20.1 第1课时 勾股定理-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(人教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“勾股定理及其应用”第1课时，涵盖定理认识、证明、计算及应用，通过“赵爽弦图”“梯形面积法”等证明方式导入，衔接直角三角形性质，为后续计算和实际应用搭建学习支架。 其亮点在于融合数学思维与创新意识，如“练素养”中用两种赵爽弦图拼法证明勾股定理，培养推理能力，微专题“勾股树”面积问题结合几何直观，提升空间观念。分层次练习适配不同学情，助力学生深化理解，教师可高效开展分层教学。

2 第二十章　勾股定理 20.1　勾股定理及其应用 第1课时　勾股定理 3 练基础 练提升 目 录 练素养 4 练基础 知识点1　勾股定理的认识及证明 1. 已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C=90°，写出△ABC中的等量关系： （1）三个角之间的等量关系：__________________________________； （2）三条边之间的等量关系：__________________________________. ∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180° a2+b2=c2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 5 2. 将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放，使点A，E，D在同一条直线上. （1）用两种方法表示梯形ABCD的面积； （2）利用（1）中的结论证明勾股定理. 解：（1）方法一：∵∠A=∠D=90°， ∴S梯形ABCD==. 方法二：∵Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE=∠DEC. ∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°， 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 6 ∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形. ∴S梯形ABCD=S△ABE+S△BEC+S△DEC==ab+. （2）由（1）得 =ab+， ∴， ∴a2+b2=c2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 7 知识点2　利用勾股定理进行计算 3. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=4，则BC的长为 （　　） A. 5 B. C. 5或 D. 5或 【变式】　（易错题）若一直角三角形的两边长分别为8和6，则第三边的长为（　　） A. 10 B. 28 C. 10或28 D. 10或2 B D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 8 4. ［教材P26T3改编］如图，在平面直角坐标系中，若点A的 坐标为（1，），则OA的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 9 5. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则AB2+AC2+BC2的值为________. 32 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 10 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC=________，AC= ________. 2 2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 11 7. ［教材P30T7改编］在△ABC中，∠C=90°，若AC=，AB=，则∠B= ________°. 45 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 12 8. 如图，∠B=∠ACD=90°，AD=26，CD=24，BC=6，则AB的长为________. 8 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 13 9. ［教材P25T1改编］已知在△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. （1）如果a=7，b=24，求c； （2）如果a∶c=1∶2，b=，求a，c. 解：（1）由勾股定理，得c===25. （2）∵a∶c=1∶2，∴设a=x，则c=2x. 由勾股定理，得x²+（）²=（2x）²，解得x=（负值舍去）， ∴a=，c=2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 14 练提升 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，那么AB边上的高CD为（　　） A. B. C. D. B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 15 11. （广东汕头期末）用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形的斜边长为2，最短边长为1，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 1 B. 3 C. 4-2 D. 4+2 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 16 12. 如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=4，BC=3. 若将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使得AD=AB，且点D在射线AC上，则扩充后的△ABD的底边BD的长是________. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 17 13. 【新趋势·过程性学习】在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积. 学习小组经过交流，提出了“构造直角三角形”的解题思路：   请你按照他们的解题思路完成解答过程. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 18 解：如图，作AD⊥BC，垂足为D. 设BD=x，则CD=14-x. 在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别应用勾股定理，得AD2=AB2-BD2= 152-x2，AD2=AC2-CD2=132-（14-x）2， 故152-x2=132-（14-x）2，解得x=9. ∴AD==12. ∴S△ABC=BC·AD=×14×12=84. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 19 练素养 14. 【原创题·探究性问题】我国古代数学家赵爽用教材第24页的方法证明了勾股定理. （1）王明阅读教材后发现“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的大正方形（如图1），可以用“等面积法”证明勾股定理：设直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，则大正方形的面积可以表示为c2或4×ab+_________，进而可得a2+b2=c2. （2）爱动脑筋的王明又用这四个全等的直角三角形围成了另一个大正方形（如图2），也能用“等面积法”证明勾股定理，请你帮助他完成证明过程. （b-a）2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 20 解：（2）图2中大正方形的面积可表示为（a+b）2或4×ab+c2， ∴（a+b）2=4×ab+c2，整理得a2+b2+2ab=2ab+c2，∴a2+b2=c2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 21 解析：在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=S1+S2=_______；在Rt△ADC中，AC2= DC2+AD2=S3+S4=12+S4，故12+S4=_______，解得S4=_______. 故选_______. 微专题3　“勾股树”中的面积问题 【典例】　如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边，向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1=4，S2=16，S3=12，则S4的值是 （　　） 　A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 20 20 8 B B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 22 【变式1】　如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=，则图中阴影部分的面积为________. 3 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 23 【变式2】　如图，阴影部分是以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2. 若AC=6，BC=8，则阴影部分的面积S1+S2= ________. 24 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题3 24 25 $