选项D正确。 4.(12分)(2025·山东潍坊阶段练习)如图所示,河宽d=120 m,设小船在静水中的速度为v1,河水的流速为v2,小船从A点出发,若船头指向河对岸上游的B点,经过 5 min,小船恰好到达河正对岸的C点;若船头指向河正对岸的C点,经过4 min,小船到达C点下游的D点。求: (1)小船在静水中的速度v1的大小; (2)河水的流速v2的大小; (3)在船头指向正对岸C点渡河过程中小船被冲向下游的距离sCD。 【答案】 (1)0.5 m/s　(2)0.3 m/s　(3)72 m 【解析】 (1)当船头指向C点时,船在静水中的速度v1== m/s=0.5 m/s。 (2)当船头指向B点时,合速度v=, 则有v== m/s=0.4 m/s, 解得v2=0.3 m/s。 (3)在船头指向正对岸C点渡河过程中,所经时间 t2=4 min=240 s, 小船被冲向下游的距离sCD=v2t2=0.3×240 m=72 m。 考点二　关联速度的问题 5.(4分)(2025·山西朔州检测)如图所示,倾角θ=30°的斜劈的劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上,现将一球放在墙面与斜劈之间,并从图示位置由静止释放,不计一切摩擦。若球落地前瞬间,斜劈的速度大小为v,则此时球的速度大小为(　　) [A]2v [B]v [C]v [D]v 【答案】 D 【解析】 球由静止释放后沿直线下落,斜劈水平向右运动,将二者的实际速度分别沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解,如图甲、乙所示,其中垂直于斜面方向,对球有v球1=v球cos θ,对斜劈有 v1=vsin θ,而v球1=v1,联立解得v球=v,故D正确。 6.(6分)(多选)如图所示,人在岸上拉绳使船加速靠岸,已知船的质量为m,水的阻力恒为F阻。已知轻绳与水平面的夹角为θ时,人拉绳子的速度为v,船的加速度为a,不计滑轮与绳之间的摩擦,关于此时的下列说法正确的是(　　) [A]船的速度为 [B]船的速度为vcos θ [C]绳的拉力F= [D]绳的拉力F=F阻+ma 【答案】 AC 【解析】 船在水面上向岸边移动的运动为合运动,它可以分解为沿绳方向和垂直于绳方向的两个运动,而船沿绳方向的速度大小等于人拉绳的速度大小。船的运动的分解如图甲所示,则船的速度为v船=,故A正确,B错误。此时小船受力如图乙所示,根据牛顿第二定律有 Fcos θ-F阻=ma,解得F=,故C正确,D错误。 7.(4分)(2025·湖南岳阳阶段练习)如图,不可伸长的轻绳绕过光滑的钉子,一端固定在地面上,另一端吊着一个小球。在钉子沿水平方向向左匀速运动的过程中,小球始终在钉子正下方。下列说法正确的是(　　) [A]小球在竖直方向上做减速运动 [B]绳子对小球的拉力等于小球所受重力 [C]小球在水平方向上做匀速运动 [D]小球的运动轨迹是一条倾斜直线 【答案】 C 【解析】 设钉子的速度为v,倾斜绳子与水平方向的夹角为θ,由于钉子的运动使其右侧绳变长,θ变小,将钉子的速度分解为沿绳子方向的分速度v1和垂直于绳子方向的分速度v2,可知v1=vcos θ,由绳的不可伸长性得小球竖直向上的速度vy=v1=vcos θ,水平速度等于钉子速度,而θ逐渐减小,则小球在竖直方向上做加速运动,绳子对小球的拉力大于小球所受重力;小球的合运动为曲线运动,所以小球的运动轨迹是一条曲线。选项C正确。 8.(4分)(2025·四川达州阶段检测)图甲为发动机活塞连杆组,图乙为连杆组的结构简图,连杆组在竖直平面内,且OA正好在竖直方向上,连杆一端连接活塞A,另一端与曲柄上B点相连,活塞A沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O沿顺时针方向做圆周运动,某时刻OB刚好水平,∠OAB=θ,活塞A的速率为vA,曲柄上B点的速率为vB,则此时(　　) [A]vAcos θ=vB [B]vBcos θ=vA [C]vA=vB [D]vAsin θ=vB 【答案】 C 【解析】 根据运动产生的效果,活塞A向下的运动可以分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的运动;B点的运动可分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的运动,如图所示,则有vA1= vAcos θ,vB1=vBcos θ,而vA1=vB1,可得vA=vB,故A、B、D错误,C正确。 9.(4分)(2025·广西南宁检测)如图所示,直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动,另一端始终靠在物块B上,B的表面光滑,控制物块B使其由静止开始水平向左做a=0.4 m/s2 的匀加速直线运动,在t=2 s时,直杆与竖直面的夹角θ=37°,此时端点A的速度与杆垂直,其大小为(取sin 37°=0.6, cos 37°=0.8)(　　) [A]1.0 m/s [B]0.8 m/s [C]0.64 m/s [D]0.6 m/s 【答案】 A 【解析】 物块B由静止开始水平向左做a=0.4 m/s2的匀加速直线运动,则在t=2 s时,物块B的速度大小为v=at=0.4×2 m/s=0.8 m/s,物块B运动过程中,使杆的端点A产生向左移和向下移的效果,则vA可分解为水平向左的速度vA1和竖直向下的速度vA2,如图所示,而vA1=v,有vA= =1.0 m/s,选项A正确。 10.(6分)(多选)(2025·湖南岳阳阶段练习)如图所示,某段河面宽120 m,小船从A点开始渡河,A点下游160 m的B处是一片左侧边界与河岸垂直的险滩,已知水流速度大小恒为 5 m/s。小船不进入险滩处可视为安全渡河,下列说法正确的是(　　) [A]若小船相对静水的速度大小恒为10 m/s,则小船最短渡河时间为10 s [B]若小船相对静水的速度大小恒为8 m/s,则小船最短渡河位移大小为120 m [C]若小船相对静水的速度大小恒为4 m/s,则小船最短渡河位移大小为120 m [D]若要使小船能安全渡河,则小船相对静水的最小速度为3 m/s 【答案】 BD 【解析】 若小船相对静水的速度大小恒为10 m/s,小船船头垂直于河岸渡河时,时间最短,则有 tmin== s=12 s,故A错误;若小船相对静水的速度大小恒为8 m/s,由于小船相对静水的速度大于水流速度,则小船可以到达正对岸,所以小船最短渡河位移大小为120 m,故B正确;若小船相对静水的速度大小恒为4 m/s,由于小船相对静水的速度小于水流速度,则小船不可以到达正对岸,所以小船最短渡河位移一定大于120 m,故C错误; 若要使小船能安全渡河,小船渡河的临界轨迹如图所示,根据几何关系可得 sin θ====,解得小船相对静水的最小速度为v船min=3 m/s,故D正确。 11.(16分)(2025·河南郑州期中)某工程队不慎将深水泵掉落井中,通过如图所示的装置进行打捞。已知轻绳与水平方向的夹角为θ,小型卡车向右行驶的速度大小为v2。已知深水泵以v1= 1 m/s的速度匀速上升。 (1)分析说明小型卡车应向右做加速、减速还是匀速运动; (2)当θ=60°时,求小型卡车向右运动速度v2的大小; (3)若深水泵质量为m,小型卡车质量为M,重力加速度为g,滑轮质量不计,当θ=37°时,求小型卡车对地面的压力大小(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)。 【答案】 (1)向右减速　(2)2 m/s (3)Mg-0.6mg 【解析】 (1)根据运动效果,将小型卡车的速度v2分解为沿绳方向的分速度v2x和垂直于绳方向的分速度v2y,如图所示, 由几何关系得 v2x=v2cos θ, 而v2x=v1, 解得v2=, 小型卡车向右运动过程中θ逐渐减小,则v2将逐渐减小,即向右做减速运动。 (2)当θ=60°时,小型卡车向右运动的速度 v2== m/s=2 m/s。 (3)当θ=37°时,小型卡车在竖直方向受力平衡,满足FTsin θ+FN-Mg=0, 而FT=mg, 解得FN=Mg-0.6mg, 根据牛顿第三定律知,小型卡车对地面的压力大小 FN′=FN=Mg-0.6mg。 学科网（北京）股份有限公司 $