19.2二次根式的乘法与除法（第1课时 二次根式乘法）（教学设计）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学教学设计聚焦“二次根式的乘法法则”核心知识点，通过复习二次根式性质，类比分式“概念-性质-运算-应用”研究路径，搭建前后知识脉络，为新内容学习提供支架。 此设计以探究式学习为主线，让学生观察具体算式归纳法则，培养推理能力，分层典例覆盖正向运算与逆用化简，强化运算能力，融入中考真题提升应用意识，助力学生掌握方法，教师教学更高效。

19.2二次根式的乘法与除法（第1课时）教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是在学习二次根式的概念和性质的基础上，结合算术平方根的概念，通过观察，归纳出二次根式的乘法法则，并应用这个法则进行二次根式的计算和化简。 2. 内容分析 本节课是二次根式运算的起始课，承接二次根式的概念和性质，是后续学习二次根式除法、加减运算及混合运算的基础。从知识逻辑来看，教材通过“观察具体算术平方根的乘法运算→归纳共性→抽象出二次根式乘法法则→应用法则计算化简”的路径展开，符合学生从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律。从教学价值来看，本节课不仅是运算技能的培养，更能通过法则的探索过程，渗透归纳、类比的数学思想，发展“推理能力”“运算能力”等核心素养，同时为后续解决实际问题提供运算工具。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：二次根式乘法法则的探究和应用。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）探索二次根式的乘法法则，体会归纳、类比的数学思想，发展推理能力。 （2）能根据二次根式的乘法法则进行二次根式的乘法运算，发展运算能力。 2. 目标解析 （1）“探索”要求学生不是被动接受法则，而是主动参与法则的生成过程。学生需要经历观察特例、猜想规律、验证猜想、归纳法则四个关键步骤。“发展推理能力”侧重培养学生的合情推理和初步的演绎推理能力，帮助学生养成严谨的推理习惯。 （2）学生不仅能直接应用法则计算，还能逆用法则化简二次根式。“发展运算能力”不仅要求运算结果正确，更强调运算方法的合理性和简洁性。学生需要掌握“先判断被开方数是否为非负数→应用法则计算→化简结果”的运算步骤，同时能根据题目特点灵活选择运算顺序，提升运算的效率和准确性。 三、教学问题诊断分析 1.概念理解类问题 学生对二次根式有意义的条件理解不透彻，没有将“被开方数为非负数”与乘法法则的应用建立关联。应对策略：引导学生思考“该式中的二次根式是否有意义”，通过讨论明确法则仅适用于被开方数均为非负数的情况，强化“先判断有意义，再进行运算”的思维习惯。 2.运算类问题 化简二次根式时不彻底，学生缺乏主动化简的意识。应对策略：通过针对性练习强化化简步骤。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用二次根式的乘法法则进行运算。 四、教学过程设计 （一）复习引入 二次根式的性质：①≥0 (a≥0). ②=a（a≥0）. ③=|a|（a为任意实数）. 类比分式的研究路径（概念-性质-运算-应用），在学习了二次根式的概念和性质的基础上，学习二次根式的运算，先来研究二次根式的乘法. 设计意图：知识回顾，夯实基础：先复习二次根式的性质，帮学生快速唤醒已有知识，为新内容的学习做知识铺垫。渗透研究方法，搭建认知框架：通过 “类比分式的研究路径”，让学生明确 “概念 - 性质 - 运算 - 应用” 是代数模块的通用学习逻辑，帮学生建立系统化的知识学习思路。 （二）合作探究 探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律? （1）×= 6 ；= 6 ； （2）×= 20 ；= 20 ； （3）×= 42 ；= 42 . 追问 你能用字母表示你所发现的规律吗？ 二次根式的乘法法则：. 反过来，就得到.利用它可以进行二次根式的化简. 设计意图：从具体到抽象，自主归纳法则：通过3组具体数字的二次根式运算，让学生直观感知 “两个二次根式相乘的结果，与被开方数相乘后开方的结果相等”，自主发现规律，避免被动接受法则。双向理解法则：既得出乘法法则（正向运算），又明确其逆用（化简），帮助学生全面掌握法则的双重功能，为后续运算和化简做准备。 （三）典例分析 例1 计算： （1） ； （2）×； （3）×. 解： （1） ==； （2） ===3； （3） = = = ； 例2 化简： （1） ； （2） 解： （1） ==4×9=36； （2） ==2·a·=2a·=2ab. 注意①被开方数4a2b3舍有偶数次因数4(4=22)和因式a2，b2，它们是开得尽平方的因数和因式，被开方后可以移到根号外. ②在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数. 例3 计算： （1） ； （2）×； （3）. 解：（1）=== =7； （2）×=3×2×==×=6×5=30； （3）====x. 设计意图：分层落实法则，覆盖不同场景：例1聚焦二次根式乘法法则的直接应用，涵盖了整数、分数类被开方数的情况，帮学生熟练掌握正向运算。例2侧重法则的逆用（化简），结合含字母的被开方数，明确 “开得尽方的因数（因式）移到根号外” 的化简方法，同时补充字母的取值说明，强化严谨性。示范规范步骤，培养严谨习惯：每道例题都呈现完整的解题过程，帮助学生建立规范的解题表达。 （四）巩固练习 1.计算： （1） ； （2）； （3）× ； （4）×. 解： （1） =； （2） ==6. （3） × =2； （4）× =2. 2.化简： （1） ； （2）； （3）； 解： （1）==7×9=63； （2）==2； （3）==4bc. 3.一个长方形的长和宽分别是和2，求这个长方形的面积. 解： = =4. 答：这个长方形的面积为4. 设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。 （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年甘肃兰州）计算：（  B  ） A．6 B． C． D．1 2．（2025年广东）计算的结果是（  B ） A．3 B．6 C． D． 3．（2024年江苏南通）计算的结果是（  B  ） A．9 B．3 C． D． 4．（2023年湖南衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（  D  ） A． B． C． D． 5．（2025年陕西）计算：． 解：． 6．（2025年湖北）计算：． 解；． 设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 （七）小结梳理 （八）布置作业 1.必做题：习题19.2 第1，7(1)(2)题. 2.探究性作业：习题19.2 第6题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $