19.1 第1课时 二次根式的概念-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(人教版·新教材)

课题

二次根式的概念

课型

新授课

教学内容

教材第2-3页的内容

教学目标

1.根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由．

2.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．

3.通过对二次根式的概念的探究，提高数学探究和归纳能力．

4.经历观察、归纳、总结等数学活动，感受数学的严谨性和趣味性．

教学重难点

教学重点：从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．

教学难点：确定二次根式中字母的取值范围.

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【问题1】用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？

(1)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m；

(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为______；

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下的高度h(单位：m)满足关系式h＝5t2.若用含有h的式子表示t，则t＝________．

师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价，帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象.

从学生已有的知识出发，由平方根过渡到二次根式的学习．

在此之前，可以先回顾平方根和算术平方根的概念.

教师追问：第（1）（2）题中得到，的依据是什么？这两个式子有什么区别和联系？

师生活动：由学生回答.依据是算术平方根的定义.区别是分别表示具体数65的算术平方根，是字母表示的数的算术平方根；联系是都表示非负数的算术平方根.

2.抽象概括，形成概念

【问题2】（1）观察上面得到的式子，，，它们有什么共同特征？

(2)你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？

师生活动：教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.并板书：

它们表示一些正数的算术平方根.一般地，我们把形如（a≥0）形式的式子称为二次根式，其中“”称为二次根号.二次根式也是代数式.

教师追问1：4，0的算术平方根分别是什么？-4有没有算术平方根？

教师追问2：被开方数需要满足什么条件？为什么要满足这样的条件？

教师追问3：　当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？呢？

师生活动：学生独立思考，教师引导学生回顾在实数范围内，负数无平方根，所以被开方数只能是非负数．x为任意实数时，x2都为非负数，都有意义．x≥0时，x3为非负数，有意义．

【问题3】请同学们比较与0的大小.

师生活动：先让学生独立思考.学生的第一反应可能是>0， 部分学生能得出≥0这一正确结论.教师引导学生根据概念，

通过观察、归纳、总结等过程，让学生发现二次根式的概念，发展符号意识.通过追问，采用从具体到抽象的方式，归纳出二次根式有意义的条件.教师提问进一步发现二次根式的双重非负性，从而培养学生的抽象逻辑思维．

分a＞0和a=0两种情况进行讨论.归纳出的双重非负性：被开方数a≥0，a的算术平方根≥0.

3.学以致用，应用新知

考点1 二次根式的概念

【例1】 下列各式中，一定是二次根式的有_______.

分析：判断二次根式应关注两点：

（1）有二次根号“”；

（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.

考点2 二次根式有意义的条件

【例2】 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？

解：由x－2≥0，得x≥2.

当x≥2时，在实数范围内有意义．

【变式】求下列二次根式中字母在实数范围内取何值有意义：

⑴；  ⑵；   ⑶；   ⑷.

【例3】若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是(     )

A.x≥　   　B．x≤  　　C．x＝　  　　D．x≠

答案：C

师生活动：学生先独立完成作答，教师对二次根式被开方数大于等于零再次进行强调．

4.随堂训练，巩固新知

（1）下列式子：，，，，，其中属于二次根式的有(    )

通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括二次根式的概念、二次根式有意义的条件.