专题8.1 平行四边形（知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

专题8.1 平行四边形 （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：平行四边形 2 知识点梳理02：平行四边形的性质定理 2 知识点梳理03：平行线间距离 3 知识点梳理04：平行四边形的判定定理 4 题型讲练 4 题型1 利用平行四边形的性质求解 4 题型2 利用平行四边形的性质证明 5 题型3 平行四边形性质的其他应用 6 题型4 判断能否构成平行四边形 7 题型5 添一个条件成为平行四边形 8 题型6 数图形中平行四边形的个数 9 题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 10 题型8 证明四边形是平行四边形 11 题型9 利用平行四边形的判定与性质求解 12 题型10 利用平行四边形性质和判定证明 12 题型11 平行四边形性质和判定的应用 13 题型12 反证法证明中的假设 14 题型13 用反证法证明命题 15 中考真题 实战演练 16 分层训练 17 基础夯实 17 培优拔高 20 知识点梳理01：平行四边形 1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.符号表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 3.基本元素：邻边：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC 对边：AB和DC，AD和BC. 邻角：∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD. 对角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC 对角线：AC和BD    【易错点拨】 平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点. 知识点梳理02：平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点梳理03：平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 知识点梳理04：平行四边形的判定定理 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 题型1 利用平行四边形的性质求解 【典例精讲】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式训练】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，已知：的对角线，相交于点，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 题型2 利用平行四边形的性质证明 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．求证：． 【变式训练】（2025·贵州黔东南·二模）在平行四边形中，E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的面积． 题型3 平行四边形性质的其他应用 【典例精讲】（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． (3)在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 题型4 判断能否构成平行四边形 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 题型5 添一个条件成为平行四边形 【典例精讲】如图所示，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间为时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段、的端点均在小正方形的顶点上． (1)在网格中以线段为边作平行四边形，平行四边形的周长为14，请画出平行四边形； (2)在网格中画出以为斜边的等腰直角三角形（点N在小正方形的顶点上）． (3)连接，请直接写出线段的长． 题型6 数图形中平行四边形的个数 【典例精讲】（24-25八年级下·河南焦作·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)将先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，画出； (2)将绕点B逆时针旋转得到，画出； (3)从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到______个平行四边形，写出其中一个平行四边形的面积______． 【变式训练】如图，在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，定义：由格点为顶点的平行四边形叫格点平行四边形．图中以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数为（） A．6 B．7 C．8 D．9 题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的图形； (2)画出绕点A按顺时针方向旋转后的图形； (3)在格点上找点D，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点D的坐标为______． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过点C的另一条直线与x轴交于点． (1)求点B、C的坐标和直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型8 证明四边形是平行四边形 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点作交于点，请使用尺规作图法在边上求作一点，连接，使四边形为平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 题型9 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例精讲】（21-22八年级下·广东湛江·期中）如图，在中，，，，点D、E分别是、的中点，交的延长线于F，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西榆林·月考）如图所示，在中，，于点，平分交于点，交于点，作交于点．若，则的长为 ． 题型10 利用平行四边形性质和判定证明 【典例精讲】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，已知点O是对角线的中点，过点O的直线分别交、于E、F两点，连接、．求证：四边形是平行四边形． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，四边形是平行四边形，E、F是对角线上的两点，连接，，，，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 题型11 平行四边形性质和判定的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【变式训练】（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 题型12 反证法证明中的假设 【典例精讲】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（   ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中没有一个内角小于 D．三角形中每个内角都大于 【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·月考）下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③如果a，b，c是一组勾股数，那么也是一组勾股数；④用反证法证明命题“在中，，则”．应先假设“”．其中，正确的说法有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型13 用反证法证明命题 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求证：是直角三角形； (3)能否为等边三角形？请说明理由． 【演练1】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【演练2】（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【演练3】（2025·山东济南·中考真题）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：． 【演练4】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 【演练5】（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 基础夯实 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是 ． 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）在 中，若，则的度数为 ． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中垂直平分对角线，若，，则 ． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，，，，且．试判断四边形的形状，并说明理由． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）【初步探究】 （1）如图1，在中，，点为边上一点，连接，若点在的垂直平分线上，，则线段的长为___________． 【灵活应用】 （2）如图2，有一块形状为的街心花园，，垂足为点，，点是的中点，连接和是两条人行通道，设计人员现要在上的点处修建一个游客休息区，沿和拉两条彩灯，且．设计人员想知道与是否相等，请你帮助设计人员判断是否等于，并说明理由． 培优拔高 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过 秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是 ． 6．（24-25八年级下·甘肃酒泉·月考）如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，连接，取中点，过点作直线，分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 9．（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 10．（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 平行四边形 （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：平行四边形 2 知识点梳理02：平行四边形的性质定理 2 知识点梳理03：平行线间距离 3 知识点梳理04：平行四边形的判定定理 4 题型讲练 4 题型1 利用平行四边形的性质求解 4 题型2 利用平行四边形的性质证明 6 题型3 平行四边形性质的其他应用 8 题型4 判断能否构成平行四边形 11 题型5 添一个条件成为平行四边形 14 题型6 数图形中平行四边形的个数 17 题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 19 题型8 证明四边形是平行四边形 22 题型9 利用平行四边形的判定与性质求解 23 题型10 利用平行四边形性质和判定证明 25 题型11 平行四边形性质和判定的应用 27 题型12 反证法证明中的假设 29 题型13 用反证法证明命题 30 中考真题 实战演练 32 分层训练 38 基础夯实 38 培优拔高 45 知识点梳理01：平行四边形 1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.符号表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 3.基本元素：邻边：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC 对边：AB和DC，AD和BC. 邻角：∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD. 对角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC 对角线：AC和BD    【易错点拨】 平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点. 知识点梳理02：平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点梳理03：平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 知识点梳理04：平行四边形的判定定理 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 题型1 利用平行四边形的性质求解 【典例精讲】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质； （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，即可求解． 【完整解答】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴， ∴． 【变式训练】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，已知：的对角线，相交于点，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理和平行四边形的面积； （1）根据平行四边形的性质可求得，再利用勾股定理即可求解； （2）利用平行四边形的面积底高，即可求解． 【完整解答】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， ∴的长为12； （2）解：∵， ∴的面积． 题型2 利用平行四边形的性质证明 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握以上性质． 根据平行四边形的性质得出相等的角和边，然后利用证明即可得出结论． 【完整解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴. 在和中， ∴. ∴． 【变式训练】（2025·贵州黔东南·二模）在平行四边形中，E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）利用平行四边形的性质，推出，进一步可得，，再由E是中点，可证明； （2）过点A作于点G，利用直角三角形的性质求出的长，进一步可得平行四边形的面积，再结合（1）中结论推出的面积等于平行四边形的面积，即可求解． 【完整解答】（1）四边形是平行四边形， ，即， ，， 又E是中点， ， ． （2）如图，过点A作于点G，则， 又，， ， 平行四边形的面积， 由（1）知，， ， 的面积等于平行四边形的面积，即． 题型3 平行四边形性质的其他应用 【典例精讲】（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． (3)在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为4的等腰梯形即可； （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为5的平行四边形即可； （3）取格点H，使，过点H利用平移的性质作的平行线，在平行线上取不是格点的点G即可． 【完整解答】（1）解：如图①，四边形即为所求． （2）解：如图②，四边形即为所求． （3）解：如图③，取格点H，使，过点H作的平行线，在平行线上取不是格点的点G， 则点G即为所求（答案不唯一）． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或8或 【思路引导】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得，可求解； （3）利用平行四边形的性质，分类讨论可求解． 【完整解答】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可得： 当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时四边形是中心对称图形， ∵， ∴， 当点Q没有到达点B时， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， 当点Q到达点C后，返回时， ∴， 当点Q第二次到达点B后， 综上所述：t的值为或8或 题型4 判断能否构成平行四边形 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据，结合已知可以得出，从而证明， （2），由点E、G关于对称，可得，则，由，证明，再由，可得，进而结论得证； （3）由点G是点E关于的对称点可得，，同理（1），四边形是平行四边形，则，证明是等边三角形，则，由，可得，则，，由此得出结论． 【完整解答】（1）证明：∵等边， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵点E、G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，， ∴，， 同理（1），四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【变式训练】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)t的值为3 (3)存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【思路引导】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【完整解答】（1）解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； （3）解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 题型5 添一个条件成为平行四边形 【典例精讲】如图所示，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间为时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由平行四边形的判定定理，结合，可知，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，按照点和点的位置关系进行分类讨论，列方程求解即可． 【完整解答】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 如图所示： 当运动到点和点之间时， 则， 解得，， 当运动到点和点之间时， 则， 解得，， ∴当运动时间为或时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段、的端点均在小正方形的顶点上． (1)在网格中以线段为边作平行四边形，平行四边形的周长为14，请画出平行四边形； (2)在网格中画出以为斜边的等腰直角三角形（点N在小正方形的顶点上）． (3)连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查勾股定理、平行四边形的判定和等腰直角三角形的判定，熟悉网格特点和平行四边形的判定是解题关键． （1）根据网格特点和勾股定理求长度，再根据平行四边形的判定定理，作图即可； （2）根据网格特点和勾股定理求长度，结合等腰直角三角形的判定作图即可； （3）利用网格特点和勾股定理求解即可． 【完整解答】（1）解：如图，平行四边形即为所作图形， 理由：由图知， ∴四边形是平行四边形， 又，， ∴平行四边形的周长为：，符合题意， ∴该平行四边形即为所作图形； （2）解：如图，点即为所作图形， 理由：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且以为斜边，符合题意， ∴该点即为所作图形； （3）由图可知，． 题型6 数图形中平行四边形的个数 【典例精讲】（24-25八年级下·河南焦作·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)将先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，画出； (2)将绕点B逆时针旋转得到，画出； (3)从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到______个平行四边形，写出其中一个平行四边形的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3； 【思路引导】本题主要考查作图——旋转变换与平移变换，掌握旋转变换和平移变换的定义与性质是解题的关键． （1）将三个顶点分别先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕点B逆时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）结合平行四边形的性质分析求解． 【完整解答】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到3个平行四边形，分别为，，， ， ， ． 故答案为：3；． 【变式训练】如图，在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，定义：由格点为顶点的平行四边形叫格点平行四边形．图中以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数为（） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【思路引导】根据已知，高为1，再去图上寻找符合的平行四边形 ． 【完整解答】解：根据AB=2，平行四边形面积为2 所以，高=1 以AB为边，满足条件的有6个， 以AB为对角线满足条件的3个合计9个． 故选D． 【考点再现】本题需要理解题意，正确找到平行四边形的高，再图中找到满足定义平行四边形是关键． 题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的图形； (2)画出绕点A按顺时针方向旋转后的图形； (3)在格点上找点D，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点D的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【思路引导】本题考查作图-旋转变换，平行四边形的判定，解题的关键是掌握旋转变换的性质，正确作出图形． （1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点； （3）根据平行四边形的判定画出图形可得结论． 【完整解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如上图，即为所求； （3）解：图形如图所示，则满足条件的点D的坐标或或． 故答案为：或或． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过点C的另一条直线与x轴交于点． (1)求点B、C的坐标和直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，D的坐标为或 【思路引导】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质．分类讨论是解（2）的关键． （1）分别令、可求出点B、C的坐标；用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （2）先求出，根据平行四边形的性质得，，然后分两种情况求解即可． 【完整解答】（1）解：当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴． 设直线的函数解析式为， 把代入，得 ， ∴， ∴； （2）解：存在， ∵，，， ∴． ∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ∴，， ∴，． 题型8 证明四边形是平行四边形 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【思路引导】先利用平行四边形的对边平行性质，得到同旁内角互补的关系；再结合已知的，推出另一组对角相等；最后根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形． 【完整解答】证明：四边形是平行四边形， ， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 【考点再现】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的对边平行性质，及利用等角的补角相等推出对角相等，进而判定平行四边形是解题的关键． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点作交于点，请使用尺规作图法在边上求作一点，连接，使四边形为平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了作一个角等于已知角，平行四边形的判定． 以为一边，在的内部作，交于点F即可． 【完整解答】解：如图，四边形即为所求作的平行四边形． 理由：由作法知，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 题型9 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例精讲】（21-22八年级下·广东湛江·期中）如图，在中，，，，点D、E分别是、的中点，交的延长线于F，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由于，从而易证，所以，从而可证四边形是平行四边形，所以，再根据，得到，于是可得到，从而求出答案． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西榆林·月考）如图所示，在中，，于点，平分交于点，交于点，作交于点．若，则的长为 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 过点G作交于点H，利用题中条件证明，推出． 【完整解答】如图，过点G作交于点H，则， ，， 四边形是平行四边形， ， 由可得， ， 由得， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：3． 题型10 利用平行四边形性质和判定证明 【典例精讲】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，已知点O是对角线的中点，过点O的直线分别交、于E、F两点，连接、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 根据平行四边形的性质得到，进而根据证明，得到，即可证明四边形为平行四边形． 【完整解答】证明：在中，，O是的中点， ， 在与中， ， ， ， 四边形为平行四边形． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，四边形是平行四边形，E、F是对角线上的两点，连接，，，，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形性质求证线段相等是解题的关键． （1）根据平行四边形性质，可推证，，进一步证明，于是得到； （2）证明，，利用平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型11 平行四边形性质和判定的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明 ，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【完整解答】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 【变式训练】（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一，过对角线交点O即可） (2)见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【完整解答】（1）解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； （2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 题型12 反证法证明中的假设 【典例精讲】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（   ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中没有一个内角小于 D．三角形中每个内角都大于 【答案】D 【思路引导】本题考查反证法的应用，根据反证法的意义及步骤即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【完整解答】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设三角形中每个内角都大于， 故选：D． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·月考）下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③如果a，b，c是一组勾股数，那么也是一组勾股数；④用反证法证明命题“在中，，则”．应先假设“”．其中，正确的说法有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查的是命题的真假判断、反证法的应用，掌握逆命题的概念、等边三角形的判定、勾股数、反证法的应用是解题的关键．①根据逆命题的概念、真假命题的概念进行分析判断；②根据等边三角形的判定进行分析判断；③根据勾股数的定义进行分析判断；④根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立进行分析判断． 【完整解答】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，原说法错误，不符合题意； ②三个角都相等的三角形是等边三角形，原说法正确，符合题意； ③如果a，b，c是一组勾股数，那么也是一组勾股数，原说法正确，符合题意； ④用反证法证明命题“中，，则”．应先假设“”，原说法错误，不符合题意． 综上所述，正确的说法有2个． 故选：B 题型13 用反证法证明命题 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【思路引导】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 【完整解答】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求证：是直角三角形； (3)能否为等边三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)不能．理由见解析 【思路引导】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可； （3）用反证法，假设能否为等边三角形，根据题意证明不等于，推出矛盾． 【完整解答】（1）证明：， ． ， 是等边三角形； （2）解：是直角三角形． 理由如下： 是等边三角形， ， ，， ， ， ∴是直角三角形； （3）解：不能．理由： 由，得． 若为等边三角形， 则， 又， ． 又， ， 又， ． ∴不可能为等边三角形． 【考点再现】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 【演练1】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】②或③，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加条件②，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加③为条件，证明得出，即可得证． 【完整解答】解：添加②为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． 添加③为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择①无法得出四边形是平行四边形． 【演练2】（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【思路引导】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 【演练3】（2025·山东济南·中考真题）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，由可得，再证四边形是平行四边形，推出，，等量代换即可得出． 【完整解答】证明：平行四边形中，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【演练4】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【演练5】（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 基础夯实 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 【答案】B 【思路引导】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可． 【完整解答】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【思路引导】本题考查了命题的真假，平行四边形的判定，根据错误的命题是假命题，正确的命题是真命题，以及平行四边形的判定方法进行逐项分析，即可作答． 【完整解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或者是等腰梯形，原说法是假命题，故该选项符合题意； C、两组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质及平行线的性质．先利用平行四边形的性质得出，，再由平行线的性质得出，根据已知条件计算出的度数，随即得到的度数． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴，解得， ∴． 故选：B． 4．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及平行四边形的性质；，有一公共边，证明，可得与的高与相等，进而可得出结论． 【完整解答】解：如图，过、分别作、， 四边形是平行四边形， ， 又∵ ∴， ∴与的高与相等，即， ， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）在 中，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，对角相等，因此与相等，据此作答即可． 【完整解答】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中垂直平分对角线，若，，则 ． 【答案】/37度 【思路引导】本题考查平行四边形的性质与垂直平分线性质，解题关键是利用垂直平分线得，结合平行四边形内角的关系求角度，易错点是垂直平分线的性质应用不当． 由平行四边形得，由垂直平分线的性质得到，，再结合平行四边形的性质和角的和差即可求解． 【完整解答】解：∵在中，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∴； 在中，， 又∵在中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．由平行四边形的性质得到，，因此，由平分得到，即可得到，根据等角对等边得到，进而即可求解． 【完整解答】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【完整解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，，，，且．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形为平行四边形．理由见解析. 【思路引导】先利用已知的边和角，通过判定三角形全等，得到对应边相等；再结合题目中已有的边相等条件，依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判断四边形的形状． 【完整解答】解：四边形为平行四边形．理由如下： 在和中： ， ． ， 四边形为平行四边形． 【考点再现】本题考查了三角形全等的判定与平行四边形的判定，掌握利用证明三角形全等得到对应边相等，及两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理是解题的关键． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）【初步探究】 （1）如图1，在中，，点为边上一点，连接，若点在的垂直平分线上，，则线段的长为___________． 【灵活应用】 （2）如图2，有一块形状为的街心花园，，垂足为点，，点是的中点，连接和是两条人行通道，设计人员现要在上的点处修建一个游客休息区，沿和拉两条彩灯，且．设计人员想知道与是否相等，请你帮助设计人员判断是否等于，并说明理由． 【答案】（1）2；（2），理由见解析 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，从而得到，继而得到，即可求解； （2）在上取点H，使，证明，可得，从而得到，再证明，即可解答． 【完整解答】解：（1）∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：2； （2）如图，在上取点H，使， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 培优拔高 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 根据平行四边形的判定方法进行分析即可． 【完整解答】解：①和③根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ①和②，③和④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ②和④根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ∴能推出四边形为平行四边形的有种． 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【完整解答】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 3．（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得出，，，，推出是等边三角形，再证明，得出，得出即可判断①④；根据，，可判断②正确，根据，，，，可判断③错误． 【完整解答】解：在平行四边形中， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；， 故①、④正确； ∵， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故③错误， 正确的有3个， 故选：C． 4．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过 秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，解题的关键在于掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．设点，运动的时间为秒，则，，，，因为，故分两种情况：当或时，列方程解答即可． 【完整解答】解：设点，运动的时间为秒，则，，，， ， ①当时，四边形是平行四边形， 即，解得； ②当时，四边形是平行四边形， 即，解得； 经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或． 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行四边形性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键在于根据题意找出长度最小时所在位置． 过点作于点，根据平行四边形性质和垂线段最短，推出当与重合时， 的长度最小，再利用勾股定理，以及直角三角形性质求解，即可解题． 【完整解答】解：点D在边上，四边形为平行四边形， 为的中点，， ， 要使的长度最小，即的长度最小， 过点作于点， 当与重合时，据垂线段最短可知，此时的长度最小， ，， ， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； 故答案为：． 6．（24-25八年级下·甘肃酒泉·月考）如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则 ． 【答案】/3厘米 【思路引导】利用平行四边形的对边相等且平行以及平行线的基本性质求解即可． 本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 【完整解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，连接，取中点，过点作直线，分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【思路引导】由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形． 【完整解答】证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【考点再现】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 9．（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【完整解答】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 【考点再现】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质与全等三角形的判定，掌握平行四边形的性质、折叠的线段与角的对应关系，及全等三角形的判定方法是解题的关键． 10．（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）见解析  （2），证明见解析 【思路引导】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合全等三角形的判定与性质证明对角线互相平分； （2）通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质及等边三角形的判定，探究线段与的数量关系． 【完整解答】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，． （2）如图所示，过点作交于点，连接，， ． ，， ，即， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 为的中点， ，，三点在一条直线上， ． 在和中， ， ， ． 【考点再现】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行四边形的性质构造全等三角形，或通过构造平行四边形转化线段关系． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $