6.1 二元一次方程组和它的解-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(华东师大版·新教材)

该教案聚焦二元一次方程组及解的概念，通过数学文化（笛卡尔名言、天元术历史）导入，结合一元一次方程复习，搭建新旧知识联系，引导学生从实际问题中抽象数量关系。 特色在于融合数学文化与探究活动，培养数学眼光（抽象实际问题中的数量关系）、思维（类比归纳二元一次方程概念）、语言（列方程组表达现实问题），如足球比赛问题引导抽象方程，例题与变式训练巩固，提升学生应用意识，助力教师高效教学。

绿卡图书——走向成功的通行证 6.1 二元一次方程组和它的解 课题 6.1 二元一次方程组和它的解 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P28-32 教学目标 1. 通过分析实际问题中的数量关系，归纳总结出二元一次方程（组）的概念，理解二元一次方程组解的含义，提高类比分析和归纳概括的能力. 2. 能准确识别出二元一次方程（组），并会判断一组数是否是某二元一次方程（组）的解. 3. 经历由实际问题抽象为二元一次方程（组）的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，养成良好的应用数学的意识，感悟方程思想；在数学文化的学习中，感受数学的巨大魅力. 教学重难点 重点：掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义，会判断一组数是否是二元一次方程（组）的解. 难点：从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 一、创设情境，导入新课 教师展示课件. 勒内·笛卡尔 17世纪法国数学家、哲学家笛卡尔曾经说过，“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程.因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解”. 师生活动：教师提出问题，学生思考并积极回答问题. 问题1：我们已经知道了方程的定义，学习了最基本的一类方程，即一元一次方程，你能举出几个例子，并说说它的定义吗？ 问题2：哪位同学能举例说说你对一元一次方程概念中“元”和“次”含义的理解？ 师生活动：待学生说完自己的理解之后，教师介绍：相传，用“元”这个字表示未知数，源于我国宋元时期的天元术；朱世杰在《四元玉鉴》中将天元术拓广为四元术.清末，李善兰用“天、地、人、物”分别代替英文字母x，y，z，w，于是，“天、地、人、物”成了表示未知数的符号，而“元”，即为未知数的统称. 教师活动：类比一元一次方程这个概念，你认为我们还有可能学习哪些方程？ （学生自由回答，教师同时板书课题：第1节 认识二元一次方程组） 由数学背景文化介绍，让学生了解数学历史和数学任务，引起学生的兴趣. 二、实践探究，学习新知 【探究1】 问题1 暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 勇士队在第一轮比赛中赛了 9 场，负了 2 场，共得 17 分. 那么这个队胜了几场？平了几场呢？ 教师活动：问题中告诉了我们哪些等量关系？ 学生活动： ①胜的场数+平的场数+负的场数=比赛总场数； ②胜场得分+平场得分=比赛总得分. 教师活动：能否用我们学过的知识来求解呢？你能用几种方法进行求解？ 学生活动： 方法一：尝试检验法 易知胜场、平场的场数之和为7. 胜1场、平6场时，3×1+1×6=9≠17； 胜2场、平5场时，3×2+1×5=11≠17； ······ 胜5场、平2场时，3×5+1×2=17. 故这个队胜了5场，平了2场. 方法二：列算式 解：平了[3×(9−2)−17]÷(3−1)=2 (场) 胜了9−2−2=5 (场) 方法三：列一元一次方程 解：设这个队胜了x场，则平了(9−2−x)场. 根据题意，得3x+(9−2−x)=17. 解这个方程，得 x=5，则9−2−x=2. 答：胜了5场，平了2场. 教师活动：问题中涉及到两个未知量，那么我们能不能同时设两个未知数呢？如果设勇士队胜了x场，平了y场，再按照刚刚提出的得分和场数这两个等量关系列出方程. 学生活动：列出两个方程：x+y=7和3x+y=17. 教师提问：这两个方程有什么共同特点呢？对比一元一次方程的定义，看看两类方程有何联系与区别吗？你能类比一元一次方程的定义，给出这类方程的定义吗？ 学生活动：先独立思考，再举手作答. 1、共同特点：①每个方程都有两个未知数；②未知数项的次数都是1；③含有未知数的式子都是整式. 2、区别：这两个方程都有两个未知数，而一元一次方程只有一个未知数； 联系：这两类方程未知数项的次数都是1，含有未知数的式子都是整式 【归纳总结】 有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程. 两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 【探究2】 教师活动：（1）x=4，y=3适合方程x+y=7吗？x=5，y=2呢？x=3，y=4呢？你还能找到其他x，y的值适合方程x+y=7？ （2）x =4，y=5适合方程3x+y=17吗？x=5，y=2呢？ （3）你能找到一组x，y的值同时适合方程x+y=7和3x+y=17吗？你还能找到其他x，y的值吗？ 师生活动：各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论. 由学生回答上面3个问题，教师作出结论： 【归纳总结】 （1）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.二元一次方程有无数组解. （2）一般地，使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组只有一组解. 问题2 &【试一试】 某校现有校舍20 000 m2 ，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%. 若新建校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，则应拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？ (单位：m2 ) 若设应拆除x m2 旧校舍，建造y m2 新校舍，请你根据题意列出方程组. 解： 学习任何方程，首先要强调的都应是“解决实际问题”.所以，在“数学内部”提出问题后，教师通过设置问题情境，引导学生将实际问题转化为数学问题，把“数学有用”真正体现在学习过程中；学生通过解决具体问题，发现自己的想法“果然有用”，其学习兴趣也就自然而然地被激发了. 通过类比一元一次方程，归纳出二元一次方程的概念，无形中增强了学生对数学知识之间内在联系的感性认识. 这是一个与现实生活密切相关的问题，也为下一节研究二元一次方程组的解法做铺垫. 三、学以致用，应用新知 考点1 二元一次方程（组）的概念 例1 下列是二元一次方程的是（ ） A.2x-3y=xy B.x-y2=0 C.3x-2y=0 D.3x-6=x 答案：C 变式训练1 计算：如果方程是二元一次方程，那么m＝ ，n＝ . 答案：2；-3 例2 下列方程组中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 答案：C 变式训练2 若方程组是关于x、y的二元一次方程组，则ab的值为________. 答案：-1 考点2 二元一次方程（组）的解 例3 下列四组数值中，哪些是二元一次方程的解？（ ） A. B. C. D. 答案：BCD 变式训练3 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 答案：C 考点3 根据实际问题列二元一次方程（组） 将17 m的钢管截成2 m长的x段和3 m长的y段（x、y均为整数），且没有剩余，可列方程为_______________. 答案：2x+3y=17 变式训练4 某商店计划用4 200元购进甲、乙两种商品共30件，甲商品进价120元/件，乙商品进价150元/件.若设购进甲商品x件，乙商品y件，则可列方程组为_____________. 答案： 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，提高学生计算能力和做题效率. 四、随堂训练，巩固新知 1.下列各式是二元一次方程的是( ) A.x=3y B.2x+y=3z C.x²+x-y=0 D.3x+2=5 答案：A 2.下列方程组：①② ③④⑤其中是二元一次方程组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 3.方程2xa−2+3yb+1+4=0是二元一次方程，则a= ，b= . 答案：3 0 4.下面的5组数值： ①；②；③；④；⑤. 其中是二元一次方程的解有 ； 是二元一次方程组的解有 . 答案：（1）④⑤；（2）③ 5.若是的解，则m= ，n= . 答案：5 1 6.写出一个以为解的二元一次方程组： （答案不唯一）. 答案： 7.根据题意，列方程组（不解方程）. 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？ 解：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子. 由题意，得 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 五、课堂小结，自我完善 1.课堂小结 （1）有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.二元一次方程有无数组解. （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.二元一次方程有无数组解. （3）两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. （4）一般地，使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解.方程组的解满足方程组的每个方程，二元一次方程组只有一组解. 2.布置作业 课本P31习题6.1 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 六、板书设计 6.1 二元一次方程组和它的解 二元一次方程组和它的解 二元一次方程（组）的概念 投影区 二元一次方程（组）的解 根据实际问题列二元一次方程（组） 学生活动区 提纲挈领，重点突出. 七、教后反思 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $