专题8.4 梯形（知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共44题）同步培优讲义-2025－2026学年苏科版数学八年级下册

专题8.4 梯形 （知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共44题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：梯形的概念 1 知识点梳理02：等腰梯形的定义及性质 1 知识点梳理03：等腰梯形的判定 2 知识点梳理04：辅助线 2 知识点梳理05：三角形、梯形的中位线 2 题型讲练 3 题型1 （等腰）梯形的定义 3 题型2 直角梯形的定义 6 题型3 等腰梯形的性质定理 11 题型4 等腰梯形的判定定理 16 题型5 梯形中位线定理 22 分层训练 29 基础夯实 29 培优拔高 38 知识点梳理01：梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 知识点梳理02：等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 知识点梳理03：等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 知识点梳理04：辅助线 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 　 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 知识点梳理05：三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 题型1 （等腰）梯形的定义 【典例精讲】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处．    (1)求的长； (2)求梯形的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、梯形面积等知识． （1）根据折叠的性质，折叠前后边相等，即 得： 在中，根据勾股定理，可将的长求出，知的长，可求出的长，在中，根据，可将的长求出； （2）根据S梯形=，将各边的长代入进行求解即可． 【完整解答】（1）解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知，. ∵在中，   ∴. 在中，有， 即 解得， ∴. （2）由(1)知：， 梯形的面积. 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)把四边形经过平移后得到四边形，点A的对应点的坐标为．请你画出四边形，并写出，，的坐标； (2)若四边形内有一点，则经过平移后的对应点的坐标为________； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析，，， (2) (3) 【思路引导】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）由（1）得平移规律，再进行解答即可； （3）利用梯形面积公式求解即可． 【完整解答】（1）解：如图，四边形即为所求． ，，． （2）解：由（1）得平移的规律为：向左平移5个单位，再向下平移4个单位， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：． 【变式训练2】（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 中，，、 分别为 、 的中点，、 分别是 、 的中点．求证： (1)； (2)四边形 是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）由等腰梯形的性质得出，，再由是的中点，根据即可证明； （2）先由（1）得出，再由已知条件证出，、是的中位线，即可证出，得出四边形是菱形． 【完整解答】（1）证明：四边形是等腰梯形， ，， 是的中点， ， 在和中， ， （）； （2）解：由（1）得：， ， 、分别是线段、的中点， ，， ， 又是的中点， 、是的中位线， ，， ， 四边形是菱形． 【考点再现】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、菱形的判定；熟练掌握等腰梯形的性质，菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 题型2 直角梯形的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，一种地砖形如四边形，其中,．已知．E，F分别是上的点，连接恰好垂直平分． (1)求的度数． (2)用该型号地砖给长，宽的房间铺地面． ①能否实现无缝隙密铺？请说明理由； ②如果要用该型号地砖无缝隙密铺（可以切割铺设），请直接写出至少需要多少块． 【答案】(1) (2)①能密铺，理由见解析；②至少需要块 【思路引导】（1）先利用平行线的性质得出．再证明是等腰直角三角形，从而可得，再利用垂直平分的性质，得出，进而求得的度数； （2）①先判断能密铺，再说理，根据每块砖的四个角分别为， 相邻砖可交替拼接，正好满足密铺条件，从而可得能够密铺； ②先说明四边形是梯形，且是梯形的高，再利用梯形面积求得，并求得长，宽的房间面积，房间面积除以梯形面积即可求解． 【完整解答】（1）解：， ． 又， ， ， 是等腰直角三角形， ． 垂直平分， ∴ ， ． （2）①能密铺． 理由是：由（1）可知，每块砖的四个角分别为， 相邻砖可通过交替拼接，正好满足密铺条件， ∴能够密铺； ②∵， ∴四边形是梯形，且是梯形的高， ∴． ∵长，宽的房间面积 ， ∵地砖取整数， ∴至少需要块． 【考点再现】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，垂直平分的性质，求梯形的面积，等边对等角，多边形密铺问题，解题关键掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 【变式训练1】（2025八年级下·上海·专题练习）如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间 秒时，四边形是直角梯形． 【答案】7 【思路引导】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质以及含30度的直角三角形等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．过点作于，由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，由题意可知，，，利用直角梯形的性质证明四边形是矩形，再列方程求解即可． 【完整解答】解：四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于， ， ， ， ， ，运动的速度都为每秒，，， ，， ， ， 四边形是直角梯形， ， ，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：， 故答案为：7． 【变式训练2】（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为 ． 【答案】27 【思路引导】过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接，证得四边形为正方形，证明，得到，从而证明，则有，由勾股定理可求得，即可求得直角梯形的面积． 【完整解答】解：过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接． 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：27． 【考点再现】此题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握直角梯形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握辅助线的作法，是解此题的关键． 【变式训练3】（24-25八年级下·上海闵行·月考）在梯形中，，，，，，则 ． 【答案】9或3 【思路引导】本题考查的是梯形的性质、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．过点作于，根据勾股定理求出，分两种情况计算即可． 【完整解答】解：如图，在梯形中，过点作于， 则四边形为矩形， ，，， 由勾股定理得：， ， 在梯形中，， 则的长为9或3， 故答案为：9或3． 题型3 等腰梯形的性质定理 【典例精讲】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了平行四边形性质和判定，等腰梯形性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点A作，交于E，证明四边形为平行四边形，结合平行四边形性质推出，再证明为等边三角形，利用等边三角形性质进行分析，即可解题． 【完整解答】解：如图，过点A作，交于E， ∵四边形为等腰梯形，等腰梯形的一个底角为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即等腰梯形的腰长为2， 故答案为：2． 【变式训练1】（23-24八年级下·甘肃甘南·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【思路引导】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【完整解答】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 【变式训练2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过 s，使． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了图形中的动点问题，利用一元一次方程解决几何问题，平行四边形和等腰梯形的性质的内容，解题的关键是几何特殊图形判定线段相等． 先确定两点运动的时间，假设经过了，，分别讨论当四边形为平行四边形和等腰梯形时，列一元一次方程进行求解即可． 【完整解答】解：根据题意，点运动到点需要12秒，点运动到点需要秒， 假设经过了，，根据题意得， ①当时，四边形为平行四边形，此时， ∴， 解得， 经检验， ∴符合题意； ②如图所示，当四边形为等腰梯形时，， 过点作，交于点，过点作，交于点， ， ， 即， 解得， 经检验， ∴符合题意； 故答案为：或． 【变式训练3】（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路引导】本题考查的是梯形的性质、菱形的判定和性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得到，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）连接，根据等腰梯形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，证明结论． 【完整解答】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形； （2）如图，连接， 在梯形中，， 则梯形等腰梯形， ， 由（1）可知：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ． 题型4 等腰梯形的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【完整解答】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【变式训练1】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）延长，交于点E，求出，然后根据等边对等角得到，进而求出，然后结合求解即可； （2）如图所示，连接，利用等边对等角和平行线得到，求出，然后结合求出，进而求解即可． 【完整解答】（1）如图所示，延长，交于点E ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 【考点再现】此题考查了等腰梯形的判定，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式训练2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接 (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）利用直角三角形性质得到，结合平行线性质进而得到，证明，利用全等三角形性质证明，即可解题． （2）如图，延长到，使，交于，连接，根据等腰梯形的性质得出，，即可得出，根据中位线的性质得出，，利用角的和差关系得出，利用证明，得出，根据线段的和差关系即可证明． 【完整解答】（1）证明： ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形． （2）证明：如图，延长到，使，交于，连接， ∵是边的中线，， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点再现】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰梯形的判定与性质，全等三角形性质和判定，三角形中位线性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式训练3】（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【思路引导】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【完整解答】（1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【考点再现】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 题型5 梯形中位线定理 【典例精讲】（24-25八年级下·上海·月考）如图梯形的周长为，，分别是的外角平分线，于点，于点，则线段长为 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，梯形中位线的性质，延长交于点，延长交于点，可证，得到，，同理可得，，即可由得到，进而由梯形中位线的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【完整解答】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵平分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理可得，，， ∵梯形的周长为， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴是梯形的中位线， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级下·上海闵行·月考）在梯形中，，、交于，若，，中位线长为，则梯形的面积 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了梯形的中位线、平行四边形的判定和性质，勾股定理及逆定理，过点作，交的延长线于，根据平行四边形的性质得到，，根据梯形中位线定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形面积公式计算即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【完整解答】解：如图，过点作，交的延长线于， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵梯形中位线长为， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的面积为：， ∵，， ∴的面积的面积， ∴梯形的面积的面积， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知平行四边形中，，、、分别是、、的中点，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，梯形中位线定理．由平行四边形的性质推出，，由线段的中点定义求出，由梯形中位线定理得到，据此求解即可． 【完整解答】解：四边形是平行四边形， ∴，， 是的中点， ∴， 、分别是、的中点， 是梯形的中位线， ∴． 故答案为：． 【变式训练3】（21-22八年级下·上海·期中）如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了梯形的中位线和三角形的中位线定理．设，则，，中梯形中位线和三角形的中位线定理列式计算即可求解． 【完整解答】解：∵， ∴设，则，， ∵是梯形的中位线， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【演练1】（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．      【答案】 【思路引导】由尺规作图可知，射线是的角平分线，由于，结合等腰三角形“三线合一”得是边中点，再由，根据平行线分线段成比例定理得到是边中点，利用梯形中位线的判定与性质得到即可得到答案． 【完整解答】解：由题意可知，射线是的角平分线， 由等腰三角形“三线合一”得是边中点， ， 由平行线分线段成比例定理得到，即是边中点， 是梯形的中位线， ， 在中，，，则， 故答案为：． 【考点再现】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性质是解决问题的关键． 【演练2】（2023·广西贵港·中考真题）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG． （1）求证：四边形DEGF是平行四边形； （2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形． 【答案】证明见详解 【思路引导】（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可． （2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可． 【完整解答】（1）∵AG∥DC，AD∥BC， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∴AG=DC． ∵E、F分别为AG、DC的中点， ∴GE=AG，DF=DC， 即GE=DF，GE∥DF． ∴四边形DEGF是平行四边形． （2）连接DG， ∵四边形AGCD是平行四边形， ∴AD=CG， ∵G为BC中点， ∴BG=CG=AD， ∵AD∥BG， ∴四边形ABGD是平行四边形， ∴AB∥DG， ∵∠B=90°， ∴∠DGC=∠B=90°， ∵F为CD中点， ∴GF=DF=CF， 即GF=DF， ∵四边形DEGF是平行四边形， ∴四边形DEGF是菱形． 【演练3】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片． （1）求证：四边形是正方形； （2）取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形． 【答案】（1）∵，，． 由沿折叠后与重合，知，． 四边形是矩形，且邻边相等． 四边形是正方形． （2）∵，且，四边形是梯形． ∵四边形是正方形，，． 又点为的中点，．连接． 在与中，∵，，， ，． ∵，，四边形是平行四边形． ．．． 四边形是等腰梯形． 【完整解答】（1）因为折叠以为着全等，所以AD=DE，.易证四边形AFED是正方形；（2）连接DG由于BG与CD平行且相等，所以四边形BCDG是平行四边形.∴.在正方形AFED中，易证△DAG≌△EFG，从而，故，故四边形GBCE是等腰梯形． 【演练4】（2024·江苏连云港·中考真题）已知：如图，在等腰中，，，，　垂足分别为点，，连接．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】证明见解析 【完整解答】证明：在等腰中，，． 　　　　　，，．又， 　　　　　． 　　　　　．． 　　　　　．．． 　　　　　又不平行，四边形是梯形． 　　　　　四边形是等腰梯形．（理由：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形，或两腰相等的梯形是等腰梯形） 找出三角形的全等的条件，利用全等三角形的对边相等（证出两腰相等），还需要证明四边形是梯形，再根据两腰相等的梯形是等腰梯形即可 【演练5】（2024·广西柳州·中考真题）如图，四边形为等腰梯形，，连接．在平面内将沿翻折得到． (1)四边形一定是什么四边形？ (2)证明你在（1）中所得出的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定、等腰梯形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键 （1）首先观察图形，然后由题意可得四边形一定是平行四边形； （2）由四边形为等腰梯形，，可得，又由在平面内将沿翻折得到，可得，继而可得：，则可证得四边形是平行四边形． 【完整解答】（1）解：由题意可得：四边形一定是平行四边形； （2）证明：四边形为等腰梯形，， ， 由折叠的性质可得：， ， 四边形是平行四边形． 基础夯实 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）计算图中梯形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了单项式乘以多项式．根据梯形的面积公式以及单项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【完整解答】解：根据题意得：梯形的面积等于 ． 故选：A 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】此题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等角对等边，根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，，进而求解即可． 【完整解答】解析：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，①正确； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，②正确； 和不一定相等，故③错误； ∵ ∴ ∴ ∴，④正确； 故选：C． 3．（23-24八年级下·上海·单元测试）下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，熟练掌握等腰梯形的判定：两腰相等的梯形为等腰梯形；对角线相等的梯形为等腰梯形；一组底角相等的梯形为等腰梯形．根据等腰梯形的判定方法和性质逐项进行判断即可． 【完整解答】解：A．对角线相等的梯形是等腰梯形，故A错误； B．一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，故B错误； C．一组对角互补的梯形是等腰梯形，故C错误； D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴，故D正确． 故选：D． 4．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则 ． 【答案】11 【思路引导】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【完整解答】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 5．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在梯形中，，点、分别是腰、的中点，若，，那么 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了梯形的中位线定理，解题关键是掌握梯形的中位线定理． 根据梯形的中位线定理，先得出，再将已知线段代入求值． 【完整解答】解：∵在梯形中，，点、分别是腰、的中点， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故答案为：4． 6．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 先利用得出，再由，求出，即可求出梯形的面积． 【完整解答】解：， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在梯形中，，作交于点E (1)求证：四边形是菱形 (2)若，．求证：梯形是等腰梯形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质与判定，等腰梯形的判定，三角形内角和定理： （1）先证明四边形是平行四边形  再由，即可证明四边形是菱形 ； （2）先利用三角形内角和定理得到，再由菱形的性质得到，进而得到，即可证明梯形是等腰梯形． 【完整解答】（1）证明：∵, ∴四边形是平行四边形   ∵ ∴四边形是菱形 ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形 ∴ ， ∴，   ∴梯形是等腰梯形． 8．（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，在梯形中，，．点，，分别在边，，上，． (1)求证四边形是平行四边形； (2)当时，求证四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，等腰梯形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质． （1）根据等腰梯形的性质得，再根据“等边对等角”，得，进而得到，根据“同位角相等，两直线平行”，得，因，根据平行四边形判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论，解题的关键是利用等腰三角形的性质，根据平行线的判定定理，证得； （2）根据三角形内角和定理，得，已知，，即可得，进而证得，根据矩形的判定定理“有一个角为直角的平行四边形是矩形”，即可证得结论，解题的关键是熟练掌握矩形的判定定理，证得． 【完整解答】（1）证明：在梯形中，， ， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 9．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 【答案】(1)， (2)经过，四边形是平行四边形 (3)经过，四边形是矩形 【思路引导】此题主要考查平行四边形和矩形的性质： （1）根据题意可得，， （2）设经过，四边形为平行四边形，根据，，列出方程进行求解； （3）设经过，四边形为矩形，根据，列出方程进行求解； 【完整解答】（1）解：根据题意得：，， ∴； 故答案为：， （2）解：设经过，四边形为平行四边形，此时， 所以， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形 （3）解：设经过，四边形为矩形，此时， 所以， 解得：， 即经过，四边形是矩形． 10．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，点E在边的右侧，连接． (1)求证：； (2)在边上取一点F，使，联结．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质证明即可； （2）根据题意得出，再由平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，结合等腰梯形的判定证明即可． 【完整解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，，，， ， 在和中， ， ； （2）为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， 又， ，， 四边形是等腰梯形． 培优拔高 1．（21-22八年级下·全国·期末）下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题重点考查等腰梯形的判定定理（同一底边上内角相等或对角线相等）和性质（轴对称性），准确理解等腰梯形的定义和判定条件，并辨析与平行四边形的区别是解题的关键． 根据等腰梯形的定义和性质逐选项判断即可． 【完整解答】解：①同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，正确； ②对角线相等的梯形是等腰梯形，正确； ③等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误； ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形等图形，因此错误． 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海·期中）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查勾股定理，矩形的判定和性质、梯形中位线定理，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键． 作于E，于F，根据底差等于10求出，利用勾股定理求出高的长，利用梯形面积公式求出，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案． 【完整解答】解：如图，由题意得：在等腰梯形中，，， 作于E，于F，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵梯形面积， ∴， ∴， ∴梯形的中位线， ∴这个等腰梯形的纵横比=， 故选：B． 3．（2025·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练计算角的和差是解题的关键． 先证得四边形是等腰梯形，可得，由等边三角形的性质得，根据角的和差得出，，再由等边对等角得出，，再根据角的和差计算可得答案． 【完整解答】解：∵四边形中，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·上海·月考）梯形中，，对角线是中位线，，且，则对角线 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了梯形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作交于E，证明四边形是平行四边形，得出，根据梯形的中位线定理得出，进而求出，根据含角的直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求解即可． 【完整解答】解∶如图，过D作交于E， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是梯形中位线，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·上海·期中）如图，梯形中，和的平分线相交于梯形中位线上的一点P，若，则梯形的周长为 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底，并且等于两底和的一半；等腰三角形的判定等知识，熟练掌握梯形的中位线定理是解题关键．先根据梯形的中位线定理可得，，，再根据等腰三角形的判定可得，则可得，从而可得，然后根据梯形的周长公式求解即可得． 【完整解答】解：∵是梯形的中位线，， ∴，，， ∴， ∵和的平分线相交于梯形中位线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的周长为， 故答案为：12． 6．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在等腰梯形中，，对角线，，，则梯形的周长为 ． 【答案】/30厘米 【思路引导】本题考查了等腰梯形的性质、含的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识点，由在等腰梯形中，，，，，易求得，，继而求得答案，熟练掌握其性质的综应用是解决此题的关键． 【完整解答】在等腰梯形中，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 等腰梯形的周长为：． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰梯形，证明见解析 【思路引导】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、等腰梯形的判定等知识． （1）首先证明四边形为平行四边形，再等量代换得到即可得到四边形为菱形； （2）由，是等边三角形，进而可得，由此可得四边形是等腰梯形． 【完整解答】（1）证明：如下图所示∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． 8．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了梯形．熟练掌握 梯形性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，是解题的关键． （1）作于点E，可得四边形是平行四边形，得，，勾股定理求得； （2）根据梯形面积公式可求． 【完整解答】（1）解：作于点E， ∴， 又， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（m）； （2）解：（）． 9．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，，，．点、分别在边、上运动，并保持，，，垂足分别为、． (1)求梯形的面积； (2)若、分别是、的中点，连接、，求的面积． 【答案】(1)16 (2)8 【思路引导】本题考查梯形的性质，勾股定理，梯形的中位线； （1）分别过D，C两点作于点G，于点H．得到四边形为矩形，，再证明，得到，利用勾股定理求出，最后根据梯形面积公式计算即可； （2）由、分别是、的中点得到，是梯形中位线，则，，根据直角三角形斜边中线得到，再根据等腰三角形三线合一得到，最后根据求解即可． 【完整解答】（1）解：分别过D，C两点作于点G，于点H． ∵， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴梯形的面积为：； （2）解：如图，连接、，过点D作于点Q，连接， ∵、分别是、的中点， ∴是梯形中位线， ∴，, ∵， ∴，, ∴， ∴ ． 10．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，点在边上，联结，，过点作交的延长线为点，联结． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)延长交于点，如果点为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了等腰图象的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先由等腰梯形的判定与性质得到，然后证明，证明四边形是平行四边形，再由互余关系得到，继而，然后可求证； （2）连接，则为的中位线，得出，然后得到是平行四边形，则，那么． 【完整解答】（1）证明：∵在梯形中， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：连接， ∵，点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴是平行四边形， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4 梯形 （知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共44题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：梯形的概念 1 知识点梳理02：等腰梯形的定义及性质 1 知识点梳理03：等腰梯形的判定 2 知识点梳理04：辅助线 2 知识点梳理05：三角形、梯形的中位线 2 题型讲练 3 题型1 （等腰）梯形的定义 3 题型2 直角梯形的定义 4 题型3 等腰梯形的性质定理 5 题型4 等腰梯形的判定定理 7 题型5 梯形中位线定理 9 分层训练 11 基础夯实 11 培优拔高 14 知识点梳理01：梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 知识点梳理02：等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 知识点梳理03：等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 知识点梳理04：辅助线 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 　 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 知识点梳理05：三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 题型1 （等腰）梯形的定义 【典例精讲】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处．    (1)求的长； (2)求梯形的面积． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)把四边形经过平移后得到四边形，点A的对应点的坐标为．请你画出四边形，并写出，，的坐标； (2)若四边形内有一点，则经过平移后的对应点的坐标为________； (3)求四边形的面积． 【变式训练2】（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 中，，、 分别为 、 的中点，、 分别是 、 的中点．求证： (1)； (2)四边形 是菱形． 题型2 直角梯形的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，一种地砖形如四边形，其中,．已知．E，F分别是上的点，连接恰好垂直平分． (1)求的度数． (2)用该型号地砖给长，宽的房间铺地面． ①能否实现无缝隙密铺？请说明理由； ②如果要用该型号地砖无缝隙密铺（可以切割铺设），请直接写出至少需要多少块． 【变式训练1】（2025八年级下·上海·专题练习）如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间 秒时，四边形是直角梯形． 【变式训练2】（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为 ． 【变式训练3】（24-25八年级下·上海闵行·月考）在梯形中，，，，，，则 ． 题型3 等腰梯形的性质定理 【典例精讲】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·甘肃甘南·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【变式训练2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过 s，使． 【变式训练3】（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 题型4 等腰梯形的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【变式训练1】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【变式训练2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接 (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求证． 【变式训练3】（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 题型5 梯形中位线定理 【典例精讲】（24-25八年级下·上海·月考）如图梯形的周长为，，分别是的外角平分线，于点，于点，则线段长为 【变式训练1】（24-25八年级下·上海闵行·月考）在梯形中，，、交于，若，，中位线长为，则梯形的面积 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知平行四边形中，，、、分别是、、的中点，则 ． 【变式训练3】（21-22八年级下·上海·期中）如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 【演练1】（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．      【演练2】（2023·广西贵港·中考真题）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG． （1）求证：四边形DEGF是平行四边形； （2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形． 【演练3】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片． （1）求证：四边形是正方形； （2）取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形． 【演练4】（2024·江苏连云港·中考真题）已知：如图，在等腰中，，，，　垂足分别为点，，连接．求证：四边形是等腰梯形． 【演练5】（2024·广西柳州·中考真题）如图，四边形为等腰梯形，，连接．在平面内将沿翻折得到． (1)四边形一定是什么四边形？ (2)证明你在（1）中所得出的结论． 基础夯实 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）计算图中梯形的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·上海·单元测试）下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 4．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则 ． 5．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在梯形中，，点、分别是腰、的中点，若，，那么 ． 6．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在梯形中，，作交于点E (1)求证：四边形是菱形 (2)若，．求证：梯形是等腰梯形 8．（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，在梯形中，，．点，，分别在边，，上，． (1)求证四边形是平行四边形； (2)当时，求证四边形是矩形． 9．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 10．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，点E在边的右侧，连接． (1)求证：； (2)在边上取一点F，使，联结．求证：四边形是等腰梯形． 培优拔高 1．（21-22八年级下·全国·期末）下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级下·上海·期中）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·上海·月考）梯形中，，对角线是中位线，，且，则对角线 ． 5．（24-25八年级下·上海·期中）如图，梯形中，和的平分线相交于梯形中位线上的一点P，若，则梯形的周长为 ． 6．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在等腰梯形中，，对角线，，，则梯形的周长为 ． 7．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 8．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 9．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，，，．点、分别在边、上运动，并保持，，，垂足分别为、． (1)求梯形的面积； (2)若、分别是、的中点，连接、，求的面积． 10．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，点在边上，联结，，过点作交的延长线为点，联结． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)延长交于点，如果点为的中点，求证：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $