专题5.3 实践与探究一元一次方程的应用（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

本初中数学讲义聚焦列一元一次方程解应用题核心知识点，构建“通用步骤—等量关系—设元技巧—解的检验”学习支架，从和差倍分、行程、销售等基础题型到分段计费、方案选择等综合应用，形成由浅入深的知识脉络。 资料以“即学即练+典例变式”设计，结合全运会吉祥物销售、滑雪场优惠方案等真实情境，培养学生模型意识与推理能力。通过行程问题示意图分析、销售问题利润公式应用等，引导学生用数学思维解决实际问题，课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺。

专题5.3 实践与探究 教学目标 1.掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤，能规范解题； 2.熟记各类常见问题的核心等量关系，能快速提炼实际问题中的等量关系； 3.会根据问题特点选择合适的设元方式，准确列出方程； 4.能解决基础及中档难度的实际问题，初步体会数学建模思想； 5.培养分析问题、解决问题的能力，形成用数学知识解决实际问题的意识。 教学重难点 重点： （1）列方程解应用题的“审、设、列”三步核心环节； （2）各类常见问题的核心等量关系（如行程、销售、工程问题）； （3）根据问题特点选择直接或间接设元的方法； （4）检验方程的解是否符合实际意义。 难点： （1）复杂实际问题中核心等量关系的提炼（如含隐藏条件的行程问题）； （2）分段计费、方案选择问题的分类讨论与计算； （3）形积变化问题中公式的灵活运用及单位统一； （4）辅助设元法的合理使用（如复杂销售问题设进价为辅助量）。 【即学即练】 知识点01：列方程解应用题的通用步骤 核心是“审→设→列→解→验→答”，审清题意找 ，设 （直接/间接/辅助设元），列 ，求解后检验解的 与 ，最后规范作答。 【即学即练】 1．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进一批吉祥物“喜洋洋”“乐融融”玩偶，原计划按每套45元的价格销售，恰好能售完所有玩偶，实际销售时，商店决定降价促销，每套售价降低了3元，结果比原计划多卖出20套，且总销售额比原计划增加了120元．求该商店原计划卖出多少套吉祥物玩偶？ 即该商店原计划卖出240套吉祥物玩偶． 知识点02：常见实际问题的核心模型与等量关系 涵盖和差倍分、行程、销售、工程、配套、形积变化等场景，核心是抓住各场景本质 （如行程问题s=vt、销售问题“利润=售价-进价”、工程问题“工作量=效率×时间”）。 【即学即练】 1．某商场将一批学生书包按成本价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利12元，这种书包的成本是多少元？利润率是多少？ (1)小林借助框图直观地表示了商场从进货、标价到销售获利的过程，根据题意请用含x的代数式将数量信息标注在框图中． 解：设这种书包的成本是x元， (2)借助框图，列出方程，并计算出该商品的成本是多少元？利润率是多少？ 知识点03：设元与列方程技巧 根据问题特点选择 方式，复杂问题可设辅助量；列方程时保证两边 ，用含未知数的代数式准确表示 ，紧扣核心 构建方程。 【即学即练】 1．列一元一次方程解决下列实际问题 (1)我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？ (2)轮船在河流中来往航行于A、B两码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时，求船在静水中的速度．（船在顺流中速度=船在静水中速度+水流速度，船在逆流中速度=船在静水中速度﹣水流速度） 知识点04：解的检验与实际问题优化 检验解是否符合 及实际情境（如人数、长度为正）；方案选择类问题需计算不同方案的费用/收益，对比后选择最优解。 【即学即练】 1．横道滑雪场位于黑龙江省牡丹江市海林市横道河子镇，该雪场始建于1998年5月，占地30万平方米，是牡丹江地区规模最大、设备最先进的、四季开放的综合性滑雪场．某学校体育社团利用周末时间去横道滑雪场滑雪，滑雪场全天畅滑单人票为200元．由于体育社团人数较多，滑雪场负责人提供了两种优惠方案．方案一：所有人一律九折；方案二：人数超过15人，超出部分打七五折．（体育社团人数为人，其中） (1)方案一费用是 元；方案二费用是 元．（用含的代数式表示） (2)如果你是体育社团负责人，该如何选择方案呢？ (3)已知体育社团人数多于25人且不超过30人，体育社团负责人对比了两种方案的费用，将节省下来的钱用于购买横道滑雪场钥匙链留作纪念，每人恰好一个，已知钥匙链单价为元．（为正整数）求钥匙链单价多少钱？体育社团共有多少人？（请直接写出答案） 题型01：和差倍分问题 方法技巧：抓住“多、少、倍、分、增长、减少”等关键词，明确各量之间的和差倍关系；设基数为未知数，根据等量关系列方程。 【典例1】. （25-26七年级上·湖北宜昌·期末）根据条件“x的 比它的小5”中的数量关系列出方程为 ． 【变式1】. （25-26六年级上·上海·月考）已知y的2倍与3的差是y的3倍与5的和的，求y的值． 【变式2】. （25-26七年级上·宁夏银川·期末）2026年的元旦期间，某班以小组为单位，开展了“我手中的新年”手工作品展示活动，小欣和小乐所在小组打算制作灯笼．如果每人做10个，那么比计划多了12个；如果每人做8个，那么比计划少4个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个灯笼？ 她俩经过独立思考后，分别列出如下方程． 小欣的方法：． 小乐的方法：． (1)在小欣所列的方程中，未知数x表示的意义是 ，在小乐所列的方程中，未知数y表示的意义是 ． (2)请选择一种方法，将原题中的问题解答完整． 【变式3】. （25-26七年级上·青海西宁·期末）列方程解应用题 在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、幸福、团圆、美满等美好的祝愿．已知编一个大中国结比编一个小中国结多用的绳子．王老师编了3个大中国结和7个小中国结，共计用绳子． (1)求王老师编一个大中国结和一个小中国结各用绳子多少米？ (2)按照王老师的方法，七年级1班40名同学快速行动起来，女生编小中国结，男生编大中国结，每位女生一节课可以编3个小中国结，每位男生一节课可以编2个大中国结，一节课后发现小中国结的数量是大中国结的1.5倍，求七年级1班女生，男生各有多少人？ 题型02：数字问题 方法技巧：间接设各数位上的数字为未知数，用数位表示法写出原数和新数；根据“数字和、数字差、新数与原数的关系”列方程。 【典例2】. （25-26七年级上·全国·课后作业）一个三位数，个位上的数字是十位上的数字的1.5倍，十位上的数字是百位上的数字的2倍．若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的差是396，则这个三位数是 ． 【变式1】. （25-26七年级上·青海海东·月考）一个两位数，十位上的数比个位上的数大2，个位上的数与十位上的数的和为8，这个两位数是 ． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列及每条对角线上的三个数之和均相等，则的值为（   ） y 4 7 x 6 A． B． C．63 D．12 【变式3】. （25-26七年级上·吉林·期末）图1是2026年1月的月历． 【规律感知】景怡在月历中用“工”形框框出7个数，移动“工”形，若框出的7个数如图2所示，直接写出 ， ； 【规律整合】嘉轩在月历中用“H”形框也框出7个数，移动“H”形，若框出的7个数如图3所示，请用含x的代数式表示 ， ；两人框出的7个数字之和分别为M，N；当“工”形框与“H”形框的中间数字相等时，M N（填“>”“<”或“＝”）； 【迁移延伸】将上面“工”形，“H”形两个框的中心重合后，形成一个框出9个数的方框，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．如图4所示，是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x的值为 ． 题型03：年龄问题 方法技巧：设“x年后/前”为未知数，利用“年龄差不变”建立等量关系；注意年龄不能为负数，符合实际生活逻辑。 【典例3】. （24-25七年级上·吉林长春·开学考试）5年前，小明和小亮的年龄和是32岁，今年小明的年龄是小亮年龄的2倍，小明今年多少岁？ 【变式1】. （24-25七年级上·全国·随堂练习）小明问老师的年龄，老师笑着说：“我们两人现在的年龄和为50岁，5年后，我的年龄比你的年龄的2倍还大3岁．”小明听后笑着说：“老师，我知道自己的年龄，也就知道了您的年龄．”老师今年的年龄是（   ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【变式2】. （24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于爸爸的年龄，那么弟弟的年龄是多大？ 解：设弟弟的年龄为x岁，则有： 嘉嘉同学的解法：移项得： 合并同类项得：，系数化为1得： 琪琪同学的解法：移项得：，， 两边同除以，得： （1）弟弟的年龄是 岁． （2）琪琪得出错误的结论的原因是 ． 【变式3】. （23-24七年级下·江苏镇江·期末）小华的年龄是8岁，小青的年龄是9岁，求得他们今年的年龄之和是17岁，像这样的问题就是年龄问题． (1)3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是多少岁？ (2)小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，多少年后他们的年龄和是30岁？ (3)小丁对小当说：“我到你这个年纪时，你就25岁了．”小当对小丁说：“我在你这么大时，你才4岁．”小丁今年多少岁？ 题型04：古文数学问题 方法技巧：翻译古文含义，提炼已知量、未知量及等量关系；按“审设列解验答”步骤解题，重点是准确转化文字描述为数学关系。 【典例4】. （25-26七年级上·陕西咸阳·月考）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿．”设牧童人数为人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·河北邯郸·月考）《孙子算经》中有问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若鸡有只，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级上·宁夏中卫·期末）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六，问人数几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱：如果每人出6文钱，就差16文钱，买鸡 人． 【变式3】. （25-26七年级·全国·假期作业）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 题型05：日历/数阵问题 方法技巧：设日历中核心数（如中间数）为未知数，利用“日历中相邻数的差为1或7”表示其他数；根据“数字和”列方程，检验解是否在日历合理范围内。 【典例5】. （25-26七年级上·福建南平·月考）如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，若“工”型图案盖住的7个数的和为154，则“工”型图案最中间的数为 ． 【变式1】. （25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1是2026年1月的日历，用图2框出图1中4个数，若这4个数的和是82，则这4个数中最大的数为 ． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是某月的月历、用“H”形框（阴影部分）覆盖任意七个数并求它们的和，则这七个数的和可能是（ ） A．189 B．126 C．112 D．85 【变式3】. （25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图是2026年3月份的日历，任意圈出一斜列上相邻的三个数，它们的和不可能是（　　） A．27 B．33 C．44 D．60 题型06：行程问题 方法技巧：画示意图分析路程关系，明确“总路程”“追及路程”等核心量；根据，用含时间（或速度）的未知数表示路程，列方程。 【典例6】. （25-26七年级上·四川德阳·月考）一列匀速前进的火车从进入长的隧道到完全通过隧道经历，隧道顶部安装了一台固定的激光发射器，它会持续发出一道垂直向下的极细激光（激光线不移动），激光照射在车身上的时间为，则这列火车的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·山西晋中·期末）《九章算术》中记载了这样一道数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安，同几何日相逢？其大意为：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发，问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （甘肃省兰州市四校联考2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试卷）年粤港澳大湾区跨境交通升级，深港两条跨境专线巴士分别从深圳龙岗候机楼和香港尖沙咀同时出发、相向而行，两地相距公里．已知深圳出发的巴士速度比香港出发的巴士快千米时，经过小时两车在莲塘口岸相遇．求香港出发的巴士和深圳出发的巴士的速度各是多少？ 【变式3】. （25-26六年级上·上海普陀·期末）综合与实践： 周末小普同学和6名好友租了两辆专车从地一起去地看演出，途中一辆专车在离地还有18千米处发生故障，只得由另一辆专车将大家送达地，但此时距离地的演出开始还剩下50分钟，这时司机提出了如下两种方案： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待专车返回接送 相关数据： 专车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆专车限乘5人（含司机）． 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与专车相遇后上车前行 (1)如果按方案一实施，那么他们能否赶上地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证他们在规定的时间到达地的演出现场； (3)小普同学认为方案一和方案二都不是最节省时间的方案，请你帮他设计一个方案并求出从故障地到达地演出现场的最短时间． 题型07：销售问题（盈亏/打折） 方法技巧：熟记利润、利润率公式，区分“标价、售价、进价”；以“利润=售价-进价”或“利润率=（利润/进价）×100%”为核心等量关系列方程。 【典例7】. （25-26七年级上·青海西宁·期末）根据下面两人的对话，若设哥哥买手机的预算为元，则可列方程为（   ） 弟弟：哥哥你的手机买了没有？ 哥哥：没有，现在的售价比我的预算多1200元． 弟弟：元旦这台手机会打8折促销． 哥哥：如果这样就比我的预算少200元． A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是120元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（    ） A．不赚不赔 B．赔16元 C．赚16元 D．无法确定 【变式2】. （25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐量超过40单的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是小刚这一周的送餐量． 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单） 0 (1)求小刚这一周一共送餐多少单； (2)若外卖员每周的工资为每单m元，小刚想用这周的工资买一台标价为2200元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小刚幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小刚用这周工资买下这台扫地机器人后，还剩300元，请求出m的值． 【变式3】. （25-26七年级上·浙江杭州·月考）某超市有A品牌牛奶大瓶和小瓶两种型号，大瓶牛奶15元一瓶，小瓶牛奶每瓶10元 (1)小明去超市购买了8瓶A品牌牛奶，共花了92元． ①小明妈妈说：“按原价购买，不可能是92元！”请说明小明妈妈这样说的理由． ②小明看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打8折限购1瓶”的大瓶牛奶，请问小明购买了大瓶牛奶和小瓶牛奶各多少瓶？ (2)过了几天，小亮去超市，发现原价每瓶15元的B品牌牛奶“买二送一”促销，小亮按原价购买A品牌大、小牛奶若干瓶，同时购买B品牌促销套装若干套，一共花费210元．其中A品牌大瓶牛奶占所有牛奶瓶数（包括促销套装中赠送的牛奶）的，求小亮A品牌大瓶牛奶买了多少瓶？ 题型08：工程问题（单人/简单合作） 方法技巧：总工作量设为“1”，单人效率=；合作时，“各部分工作量之和=总工作量”，据此列方程。 【典例8】. （25-26七年级上·北京·月考）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成．现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程 ． 【变式1】. （25-26七年级上·甘肃武威·期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有12立方米木材，要用多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工桌子的数量． 【变式2】. （25-26七年级上·河南商丘·月考）某农场有一块面积为亩的耕地需要播种，现安排、两个播种队共同完成这项任务．已知播种队每天播种的亩数是播种队每天播种亩数的倍，、两个播种队合作天完成了总任务的． (1)求、两个播种队每天分别可播种多少亩； (2)若播种队先单独播种若干天后，剩下的任务再由播种队单独完成，总费用刚好为万元．已知播种队每天的播种费用为万元，播种队每天的播种费用为万元，求播种队单独播种的天数． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·期末）有一些相同的教室需要粉刷，一天名师傅去粉刷间教室，结果其中有的墙面未来得及刷；同样的时间内名徒弟粉刷了间教室的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷的墙面设每个教室墙面面积为． (1)一天名师傅可以粉刷多少； (2)现有个这样的教室需要粉刷，若请名师傅带名徒弟完成粉刷，师傅每天工资需元，徒弟每天工资需元，则完成所有粉刷共需工资多少元？ 题型09：配套问题 方法技巧：明确配套比例（如a:b），设生产其中一种部件的数量（或人数）为未知数；根据“甲部件数量×b=乙部件数量×a”列方程。 【典例9】. （25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）某车间有25名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1500个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 【变式1】. （25-26七年级上·吉林·期末）列方程解应用题： 某工厂有50名工人，每人每天可以生产螺钉900个或螺母1200个． (1)如果生产螺钉的人数比生产螺母的人数多14人，那么生产螺钉和生产螺母的各有多少人？ (2)如果1个螺钉需配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好匹配，工厂应安排其中多少人生产螺母？ 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）为响应国家绿色制造与资源高效利用政策的号召，某陶瓷器厂优化瓷泥配比与生产工艺烧制陶瓷茶具．已知每套茶具由1个茶壶和2只茶杯组成，用1千克瓷泥可做2个茶壶或5只茶杯．现要用9千克瓷泥全部制作这类茶具，如何分配恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 【变式3】. （25-26七年级上·辽宁营口·期末）在数学综合实践活动课中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 请你根据制作方案，完成下面的问题： 几何体制作方案 步骤1裁剪长方形彩纸：一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片． 步骤2制作“三角插”和“圆部式”基本单元：图1中裁出的一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，图2中裁出的一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元． 步骤3制作几何体：40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个几何体． 若有210张长方形彩纸全部用来制作几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元，才能制作尽可能多的几何体？最多能制作多少个几何体？ 即用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”，最多能制作9个几何体． 题型10：分段计费问题 方法技巧：先判断未知量所在计费区间（通过临界值估算）；分区间表示费用，总费用=各区间费用之和，列方程求解后验证区间是否正确。 【典例10】. （24-25七年级上·福建福州·期末）某城市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标准（户内人口不超过4人）如表： 收费方式 月用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 第二阶梯 6 第三阶梯 20以上 8 注： ①公摊水费：每户每月10元； ②每月实际应交水费阶梯水费公摊水费． (1)若小明家某月用水18立方米，则小明家该月实际应交水费多少元？ (2)已知某户居民某月的实际应交水费为元，则这户居民的该月用水量是多少立方米？ (3)若某户某月实际应交水费平均每立方米元，求该户该月用水量． 【变式1】. （24-25七年级上·广东广州·期末）某省实施居民阶梯电价，每户每月阶梯电量电价夏季收费标准划分如下： 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 0～260 0.59 第二档 261～600 0.64 第三档 601及以上 0.89 （执行居民阶梯电价总电费第一档电费第二档电费第三档电费；不足1度按1度计算收费） (1)第二档电价比第一档多 元； (2)已知李乐家6月份用电300度，请计算李乐家需要缴纳的电费． (3)已知陈阳家7月份缴纳电费307元，请通过计算判断陈阳家该月份用电收费属于哪个档次，并求出该月用电量． 【变式2】. （25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元． 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 (1)表中的值为__________；若用电400度，则应缴电费__________元． (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电达到第3档，且平均电价为0.76元/度，请直接写出老李家8月份的用电量． 【变式3】. （25-26七年级上·湖北荆州·月考）【素材一】某市居民用电价格表如下： 档次 年用电量 分时电价（元/度） 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电2160度及以下部分 第二档 年用电2161~3600度部分 第三档 年用电3601度及以上部分 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量．用电量不足1度的部分顺延至下个月结算． 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 1 7 8 用电量（度） 480 1720 520 650 【问题解决】 (1)若该用户1月份所用的高峰电量为330度，求该用户1月份应缴电费； (2)若该用户7月份所用的低谷电量为370度，求该用户7月份应缴电费； (3)已知该用户8月份缴纳电费366元，求该用户8月份所用的高峰电的度数． 题型11：方案选择问题 方法技巧：列出所有可行方案，分别计算各方案的费用（或收益）；设两种方案费用相等时的临界量，通过比较临界量前后的方案优劣，选择最优解。 【典例11】. （25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案， 方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元； 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元， 设缴费时间为x个月，方案一的购买费用和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费用和垃圾处理费共为N元． (1)分别用x表示M，N； (2)缴费时间为多少个月时，两种方案费用相同？并说明理由． (3)若垃圾桶使用时间为两年，哪种方案更省钱？ 【变式1】. （2025·云南红河·模拟预测）根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【变式2】. （25-26七年级上·吉林松原·期末）某校准备印刷一批证书，现有两个印刷厂可供选择： 甲厂收费方式：收制版费1000元，每本印刷费0.5元； 乙厂收费方式：不超过2000本时，每本收印刷费1.5元；若超过2000本，则超过部分每本收印刷费0.25元；若该校需印刷证书本． (1)请问甲、乙两厂的收费分别是多少？ (2)当印刷证书8000本时应该选择哪个印刷厂更节省费用？节省了多少？ (3)请问印刷多少本证书时，甲、乙两厂收费相同？ 【变式3】. （25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）元旦期间，七年级全体人员准备前往某地参加社会实践活动，研究性学习小组在老师的带领下，到某出租车公司商谈租车事宜，在商谈过程中，他们获得以下两个信息： 出租车公司有两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息： 租车 价格 信息 记录单 A型车/辆 B型车/辆 租金总费用/元 记录单1 1 1 1200 记录单2 3 2 2800 已知A型客车每辆24个座位，B型客车每辆54个座位，经过调查研究，确定两种租车方案：方案一：全部租用A型客车，则全体人员刚好坐满；方案二：全部租用B型客车，则可以（比全部租用A型客车）少租13辆，且剩余48个座位． 根据以上信息，完成下列3个任务： 任务1 根据“租车价格信息”，计算两种车型客车每辆租金分别是多少元． 任务2 请根据“车型座位信息”填写以下表格中的空格内容． 解：设方案二全部租用B型客车x辆，则可列表如下： 租用车辆数 每车座位数 剩余座位数 七年级总人数 全部租用A型车 24 0 全部租用B型车 54 48 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁·期末）我国古代数学著作之一《孙子算经》中记载着这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分该队共赛了9场比赛保持不败，共得21分，该队胜了多少场？设该足球队胜了场，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·山东青岛·期中）某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是，商品标价是多少元？设商品标价为x元，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐：乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日．甲仍发长安．问几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢?设甲经过x日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·陕西西安·月考）某旅行团出发旅游，为方便拍照记录，决定租无人机拍摄．若每三人租一架，商店剩2架；若每两人租一架，最终剩余9人没有无人机可拍摄，若设有架无人机，则可列方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）在数学综合实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒，如图，长方形中，，，小沈用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是 ．    7．（25-26七年级上·吉林·期末）《九章算术》中的数学名题，原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人几何？题目大意是：几个人合伙买一件物品，如果每个人出8钱，多出3钱；如果每个人出7钱，还差4钱．请问合伙的人数是多少？（注：钱为古代货币单位）设合伙人数为人，可列方程为： ． 8．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某传统手工坊计划制作一批折扇，如果每人做7把，那么会比计划的多做9把；如果每人做5把，将比计划的少做5把．设计划做把折扇，则可列方程为 ． 9．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为，容器内水的高度为，把一根半径为的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高 ． 10．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电 度． 三、解答题 11．（25-26七年级上·甘肃嘉峪关·期末）某车间生产航空航天模型，车间内共有25名工人，每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 12．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张40元 学生：按成人票六折优惠 团体票（15人以上含15人）：按成人票七五折优惠 大人门票是每张40元，学生门票是6折优惠，我们一共14人，共需496元 (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（1）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 13．（25-26七年级上·江苏南京·月考）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元．（） (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于或等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八二折优惠，超过600元的部分打五折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款592元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 14．（25-26七年级上·吉林·期末）张师傅想用篱笆围一个长方形鸡舍，为了节省篱笆，一边利用房屋外的一面墙（墙的长度为12米），其它三边用篱笆，且中间用篱笆隔开，并在如图位置开两扇各1米宽的门（门不用篱笆），若鸡舍的宽为米，长比宽的还多6米． (1)求所用篱笆的总长度是多少米？（用含的代数式表示，且结果要化简）； (2)若篱笆的总长度是18米时，求的值； (3)能否取下列数：①，②，③，若能，求出符合条件的鸡舍面积；若不能，请说明理由． 15．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某文具店先后分两次购进同一种笔记本，总共花费1440元．第一次购进的进价为每本10元，第二次购进的进价为每本9元，且第二次购进的数量是第一次购进数量的． (1)文具店第一次购进笔记本多少本？ (2)文具店计划将第一次购进的笔记本按每本标价13元销售，第二次购进的笔记本按每本标价15元销售．在实际销售中，第一次购进的笔记本按标价每本降价1元销售，第二次购进的笔记本全部打折出售，若将两批购进的笔记本全部售出后获得的利润率为，第二次购进的笔记本应打几折出售？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 实践与探究 教学目标 1.掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤，能规范解题； 2.熟记各类常见问题的核心等量关系，能快速提炼实际问题中的等量关系； 3.会根据问题特点选择合适的设元方式，准确列出方程； 4.能解决基础及中档难度的实际问题，初步体会数学建模思想； 5.培养分析问题、解决问题的能力，形成用数学知识解决实际问题的意识。 教学重难点 重点： （1）列方程解应用题的“审、设、列”三步核心环节； （2）各类常见问题的核心等量关系（如行程、销售、工程问题）； （3）根据问题特点选择直接或间接设元的方法； （4）检验方程的解是否符合实际意义。 难点： （1）复杂实际问题中核心等量关系的提炼（如含隐藏条件的行程问题）； （2）分段计费、方案选择问题的分类讨论与计算； （3）形积变化问题中公式的灵活运用及单位统一； （4）辅助设元法的合理使用（如复杂销售问题设进价为辅助量）。 【即学即练】 知识点01：列方程解应用题的通用步骤 核心是“审→设→列→解→验→答”，审清题意找等量关系，设未知数（直接/间接/辅助设元），列一元一次方程，求解后检验解的正确性与实际意义，最后规范作答。 【即学即练】 1．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进一批吉祥物“喜洋洋”“乐融融”玩偶，原计划按每套45元的价格销售，恰好能售完所有玩偶，实际销售时，商店决定降价促销，每套售价降低了3元，结果比原计划多卖出20套，且总销售额比原计划增加了120元．求该商店原计划卖出多少套吉祥物玩偶？ 【答案】该商店原计划卖出240套吉祥物玩偶 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设原计划卖出x套玩偶，可知原计划总销售额为元，实际总销售额为元，根据销售额变化建立方程求解． 【详解】解：设原计划卖出x套玩偶， ∵原计划按每套45元的价格销售， ∴原计划总销售额为元． 实际售价为元，卖出套， 实际总销售额为元． ∵实际总销售额比原计划增加120元， ∴， ， ， ， ． 即该商店原计划卖出240套吉祥物玩偶． 知识点02：常见实际问题的核心模型与等量关系 涵盖和差倍分、行程、销售、工程、配套、形积变化等场景，核心是抓住各场景本质等量关系（如行程问题s=vt、销售问题“利润=售价-进价”、工程问题“工作量=效率×时间”）。 【即学即练】 1．某商场将一批学生书包按成本价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利12元，这种书包的成本是多少元？利润率是多少？ (1)小林借助框图直观地表示了商场从进货、标价到销售获利的过程，根据题意请用含x的代数式将数量信息标注在框图中． 解：设这种书包的成本是x元， (2)借助框图，列出方程，并计算出该商品的成本是多少元？利润率是多少？ 【答案】(1)元；元； (2)成本是元，利润率． 【分析】本题考查了求列代数式，一元一次方程的应用，；理解题意是解题关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据框图列方程求出成本，再用利润除以成本求出利润率即可． 【详解】（1）解：设这种书包的成本是x元， 按成本价提高后标价，则报价元， 又以八折优惠卖出，，则售价元； （2）解：由题意得：， 解得：，即成本是元， 则利润率． 知识点03：设元与列方程技巧 根据问题特点选择设元方式，复杂问题可设辅助量；列方程时保证两边单位统一，用含未知数的代数式准确表示相关量，紧扣核心等量关系构建方程。 【即学即练】 1．列一元一次方程解决下列实际问题 (1)我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？ (2)轮船在河流中来往航行于A、B两码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时，求船在静水中的速度．（船在顺流中速度=船在静水中速度+水流速度，船在逆流中速度=船在静水中速度﹣水流速度） 【答案】(1)该店有客房8间，有房客63人 (2)船在静水中的速度为每小时24千米 【分析】（1）设该店有x间客房，则， 解答即可． （2）设轮船在河流中的静水速度为x千米/时，则逆水行驶的速度为千米/小时，顺水行驶的速度为千米/小时， 由题意得，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该店有x间客房， 则， 解得． ． 答：该店有客房8间，有房客63人． （2）解：设轮船在河流中的静水速度为x千米/时，则逆水行驶的速度为千米/小时，顺水行驶的速度为千米/小时， 由题意得， 解得：． 答：船在静水中的速度为每小时24千米． 知识点04：解的检验与实际问题优化 检验解是否符合方程及实际情境（如人数、长度为正）；方案选择类问题需计算不同方案的费用/收益，对比后选择最优解。 【即学即练】 1．横道滑雪场位于黑龙江省牡丹江市海林市横道河子镇，该雪场始建于1998年5月，占地30万平方米，是牡丹江地区规模最大、设备最先进的、四季开放的综合性滑雪场．某学校体育社团利用周末时间去横道滑雪场滑雪，滑雪场全天畅滑单人票为200元．由于体育社团人数较多，滑雪场负责人提供了两种优惠方案．方案一：所有人一律九折；方案二：人数超过15人，超出部分打七五折．（体育社团人数为人，其中） (1)方案一费用是 元；方案二费用是 元．（用含的代数式表示） (2)如果你是体育社团负责人，该如何选择方案呢？ (3)已知体育社团人数多于25人且不超过30人，体育社团负责人对比了两种方案的费用，将节省下来的钱用于购买横道滑雪场钥匙链留作纪念，每人恰好一个，已知钥匙链单价为元．（为正整数）求钥匙链单价多少钱？体育社团共有多少人？（请直接写出答案） 【答案】(1)； (2)时，选择方案一；时，方案一和方案二费用一样；时，选择方案二 (3)5元；30人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式等知识点． （1）分别根据方案一、二列出费用的代数式即可； （2）设体育社团人数为人，其中时，方案一的费用与方案二的费用一样多，然后列出方程求解即可； （3）由可知方案二比方案一所花的费用少一点，然后求出节省的费用，由题意得，节省的费用即钥匙链的总价，再根据即可列出关于的方程，最后再根据均为整数，可得是的因数，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，方案一费用：（元）； 方案二费用：元； 故答案为：；； （2）解：设体育社团人数为人，其中时，方案一的费用与方案二的费用一样多， 由题意可得，， 解得． 当时，方案一的费用与方案二的费用一样多，选择方案一或方案二都可以； 当时，方案一费用少一点，选择方案一； 当时，方案二费用少一点，选择方案二； （3）解：， 方案二比方案一所花的费用少一点， 节省的费用为：． 由题意得，钥匙链的总价也为元， ． 均为整数， 是的因数， 当时，元． 答：钥匙链单价是5元，体育社团共有30人． 题型01：和差倍分问题 方法技巧：抓住“多、少、倍、分、增长、减少”等关键词，明确各量之间的和差倍关系；设基数为未知数，根据等量关系列方程。 【典例1】. （25-26七年级上·湖北宜昌·期末）根据条件“x的 比它的小5”中的数量关系列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是抓住关键词，用代数式表示；根据题意，x的与x的的差等于5，由此即可列出方程． 【详解】解：设未知数为x，则x的为，x的为， 根据题意可得， 故答案为： 【变式1】. （25-26六年级上·上海·月考）已知y的2倍与3的差是y的3倍与5的和的，求y的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程的应用，根据题意列一元一次方程并求解是解题的关键． 根据题意，列一元一次方程并求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ． 【变式2】. （25-26七年级上·宁夏银川·期末）2026年的元旦期间，某班以小组为单位，开展了“我手中的新年”手工作品展示活动，小欣和小乐所在小组打算制作灯笼．如果每人做10个，那么比计划多了12个；如果每人做8个，那么比计划少4个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个灯笼？ 她俩经过独立思考后，分别列出如下方程． 小欣的方法：． 小乐的方法：． (1)在小欣所列的方程中，未知数x表示的意义是 ，在小乐所列的方程中，未知数y表示的意义是 ． (2)请选择一种方法，将原题中的问题解答完整． 【答案】(1)该小组的人数；计划做的灯笼数量 (2)该小组共有8人，计划做68个灯笼 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据所列方程，找出未知数，的意义是解题的关键． （1）根据题意，结合小欣及小乐所列方程，即可找出，的意义； （2）选择小欣（小乐）的方程，解方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：如果每人做10个，那么比计划多了12个；如果每人做8个，那么比计划少4个， 小欣所列方程为， 未知数表示的意义是：该小组的人数； ∵小乐所列方程为： 未知数表示的意义是：计划做的灯笼数量； （2）解：小欣的方法：， 解得：， ∴（个）． 答：该小组共有8人，计划做68个灯笼； 小乐的方法：， 解得：， （人）． 答：该小组共有8人，计划做68个灯笼． 【变式3】. （25-26七年级上·青海西宁·期末）列方程解应用题 在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、幸福、团圆、美满等美好的祝愿．已知编一个大中国结比编一个小中国结多用的绳子．王老师编了3个大中国结和7个小中国结，共计用绳子． (1)求王老师编一个大中国结和一个小中国结各用绳子多少米？ (2)按照王老师的方法，七年级1班40名同学快速行动起来，女生编小中国结，男生编大中国结，每位女生一节课可以编3个小中国结，每位男生一节课可以编2个大中国结，一节课后发现小中国结的数量是大中国结的1.5倍，求七年级1班女生，男生各有多少人？ 【答案】(1)王老师编一个大中国结用绳子，编一个小中国结用绳子 (2)七年级1班有女生20人，男生20人 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，正确找出各小题的等量关系是解答本题的关键． （1）设王老师编一个大中国结用绳子，则编一个小中国结用绳子，根据“编了3个大中国结和7个小中国结，共计用绳子”列方程求解即可； （2）设七年级1班有女生人，则有男生人，根据“一节课后发现小中国结的数量是大中国结的1.5倍” 列方程求解即可． 【详解】（1）解：设王老师编一个大中国结用绳子，则编一个小中国结用绳子，根据题意得： ， 解得， ∴， 答：王老师编一个大中国结用绳子，编一个小中国结用绳子； （2）解：设七年级１班有女生人，则有男生人，根据题意得： ， 解得， ∴（人） 答：七年级1班有女生20人，男生20人． 题型02：数字问题 方法技巧：间接设各数位上的数字为未知数，用数位表示法写出原数和新数；根据“数字和、数字差、新数与原数的关系”列方程。 【典例2】. （25-26七年级上·全国·课后作业）一个三位数，个位上的数字是十位上的数字的1.5倍，十位上的数字是百位上的数字的2倍．若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的差是396，则这个三位数是 ． 【答案】246 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系. 设百位的数字为，根据题意表示十位和个位的数字，再根据等量关系列方程. 【详解】解：设百位的数字为，则十位数字为，个位数字为， 根据题意可得：， 解得：， 所以十位数字为，个位数字为， 所以这个三位数是. 故答案为： 【变式1】. （25-26七年级上·青海海东·月考）一个两位数，十位上的数比个位上的数大2，个位上的数与十位上的数的和为8，这个两位数是 ． 【答案】53 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知表示出十位和个位数字，进而得出方程是解题关键． 设十位上的数字为x，则个位上的数字为，根据条件列出方程求解即可． 【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为， 根据题意得，， 解得， ∴， ∴这个两位数是53． 故答案为：53． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列及每条对角线上的三个数之和均相等，则的值为（   ） y 4 7 x 6 A． B． C．63 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题中的等量关系列出方程是解题的关键．设左上角的数为m，中间的数为n，然后利用幻方中每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和均相等，列方程求出x、y的值，再代入求解即可解答． 【详解】解：设左上角的数为m，则 由第一行之和与第一列之和相等可得， 解得， 设中间的数为n，则 由对角线之和（右上至左下）与第二行之和相等可得， 解得， ∴． 故选：A． 【变式3】. （25-26七年级上·吉林·期末）图1是2026年1月的月历． 【规律感知】景怡在月历中用“工”形框框出7个数，移动“工”形，若框出的7个数如图2所示，直接写出 ， ； 【规律整合】嘉轩在月历中用“H”形框也框出7个数，移动“H”形，若框出的7个数如图3所示，请用含x的代数式表示 ， ；两人框出的7个数字之和分别为M，N；当“工”形框与“H”形框的中间数字相等时，M N（填“>”“<”或“＝”）； 【迁移延伸】将上面“工”形，“H”形两个框的中心重合后，形成一个框出9个数的方框，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．如图4所示，是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x的值为 ． 【答案】【规律感知】16； 23；【规律整合】；；=；【迁移延伸】1 【分析】本题主要考查了日历问题、列代数式、整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，理解日历中的数字规律是解题的关键． 规律感知∶根据日历规律列式计算即可； 规律整合∶根据日历规律列式计算即可求得c、d的值；再分别求出M、N，然后再比较即可； 迁移延伸：设右上的数字为a，然后根据幻方的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：【规律感知】由题意可得：，． 故答案为：16，23． 【规律整合】由题意可得：，． 设“工”形框出的7个数中间的一个记为m，则其余六个数为：， ∴； 设“H”形框出的7个数中间的一个记为m，则其余六个数为：， ∴ ∴，即：． 故答案为：，，=． 【迁移延伸】设右上的数字为a， 则，解得：． 故答案为1． 题型03：年龄问题 方法技巧：设“x年后/前”为未知数，利用“年龄差不变”建立等量关系；注意年龄不能为负数，符合实际生活逻辑。 【典例3】. （24-25七年级上·吉林长春·开学考试）5年前，小明和小亮的年龄和是32岁，今年小明的年龄是小亮年龄的2倍，小明今年多少岁？ 【答案】14岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．设小亮今年岁，则小明今年岁，根据“5年前，小明和小亮的年龄和是32岁”列方程求解即可． 【详解】解：设小亮今年岁，则小明今年岁， 由题意得：， 解得：， 答：小明今年14岁． 【变式1】. （24-25七年级上·全国·随堂练习）小明问老师的年龄，老师笑着说：“我们两人现在的年龄和为50岁，5年后，我的年龄比你的年龄的2倍还大3岁．”小明听后笑着说：“老师，我知道自己的年龄，也就知道了您的年龄．”老师今年的年龄是（   ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， 设老师今年的年龄为x岁，则小明今年的年龄为岁，根据题意列方程求解即可． 【详解】设老师今年的年龄为x岁，则小明今年的年龄为岁， 根据题意得， 解得． 答：老师今年的年龄是36岁． 故选：A． 【变式2】. （24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于爸爸的年龄，那么弟弟的年龄是多大？ 解：设弟弟的年龄为x岁，则有： 嘉嘉同学的解法：移项得： 合并同类项得：，系数化为1得： 琪琪同学的解法：移项得：，， 两边同除以，得： （1）弟弟的年龄是 岁． （2）琪琪得出错误的结论的原因是 ． 【答案】 忽略了 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用及其解法； （1）根据嘉嘉同学的解法可得答案； （2）根据等式的基本性质：等式两边都除以同一个不为0的数或整式，所得的结果仍然是等式，从而可得答案． 【详解】解：（1）设弟弟的年龄为x岁，则有： 移项得： 合并同类项得：， 系数化为1得： 故答案为：； （2）∵只有当时，两边才能同除以； ∴琪琪得出错误的结论的原因是：忽略了． 故答案为：忽略了． 【变式3】. （23-24七年级下·江苏镇江·期末）小华的年龄是8岁，小青的年龄是9岁，求得他们今年的年龄之和是17岁，像这样的问题就是年龄问题． (1)3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是多少岁？ (2)小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，多少年后他们的年龄和是30岁？ (3)小丁对小当说：“我到你这个年纪时，你就25岁了．”小当对小丁说：“我在你这么大时，你才4岁．”小丁今年多少岁？ 【答案】(1)23 (2)9 (3)11 【分析】本题主要考查年龄问题的应用，关键是利用年龄差不变做题 （1），需要明确年龄随时间变化的规律，即时间往前年龄减少，时间往后年龄增加。结合题意分析解答即可； （2）根据两人年龄同时增长，年龄和每年增加的量是两人每年增长年龄之和，利用年龄和的变化规律来解题； （3）通过两人不同表述构建关于年龄差的关系，再利用年龄差不变的性质来求解． 【详解】（1）（岁）， （岁）， 答：3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是23岁． （2）（岁）， （年）， 答：小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，9年后他们的年龄和是30岁． （3）设小丁今年岁，则二人年龄差是岁，小当的年龄是岁， 则， 即， ， 解得， 答：小丁今年11岁． 题型04：古文数学问题 方法技巧：翻译古文含义，提炼已知量、未知量及等量关系；按“审设列解验答”步骤解题，重点是准确转化文字描述为数学关系。 【典例4】. （25-26七年级上·陕西咸阳·月考）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿．”设牧童人数为人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列一元一次方程解决古代问题，读懂题意，找准等量关系是解决问题的关键． 设牧童人数为人，根据竹竿总数不变，由每人5竿多12竿和每人8竿少3竿即可列出方程． 【详解】解：设牧童人数为人， ∵每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿， ∴， 故选：D． 【变式1】. （25-26七年级上·河北邯郸·月考）《孙子算经》中有问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若鸡有只，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设鸡有x只，则兔子有只，根据总脚数为94列出方程即可． 【详解】解：根据题意得， 故选：A． 【变式2】. （25-26七年级上·宁夏中卫·期末）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六，问人数几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱：如果每人出6文钱，就差16文钱，买鸡 人． 【答案】9 【分析】本题考查的是运用一元一次方程解决实际问题，设未知数，通过等量关系建立方程是解题的关键．设买鸡的人数为x人，根据鸡的价钱不变，列出方程，解方程求出x即可． 【详解】解：设买鸡的人数为x人， 根据题意，， 解得， 答：买鸡的有9人． 故答案为：9． 【变式3】. （25-26七年级·全国·假期作业）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先结合每人分9两，得出每人分银子总量，银子总量为，再列出方程，进行计算，即可作答． （2）理解题意，设有两银子，再列出方程，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 ∴， ∴， 解得， ， ∴有个人，有两银子； （2）解：设有两银子， 根据题意得， ∴， ∴， ∴， 则， ∴有个人，有两银子． 题型05：日历/数阵问题 方法技巧：设日历中核心数（如中间数）为未知数，利用“日历中相邻数的差为1或7”表示其他数；根据“数字和”列方程，检验解是否在日历合理范围内。 【典例5】. （25-26七年级上·福建南平·月考）如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，若“工”型图案盖住的7个数的和为154，则“工”型图案最中间的数为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意用图案最中间的数表示出其它的数，根据它们的和列出方程是解题的关键．设“工”型图案最中间的数为x，则另外几个数为， ， ， ， ，，根据“工”型图案盖住的7个数的和为154，列方程求解即可． 【详解】解：设“工”型图案最中间的数为x， 则另外几个数为， ， ， ， ，， 根据题意，得， 即， 解得． 故答案为：22． 【变式1】. （25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1是2026年1月的日历，用图2框出图1中4个数，若这4个数的和是82，则这4个数中最大的数为 ． 【答案】25 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设最大的数为x，并表示出其三个数，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设最大的数为x，则其三个数分别为，，． 由题意可得： 即 解得 故答案为25． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是某月的月历、用“H”形框（阴影部分）覆盖任意七个数并求它们的和，则这七个数的和可能是（） A．189 B．126 C．112 D．85 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，掌握知识点是解题的关键． 设“H”形框框出7个数的中间的数为x，则另外6个数分别为，将7个数相加，可得出这7个数的和为，代入各选项中的数，可求出x的值，即可确定结论． 【详解】解：设“H”形框框出7个数的中间的数为x，则另外6个数分别为， ∴这7个数的和为， A．根据题意得：， 解得：， ∵，不符合题意， ∴框出的这7个数的和不可能是189，选项A不符合题意； B．根据题意得：， 解得：，符合题意， ∴框出的这7个数的和可能是126，选项B符合题意； C．根据题意得：， 解得：，由图可得不符合题意， ∴框出的这7个数的和不可能是112，选项C不符合题意； D．根据题意得：， 解得：，不符合题意， ∴框出的这7个数的和不可能是85，选项D不符合题意． 故选：B． 【变式3】. （25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图是2026年3月份的日历，任意圈出一斜列上相邻的三个数，它们的和不可能是（　　） A．27 B．33 C．44 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据四个选项中的数值，分别求出的值是解题的关键． 设这三个数中最上面的数为，则另外两数分别为、，由此可得出三个数之和，分别代入四个选项中的数值，求出的值，检查、是否为1到30的数，以此即可得出结论． 【详解】解：设这三个数中最上面的数为，则另外两数分别为、， 三个数之和为． A、，解得：，则、，故A不符合题意； B、，解得：，则、，故B不符合题意； C、，解得：，故C符合题意； D、，解得：，则、，故D不符合题意． 故选：C． 题型06：行程问题 方法技巧：画示意图分析路程关系，明确“总路程”“追及路程”等核心量；根据，用含时间（或速度）的未知数表示路程，列方程。 【典例6】. （25-26七年级上·四川德阳·月考）一列匀速前进的火车从进入长的隧道到完全通过隧道经历，隧道顶部安装了一台固定的激光发射器，它会持续发出一道垂直向下的极细激光（激光线不移动），激光照射在车身上的时间为，则这列火车的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． 设这列火车的长为，根据速度关系列方程求解即可． 【详解】解：设这列火车的长为， 根据题意可得， 解得， ∴这列火车的长为． 故选：C． 【变式1】. （25-26七年级上·山西晋中·期末）《九章算术》中记载了这样一道数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安，同几何日相逢？其大意为：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发，问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系． 根据相遇问题中总路程等于甲、乙所走路程之和建立方程即可． 【详解】解：设总路程为1，则甲速为，乙速为， 乙先出发2日，已走路程， 设甲出发后x日相遇， 则甲走路程，乙走路程， ∴， 即， 故选：C． 【变式2】. （甘肃省兰州市四校联考2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试卷）年粤港澳大湾区跨境交通升级，深港两条跨境专线巴士分别从深圳龙岗候机楼和香港尖沙咀同时出发、相向而行，两地相距公里．已知深圳出发的巴士速度比香港出发的巴士快千米时，经过小时两车在莲塘口岸相遇．求香港出发的巴士和深圳出发的巴士的速度各是多少？ 【答案】香港出发的巴士速度为千米时，深圳出发的巴士速度为千米时． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设香港出发的巴士速度为千米时，则深圳出发的巴士速度为千米时，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设香港出发的巴士速度为千米时，则深圳出发的巴士速度为千米时， 根据题意得，， 解得， ∴深圳出发的巴士速度为：， 答：香港出发的巴士速度为千米时，深圳出发的巴士速度为千米时． 【变式3】. （25-26六年级上·上海普陀·期末）综合与实践： 周末小普同学和6名好友租了两辆专车从地一起去地看演出，途中一辆专车在离地还有18千米处发生故障，只得由另一辆专车将大家送达地，但此时距离地的演出开始还剩下50分钟，这时司机提出了如下两种方案： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待专车返回接送 相关数据： 专车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆专车限乘5人（含司机）． 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与专车相遇后上车前行 (1)如果按方案一实施，那么他们能否赶上地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证他们在规定的时间到达地的演出现场； (3)小普同学认为方案一和方案二都不是最节省时间的方案，请你帮他设计一个方案并求出从故障地到达地演出现场的最短时间． 【答案】(1)不能赶上，理由见解析 (2)能 (3)设计方案见解析，最短时间为分钟 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及优化方案设计， （1）方案一中，专车需要行驶的总路程为54公里，所需时间54分钟，大于50分钟，因此不能赶上； （2）方案二中，通过建立方程求解步行距离，计算总时间约为48.46分钟，小于50分钟，因此能赶上； （3）通过优化设计，让专车先送4人到离B地一定距离的点，然后返回接3人，使得4人和3人同时到达B地，计算得最短时间为分钟； 【详解】（1）解：不能赶上， 专车行驶总路程为（千米） 所需时间为（小时）（分钟） ∵， ∴不能赶上； （2）解：设其余3人步行了x千米，由题意得： ， 解得：， 总时间分钟数为， 代入，得（分钟）， ， ∴能保证他们在规定的时间到达地的演出现场； （3）解：设专车先送4人到离故障点s千米的点P（），此时4人下车步行至B地，专车返回接3人， 专车送4人到P点时间为小时，4人步行至B地时间：小时， 4人到达B地时间：小时， 专车返回时，3人已步行距离：千米， 专车与3人相对距离：千米， 相对速度：千米/时， 相遇时间：小时， 相遇点离故障点距离：千米， 专车从相遇点至B地时间：小时， 3人到达B地时间：小时， 令， 解得：， 代入得最短时间：小时分钟， ∴最短时间为分钟． 题型07：销售问题（盈亏/打折） 方法技巧：熟记利润、利润率公式，区分“标价、售价、进价”；以“利润=售价-进价”或“利润率=（利润/进价）×100%”为核心等量关系列方程。 【典例7】. （25-26七年级上·青海西宁·期末）根据下面两人的对话，若设哥哥买手机的预算为元，则可列方程为（   ） 弟弟：哥哥你的手机买了没有？ 哥哥：没有，现在的售价比我的预算多1200元． 弟弟：元旦这台手机会打8折促销． 哥哥：如果这样就比我的预算少200元． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，哥哥买手机的预算为元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：哥哥买手机的预算为元， 列方程为：， 故选：B． 【变式1】. （25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是120元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（    ） A．不赚不赔 B．赔16元 C．赚16元 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，此题的关键是先算出两件衣服的原价． 设盈利上衣成本为元，亏本上衣成本为元，根据售价与成本的关系列出方程求解，再计算总成本与总收入比较得出盈亏． 【详解】解：设盈利上衣成本为元， 依题意得：， 解得； 设亏本上衣成本为元， 依题意得：， 解得； 总成本（元），总收入（元）， ∴亏损（元）． 故选：B． 【变式2】. （25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐量超过40单的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是小刚这一周的送餐量． 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单） 0 (1)求小刚这一周一共送餐多少单； (2)若外卖员每周的工资为每单m元，小刚想用这周的工资买一台标价为2200元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小刚幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小刚用这周工资买下这台扫地机器人后，还剩300元，请求出m的值． 【答案】(1)300单 (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用； （1）根据题意列出算式，进行运算，即可求解； （2）根据题意得到方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （单）， 答：小刚这一周一共送餐单； （2）解：由题意得 ， 解得， 故的值为． 【变式3】. （25-26七年级上·浙江杭州·月考）某超市有A品牌牛奶大瓶和小瓶两种型号，大瓶牛奶15元一瓶，小瓶牛奶每瓶10元 (1)小明去超市购买了8瓶A品牌牛奶，共花了92元． ①小明妈妈说：“按原价购买，不可能是92元！”请说明小明妈妈这样说的理由． ②小明看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打8折限购1瓶”的大瓶牛奶，请问小明购买了大瓶牛奶和小瓶牛奶各多少瓶？ (2)过了几天，小亮去超市，发现原价每瓶15元的B品牌牛奶“买二送一”促销，小亮按原价购买A品牌大、小牛奶若干瓶，同时购买B品牌促销套装若干套，一共花费210元．其中A品牌大瓶牛奶占所有牛奶瓶数（包括促销套装中赠送的牛奶）的，求小亮A品牌大瓶牛奶买了多少瓶？ 【答案】(1)①见解析；②大瓶牛奶3瓶，小瓶牛奶5瓶 (2)6瓶 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）①设小瓶牛奶为x瓶，则大瓶牛奶为瓶，根据题意可得出关于x的方程，解出x，再结合x为正整数，即可判断；②根据题意可列出方程，解出x即得出答案； （2）根据题意可计算出B品牌牛奶的价格．再设购买A品牌大瓶牛奶为m瓶，则其它牛奶为瓶，依题意可列出关于m的方程，解出m即可． 【详解】（1）解：①设购买小瓶牛奶为x瓶，则购买大瓶牛奶为瓶． 则可列方程：， 解得 这与实际x为正整数不符， 所以按原价购买，不可能是92元． ②根据题意可列方程：， 解得， 故购买小瓶牛奶5瓶，大瓶牛奶瓶． （2）解：由题意：B品牌牛奶的价格相当于（元/瓶） 设购买A品牌大瓶牛奶为m瓶，则购买其它牛奶为瓶． 由小瓶牛奶的价格为10（元/瓶）与B品牌牛奶的价格相同即可列出方程：， 解得：． 答：购买A品牌大瓶牛奶6瓶． 题型08：工程问题（单人/简单合作） 方法技巧：总工作量设为“1”，单人效率=；合作时，“各部分工作量之和=总工作量”，据此列方程。 【典例8】. （25-26七年级上·北京·月考）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成．现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设总工作量为1，完成这项工程共需x天，由题意可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，再根据工作量列方程即可． 【详解】解：设总工作量为1，完成这项工程共需x天， 则甲的工作效率为，工作量为；乙的工作效率为，工作量为． 因此有． 故答案为． 【变式1】. （25-26七年级上·甘肃武威·期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有12立方米木材，要用多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工桌子的数量． 【答案】(1)要用10立方米的木料制作桌面，2立方米的木料制作桌腿 (2)25张 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，根据等量列出方程是解题关键． （1）设要用立方米的木料制作桌面，那么可以制作个桌面，用立方米的木料制作桌腿，那么可以制作条桌腿，根据配套关系建立方程并解方程即可； （2）由（1）可知，桌子数量为套，设乙工厂每天加工桌子的数量是张，则甲工厂每天加工桌子的数量是张，根据题意列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：设要用立方米的木料制作桌面，立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套， 根据题意，得， 解得，， ． 答：要用10立方米的木料制作桌面，2立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套． （2）解：由（1）可知，桌子数量为（套）． 设乙工厂每天加工桌子的数量是张，则甲工厂每天加工桌子的数量是张， 根据题意，得， 解得，． ． 答：甲工厂每天加工桌子的数量是张． 【变式2】. （25-26七年级上·河南商丘·月考）某农场有一块面积为亩的耕地需要播种，现安排、两个播种队共同完成这项任务．已知播种队每天播种的亩数是播种队每天播种亩数的倍，、两个播种队合作天完成了总任务的． (1)求、两个播种队每天分别可播种多少亩； (2)若播种队先单独播种若干天后，剩下的任务再由播种队单独完成，总费用刚好为万元．已知播种队每天的播种费用为万元，播种队每天的播种费用为万元，求播种队单独播种的天数． 【答案】(1)播种队每天可播种亩，播种队每天可播种亩 (2)播种队单独播种天 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（工程问题、费用问题）．根据题目的问题设恰当的未知数，并根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据“工作量＝工作效率×工作时间”的关系设未知数并建立等量关系，得到答案． （2）结合工作量关系与费用计算规则“总费用＝单日费用×工作天数”，设未知数并建立等量关系，得到答案． 【详解】（1）解：设播种队每天播种亩，播种队每天播种亩， 根据题意可列方程：， 解得， ∴播种队每天播种亩， ∴播种队每天可播种亩，播种队每天可播种亩； （2）解：设播种队单独播种天， ∴播种队播种亩，剩余亩由播种队完成， ∴播种队共播种天， ∴根据总费用可列方程：， 解得． ∴播种队单独播种天． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·期末）有一些相同的教室需要粉刷，一天名师傅去粉刷个教室，结果其中有的墙面未来得及刷；同样的时间内名徒弟粉刷了个教室的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷的墙面设每个教室墙面面积为． (1)一天名师傅可以粉刷多少； (2)现有个这样的教室需要粉刷，若请名师傅带名徒弟完成粉刷，师傅每天工资需元，徒弟每天工资需元，则完成所有粉刷共需工资多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题目中所设未知数，正确建立方程求解． （1）根据每个教室墙面面积为，表示出1名师傅一天粉刷墙面积为，1名徒弟一天粉刷墙面积为，再根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面建立方程求解得每个教室的面积，进而计算1名师傅一天的粉刷面积； （2）结合（1）求出徒弟每天单独能够完成的面积，再根据总量求出需要的天数，最后求得费用． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 则师傅每天可粉刷：， 答：名师傅一天可以粉刷； （2）解：徒弟每天可粉刷：， （天）， （元）， 答：共需工资元． 题型09：配套问题 方法技巧：明确配套比例（如a:b），设生产其中一种部件的数量（或人数）为未知数；根据“甲部件数量×b=乙部件数量×a”列方程。 【典例9】. （25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）某车间有25名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1500个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 【答案】为使每天的产品刚好配套，应该安排10名工人生产螺钉，15名工人生产螺母 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据设安排x名工人生产螺钉，则名工人生产螺母，结合每人每天平均生产螺钉1500个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，进行列方程，解得，即可作答． 【详解】解：设安排x名工人生产螺钉，则名工人生产螺母， 由题意得，， 解得：， 则（名）， 答：为使每天的产品刚好配套，应该安排10名工人生产螺钉，15名工人生产螺母． 【变式1】. （25-26七年级上·吉林·期末）列方程解应用题： 某工厂有50名工人，每人每天可以生产螺钉900个或螺母1200个． (1)如果生产螺钉的人数比生产螺母的人数多14人，那么生产螺钉和生产螺母的各有多少人？ (2)如果1个螺钉需配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好匹配，工厂应安排其中多少人生产螺母？ 【答案】(1)生产螺母的有18人，生产螺钉的有32人 (2)应安排30人生产螺母 【分析】（1）设生产螺母的人数为x人，则生产螺钉的人数为人． 根据题意，得，解方程即可． （2）设安排y人生产螺母，则生产螺钉的人数为人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设生产螺母的人数为x人，则生产螺钉的人数为人． 根据题意，得， 解得：． 故生产螺母的有18人，生产螺钉的有32人． （2）解：设安排y人生产螺母，则生产螺钉的人数为人， 根据题意，得， 解得：． 故应安排30人生产螺母． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）为响应国家绿色制造与资源高效利用政策的号召，某陶瓷器厂优化瓷泥配比与生产工艺烧制陶瓷茶具．已知每套茶具由1个茶壶和2只茶杯组成，用1千克瓷泥可做2个茶壶或5只茶杯．现要用9千克瓷泥全部制作这类茶具，如何分配恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 【答案】用5千克瓷泥制作茶壶，用4千克瓷泥制作茶杯恰好使制作的茶壶和茶杯配套 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设用千克瓷泥制作茶壶，根据每套茶具由1个茶壶和2只茶杯组成，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设用千克瓷泥制作茶壶，则用千克瓷泥制作茶杯． 根据题意，得． 解得． 所以． 答：用5千克瓷泥制作茶壶，用4千克瓷泥制作茶杯恰好使制作的茶壶和茶杯配套． 【变式3】. （25-26七年级上·辽宁营口·期末）在数学综合实践活动课中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 请你根据制作方案，完成下面的问题： 几何体制作方案 步骤1裁剪长方形彩纸：一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片． 步骤2制作“三角插”和“圆部式”基本单元：图1中裁出的一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，图2中裁出的一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元． 步骤3制作几何体：40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个几何体． 若有210张长方形彩纸全部用来制作几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元，才能制作尽可能多的几何体？最多能制作多少个几何体？ 【答案】用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”，最多能制作9个几何体． 【分析】本题考查了列一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 根据题意在不浪费纸张的前提下，设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，列出一元一次方程即可求出结果． 【详解】解：设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，根据题意得： ， 解得， 当时， 即用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”，最多能制作9个几何体． 题型10：分段计费问题 方法技巧：先判断未知量所在计费区间（通过临界值估算）；分区间表示费用，总费用=各区间费用之和，列方程求解后验证区间是否正确。 【典例10】. （24-25七年级上·福建福州·期末）某城市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标准（户内人口不超过4人）如表： 收费方式 月用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 第二阶梯 6 第三阶梯 20以上 8 注： ①公摊水费：每户每月10元； ②每月实际应交水费阶梯水费公摊水费． (1)若小明家某月用水18立方米，则小明家该月实际应交水费多少元？ (2)已知某户居民某月的实际应交水费为元，则这户居民的该月用水量是多少立方米？ (3)若某户某月实际应交水费平均每立方米元，求该户该月用水量． 【答案】(1)元 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程． （1）根据表格中的数据列式计算即可； （2）设这户居民的该月用水量为，根据该户居民某月的实际应交水费为元，列出方程，解方程即可； （3）设该户该月用水量为，根据某户某月实际应交水费平均每立方米元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：小明家该月实际应交水费元； （2）解：∵， ∴这户居民的该月用水量超过， 设这户居民的该月用水量为，根据题意得： ， 解得：， 答：这户居民的该月用水量是． （3）解：设该户该月用水量为，根据题意得： ， 解得：， 答：该户该月用水量为． 【变式1】. （24-25七年级上·广东广州·期末）某省实施居民阶梯电价，每户每月阶梯电量电价夏季收费标准划分如下： 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 0～260 0.59 第二档 261～600 0.64 第三档 601及以上 0.89 （执行居民阶梯电价总电费第一档电费第二档电费第三档电费；不足1度按1度计算收费） (1)第二档电价比第一档多 元； (2)已知李乐家6月份用电300度，请计算李乐家需要缴纳的电费． (3)已知陈阳家7月份缴纳电费307元，请通过计算判断陈阳家该月份用电收费属于哪个档次，并求出该月用电量． 【答案】(1)0.05 (2)李乐家需要缴纳的电费为179元 (3)陈阳家该月份用电收费属于第二档，该月用电量为500度 【分析】本题考查有理数运算的运用，以及一元一次方程的实际运用，解题的关键在于理解阶梯电量电价夏季收费标准，根据标准列式计算． （1）直接利用第二档电价减去第一档电价，即可解题； （2）根据表格进行计算，即可解题； （3）先计算出第一档电费和第二档电费，确定档次，再设该月用电量为x度，列出方程计算． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：； （2）解：（元）， 答：李乐家需要缴纳的电费为179元； （3）解：（元）， （元）， ， 陈阳家该月份用电收费属于第二档， 设该月用电量为x度， ， ， 答：陈阳家该月份用电收费属于第二档，该月用电量为500度． 【变式2】. （25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元． 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 (1)表中的值为__________；若用电400度，则应缴电费__________元． (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电达到第3档，且平均电价为0.76元/度，请直接写出老李家8月份的用电量． 【答案】(1)， (2)度 (3)度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确判定用电量的范围是解题的关键． （1）根据单价=费用÷总用电量，计算；分别计算第1档和第2档的电费即可； （2）根据判定九月份用电量超过了240度但不超过400度，设九月份用电量为x度，列出方程计算即可； （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据平均价格为元/度，判定用电量超过了400度，列出方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 解得， 用电400度，则应缴电费（元） 故答案为：，； （2）解：设老李家9月份的用电量为x度 ， ， ． 由题意，得． 解得． 答：老李家9月份的用电量为度； （3）解：设老李家8月份的用电量为y度． 8月份老李家用电达到第3档， ． 由题意，得 解得． 答：老李家8月份的用电量为度． 【变式3】. （25-26七年级上·湖北荆州·月考）【素材一】某市居民用电价格表如下： 档次 年用电量 分时电价（元/度） 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电2160度及以下部分 第二档 年用电2161~3600度部分 第三档 年用电3601度及以上部分 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量．用电量不足1度的部分顺延至下个月结算． 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 1 7 8 用电量（度） 480 1720 520 650 【问题解决】 (1)若该用户1月份所用的高峰电量为330度，求该用户1月份应缴电费； (2)若该用户7月份所用的低谷电量为370度，求该用户7月份应缴电费； (3)已知该用户8月份缴纳电费366元，求该用户8月份所用的高峰电的度数． 【答案】(1)该用户1月份应缴电费元 (2)该用户7月份应缴电费元 (3)该用户8月份所用的高峰电的度数为450度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据1月份用电量为480度，属于第一档，先求出低谷电量，再根据表格列式求解即可； （2）分析该用户前6个月及7月的用电量，可得出该用户7月份的用电量在第二档，利用该用户7月份应缴电费该用户7月份所用的高峰电量该用户7月份所用的低谷电量，即可求出结论； （3）分析该用户前7个月及8月的用电量，可得出该用户8月份的用电量在第二档，设该用户8月份所用的高峰电量的度数为x度，则该用户8月份所用的低谷电量的度数为度，根据该用户8月份缴纳电费366元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，低谷电量（度）， ∴电费为 （元）， ∴该用户1月份应缴电费元； （2）解：由题意得，1月至6月的累计用电量：（度）， ∴属于第二档 由题意得，高峰电量为（度）， ∴电费为 （元）， ∴该用户7月份应缴电费元； （3）解：由题意得，1至7月累计用电量为（度）， 8月累计（度）， ∴8月属于第二档， 设8月份高峰电度数为x度，则低谷电度数为度． 根据电费列方程： 解得， ∴该用户8月份所用的高峰电的度数为450度． 题型11：方案选择问题 方法技巧：列出所有可行方案，分别计算各方案的费用（或收益）；设两种方案费用相等时的临界量，通过比较临界量前后的方案优劣，选择最优解。 【典例11】. （25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案， 方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元； 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元， 设缴费时间为x个月，方案一的购买费用和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费用和垃圾处理费共为N元． (1)分别用x表示M，N； (2)缴费时间为多少个月时，两种方案费用相同？并说明理由． (3)若垃圾桶使用时间为两年，哪种方案更省钱？ 【答案】(1)； (2)交费时间为8个月时，两种方案费用相同，理由见详解 (3)方案一更省钱，理由见详解 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式及代数式的求值，解题的关键是理解题意，正确列出方程； （1）根据题意列式即可； （2）根据费用相同列方程求解即可； （3）分别计算两种方案的费用，作比较即可得解． 【详解】（1）解：由题意，得，； （2）解：缴费时间为8个月时，两种方案费用相同，理由如下， 由题意，得， 解得； （3）解：方案一更省钱，理由如下： 当时，（元），（元）， ， 方案一更省钱． 【变式1】. （2025·云南红河·模拟预测）根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【答案】任务：个；任务：先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设学校购进了个羽毛球，根据方案一和方案二费用一致，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务：利用“总价单价数量”，求出选择方案一及方案二所需费用，再求出“先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球”所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：任务1：设学校购进了个羽毛球（）， 则方案一的费用：， 方案二的费用：， 由题意，， 解得：， 答：学校购进了个羽毛球； 任务：需要购进个羽毛球， 单独使用方案一费用：（元）； 单独使用方案二费用：（元）； 混合使用：先用方案一购买副羽毛球拍，获赠个羽毛球，费用为元，再用方案二购买剩余个羽毛球，费用为（元），总费用为（元）； ∵， ∴最省钱的购买方式是先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 【变式2】. （25-26七年级上·吉林松原·期末）某校准备印刷一批证书，现有两个印刷厂可供选择： 甲厂收费方式：收制版费1000元，每本印刷费0.5元； 乙厂收费方式：不超过2000本时，每本收印刷费1.5元；若超过2000本，则超过部分每本收印刷费0.25元；若该校需印刷证书本． (1)请问甲、乙两厂的收费分别是多少？ (2)当印刷证书8000本时应该选择哪个印刷厂更节省费用？节省了多少？ (3)请问印刷多少本证书时，甲、乙两厂收费相同？ 【答案】(1)甲厂收费：元；乙厂收费：当时，费用为：元；当时，费用为：元 (2)乙厂更节省，节省了500元 (3)印刷1000或6000本证书时，甲、乙两厂收费相同 【分析】本题考查了列代数式以及求值，一元一次方程的应用．掌握题中的等量关系建立方程是解题的关键． （1）根据两个印刷厂的收费方式列式求解即可； （2）分别计算出时，甲、乙两厂的费用即可得； （3）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 甲厂收费：元． 乙厂收费：当时，费用为：元， 当时，费用为：元； （2）解：当时，甲厂费：（元）， 乙厂费：（元）， ∵（元）， 答：乙厂更节省，节省了500元； （3）解：当时，根据题意得， 解得； 当时，根据题意得， 解得 答：印刷1000或6000本证书时，甲、乙两厂收费相同． 【变式3】. （25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）元旦期间，七年级全体人员准备前往某地参加社会实践活动，研究性学习小组在老师的带领下，到某出租车公司商谈租车事宜，在商谈过程中，他们获得以下两个信息： 出租车公司有两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息： 租车 价格 信息 记录单 A型车/辆 B型车/辆 租金总费用/元 记录单1 1 1 1200 记录单2 3 2 2800 已知A型客车每辆24个座位，B型客车每辆54个座位，经过调查研究，确定两种租车方案：方案一：全部租用A型客车，则全体人员刚好坐满；方案二：全部租用B型客车，则可以（比全部租用A型客车）少租13辆，且剩余48个座位． 根据以上信息，完成下列3个任务： 任务1 根据“租车价格信息”，计算两种车型客车每辆租金分别是多少元． 任务2 请根据“车型座位信息”填写以下表格中的空格内容． 解：设方案二全部租用B型客车x辆，则可列表如下： 【答案】任务1：两种型号客车每辆租金分别是400元，800元；任务2：600；任务3：方案二费用最低 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（方案选择），有理数乘法的应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 任务一：设A型车每辆租金x元，则B型车每辆租金元，依题意列方程求解即可； 任务二：根据表格中的数据列方程求解即可； 任务三：分别求出方案一、方案二的租金，然后进行比较即可． 【详解】解：任务一： 设A型车每辆租金x元，则B型车每辆租金元， 依材料得： ， 解得：， 则， ，型客车每辆租金分别是400、800元； 任务二：解：设方案二全部租用B型客车x辆，则可列表如下： 租用车辆数 每车座位数 剩余座位数 七年级总人数 全部租用A型车 24 0 全部租用B型车 54 48 ∴， 解得，， ∴， ∴最后得出七年级总人数为600人． 任务三： 方案一（租用A型客车25辆）租金：（元）， 方案二（租用B型客车12辆）租金：（元）， ， 方案二的费用最低． 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁·期末）我国古代数学著作之一《孙子算经》中记载着这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题列出一元一次方程的应用，找到总人数不变的条件列方程是解题的关键． 依据总人数不变，即可得出关于x的一元一次方程． 【详解】解：每3人共乘1辆车，剩余2辆车，则共有人； 每2人共乘1辆车，剩余9人无车，则共有人； ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分该队共赛了9场比赛保持不败，共得21分，该队胜了多少场？设该足球队胜了场，根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解不败含义，明确胜平场次及得分规则是解题关键．该队保持不败，故无负场，胜场和平场得分之和为总得分，根据得分规则列方程即可． 【详解】解：设胜了x场，则平了场． 根据题意，得． 故选：C． 3．（24-25六年级下·山东青岛·期中）某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是，商品标价是多少元？设商品标价为x元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据利润率的定义，利润等于售价减进价，也等于进价乘以利润率，据此列方程． 【详解】解：设商品标价为元，则售价为元，根据题意得： ， 故选：A 4．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐：乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日．甲仍发长安．问几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢?设甲经过x日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意找到数量关系是解题关键． 将路程设为单位1，通过所花时间，得到对应的速度，再通过相遇问题的公式列方程计算即可． 【详解】解：设齐国与长安之间的距离为单位1， 则由题意，得甲的速度为，乙的速度为， 设甲经过x日与乙相逢，则甲的路程为，乙的路程为， 相遇时甲与乙的路程和等于全程1， ∴， 故选：D． 5．（25-26七年级上·陕西西安·月考）某旅行团出发旅游，为方便拍照记录，决定租无人机拍摄．若每三人租一架，商店剩2架；若每两人租一架，最终剩余9人没有无人机可拍摄，若设有架无人机，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程． 设商店有架无人机，根据第一种情况，每三人租一架且商店剩2架，可知旅行团人数为；根据第二种情况，每两人租一架且剩余9人，可知旅行团人数为．由于人数相等，列方程． 【详解】解：∵每三人租一架，商店剩2架， ∴租出无人机为架， ∴旅行团人数为； ∵每两人租一架，剩余9人， ∴租出无人机为架， ∴旅行团人数为； ∴列方程． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）在数学综合实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒，如图，长方形中，，，小沈用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了长方体的展开图与体积计算，解题的关键是通过折叠关系建立关于边长的方程． 设，根据长方形折叠成纸盒侧面的关系，得；结合列方程，求出的值；再根据长方体体积公式计算体积． 【详解】解：长方形纸板与长方形纸盒对照图如下，    设，则， 根据题意得：，即， 解得，． ∴该纸盒的体积， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·吉林·期末）《九章算术》中的数学名题，原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人几何？题目大意是：几个人合伙买一件物品，如果每个人出8钱，多出3钱；如果每个人出7钱，还差4钱．请问合伙的人数是多少？（注：钱为古代货币单位）设合伙人数为人，可列方程为： ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．根据总价不变，利用两种出钱情况下的等量关系列方程． 【详解】解：设合伙人数为人，根据“人出八，盈三”，得总价为； 根据“人出七，不足四”，得总价为． 故． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某传统手工坊计划制作一批折扇，如果每人做7把，那么会比计划的多做9把；如果每人做5把，将比计划的少做5把．设计划做把折扇，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，能够根据已知信息找准等量关系是解决本题的关键． 找准题干中隐含的等量关系“制作这一批折扇的总人数是不变的”，所以利用人数不变建立方程即可． 【详解】解：设计划做把折扇， 当每人做7把时，实际制作数量为把，因此人数为； 当每人做5把时，实际制作数量为把，因此人数为； 由于总人数不变，故有方程． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为，容器内水的高度为，把一根半径为的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意，得等量关系为：容器的底面积容器中水的原来高度玻璃棒的截面积（容器中水的高度水增加的高度）容器的底面积（容器中水原来的高度水增加的高度）． 【详解】解：设容器内的水将升高， 依题意有：， 解得． 故容器内的水将升高． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电 度． 【答案】 360 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．先判断出该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度，再设该居民家12月份的用电量为x，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度， 设该居民家12月份的用电量为x，则 ， 解得：． 该居民家12月份用电360度． 故答案为：360． 三、解答题 11．（25-26七年级上·甘肃嘉峪关·期末）某车间生产航空航天模型，车间内共有25名工人，每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 【答案】应安排生产部件的工人10名，生产部件的工人15名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用等知识．设安排生产部件的工人为名，则生产部件的工人为名．根据“1个部件和2个部件组成一个模型”列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设安排生产部件的工人为名，则生产部件的工人为名． 由题意得， ， ， ． ． 答：应安排生产部件的工人10名，生产部件的工人15名． 12．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张40元 学生：按成人票六折优惠 团体票（15人以上含15人）：按成人票七五折优惠 大人门票是每张40元，学生门票是6折优惠，我们一共14人，共需496元 (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（1）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为10人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买15人的团体票，再买5张学生票，费用为570元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为x人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于x的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购张团体票和5张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人， 由题意可得， 解得， 学生人数为（人）， 答：学生人数为4人，成人人数为10人． （2）解：如果买团体票，按人计算，共需费用： （元）， ， ∴购团体票更省钱． （3）解：需要分三种情况， ①成人和学生分开买票，费用：（元）， ②购买15人团体票和再买5张学生票，费用：（元）， ③人全部买团体票，费用：（元）， ∵， 最省的购票方案为：买人的团体票，再买5张学生票，费用为570元． 13．（25-26七年级上·江苏南京·月考）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元．（） (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于或等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八二折优惠，超过600元的部分打五折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款592元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)购进甲种商品40件 (2)小华在该商场购买乙种商品10件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）根据题意先求出甲种商品的每件进价，再设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （2）设小华打折前应付款为元，根据小华一次性购买乙种商品实际付款592元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种商品进价为元， 根据题意得， 解得， 即甲种商品进价为40元． 设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得， ∴购进甲种商品40件． （2）解：设小华打折前应付款为元， ∵， ∴打折前购物金额超过600元， 根据题意得：， 解得， （件）． ∴小华在该商场购买乙种商品10件． 14．（25-26七年级上·吉林·期末）张师傅想用篱笆围一个长方形鸡舍，为了节省篱笆，一边利用房屋外的一面墙（墙的长度为12米），其它三边用篱笆，且中间用篱笆隔开，并在如图位置开两扇各1米宽的门（门不用篱笆），若鸡舍的宽为米，长比宽的还多6米． (1)求所用篱笆的总长度是多少米？（用含的代数式表示，且结果要化简）； (2)若篱笆的总长度是18米时，求的值； (3)能否取下列数：①，②，③，若能，求出符合条件的鸡舍面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)鸡舍面积是 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，一元一次方程的应用： （1）根据鸡舍的宽为米，长比宽的还多6米表示出鸡舍的长，然后利用篱笆的总长度鸡舍的宽度+鸡舍的长度小门的宽度即可得到有关a的代数式； （2）根据篱笆的总长度是18米，列出方程，即可求解； （3）把①，②，③分别代入，求出鸡舍的宽和长，再根据面积公式求出鸡舍的面积，把不合题意的解舍去即可． 【详解】（1）解：篱笆总长度是（米） （2）解：由题意得， 解得； （3）解：①当时，鸡舍的宽是，是负数，不合题意； ②当时，鸡舍的面积是：； ③当时，鸡舍的宽是：米，鸡舍的长是米，超过了12米，不合题意． ∴只有时，符合题意，则鸡舍面积是． 15．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某文具店先后分两次购进同一种笔记本，总共花费1440元．第一次购进的进价为每本10元，第二次购进的进价为每本9元，且第二次购进的数量是第一次购进数量的． (1)文具店第一次购进笔记本多少本？ (2)文具店计划将第一次购进的笔记本按每本标价13元销售，第二次购进的笔记本按每本标价15元销售．在实际销售中，第一次购进的笔记本按标价每本降价1元销售，第二次购进的笔记本全部打折出售，若将两批购进的笔记本全部售出后获得的利润率为，第二次购进的笔记本应打几折出售？ 【答案】(1)90本 (2)8折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键． （1）设文具店第一次购进笔记本本，则第二次购进笔记本本，根据笔记本的进价和总花费列一元一次方程即可； （2）设第二次购进的笔记本应打折出售，根据实际销售价格与数量，以及利润率列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设文具店第一次购进笔记本本，则第二次购进笔记本本， 由题意得：， 解得：， 答：文具店第一次购进笔记本本； （2）解：设第二次购进的笔记本应打折出售， 则， 解得：， 答：第二次购进的笔记本应打折出售． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $