精品解析：新疆实验中学2026届高三上学期第四次月考数学试题

新疆实验中学高三一模冲刺仿真质量检测（第四次月考） 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷为问答分离式试卷，共6页，其中问卷4页，答卷2页．答题前请考生务必将自己的班级、姓名、准考证号的信息填写在答题卡上． 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损、不能使用涂改液、修正带． 3.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（　　） A. B. 20 C. D. 6 3. 双曲线离心率为，则其渐近线方程为（  ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. “”是“函数在区间上单调递减”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，为中点，为靠近的四等分点，点，，所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C 若，则 D. 10. 在△ABC中，内角的对边分别为a、b、c，已知，则（ ） A. B. b取值范围可能为 C. b的取值范围可能为 D. △ABC的面积最大值为 11. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中 的系数为 ____________________ 13. 已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为________． 14. 对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期为. （1）求值以及函数的对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上的最小值. 16. 记等差数列的前项和为，已知，且． （1）求和； （2）设，求数列前项和． 17. 如图，在四棱锥中，侧棱长均为，四边形是矩形，. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是抛物线上两点，且处切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值. 19. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若存在两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆实验中学高三一模冲刺仿真质量检测（第四次月考） 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷为问答分离式试卷，共6页，其中问卷4页，答卷2页．答题前请考生务必将自己的班级、姓名、准考证号的信息填写在答题卡上． 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损、不能使用涂改液、修正带． 3.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】解不等式，即， 解得，则， 而，故. 故选：D 2. 已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（　　） A. B. 20 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，然后利用纯虚数的概念求得，进而由求解即可. 详解】， 且为纯虚数，，， ，． 故选：B． 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率及双曲线的参数关系得，即可得渐近线方程. 【详解】由题设，所以渐近线为. 故选：A 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算，得，再由夹角公式，取可求解. 【详解】因为，，则， 又，所以，解得，即， 所以. 故选：D. 5. “”是“函数在区间上单调递减”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 6. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 7. 在直三棱柱中，为中点，为靠近的四等分点，点，，所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直三棱柱补形成直四棱柱，设出各个长度，根据体积公式，求出四棱锥的体积，进而可求出直三棱柱中，剩余部分的体积，分析计算，即可得答案. 【详解】将直三棱柱补形成直四棱柱，使底面ABCD为平行四边形，如图所示， 设底面面积为S，AC边上的高为，， 则直四棱柱的体积，， 四边形AEFC的面积， 所以四棱锥的体积， 所以直三棱柱中，剩余部分的体积， 所以较小部分的体积与较大部分的体积之比为. 故选：C 8. 若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设，用表示出，然后根据对数的运算性质和换底公式进行变形求解可得所在的范围，进而得到答案． 【详解】设，则， ∴． ∵， ∴； 又， ∴，即． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查对数的换底公式、对数的性质以及基本不等式，具有一定的灵活性和难度，解题的关键是用参数表示出，考查变换和计算能力． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定方程，求出焦点坐标及准线方程判断AB；利用抛物线的定义，结合范围求解判断CD. 【详解】对于AB，由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，A错误，B正确； 对于C，由及，得，则，C正确； 对于D，依题意，，，当且仅当时取等号，D正确 故选：BCD 10. 在△ABC中，内角的对边分别为a、b、c，已知，则（ ） A. B. b的取值范围可能为 C. b的取值范围可能为 D. △ABC的面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角恒等变形化简得，即，对于A，利用化简可判断；利用余弦定理结合基本不等式可得，解得即可判断BC；根据面积公式，再利用基本不等式即可得到△ABC的面积最大值即可判断D． 【详解】， 则 ， 整理得， ，，即， ， 对于A，因为， ，所以，故A正确； 所以 ，当时取等， 所以，故B错误，C正确； ，当时取等， 所以△ABC的面积最大值为，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，综合利用周期性、对称性、奇偶性，逐一对选项进行分析判断. 【详解】选项A，，即函数的周期为4，所以选项A错误； 选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，所以选项B正确； 选项C，因为，则，所以函数的图象关于对称，所以选项C正确； 选项D，因为，则，所以函数为偶函数，所以选项D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中 的系数为 ____________________ 【答案】 【解析】 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】的通项公式为， 令可得含的项， 此时系数为， 故答案为： 13. 已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由和两类情况，结合等比数列前项和性质求解. 【详解】由，可得， 当时，，所以， 当时，，所以. 故答案为： 14. 对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】对原不等式合理变形，结合同构思想得到，再构造函数并利用导数判断其单调性，得到，最后利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】因为不等式恒成立，， 所以恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，可得恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 当时，满足，符合题意， 当时，可得恒成立， 则恒成立，令，而， 当时，，则在上单调递增， 可得，得到，故. 综上，正数的取值范围是, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值以及函数的对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上的最小值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）中函数，由给定的图象变换求出，进而求出，再利用二倍角正弦公式，结合换元法求出最小值. 【小问1详解】 依题意，函数， 由函数的最小正周期为，得，解得，则， 令，解得， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 将函数图象向右平移个单位长度后，得， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得， ， 令，由，得，则， ，则当时，取得最小值， 所以函数在上的最小值为. 16. 记等差数列的前项和为，已知，且． （1）求和； （2）设，求数列前项和． 【答案】（1）；； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设的公差为，因为，所以， 又，所以，解得， 所以， ． 【小问2详解】 ， 所以 ． 17. 如图，在四棱锥中，侧棱长均为，四边形是矩形，. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，记的中点分别为，连接，根据已知及线面垂直的判定、性质定理证明平面，再由面面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，进而求出相关平面的法向量，应用向量法求二面角的余弦值，即可得其正弦值. 【小问1详解】 连接交于点，记的中点分别为，连接， 在中，是的中点， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 在矩形中，， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 由，同理得，又， 所以，即， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 作，垂足为， 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以，， 所以， 设是平面的法向量，则，即，可取， 设是平面的法向量，则，即，可取， ，则， 故二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）设点的坐标,表达出直线的斜率之积,再根据三点均在椭圆上,根据椭圆的方程代入斜率之积的表达式列式求解即可. （Ⅱ）设直线的方程为,根据直线的斜率之积为可得,再联立直线与椭圆的方程,表达出面积公式,再换元利用基本不等式求解即可. 【详解】（Ⅰ）设,,则, 又,,故,即, 故,又,故. 故椭圆的标准方程为. （Ⅱ）设直线的方程为,, 由 ,故, 又,故,因为处的切线相互垂直故. 故直线的方程为. 联立 故. 故,代入韦达定理有 设,则.当且仅当时取等号. 故的面积的最大值为. 【点睛】本题主要考查了根据椭圆上的点坐标满足的关系式求解椭圆基本量求方程的方法,同时也考查了抛物线的切线问题以及椭圆中面积的最值问题,需要根据导数的几何意义求切线斜率,再换元利用基本不等式求解.属于难题. 19. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若存在两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可得解； （2）导函数，由联想到可依据和的大小关系分类讨论，以便确定导函数的符号，从而确定函数的单调性； （3）将函数存在两个极值点转化为方程在上有两个不等实根，由韦达定理得，即可将要证的不等式转化为，不妨设，即证，令，则可构造函数，证明的最小值大于即可. 【小问1详解】 当时，，则. 又，则所求切线的斜率. 所以曲线在点处的切线方程为 ，即. 【小问2详解】 的定义域为. ，因为，当且仅当时，等号成立； ①若，则，当且仅当时，， 此时的单调递增区间为，无减区间； ②若，由，即， 解得，，因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述，当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为和， 单调递减区间为. 【小问3详解】 因为存在两个极值点， 所以方程，即在上有两个不等实根. 则，解得. 则 要证不等式，即证， 即证， 不妨设，即证， 令，，则， 所以在上单调递增，则，所以成立， 所以成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $