20.1 第1课时 勾股定理-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(人教版·新教材)

课题

勾股定理

课型

新授课

教学内容

教材第22-26页的内容

教学目标

1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感.

2.能用勾股定理进行简单的计算.

教学重难点

教学重点：探索并证明勾股定理.

教学难点：勾股定理的探究和证明.

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入新课

国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”. 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.如图所示是本届大会会徽的图案.

（1）你见过这个图案吗?

（2）它由哪些我们学习过的基本图形组成？

（3）这个图案有什么特别的含义？

师生活动：教师出示图片，引导学生发现图形中的直角三角形、正方形等，并说明直角三角形全等的关系，指出这个图案是由我国汉代的赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来的，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲.

从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入课题，同时渗透了爱国主义教育.

2.发现探究，学习新知

【问题1】毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家.相传在2500多年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.

(1)现在请你也观察一下地面的图案(右图)，你能找出图中正方形A，B，C的面积之间的关系吗?

(2)正方形A，B，C所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系?

师生活动：学生观察图片，分组交流讨论.学生通过直接数等腰直角三角形的个数或者用割补的方法可以得到正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积.教师引导学生由正方形的面积等于边长的平方归纳出:等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

总结：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

【问题2】等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有类似的结论呢？

师生活动：教师出示右图，进行追问.

教师追问1：图中每个小方格的面积均为1，请你分别计算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积．

教师追问2： 正方形A，B，C的面积之间有什么关系？正方形A′，B′，C′的面积之间有什么关系？

师生活动：学生独立观察并计算各图中正方形的面积并完成

从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积的关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰直角三角形边长的一般化，渗透从特殊到一般的数学思想．

网格中的直角三角形也是直角三角形一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数.

进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法.

填表．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认知水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形C的面积．学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积．或者将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C的面积．学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：

A的面积＋B的面积＝C的面积．

A′的面积＋B′的面积＝C′的面积．

教师追问3：正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？

师生活动：在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方．

【问题3】通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？

师生活动：师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.

【问题4】以上这些直角三角形的边长都是具体的数值.一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c（右图），刚刚提出的猜想还正确吗？如何验证？

师生活动：学生通过独立思考，用a， b表示c的面积.

如图1，用“割”的方法可得c2=ab×4+(a-b)2；如图2，用“补”的方法可得c2=(b+a)2-ab×4.经过整理都可以得到a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

鼓励学生勇于面对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验.

从网格验证到脱离 网格，通过计算推导出一般结论.