20.2　勾股定理的逆定理及其应用第1课时 课件 2025-2026学年 人教版八年级数学下册

这是一份初中数学人教版八年级下册的同步教学课件，共30页，围绕勾股定理的逆定理展开，包含学习目标、情境引入、定理证明、勾股数概念及应用例题与练习，以问题探究、实例分析为学习支架，帮助学生掌握定理内容及判定方法。 资料特色突出核心素养培养，通过古埃及结绳法情境引入，引导学生用数学眼光观察现实问题，定理证明环节通过构造直角三角形与原三角形全等的推理过程发展数学思维，勾股数辨析及综合应用题强化数学语言表达，能提升学生逻辑推理与应用能力，为教师提供完整教学流程和多样化教学资源。八年级学生处于逻辑思维发展关键期，该资料通过具体实例和探究活动帮助学生实现从具体到抽象的过渡，符合其认知特点。

第1课时　勾股定理的逆定理 　20.2　勾股定理的逆定理及其应用 第二十章 勾股定理 初中数学人教版（2024）八年级下册 1.掌握勾股定理逆定理和勾股数的概念.(重点) 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.(难点) 学习目标 如图给出了确定直角的一种方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.你知道这是什么道理吗？ 情境引入 一、勾股定理的逆定理 问题　下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17. (1)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？这三组数在数量关系上有什么相同点？ 提示　都是直角三角形.①5，12，13 满足52 +122 =132； ②7，24，25 满足72 +242 =252； ③8，15，17满足82 +152 =172. 问题　下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17. (2)情境引入中用来画直角的三边满足这个等式吗？据此你有什么猜想呢？证明你的猜想. 提示　∵32 +42 =52，∴满足. 猜想命题：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 证明：如图1，已知△ABC的三边长分别为a，b，c. 作一个Rt△A'B'C'，使∠C'=90°， A'C'=b，B'C'=a，如图2， 根据勾股定理，A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2. 问题　下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17. (2)情境引入中用来画直角的三边满足这个等式吗？据此你有什么猜想呢？证明你的猜想. 提示　∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2. ∴A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C'中， ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)， ∴∠C=∠C'=90°， 即△ABC是直角三角形. 知识梳理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c满足+=c2，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言：如图， 在△ABC中， 若+b2=c2，则△ABC是直角三角形. 注意点：(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否为直角三角形. (2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 例1 　　(课本P35例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a=8，b=15，c=17； 解　因为82+152=64+225=289，172=289， 所以82+152=172，根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形. (2)a=14，b=13，c=15. 解　因为142+132=196+169=365，152=225， 所以142+132≠152，根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形. 反思感悟 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 　　　(1)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是 A.a∶b∶c=1∶2∶3 B.a2=b2+c2 C.∠B+∠C=∠A D.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 跟踪训练1 √ 解析　A项，∵a∶b∶c=1∶2∶3， 设a=x，b=2x，c=3x，∵(x)2+(2x)2≠(3x)2， ∴不能说明△ABC是直角三角形，故此选项符合题意； B项，∵a2=b2+c2， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意； C项，∵∠B+∠C=∠A，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=90°，∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意； D项，∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°×=90°， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意. (2)下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？ ①a=4，b=5，c=6； 解　∵42+52=41，62=36， ∴42+52≠62， 根据勾股定逆定理， 这个三角形不是直角三角形. ②a=2.5，b=0.7，c=2.4； 解　∵2.42+0.72=6.25，2.52=6.25， ∴2.42+0.72=2.52. 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. (2)下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？ ③a=，b=，c=； 解　∵+==， ∴+≠，根据勾股定理的逆定理， 这个三角形不是直角三角形. ④a=1，b=，c=. 解　∵12+()2=3，()2=3， ∴12+()2=()2. 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. 二、勾股数 知识梳理 能够成为直角三角形三条边长的三个 ，称为勾股数. 如：3，4，5；7，24，25. 正整数 　　判断下列几组数中，一定是勾股数的是 A.1， B.8，15，17 C.7，14，15 D.，1 例2 √ 解析　因为和不是正整数，所以选项A不是勾股数； 因为82+152=172，且8，15，17是正整数，所以选项B是勾股数； 因为72+142≠152，所以选项C不是勾股数； 因为与不是正整数，所以选项D不是勾股数. 反思感悟 (1)勾股数必须满足三个数是正整数，例如：2.5，6，6.5满足2.52+62=6.52，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数. (2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. 　　　下面各组数中，是勾股数的是 A. B.32，42，52 C.1，2，3 D.5，12，13 跟踪训练2 √ 解析　A项，不是整数，不构成勾股数，故本选项不符合题意； B项，(32)2+(42)2≠(52)2，不构成勾股数，故本选项不符合题意； C项，12+22≠32，不构成勾股数，故本选项不符合题意； D项，52+122=132，构成勾股数，故本选项符合题意. 三、运用勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形 　　若△ABC的三边a，b，c，且a+b=4，ab=1，c=，试说明△ABC是直角三角形. 例3 解　∵a+b=4，ab=1， ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14. 又∵c2=14， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形. 　　 　若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状. 跟踪训练3 解　∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， ∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0. 即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0. ∴a=3，b=4，c=5， 即a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形. 课堂小结 1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是 A.3，4，6 B.2， C.1，，2 D.6，8，10 √ 课堂练习 解析　A项，∵32+42=25，62=36， ∴32+42≠62， ∴不能组成直角三角形，故A不符合题意； B项，∵22+()2=7，()2=5，∴22+()2≠()2， ∴不能组成直角三角形，故B不符合题意； C项，∵12+()2=3，22=4，∴12+()2≠22， ∴不能组成直角三角形，故C不符合题意； D项，∵62+82=100，102=100，∴62+82=102， ∴能组成直角三角形，故D符合题意. 课堂练习 2.下列各组数是勾股数的是 A.3，4，7 B.12，16，20 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5 √ 课堂练习 3.已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足关系式+=0，则△ABC的形状是　　　　　　　.  等腰直角三角形 课堂练习 4.一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是　　cm.  12 课堂练习 5.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=5，求四边形ABCD的面积. 解　∵AB2+BC2=82+62=100，AC2=100， ∴AB2+BC2=AC2. ∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角. ∵AD2+DC2=+=100， ∴AD2+DC2=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D是直角. ∴S四边形ABCD=×6×8+×5×5=49. 课堂练习 谢谢 $