2025-2026学年北师大版九年级上册月考数学试卷（1月份）

2025-2026学年北师大版九年级（上）月考数学试卷（1月份） 一、选择题（共8题，共32分） 1．（4分）如图1，中国古代叫“斗”，是当时代重要的粮食度量工具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y B．y＝x+1 C．y D．y＝x2 3．（4分）观察下列表格，可知一元二次方程x2﹣x＝1.2的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A．x≈0.11 B．x≈1.69 C．x≈1.71 D．x≈1.19 4．（4分）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（4分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）和双曲线y（a≠0）相交于点A，B，则关于x的不等式kx+b的解集是（　　） A．x＞0.5 B．﹣1＜x＜0.5 C．x＞0.5或﹣1＜x＜0 D．x＜﹣1或0＜x＜0.5 6．（4分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝6，BD＝8、则OM的长为（　　） A．4 B．3 C． D． 7．（4分）要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（　　） A．任选两个角，测量它们的角度 B．测量四条边的长度 C．测量两条对角线的长度 D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度 8．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝mx+n都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x＝1，那么下列说法正确的是（　　） A．ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＞0 D．x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝mx+n的解 二、填空题（共5题，共20分） 9．（4分）若3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝　 　 ． 10．（4分）若线段a，b，c，d依次成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为　 　 cm． 11．（4分）已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y的图象上，且x1＜0＜x2，那么y1　 　 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 12．（4分）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽AB为8cm，水的最大深度CD为2cm，则此管件的半径为　 　 ． 13．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，分别以点D，O为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE．若AE⊥OD，AD＝2，则AB＝ 　 　 ． 三、解答题（共5题，共48分） 14．（8分）按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程：2x2﹣4x＝3（x﹣2）． 15．（10分）某校课外学习小组做摸球试验，一只不透明袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 144 186 260 668 1064 1332 摸到白球的频率 0.720 0.620 0.650 0.668 0.665 0.666 （1）该学习小组发现，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 　 　 （精确到0.01），由此估出红球有 　 　 个； （2）学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门．小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个，他们决定在（1）中的小球中选出2个白球和1个红球放入一只不透明袋子中，由小明从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课．请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率． 16．（10分）如图，在离某建筑物CE4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH的长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2m，那么这棵树的高度是多少？ 17．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点B作BF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：四边形AOBF为矩形； （2）若，BD＝2AC，求AB的长及点A到BC的距离． 18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以OA为边作▱OABC，点C在反比例函数的图象上，D是边AB的中点，点C的横坐标为2． （1）如图1，若点D的纵坐标为，求反比例函数的解析式； （2）如图2，若点D在反比例函数图象上且△OCD∽△CDB，求▱OABC的面积． （3）如图3，在（1）的条件下，将直线l1：yx向上平移得到直线l2，直线l2与双曲线交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．试探究的值是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 一、填空题（共4题，共20分） 19．（4分）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 　 　 ． 20．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AF：FB＝2：3，DF交AC于点E如果，△CDE的面积为20cm2，那么△AEF的面积是＝　 　 ． 21．（4分）如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是6，则k的值为 　 　 ． 22．（4分）如图，在矩形ABCD中，，，AE平分∠BAC交BC于点E，过点B作BF⊥AE交AC于点F，将直线BF绕点A逆时针旋转至直线l（旋转角小于90°），设l交AD于点G，交AC于点H，若AG＝GH，则AG＝ 　 　 ． 23．（4分）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有　 　 种不同取法；各边长都是整数，最大边长为51的三角形有　 　 个． 二、解答题（共3题，共30分） 24．（10分）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴，某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台10月份的水果销售量50000kg，12月份的水果销售量是72000kg． （1）若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）某水果店以5元/kg的单价进了一批水果，若售价为10元/kg，每天能销售200kg为了尽快减少库存，决定降价销售，市场调查发现，售价每降价0.1元，每天可多售出20kg． ①水果的售价为多少元时，每天可获利润为1600元？ ②水果的售价定为多少元时，每天获得利润为最大？ 25．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点O、A（2，0），将该抛物线绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线C2，两抛物线交于B、C两点，抛物线C2与y轴交于点D． （1）求抛物线C1的表达式； （2）当时，求△OBC的面积； （3）若直线y＝kx+2m（m＞0）与抛物线C1交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线DE的斜率为k1，直线DF的斜率为k2，当k1+k2为定值时，求m的值． 26．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，动点F从点C出发，沿BC延长线运动，连接DF，点E在线段CD上，且DE＝CF，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H． （1）求证：∠DAE＝∠FDC； （2）求证：AG•EH＝EG•GH； （3）将点F关于直线DC对称，F的对应点为F′，连接EF'，取EF′中点M，当正方形ABCD的边长为4时，求点M的路径长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C A C C B D 一、选择题（共8题，共32分） 1．【分析】根据俯视图的定义，判断解答即可． 【解答】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图的是： 故选：C． 2．【分析】根据形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可判断． 【解答】解：A、y是反比例函数，k＝4， 故A选项符合题意； B、y＝x+1是一次函数，不是反比例函数， 故B选项不符合题意； C、y是正比例函数， 故C选项不符合题意； D、y＝x2是二次函数，不是反比例函数， 故D选项不符合题意， 故选：A． 3．【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.7＜x＜1.8，然后对各选项进行判断即可得出答案． 【解答】解：因为x＝1.7时，x2﹣x＝1.19， x＝1.8时，x2﹣x＝1.44， 所以方程解的范围为1.7＜x＜1.8． 故选：C． 4．【分析】直接利用位似图形的性质进而连接对应点得出位似中心即可． 【解答】解：如图所示：两个三角形的位似中心是：点A． 故选：A． 5．【分析】结合一次函数y＝kx+b和反比例函数y（a≠0）的图象即可得出答案． 【解答】解：由图象可知，当x＞0.5和﹣1＜x＜0时，一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y（a≠0）的上方， ∴关于x的不等式kx+b的解集为x＞0.5或﹣1＜x＜0． 故选：C． 6．【分析】先根据已知条件和菱形的性质，证明∠BOC＝90°，求出OC和OB，再用勾股定理求出BC，最后利用三角形中位线定理求出OM即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴， ∵点M为AB的中点， ∴OM是△ABC的中位线， ∴， 故选：C． 7．【分析】有两个角相等的四边形不一定是菱形，而两个角不相等的四边形也不一定不是菱形，由此可判断A不符合题意；根据菱形的判定定理，四条边都相等的四边形是菱形，可知通过测量四条边的长度是否相等可以检测出该四边形是否为菱形，可判断B符合题意；两条对角线相等的四边形可能是矩形或任意四边形，由此可判断C不符合题意；两条对角线的交点到四个顶点的距离相等的四边形是矩形，但不一定是菱形，由此可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵有两个角相等的四边形不一定是菱形，而两个角不相等的四边形也不一定不是菱形， ∴任选两个角，测量它们的角度，不能检测出该四边形是否为菱形， 故A不符合题意； ∵四条边都相等的四边形是菱形， ∴通过测量四条边的长度是否相等可以检测出该四边形是否为菱形， 故B符合题意； ∵两条对角线相等的四边形可能是矩形或任意四边形， ∴测量两条对角线的长度无法检测该四边形是否为菱形， 故C不符合题意； ∵两条对角线的交点到四个顶点的距离相等的四边形是矩形，但不一定是菱形， ∴测量两条对角线交点到四个顶点的长度无法检测该四边形是否为菱形， 故D不符合题意， 故选：B． 8．【分析】利用二次函数图象的性质，抛物线与坐标轴及直线交点的性质逐项进行判断即可． 【解答】解：A．根据图象可知，抛物线开口向下且与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∴ac＜0，故该选项错误，不符合题意； B．由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故该选项错误，不符合题意； C．由图象可知，当x＝﹣1时，y＝0，故该选项错误，不符合题意； D．由条件可知x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝mx+n的解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共5题，共20分） 9．【分析】根据比例的性质进行解答即可． 【解答】解：由可得， ∵b+d+f＝4， ∴a+c+e＝12， 故答案为：12． 10．【分析】根据成比例线段的定义，可得比例关系a：b＝c：d，进而利用比例性质求解． 【解答】解：根据成比例线段的定义可得：a：b＝c：d， ∴ad＝bc， ∴， ∴， 故答案为：15． 11．【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第二象限，B在第四象限，从而判定y1＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴双曲线在第二，四象限， ∵x1＜0＜x2， ∴A在第二象限，B在第四象限， ∴y1＞y2； 故答案为：＞． 12．【分析】连接OB，先由垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出OB的长，即可得到答案． 【解答】解：如图，连接OB， ∵水面宽AB为8cm，水的最大深度CD为2cm， ∴AB＝8cm，CD＝2cm，则， 设⊙O的半径为Rcm，则OB＝OD＝Rcm，OC＝（R﹣2）cm， 在Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2， ∴R2＝（R﹣2）2+42， 解得R＝5， 故答案为：5cm． 13．【分析】由作图过程可得AE是DO的垂直平分线，得AD＝AO＝OB＝OD＝2，进而可以解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO＝OB＝OD，∠BAD＝90°， 由作图过程和AE⊥OD可知：AE是DO的垂直平分线， ∴AD＝AO， ∴AD＝AO＝OB＝OD＝2， ∴ABAD＝2， 故答案为：2． 三、解答题（共5题，共48分） 14．【分析】（1）先计算零次幂，负指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式，最后计算加减即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原方程整理得2x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0， 因式分解得（x﹣2）（2x﹣3）＝0， 即x﹣2＝0或2x﹣3＝0， ∴x1＝2，． 15．【分析】（1）由表格可知，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在0.67附近摆动，可知这个常数是0.67；设红球有x个，根据概率公式可得，求出x的值即可． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由表格可知，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在0.67附近摆动， ∴这个常数是0.67． 设红球有x个， ∴， 解得x≈6， 经检验，x≈6是原方程的解且符合题意， ∴估出红球有6个． 故答案为：0.67；6． （2）列表如下： 白 白 红 白 （白，白） （白，白） （白，红） 白 （白，白） （白，白） （白，红） 红 （红，白） （红，白） （红，红） 共有9种等可能的结果，其中两次都是白球的结果有4种， ∴小明上烹饪课的概率为． 16．【分析】延长AD，与地面交于M，如图，由AM∥FH，知∠AMB＝∠FHG，根据垂直的定义得到∠ABM＝∠DCM＝∠FGH＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：延长AD，与地面交于M，如图， 由AM∥FH，知∠AMB＝∠FHG， ∵AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG， ∴∠ABM＝∠DCM＝∠FGH＝90°， ∴△ABM∽△DCM∽△FGH， ∴， ∵CD＝2m，FG＝1.2m，GH＝2m， ∴， 解得CMm， ∵BC＝4m， ∴BM＝BC+CM＝4， ∴， 解得AB＝4.4m， 答：这棵树的高度是4.4m． 17．【分析】（1）证明△AOE≌△BFE（AAS），得EO＝EF，则四边形AOBF是平行四边形，然后由菱形的性质得AC⊥BD，则∠AOB＝90°，即可得出结论； （2）由菱形的性质得OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC⊥BD，再求出BC＝AB＝2OE＝4，OA＝4，则AC＝2OA＝8，BD＝2AC＝16，然后由菱形的面积即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵BF∥AC， ∴∠BFE＝∠AOE，E是AB的中点， ∴AE＝BE， 在△AOE和△BFE中， ， ∴△AOE≌△BFE（AAS）， ∴EO＝EF， ∴四边形AOBF是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴平行四边形AOBF为矩形； （2）解：如图，过A作AH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°，点E是AB的中点， ∴AB＝2OE＝4， ∴BC＝4， ∵BD＝2AC， ∴OB＝2OA， ∵OA2+OB2＝AB2， ∴OA2+（2OA）2＝（4）2， 解得：OA＝4（负值已舍去）， ∴AC＝2OA＝8，BD＝2AC＝16， ∵AH⊥BC， ∴S菱形ABCD＝BC•AHAC•BD， 即4AH8×16， 解得：AH， 答：AB的长为4，点A到BC的距离为． 18．【分析】（1）设A（m，0），由题分别求出C（2，），B（2+m，），D（1+m，），再由点D的纵坐标为，得到方程，求出k的值即可确定函数的解析式； （2）设A（m，0），由（1）可知C（2，），B（2+m，），D（1+m，），由D点在反比例函数上能求出m＝3，再由△OCD∽△CDB，可求k＝4，从而确定点C（2，2），则▱OABC的面积＝3×26； （3）设直线直线l1：yx向上平移b个单位长度，与y轴交于点E，与x轴交于G点，过点O作OF⊥l1交于点F，求出OF＝M1Nb，当x+b时，3x2﹣4bx+24＝0，x1+x2b，求出P（b，b），可得OPb，即可求得． 【解答】解：（1）∵C点的横坐标为2， ∴C（2，）， 设A（m，0）， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴B（2+m，）， ∵D是AB的中点， ∴D（1+m，）， ∵点D的纵坐标为， ∴， 解得k＝6， ∴反比例函数的解析式为y； （2）设A（m，0）， 由（1）可知C（2，），B（2+m，），D（1+m，）， ∵D点在反比例函数上， ∴k， 解得m＝3， ∴A（3，0），B（5，），D（4，）， ∵△OCD∽△CDB， ∴，即4•， 解得k＝±4， ∵k＞0， ∴k＝4， ∴C（2，2）， ∴▱OABC的面积＝3×26； （3）的值为定值，理由如下： 设直线直线l1：yx向上平移b个单位长度，与y轴交于点E，与x轴交于G点， ∴直线l2的解析式为yx+b， ∴E（0，b）， 过点O作OF⊥l1交于点F， ∵M1N⊥l1， ∴M1N＝OF， 当y＝0时，x， ∴G（，0）， ∴sin∠EGO， ∵∠OEF＝∠EGO， ∴OF＝M1Nb， 当x+b时，3x2﹣4bx+24＝0， ∴x1+x2b， ∵点P为M1M2的中点， ∴P（b，b）， ∴OPb， ∴． 一、填空题（共5题，共20分） 19．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长． 【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c， ∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根， ∴a+b＝6，ab＝4， ∴斜边c2， 故答案为：2． 20．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD；由易证得△AEF∽△CED，已知了对应边AF、CD的比例关系，即可得到两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得它们的面积比即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△AEF∽△CED， ∴， ∵AF：FB＝2：3，AF+FB＝AB＝CD， 设AF＝2k，则FB＝3k，AB＝CD＝5k， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3.2cm2． 21．【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数． 【解答】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， 设B点的坐标为（a，b）， ∵BD＝3AD， ∴D（，b）， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴k， 设E的坐标为（a，y）， ∴ay＝k， ∴E（a，）， ∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝abkk••（b）＝6， ∴4k﹣k6， 解得：k， 故答案为：． 22．【分析】设AE交BF于点P，连接FE，作AQ⊥l于点Q，因为∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，所以AC＝5，再证明△AFP≌△ABP，得AF＝AB＝3，∠AFE＝∠ABE＝90°，则CF＝2，∠EFC＝90°，由tan∠ACB，求得EFCF，则AE，由cos∠FAE，求得APAF＝6，由旋转得AQ＝AP＝6，由AG＝GH，推导出∠AHQ＝∠GAH＝∠ACB，由tan∠AHQ＝tan∠ACB，求得HQAQ＝8，由勾股定理得62+（8﹣AG）2＝AG2，求得AG，于是得到问题的答案． 【解答】解：设AE交BF于点P，连接FE，作AQ⊥l于点Q，则∠AQH＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴AC5， ∵AE平分∠BAC交BC于点E，BF⊥AE交AC于点F， ∴∠FAP＝∠BAP，∠APF＝∠APB＝90°， ∵AP＝AP， ∴△AFP≌△ABP（ASA）， ∴AF＝AB＝3，∠AFE＝∠ABE＝90°， ∴CF＝AC﹣AF＝532，∠EFC＝90°， ∵tan∠ACB， ∴EFCF2， ∴AE， ∵cos∠FAE， ∴APAF36， ∵AP⊥BF，将直线BF绕点A逆时针旋转至直线l， ∴线段AP至AQ， ∴AQ＝AP＝6， ∵AG＝GH， ∴∠AHQ＝∠GAH＝∠ACB， ∴tan∠AHQ＝tan∠ACB， ∴HQAQ6＝8， ∴GQ＝8﹣GH＝8﹣AG， ∵AQ2+GQ2＝AG2， ∴62+（8﹣AG）2＝AG2， 解得AG， 故答案为：． 23．【分析】第一部分通过列举所有两数之和大于5的组合得出结果；第二部分通过设最大边为51，利用三角形三边关系和整数对计数求解． 【解答】解：从1～5中取两个不同数，和大于5的组合有（1，5）、（2，4）、（2，5）、（3，4）、（3，5）、（4，5），共6种． 设三角形三边为a、b、c，且c＝51为最大边， 则根据三边关系得，a≤b≤51，且a+b＞51； 由a+b＞51，得a≥52﹣b， 又a≥1，a≤b，故当b＜26时无解； 当b≥26时，a从52﹣b到b，个数为b﹣（52﹣b）+1＝2b﹣51； b从26到51，有（26+51）×26÷2＝77×13＝1001， 故2×1001＝2002，51×26＝1326， ∴2002﹣1326＝676， 所以最大边长为51的三角形有676个， 故答案为：6，676． 二、解答题（共3题，共30分） 24．【分析】（1）设月平均增长率是x，利用12月份的水果销售量＝10月份的水果销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设售价降低x元，利润为w，则水果的销售利润为（5﹣x）元/kg，每天的销售量为（200+200x）kg，函数关系式，当w＝1600时，代入计算即可求解；②利用二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设月平均增长率是x，根据题意可得50000（1+x）2＝72000， 解得：x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2＝20%， 故该平台10月份到12月份销售的月平均增长率是20%； （2）①设售价降低x元，利润为w， 则利润为10﹣5﹣x＝（5﹣x）元/kg，销售量为， ∴w＝﹣200（x﹣2）2+1800， 当w＝1600时，﹣200（x﹣2）2+1800＝1600， 解得x＝3或x＝1， 10﹣3＝7，10﹣1＝9， 答：水果的售价为7元或9元时，每天可获利润为1600元； ②对于w＝﹣200（x﹣2）2+1800， ∴降价2元，即售价为8元时，每天可获得最大利润为1800元． 25．【分析】（1）将O和A坐标代入求解即可； （2）先求出C2表达式，再联立求得B坐标，进而求出△OBC面积； （3）由题易得抛物线C2的表达式为y＝﹣（x﹣2m+1）2+1＝﹣x2+（4m﹣2）x﹣4m2+4m，从而求出点D（0，﹣4m2+4m），设点E（x1，y1），F（x2，y2），易得x1+x2＝k+2，x1x2＝﹣2m，最后分别求出k1和k2，然后求解即可． 【解答】解：（1）由y＝x2+bx+c过点O（0，0）、A（2，0）， 得， 解得：， ∴抛物线C1的表达式为y＝x2﹣2x； （2）设抛物线C2的表达式为y＝﹣x2+hx+n， 当时，抛物线C2过点O1（1，0），A1（﹣1，0）， 可得， 解得：， ∴抛物线C2的表达式为y＝﹣x2+1， 解方程x2﹣2x＝﹣x2+1，得， ∴， ∵点B与点C关于点M对称， ∴； （3）抛物线C1的表达式为y＝x2﹣2x的顶点坐标为（1，﹣1）， ∴抛物线C1绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线C2的顶点坐标为（2m﹣1，1）， ∴抛物线C2的表达式为y＝﹣（x﹣2m+1）2+1＝﹣x2+（4m﹣2）x﹣4m2+4m， ∴D（0，﹣4m2+4m）， 设点E（x1，y1），F（x2，y2）， 由kx+2m＝x2﹣2x，得x2﹣（k+2）x﹣2m＝0， 从而x1+x2＝k+2，x1x2＝﹣2m， 设直线DE的表达式为y＝k1x+b1， ∴， 解得：k1， 同理可得，． ∴k1+k2 ＝2k+（﹣2m+1）（k+2） ＝2k﹣2km﹣4m+k+2 ＝（3﹣2m）k﹣4m+2， 当k1+k2为定值时，则3﹣2m＝0， ∴m． 26．【分析】（1）可证明△ADE≌△DCF，从而得出∠DAE＝∠FDC； （2）可证明△ABG∽△EDG，从而，可证明△DHE∽△AHD，从而，可证得∠DGH＝∠GDH，从而GH＝DH，进而证得结论； （3）取CD的中点W，取BC的中点V，连接WV，交EF′于M′，作F′X⊥BC，交WV于X，可证得△EWM′≌△F′XM′，从而得出EM′＝F′M′，进而得出点M和M′重合，从而得出点M运动的路径是WV，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，AD＝CD， ∵DE＝CF， ∴△ADE≌△DCF（SAS）， ∴∠DAE＝∠FDC； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，AB∥CD，∠ADB＝∠CDB＝45°， ∴∠BAG＝∠DEC，∠ABG＝∠EDG， ∴△ABG∽△EDG， ∴， 由（1）知：∠DAE＝∠FDC， ∵∠DHE＝∠AHD， ∴△DHE∽△AHD， ∴， ∴， ∴AG•EH＝EG•DH， ∵∠DGH＝∠DAE+∠ADB，∠GDH＝∠CDF+∠BDC， ∴∠DGH＝∠GDH， ∴GH＝DH， ∴AG•EH＝EG•GH； （3）解：如图， 取CD的中点W，取BC的中点V，连接WV，交EF′于M′，作F′X⊥BC，交WV于X， ∴CV， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝ 90°，BC＝CD， ∴CV＝CW，XF′∥CD， ∴∠CVW＝∠CWV＝45°，∠M′XF′＝∠EWM′， ∴∠VXF′＝90°﹣∠CVW＝45°， ∴∠CVW＝∠VXF′， ∴VF′＝XF′， ∵点F关于CD的对应点为F′， ∴CF′＝CF， ∵CF′＝DE， ∴CV﹣CF′＝DW﹣DE， ∴VF′＝EW， ∴XF′＝EW， ∵∠XM′F′＝∠EM′W， ∴△EWM′≌△F′XM′（AAS）， ∴EM′＝F′M′， ∵点M是EF′的中点， ∴点M和M′重合， ∴点M运动的路径是WV， ∵WVCW＝2， ∴点M的路径长为：2。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $