20.1 第3课时 利用勾股定理作图、计算-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(人教版·新教材)

课题

利用勾股定理作图、计算

课型

新授课

教学内容

教材第28-29页的内容

教学目标

1.了解利用勾股定理证明HL定理．

2.会运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步感受数轴上的点与实数的一一对应关系．

3.会运用勾股定理解决带有一定综合性的几何图形问题，进一步体会数形结合思想与转化思想．

教学重难点

教学重点：运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，运用勾股定理进行作图与计算．

教学难点：理解实数与数轴的一一对应关系，在较复杂的图形中利用勾股定理进行计算．

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入新课

数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示，，，，…的点吗？

现在我们利用勾股定理来探究一下这个问题.

2.发现探究，学习新知

【问题1】在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？

师生活动：教师提出问题，师生共同画图，写出已知、求证、证明.教师应引导学生关注画图的过程，思考哪些元素相等.

利用目标明确的操作探究问题引入新课，激发学生的学习兴趣.

通过证明HL定理使学生掌握勾股定理在推理证明中的应

已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.

求证：△ABC≌△A'B'C'.

分析：要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'，难以找到锐角对应相等，只能找第三边相等，发现可以根据勾股定理得到BC=，B'C'=，容易得到BC=B'C'.

证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，根据勾股定理，得BC=，B'C'=.

又AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C'，∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).

【问题2】怎样在数轴上画出表示的点?

师生活动：教师帮助学生逐步分析.

教师追问1：你能画出长度为的线段吗?怎样画？呢?呢?

师生活动：教材第28页的图20.1-11，学生们独立动手画图，先按照图20.1-11的方法画出长为，，，，…的线段，按照同样的方法在数轴上画出表示的点.

教师追问2：继续思考有没有其他方法呢?

师生活动：教师帮助学生分析，将13写成两个正整数a，b的平方和的形式，即13=a2+b2，而13=4+9，令a2=4，b2=9，则a=2，b=3，所以长为的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边.

教师追问3：在数轴上怎样作出这个三角形呢？

师生活动：教师指导学生画出图形，并在数轴上画出表示的点.教师根据巡视情况指导步骤如下:

(1)如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA=3;

(2)过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2;

用，提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力．

通过观察感知，讨论分析，规范作图，一步紧扣一步，让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点，将数和图形联系在一起，让学生领会了数形结合的思想，同时也加深了对勾股定理、数轴和实数的理解．教学中注意规范学生的作图语言和作图．

(3)连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点.

总结:在数轴上表示无理数时，将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步，利用勾股定理拆分出两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方，注意一般拆分的两条线段的长是正整数；第二步，以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步，以数轴原点为圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点.

3.学以致用，应用新知

考点1 利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点

【例1】在数轴上画出表示的点(不写作法，但要保留画图痕迹).

解：如图所示，点A即为所求．

考点2 勾股定理与网格

【例2】如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，A，B都在格点上，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交最上方的网格线于点D，则ED的长为                   .

答案：

考点3 勾股定理与图形的计算

【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD

通过操作探究，培养学生的动手操作能力、抽象概括能力，进一步巩固新知.

通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点.