（寒假讲义-预习篇）第八讲 乘法公式（八大重点考点练+三难度分层练 共54题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册精编培优讲练

第八讲 乘法公式 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1．进一步理解和掌握平方差公式和完全平方公式。 2．利用两个公式解决问题，提高综合运用公式的能力。 3．在应用公式的过程中，感受整体思想。   教学重难点 重点：正确熟练地运用乘法公式进行混合运算和化简。 难点：平方差公式和完全平方公式的综合应用，构造“整体”的方法解决问题。 知识点一：完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点二：完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点三：完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点四：平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点五：平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 考点一：运用平方差公式进行运算 【例1】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【思路引导】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【完整解答】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 【变式1】乘法公式的探究与运用： (1)如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是____________（写成两数平方差的形式）； (2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是____________，宽是____________，面积是_________________（写成多项式乘法的形式）； (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：______________________________； (4)运用你得到的公式计算：． 【答案】(1) (2)，， (3)或 (4)99.91 【思路引导】本题主要考查了平方差公式的几何背景及应用． （1）由面积公式可得到答案； （2）根据图形可知长方形的长是，宽是，再由长方形面积公式可得到答案； （3）根据图①和图②阴影部分面积相等可得到答案； （4）可先把化为，再利用平方差公式计算即可得出答案． 【完整解答】（1）解：大正方形面积，小正方形面积， 阴影部分面积大正方形面积小正方形面积， 故答案为：； （2）解：由图可知，长方形的宽，长方形的长， ∴长方形的面积， 故答案为：，；； （3）解：或； （4）解： ． 【变式2】（20-21七年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据幂的、积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法运算法则计算，再进行合并即可； （2）先由积的乘方逆运算将原式化为，再由平方差公式和完全平方公式化简计算． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点二：平方差公式与几何图形 【例2】如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　）   A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式证明平方差公式；分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式． 【完整解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积 ，右边图形中阴影部分的面积，故可得，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得，可以验证平方差公式． 故选D． 【变式1】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2)①3；②4 【思路引导】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，已知代入即可求出答案；②将变形为，然后利用平方差公式求解即可； 【完整解答】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， 故答案为：； （2）①， ， ， ， ； ② 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【思路引导】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式得，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【完整解答】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 考点三：运用完全平方公式进行运算 【例3】计算 (1) (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)，1 【思路引导】本题主要考查了整式的除法，整式的化简求值，包括积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，平方差公式等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先进行积的乘方和幂的乘方运算，再进行单项式除以单项式的运算； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行整理，然后合并同类项，再进行单项式除以单项式的运算，最后代数求值即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： 将代入上式得， 原式． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可解答； （2）根据即可求出； （3）根据，求出，再根据求出，由，然后代入数据计算即可． 【完整解答】（1）图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，图2中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为 所以有． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴， ∴（已舍弃负值）， ∴ ． 【变式2】（21-22七年级下·全国·期末）化简求值：已知x，y满足：，求代数式的值． 【答案】113 【思路引导】本题考查了整式的化简求值．解题的关键是完全平方公式、多项式乘以多项式的法则、平方差公式的运用，以及合并同类项．先按照完全平方公式、多项式乘以多项式的法则、平方差公式展开，合并，然后根据已知等式可求x、y，最后再把x、y的值代入化简后的式子，计算即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ​​​​​​​则原式 ． 考点四：通过对完全平方公式变形求值 【例4】（23-24七年级下·全国·月考）如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，用等式表示出，和的数量关系． (2)若，且，求图2中的空白正方形的面积． (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键． （1）由拼图，矩形和正方形的面积公式可得出答案； （2）将已知数据代入（1）中所推等式里即可得解； （3）设，则，代入所推等式求出，进而即可求解． 【完整解答】（1）解：由拼图可得，阴影部分是4个长为，宽为b的小长方形的面积和，中间空白部分的面积为边长为的正方形的面积，整个图2的面积为边长为的正方形的面积， ∴， ∴； （2）解：由 (1)得，， ∵，且， ∴， ∴， ∴图2中的空白正方形的面积为； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的面积为． 【变式1】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【思路引导】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）直接根据图形列出代数式即可； （2）两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （3）利用（2）中结论进行作答即可． 【完整解答】（1）解：由图②可知：小正方形的边长为； 故答案为：； （2）由图②可知，小正方形的面积可以表示为和； 故； （3）①由（2）得：， ， ； ②， ． 【变式2】（22-23七年级下·河南郑州·月考）图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于__________； (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．（只需列出，不必化简） 方法1：__________，方法2：__________； (3)观察图你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式的关系是__________． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，求． 【答案】(1) (2)， (3) (4)29 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）由题中的已知数量结合图形即可得到图b中阴影部分正方形的边长； （2）①由（1）中所得阴影部分正方形的边长可表达出其面积；②由已知条件结合图形可得图b中大正方形的边长为，由大正方形的面积减去4个小矩形的面积可得阴影部分的面积； （3）由（2）中阴影部分小正方形面积的两种不同表示方法即可得到三个式子间的数量关系； （4）应用（3）中所得数量关系进行解答即可． 【完整解答】（1）解：由题意可得图b中阴影部分的小正方形的边长为：； 故答案为：； （2）解：方法1：由（1）可知阴影部分的小正方形的边长为， 阴影部分小正方形的面积为：； 方法2：由题意可得图b中大正方形的边长为：， 阴影部分小正方形的面积为：； 故答案为：； （3）解：由（2）可得：小正方形的面积， 三个式子间的数量关系为：； 故答案为：； （4）解：根据题意得：， 由（2）中所得数量关系可得：． 故答案为：29． 考点五：完全平方公式在几何图形中的应用 【例5】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）利用完全平方公式解答下列各题． (1)若，，求的值； (2)如图，正方形，的边长分别为，，若，，求图中阴影部分（梯形）的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形推导是解此题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）由题意可知，根据，代入即可求得，再根据，代入可得，由，可得，最后根据直角梯形的面积公式计算即可． 【完整解答】（1）解：，且，， ， 解得． 故的值为； （2）由题意可知，，，且四边形为直角梯形， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 故阴影部分的面积为． 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知长方形，将图沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图中的“回形”正方形． (1)观察图，请你写出、、之间的等量关系是_____． (2)根据（）中的结论，若，求的值； (3)拓展应用：如图，点，分别是，的中点，点在上，，以为边作正方形，点在上，交于点，长方形的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（）根据图（）分别表示出大正方形、阴影部分和个空白长方形的面积和，再根据面积关系写出等量关系即可； （）利用（）的等量关系解答即可求解； （）由题意可得正方形的边长为，，进而由可得，又由长方形的面积为可得，即得到，最后代入计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的应用，正确识图是解题的关键． 【完整解答】（1）解：图中，大正方形的边长为，面积为，阴影部分是边长为，面积为，个空白长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，正方形的边长为，， ∵，， ∴， 即， ∵长方形的面积为，即， ∴， 把代入得，， 整理得，， ∴． 【变式2】有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图，它表示了．观察图，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ． 【答案】，， 【思路引导】本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各图形的面积是关键．大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，可得出三个代数式、、之间的等量关系；依此即可求解． 【完整解答】解：观察图②可知，代数式、、之间的等量关系式：；；． 故答案为：；；． 考点六：求完全平方式中的字母系数 【例6】（24-25七年级下·浙江金华·月考）【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①；      ②；      ③ ；   ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 【答案】（1）①③；（2）或；（3），，， 【思路引导】（1）将各式先变形，利用完全平方式的结构特征判断即可； （2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果； （3）可将给出的两项看作完全平方式的前两项或第一项和第三项，分别求得第三项和第二项，而给出的二项式的两项本身都是完全平方式，还可去掉其中一项，由此即可得解． 本题考查完全平方公式，完全平方式．熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【完整解答】解：（1）①， ②， ③ ， ④　． ∴是完全平方式的有①③． 故答案为：①③． （2）∵和都是完全平方式， ∴， ∴， ， ∴， 当时，， 当时，， ∴的值为或； （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是，，，． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料并解决问题： 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．例如，求的最小值． 解： ． 无论x取何值，总是非负数， 即，所以． 所以当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： ； (2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值； (3)如图，比较两个长方形的面积，的大小，并说明理由． 【答案】(1)36；6 (2)变形见解析； (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． （1）利用配方法即可得； （2）利用配方法得，根据非负数的性质即可得； （3）根据题意得，，利用作差法和配方法得，即可得． 【完整解答】（1）解：， 故答案为：，6； （2）解： ， 无论x取何值时，总是非负数， 即， ∴， ∴的最小值为； （3）解： ， ， ∴ ， ∵无论a取何值时，总是非负数， 即， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点E、G分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)4 (3)64 【思路引导】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【完整解答】（1）解：由题意得，， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 考点七：完全平方式在几何图形中的应用 【例7】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【思路引导】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【完整解答】（1）解：； （2）解： ； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2） 【思路引导】本题考查了利用图形面积证明不等式； （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． 【完整解答】解：（1）（ⅰ）由题意得 ①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形ABCD的面积为， 故答案：，，； （ⅱ）由图②得 当时，， 故答案：； （ⅲ）当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学：   当时，； （2） ， 由（1）得： ， ， ， 的最小值为． 【变式2】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 【答案】(1)13 (2)①10；②22 (3)12 【思路引导】本题主要考查完全平方公式的几何背景和应用，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）①根据即可求解； ②根据即可求解； （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b，根据，阴影部分面积为36，得出，，即可求出，再进行计算即可求解． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴ 故答案为：13． （2）①已知 ∴ ∴ 故答案为：10． ②已知 ∴ ∴ 故答案为：22． （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b， ∵，阴影部分面积为36， ∴， 则 ∵ ∴ 即． 考点八：整式的混合运算 【例8】（2026七年级下·全国·专题练习）求下列代数式的值： (1)．其中，． (2)．其中，，． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的运算法则是做题的关键． （1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简结果，再把代入计算即可； （2）先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简结果，再把，代入计算即可． 【完整解答】（1）解： 当时，原式． （2）解： 当，时，原式． 【变式1】化简求值：，其中， ． 【答案】，． 【思路引导】本题考查整式的加减，平方差公式，完全平方公式，积的乘方，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． 根据平方差公式，完全平方公式化简，再进行合并同类项，最后代值计算即可． 【完整解答】解： ， ， ， 当， 时，原式． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查整式的混合运算、实数的运算．熟练掌握运算法则是解题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． （1）先利用零指数幂、负整数指数幂和有理数的乘方进行计算，然后再进行加减运算即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可； （3）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则可以将式子展开，然后合并同类项即可； （4）根据平方差公式和多项式乘多项式的法则计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 基础通关练 1．（18-19七年级下·四川成都·期中）如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由图中大正方形的面积小正方形的面积图长方形的面积，进而可以证明平方差公式． 【完整解答】解：图中，大正方形的面积小正方形的面积， 图中，长方形的面积， 根据面积相等，得， 故选：D． 2．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了利用平方差公式计算，根据逐项计算，即可求解． 【完整解答】解：选项A：，符合平方差公式； 选项B：，符合平方差公式； 选项C：，不符合平方差公式； 选项D：，符合平方差公式； 故选：C． 3．（19-20七年级下·四川成都·期中）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平方差公式，正确识别平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式中的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数即可求解． 【完整解答】解：∵ 平方差公式的形式为， 选项A: ，相同项x，相反项a 和，故选项A符合公式； 选项B: ，没有相同项，故选项B不符合公式； 选项C: ，相同项，相反项和x，故选项C符合公式； 选项D: ，相同项m，相反项b 和，故选项D符合公式． 故选择B． 4．若，，则 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了平方差公式．利用平方差公式将已知条件代入求解，即可作答． 【完整解答】解：依题意，． 把和代入，得， 解得． 故答案为：3． 5．（24-25七年级下·全国·周测）运用平方差公式计算： ． 【答案】1 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键． 将 表示为 ，应用平方差公式进行化简． 【完整解答】解： ， ． 故答案为 ：． 6．一个正方形纸片的边长增加2cm，它的面积就增加，这个正方形纸片的边长是 cm． 【答案】 3 【思路引导】本题主要考查了平方差公式的应用， 设原正方形边长为，根据面积增加量列方程，利用平方差公式简化计算． 【完整解答】解：设原正方形边长为·，则原面积为，新边长为，根据题意，， 即， 解得． 所以正方形的边长是． 故答案为：3． 7．四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了新定义运算，涉及了完全平方公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确弄清新定义的运算规则是解题的关键． 按规定的运算可得关于x的方程，解方程即可求得答案． 【完整解答】解：∵，， ∴， 即， 化简得， 解得． 故答案为∶ ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了平方差公式的运算，运用平方差公式展开进行计算，即可作答． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可； （3）根据平方差公式计算即可. 【完整解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了平方差公式 ，解题关键在于熟练掌握其运算方法即可求解. 【完整解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，已知大圆的直径为a，两圆直径之差为d． (1)求小圆的直径及阴影部分的面积S． (2)当取3.14时，求S的近似值． 【答案】(1)小圆的直径为， (2) 【思路引导】本题主要考查平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）由图易得小圆的直径为，然后根据圆的面积公式及平方差公式可进行求解； （2）把代入（1）中代数式进行求解即可． 【完整解答】（1）解：由图可知：小圆的直径为， ∴阴影部分的面积为； （2）解：把代入（1）中代数式得： ． 能力提升练 1．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【思路引导】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【完整解答】解： ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【完整解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了乘法公式的几何意义，熟练掌握乘法公式的几何意义是解题的关键； 根据面积公式分别用加法和减法表示即可列出等式. 【完整解答】解：， 即． 故选：D. 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若二次三项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】或7 【思路引导】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【完整解答】解：关于的二次三项式是完全平方式， ∴ ， 解得：或， 故答案为：或7． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）若，，则的值为 ． 【答案】4 【思路引导】此题考查了完全平方公式，代数式求值．将第一个等式左边利用完全平方公式展开，将的值代入计算即可求出的值． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 6．（24-25七年级下·全国·月考）已知，则 ． 【答案】2或 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算． 先利用整式的加减进行化简得出，再利用完全平方公式进行求解即可． 【完整解答】解：两式相减，得， 解得， ∴， ∴2或． 故答案为：2或． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)t的值为7或-9 (3) 【思路引导】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，要熟练掌握、、间的关系． （1）根据公式进行变形即可求得答案； （2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值； （3）根据公式进行变形，将和看作整体代入即可求得答案． 【完整解答】（1）解：， ． ， ， 解得：． 故答案为：． （2）解：是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， 或， 解得或， 即的值为或． （3）解：， 而， ， ， ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型．为了向全校同学宣传自己的科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，已知宣传版画（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含a，b的代数式表示图中宣传版画的总面积（结果需化简）． (2)若，，求宣传版画的总面积． 【答案】(1) (2)72 【思路引导】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据宣传版画的总面积为上面的三角形的面积+中间梯形的面积+下面梯形的面积，列式计算即可得解； （2）先利用完全平方公式得出，再整体代入即可得解． 【完整解答】（1）解：（1）由图可得， 宣传版画的总面积为 ． （2）解：，， ， ∴宣传版画的总面积为 ． 9．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）； 方法1______；方法2______． (2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请你将该示意图画在答题卡上； (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 (4)①；②16 【思路引导】本题考查完全平方公式的运用，利用数形结合的思想和熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积计算，两个小正方形和两个小矩形的面积计算即可； （2）由大正方形的面积=两个小正方形+两个小矩形的面积即得出答案； （3）由等式可得出该图形为长为，宽为的大正方形，即由2个边长为b，1个边长为a的正方形，3个长为b，宽为a的长方形组成，据此画出图形即可； （4）①由题意可求出，即，再将代入求解即可； ②将原等式改为，再将看作整体，由完全平方公式去括号计算即可． 【完整解答】（1）解：方法1：由大正方形的面积计算：， 方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算：； （2）解：由图2可直接得出； （3）解：如图； ； （4）解：①∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴； ②， ， ， ， ∴． 10．要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了多项式的乘法以及完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 将多项式分组相乘，转化为关于的二次三项式，再根据完全平方式的特点求出． 【完整解答】解： ， ∵多项式为完全平方式， ∴， 解得． 故选：D． 拔尖拓展练 1．（24-25七年级下·重庆·期末）已知整式，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了整式的四则混合运算、完全平方公式的变形应用、解一元一次方程等知识点，熟练进行整式的运算是解题的关键． ①将代入得到关于x的方程求解判断即可；②先将展开，然后根据完全平方公式的特点即可解答；将代入可得，然后整理并将代入求值即可判定③． 【完整解答】解：①将代入得：，解得：，故①错误． ②将展开为：， 若为完全平方式，则：，解得：，故②正确； ③∵， ∴，即 ∴ ，故③正确． 综上，②③正确，正确个数为2． 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图2可得，结合，得出，再用含a，b的式子表示出，代入求值即可． 【完整解答】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选B． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是 ；如图2，若，，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、用完全平方公式变形求值，解决本题的关键是根据阴影的面积列代数式． (1)根据阴影与正方形的位置关系可得：，把代入代数式求值即可； (2)根据阴影与正方形的位置关系可得：，利用完全平方公式变形可以求出，把式子的值代入代数式计算求值． 【完整解答】解： ， 当时， ； ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：，． 4．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，现有边长分别为a、b的正方形卡片（）各10张，长为a、宽为b的长方形卡片15张，从这三种卡片中分别取若干张直接拼成一个正方形，当拼成的正方形面积最大时，正方形边长为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查完全平方公式的应用，设拼成的正方形的边长为，则拼成的正方形的面积为：，结合，，，求出m和n的取值，即可求解． 【完整解答】解：边长为a的正方形卡片面积为，边长为b的正方形卡片面积为，长为a、宽为b的长方形卡片面积为， 设拼成的正方形的边长为， 则拼成的正方形的面积为：， 需要个边长为a的正方形卡片，个边长为b的正方形卡片，个长为a、宽为b的长方形卡片， 边长分别为a、b的正方形卡片（）各10张，长为a、宽为b的长方形卡片15张， ，，， m可能取的值为1，2，3，n可能取的值为1，2，3， 当时，，不合题意； ， 为了让拼成的正方形的面积最大，取，，此时，符合题意； 当拼成的正方形面积最大时，正方形边长为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第个“智慧数”是 【答案】 【思路引导】本题考查了新定义，平方差公式的应用．根据新定义，利用平方差公式，找到，之间的关系，列举出结果，进而即可求解． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， 当时， 由产生的“智慧数”为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，， 当时， 由产生的“智慧数”为：24，32，40，48，56，64，72，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：35，45，55，65，75，85，， 当时， 由产生的“智慧数”为：48，60，72，84，， 当时， 由产生的“智慧数”为：63，77，91，， 当时， 由产生的“智慧数”为：80，96，， 综上，将上述产生的“智慧数”从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，56，57，60，63，64，65，68，69，，∴第3个“智慧数”是，第个“智慧数”是， 故答案为：，． 6．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【完整解答】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知多项式，． 【基础设问】（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③的几项中，出现错误的是________________（填序号），请写出正确的解答过程． 小明的作业 解： ． （2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的值为4，请你求出此时A的值． 【提升设问】（3）若x，y满足，求的值． 【答案】（1）①和③；正确的解答过程见解析（2）（3）8 【思路引导】（1）根据平方差公式，单项式乘多项式，完全平方公式和合并同类项法则找出错误的步骤，然后写出正确的解答过程即可； （2）直接利用整式的混合运算法则化简，进而利用整体代入计算得出答案； （3）先根据多项式除以单项式，完全平方公式进行计算求出，然后根据得到关于，的代数式；接着通过幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行化简，整体代入即可求解． 【完整解答】解：（1）①和③ 正确的解答过程如下： ． （2）∵， ∴， ∴． （3） ． ∵， ∴ 即， ∴ ． 【考点再现】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键． 8．（25-26七年级上·河南南阳·期中）自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． （1）完成下列表格： ， ， 【用数学眼光去观察】 （2）观察第（1）题结果，尝试给a、b取其它的值，你发现了什么结论？请用含有字母a、b的等式表示出来； 【用数学语言去表达】 （3）请把（2）中的等式用一句话（即文字语言）概括出来； 【用数学思维去思考】 （4）利用你发现的结论，求的值． 【答案】（1）9，9，4，4；（2）；（3） a与b的差的平方等于a、b两数的平方和减去它们的积的2倍；或a与b的差的平方等于a、b两数的平方和与a、b两数积的2倍的差；（4）1 【思路引导】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将、的值，代入代数式计算即可得解； （2）根据（1）中的计算结果得出规律即可； （3）根据（2）中的式子进行描述即可； （4）根据（2）中得出的式子计算即可得解． 【完整解答】解：（1）当，时，，； 当，时，，； 完成下列表格： ， 9 9 ， 4 4 （2）由（1）可得：； （3） a与b的差的平方等于a、b两数的平方和减去它们的积的2倍；或a与b的差的平方等于a、b两数的平方和与a、b两数积的2倍的差； （4） ． 9．（24-25七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 【答案】(1)② (2)①见解析②见解析 【思路引导】（1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）①利用平方差公式计算整理原式即可得证；②由①可知“双奇差数”可表示为 ，设任意两个连续的“双奇差数”为和，作差即可得解． 【完整解答】（1）解：（1）② 【提示】①不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意． 综上所述，在正整数①，②，③中，是“双奇差数”的是②． （2）解：① ． 因为为正整数， 所以“双奇差数”都能被整除． ②设任意两个连续的“双奇差数”为和，则差为， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为． 【考点再现】本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）为了利用平方差公式，将原式第一部分乘以和进行配凑然后再连续利用平方差公式计算； （2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据有理数的乘法计算即可． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八讲 乘法公式 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1．进一步理解和掌握平方差公式和完全平方公式。 2．利用两个公式解决问题，提高综合运用公式的能力。 3．在应用公式的过程中，感受整体思想。   教学重难点 重点：正确熟练地运用乘法公式进行混合运算和化简。 难点：平方差公式和完全平方公式的综合应用，构造“整体”的方法解决问题。 知识点一：完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点二：完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点三：完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点四：平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点五：平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 考点一：运用平方差公式进行运算 【例1】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【变式1】乘法公式的探究与运用： (1)如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是____________（写成两数平方差的形式）； (2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是____________，宽是____________，面积是_________________（写成多项式乘法的形式）； (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：______________________________； (4)运用你得到的公式计算：． 【变式2】（20-21七年级下·江苏盐城·月考）计算： (1) ； (2)． 考点二：平方差公式与几何图形 【例2】如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　）   A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式1】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 考点三：运用完全平方公式进行运算 【例3】计算 (1) (2)先化简，再求值：，其中 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 【变式2】（21-22七年级下·全国·期末）化简求值：已知x，y满足：，求代数式的值． 考点四：通过对完全平方公式变形求值 【例4】（23-24七年级下·全国·月考）如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，用等式表示出，和的数量关系． (2)若，且，求图2中的空白正方形的面积． (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 【变式1】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含的式子表示）； (2)观察图②，写出代数式与之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系解决下面的问题： ①若，求的值； ②若，求的值． 【变式2】（22-23七年级下·河南郑州·月考）图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于__________； (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．（只需列出，不必化简） 方法1：__________，方法2：__________； (3)观察图你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式的关系是__________． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，求． 考点五：完全平方公式在几何图形中的应用 【例5】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）利用完全平方公式解答下列各题． (1)若，，求的值； (2)如图，正方形，的边长分别为，，若，，求图中阴影部分（梯形）的面积． 【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知长方形，将图沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图中的“回形”正方形． (1)观察图，请你写出、、之间的等量关系是_____． (2)根据（）中的结论，若，求的值； (3)拓展应用：如图，点，分别是，的中点，点在上，，以为边作正方形，点在上，交于点，长方形的面积为，若，求的值． 【变式2】有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图，它表示了．观察图，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ． 考点六：求完全平方式中的字母系数 【例6】（24-25七年级下·浙江金华·月考）【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①；      ②；      ③ ；   ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料并解决问题： 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．例如，求的最小值． 解： ． 无论x取何值，总是非负数， 即，所以． 所以当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： ； (2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值； (3)如图，比较两个长方形的面积，的大小，并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点E、G分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积． 考点七：完全平方式在几何图形中的应用 【例7】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【变式2】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 考点八：整式的混合运算 【例8】（2026七年级下·全国·专题练习）求下列代数式的值： (1) ．其中，． (2)．其中，，． 【变式1】化简求值：，其中， ． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）计算 (1) ； (2)； (2) ； (4)． 基础通关练 1．（18-19七年级下·四川成都·期中）如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．（19-20七年级下·四川成都·期中）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 4．若，，则 ． 5．（24-25七年级下·全国·周测）运用平方差公式计算： ． 6．一个正方形纸片的边长增加2cm，它的面积就增加，这个正方形纸片的边长是 cm． 7．四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若，则 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，已知大圆的直径为a，两圆直径之差为d． (1)求小圆的直径及阴影部分的面积S． (2)当取3.14时，求S的近似值． 能力提升练 1．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 2．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若二次三项式是一个完全平方式，则 ． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）若，，则的值为 ． 6．（24-25七年级下·全国·月考）已知，则 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型．为了向全校同学宣传自己的科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，已知宣传版画（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含a，b的代数式表示图中宣传版画的总面积（结果需化简）． (2)若，，求宣传版画的总面积． 9．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）； 方法1______；方法2______． (2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请你将该示意图画在答题卡上； (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 10．要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 拔尖拓展练 1．（24-25七年级下·重庆·期末）已知整式，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是 ；如图2，若，，则的值是 ． 4．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，现有边长分别为a、b的正方形卡片（）各10张，长为a、宽为b的长方形卡片15张，从这三种卡片中分别取若干张直接拼成一个正方形，当拼成的正方形面积最大时，正方形边长为 ． 5．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第个“智慧数”是 6．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知多项式，． 【基础设问】（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③的几项中，出现错误的是________________（填序号），请写出正确的解答过程． 小明的作业 解： ． （2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的值为4，请你求出此时A的值． 【提升设问】（3）若x，y满足，求的值． 8．（25-26七年级上·河南南阳·期中）自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． （1）完成下列表格： ， ， 【用数学眼光去观察】 （2）观察第（1）题结果，尝试给a、b取其它的值，你发现了什么结论？请用含有字母a、b的等式表示出来； 【用数学语言去表达】 （3）请把（2）中的等式用一句话（即文字语言）概括出来； 【用数学思维去思考】 （4）利用你发现的结论，求的值． 9．（24-25七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $