1.3 第1课时 直角三角形的性质与判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦直角三角形的性质（勾股定理）、判定定理及互逆命题，通过24届国际数学家大会会标引入，联系生活实际激发兴趣，衔接已学三角形知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 亮点在于以探究为主线，引导学生证明勾股定理及逆定理发展推理能力，结合实例分析互逆命题培养抽象思维，符合数学思维与数学眼光的核心素养，助力学生提升逻辑推理与应用意识，为教师提供清晰教学路径。

绿卡图书——走向成功的通行证 1.3 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 课题 第1课时 直角三角形的性质与判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P24-28 教学目标 1．知识目标： （1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。 （2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 2．能力目标： （1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维． （2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力． 教学重难点 重点：①了解勾股定理及其逆定理的证明方法． ②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 难点：勾股定理及其逆定理的证明方法． 教学准备 教师准备：课件、多媒体；学生准备；练习本； 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 如图是在北京召开的24届国际数学家大会的会标，它的设计灵感来自哪类三角形的知识？ 你对这类三角形有那些了解呢？ （板书课题：第1课时 直角三角形的性质与判定） 通过生活中的图片引入直角三角形，来激发学生学习数学的兴趣,使学生很自然地进入本节的学习，进而顺利引入新课。 2.实践探究，学习新知 【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理 教师提问： 问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？ 师生活动：学生自主交流探究各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明. 证明：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形. 【归纳总结】 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 数学符号语言如下： ∵在△ABC中，∠A+∠B=90°（已知） ∴△ABC是直角三角形. 【探究2】勾股定理及其逆定理的证明 师生活动：教师提出问题，学生自主交流探究各自的结论，教师适时引导学生给出相对规范的证明. 教师提问：直角三角形的三条边有怎样的数量关系？你能证明吗？ 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c． 求证：a2+b2＝c2． 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明.教师注意适时引导. 证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED． ∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． ∴四边形ACDE是直角梯形． ∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b) ＝ (a+b)2． ∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°， ∵AB＝BE．∴S△ABE＝c2 ∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED， ∴(a+b) 2＝ c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2＝c2 + ab, ∴a2+b2＝c2. 教师追问：反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗? 师生共同来完成． 已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形． 教师点拨：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证． 证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′＝AC(如图)， 则A′B′2＋A′C′2＝BC′2.(勾股定理)． ∵AB2＋AC2＝BC2， A′B′＝AB，A′C′＝AC， ∴BC2＝B′C′2 ∴BC＝B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS） ∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)． 因此，△ABC是直角三角形． 【归纳总结】 勾股定理：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【探究3】互逆命题和互逆定理 教师提问： 议一议：观察归纳总结中的两个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? 学生归纳：勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件. 教师提问： 再观察下面三组命题： 1.如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 2.如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 3.一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 它们的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴交流. 师生活动：根据学生的回答情况引导归纳：在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题． 教师追问：请同学们判断上面三组原命题的真假．逆命题呢? 师生活动：根据学生的回答情况引导归纳：在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题． 在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题． 在第三组中，原命题和逆命题都是真命题． 由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题． 如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理． 教师追问：能举例说出我们已学过的互逆定理? 师生活动：根据学生的回答情况引导归纳：如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等． 【归纳总结】 1.互逆命题：如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题. 2.一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 3.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称另一个定理的逆定理. 4.不是所有的定理都有逆定理，只有这个定理的逆命题是真命题时，才能称这个逆命题是逆定理. 5.互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题. 让学生通过分析归纳总结出直角三角形的两锐角定理和其逆定理内容，并能够对定理和逆定理进行证明. 让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容，对于证明学生有一定的难度，教师应引导学生证明. 勾股定理的逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的，《标准》也只要求“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题”，并没有要求证明，因此教学时只要学生能够接受证明的方法和过程即可，不宜对学生提出更高的要求. 教师通过几对数学和生活中的命题，引导学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，并归纳出它们的共性，以得到互逆命题的概念. 教师引导学生得出互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题。 3.学以致用，应用新知 考点1 直角三角形的性质及其判定定理 例 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A ：∠B ：∠C＝1 ：2 ：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 答案：B 变式训练 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A．1.5，2，2.5 B．5，12，14 C．30，40，50 D．1，2， 答案：B 考点2 互逆命题、互逆定理 例 下列命题： ①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角． 它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：B 变式训练 命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 ，该命题是 命题（填真或假）． 答案：如果a2＝b2，那么a＝b 假 通过例题讲解，巩固理解直角三角形的性质定理、判定定理、互逆命题、互逆定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。 4.随堂训练，巩固新知 1.命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是 . 答案：若﹣a＝﹣b，则a＝b 2.如图，△ABC沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若∠B＝54°，∠C＝90°，则∠ENC等于（ ） A．54° B．62° C．72° D．76° 答案：C 3.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0，那么a=0，b=0. 解:（1）逆命题：多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题. （2）逆命题：同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为真命题. （3）逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0.原命题是假命题，而逆命题是真命题. 4．如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接AD、BD，且AD上BD，已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12．则图中阴影部分的面积为 . 答案：24 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 这节课我们了解了直角三角形的性质与判定方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力． 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P31 T1、T2、T6. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 直角三角形的性质与判定 一、直角三角形的性质 二、直角三角形的判定 三、互逆命题、互逆定理 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导。使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距。所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导. 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $