精品解析：北京市门头沟区2025～2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025—2026学年度第一学期期末综合练习 八年级数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形一定是轴对称图形的是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 3. 如图，，，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（ ） A B. C. D. 或 5. 下面各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 如图，点、是的边上的动点（），，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的长度，有以下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①②④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如果分式有意义，那么的取值范围是_______． 10. 分解因式：______． 11. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 12. 计算：_______． 13. 如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，若，则的长为_______． 14. 如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，当有最小值时，点的坐标为_______． 15. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 16. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取， ，则有， ，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码：．已知多项式，若生成的六位数密码中含有最小的两位数，写出一组符合条件的、的值_______． 三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 计算：． 19 已知：如图，与中，与交于点，，．求证：． 20. 已知：如图与都是等边三角形，点、、在一条直线上，连接、．求证： 在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下： （1）请问老师的提示中①是 ，②是 ． （2）请根据以上思路写出完整的证明过程． 21. 下面是小亮设计尺规作图过程： 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：直线的平行直线，使它经过点． 作法：①过点作水平直线交直线于点； ②在射线上取一点A（），以点为圆心，长为半径画弧，与射线交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线的上方交于点； ⑤作直线． 所以直线就是所求作的平行线． 根据小亮设计的尺规作图过程，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接，， ∵，， ∴，（依据： ） ∴ = ， ∴直线． 22. 已知，求代数式的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，， （1）在图中作出关于轴对称的； （2）其中的坐标为 ； （3）如果要使以、、为顶点的三角形与全等（与不重合），写出所有符合条件的点坐标． 24. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为70元；若完全用电动力行驶，则费用为20元，已知完全用油行驶每千米的费用比完全用电行驶的费用多元． （1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ （2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要完全用电行驶多少千米？ 25. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） （1）上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． （2）应用所得的公式计算：． （3）应用所得的公式计算：． 26. 在中，，，是上的动点（不与点重合），且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接． （1）依题意补全图形； （2）请用等式表示、的数量关系，并证明． 27. 我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“最佳线段”． （1）如图，点在线段（，）上，点在过且平行于轴的直线上，最佳线段的长为 ； （2）点，将射线绕点顺时针旋转交轴于点，点在线段上，点在射线 上． ①点，，最佳线段的长为 ； ②线段在轴上（点在点的左侧），且为2个单位长度，，最佳线段的长满足，写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末综合练习 八年级数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形一定是轴对称图形的是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义项判定即可． 【详解】解：A、锐角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、直角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、钝角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、等腰三角形一定是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形．解此题的关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法、除法、幂的乘方和积的乘方．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：同底数幂相乘，底数不变，指数相加：； 同底数幂相除，底数不变，指数相减：； 幂的乘方，底数不变，指数相乘：； 积的乘方等于乘方的积：． A项：，故A错误； B项：，故B正确； C项：，故C错误； D项：，故D错误， 故选：B． 3. 如图，，，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， A、添加，不能判定，故符合题意； B、添加， ∴，选项不符合题意； C、添加， ∴，选项不符合题意； D、添加， ∴，选项不符合题意． 故选：A． 4. 如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形中，已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角． 【详解】解：∵等腰三角形有一个角是， ∴当为顶角时，顶角为； 当为底角时，另一个底角也为，顶角为． ∴顶角为或， 故选D． 5. 下面各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，因式分解的方法有：提公因式法，公式法和十字相乘法等．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、不能因式分解，故此选项错误； C、，正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 6. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 选项A、B、D的变形均不符合此性质，只有选项C通过约分正确变形． 【详解】解：∵ 分式变形需分子分母同乘或同除同一非零整式； A、与 不是同乘同除关系，故错误； B、到是分子分母分别乘以a和b，非同乘同除，故错误； C、，符合性质，故正确； D、，因，与左边不相等，故错误； 故选：C． 7. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，将4和8转化为2的幂，利用指数运算性质结合已知等式求解． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 8. 如图，点、是的边上的动点（），，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的长度，有以下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会特殊位置解决问题．作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形，另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，求出此时的长度即可． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形， 过点M作于H，当，即时，满足是等腰三角形的点P恰好只有一个， 当时， ∵， ∴； ∴当时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个； 当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时，， ∴， ∴， ∴此时． 综上所述，或． ∴所有正确结论的序号是①④． 故选：C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如果分式有意义，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不为零列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：． 11. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 【答案】六 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法，先计算积的乘方，再将两个单项式相乘． 详解】解：原式 ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含度角的直角三角形，先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出，再由含度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：在中，，的垂直平分线交于， ， ， 中， ，， ． 故答案为：． 14. 如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，当有最小值时，点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求线段最值问题，坐标与图形．作点 关于轴的对称点，由轴对称的性质得，可得，当点C在直线上时等号成立，因此求出直线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：如图，作点 关于轴的对称点，连接，， 由轴对称的性质得， ，当点C在直线上时等号成立， 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当有最小值时，点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，数形结合，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键．由题意得出，表示出，即可得出答案． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故答案为：4． 16. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取， ，则有， ，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码：．已知多项式，若生成的六位数密码中含有最小的两位数，写出一组符合条件的、的值_______． 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查因式分解、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可． 【详解】解： 因式码为 、、， 取，，则因式码为 、、，按从小到大排列为 、、，连接得六位数密码 ， 其中包含最小的两位数 ， 故答案为：，．（答案不唯一） 三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值，零指数，负指数，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算绝对值，零指数，负指数，乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 运用法则将多项式的每一项分别除以单项式，再结合同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 19. 已知：如图，与中，与交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据对应角相等得出，根据等角对等边可得． 【详解】证明：在与中， ， ， ， ． 20. 已知：如图与都是等边三角形，点、、在一条直线上，连接、．求证： 在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下： （1）请问老师的提示中①是 ，②是 ． （2）请根据以上思路写出完整的证明过程． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由等式的性质可得①是，由等边三角形的性质可得②是； （2）根据所给思路先证，即可得出． 【小问1详解】 解：由题意知，老师的提示中①是，②是， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在与中， ， ， ． 21. 下面是小亮设计的尺规作图过程： 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：直线的平行直线，使它经过点． 作法：①过点作水平直线交直线于点； ②在射线上取一点A（），以点为圆心，长为半径画弧，与射线交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线的上方交于点； ⑤作直线． 所以直线就是所求作的平行线． 根据小亮设计的尺规作图过程，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接，， ∵，， ∴，（依据： ） ∴ = ， ∴直线． 【答案】（1）图见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作全等三角形，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握尺规作图的方法是解题的关键． （1）根据所给方法逐步作图即可； （2）根据作图方法可知，，根据可证，根据对应角相等得出，进而可证直线． 【小问1详解】 解：补全图形如下； 【小问2详解】 证明：连接，， ∵，， ∴，（依据：） ∴， ∴直线． 故答案为：，，． 22. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 由得：， ∴原式． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，， （1）在图中作出关于轴对称的； （2）其中坐标为 ； （3）如果要使以、、为顶点三角形与全等（与不重合），写出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3），， 【解析】 【分析】本题主要考查了作图轴对称变换，全等三角形的判定，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）分别作三个顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据（1）中的图形结合轴对称的性质得出坐标即可； （3）利用勾股定理确定三边长，从而确定的坐标即可． 【小问1详解】 解：关于轴对称的如图1即为所求； 【小问2详解】 解：点关于轴的对称点的坐标； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由勾股定理可知， 则以为一边，使另外两边长为，，分别确定点，，，可知这两个三角形全等， 则，，． 24. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为70元；若完全用电动力行驶，则费用为20元，已知完全用油行驶每千米的费用比完全用电行驶的费用多元． （1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ （2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要完全用电行驶多少千米？ 【答案】（1）完全用电行驶每千米的费用是元 （2）汽车至少需要完全用电行驶40千米． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设完全用电行驶每千米的费用是x元，则完全用油行驶每千米的费用是元，根据相同路程下用油的费用为70元，用电的费用为20元建立方程求解即可； （2）求出甲地与乙地的距离为100千米，设完全用电行驶m千米，则完全用油行驶千米，再根据总费用不超过50元建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设完全用电行驶每千米的费用是x元，则完全用油行驶每千米的费用是元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，，且符合题意， ∴是原方程的解， 答：完全用电行驶每千米的费用是元； 【小问2详解】 解：（千米）， ∴甲地到乙地的距离为100千米， 设完全用电行驶m千米，则完全用油行驶千米， 由题意得，， ∴， ∴汽车至少需要完全用电行驶40千米． 25. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） （1）上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． （2）应用所得的公式计算：． （3）应用所得的公式计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将原式变形为，再由平方差公式计算即可； （3）将原式变形为，再连续使用平方差公式计算． 【小问1详解】 解：图1中，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形， 则剩余部分面积为：； 将剩余部分拼成一个长方形，则长为，宽为， 所以面积为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 26. 在中，，，是上的动点（不与点重合），且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接． （1）依题意补全图形； （2）请用等式表示、的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定． （1）根据题意画出图形，即可求解； （2）延长至，使得，连接，先证明，得出，再证明，得出，即可得证． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示 小问2详解】 证明：如图，延长至，使得，连接 在中， ∴， ∴， ∵将射线绕点顺时针旋转得到射线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴即， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 27. 我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“最佳线段”． （1）如图，点在线段（，）上，点在过且平行于轴的直线上，最佳线段的长为 ； （2）点，将射线绕点顺时针旋转交轴于点，点在线段上，点在射线 上． ①点，，最佳线段的长为 ； ②线段在轴上（点在点的左侧），且为2个单位长度，，最佳线段的长满足，写出的取值范围． 【答案】（1）3 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，点到直线的距离，理解“最佳线段”的定义，注意分情况讨论是解题的关键． （1）画出图形，根据“最佳线段”的定义可直接得出答案． （2）①作于点C，则的长即为最佳线段的长；②当在射线的左侧时，过点B作于点C，当时，m取最小值；当在射线的右侧时，当时，m取最大值． 【小问1详解】 解：如图， 点在过且平行于轴的直线上， 最佳线段的长为3， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：①如图，作于点C，则的长即为最佳线段的长， ，， ， ，， ， 即最佳线段的长为， 故答案为：； ②如图，当在射线的左侧时，过点B作于点C， ， 当时，m取最小值， ，，， ， 又， ， 为2个单位长度， ，即； 如图，当在射线的右侧时， ， 当时，m取最大值， ， ， 综上可知，m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $