19.1　二次根式及其性质第1课时 课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

这是初中数学人教版（2024）八年级下册第十九章19.1第1课时的同步教学课件，围绕二次根式的概念、有意义条件及双重非负性展开，通过课堂引入问题、知识梳理、例题解析、跟踪与提分训练等环节搭建学习支架。 资料特色鲜明，以面积计算、自由落体时间等实际问题引入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过概念辨析和条件探究培养推理思维，结合非负性应用例题强化数学语言表达，能帮助学生夯实基础，也为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。八年级学生处于抽象思维发展关键期，该资料通过实例和分层训练，符合其认知特点，助力理解抽象概念。

第1课时　二次根式的概念 第十九章　19.1　二次根式及其性质 初中数学人教版（2024）八年级下册 1.理解二次根式的概念.(重点) 2.掌握二次根式有意义的条件.(重点) 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.(难点) 学习目标 课堂引入 1.什么叫作平方根？ 2.什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？ 4 一、二次根式的概念及有意义的条件 问题1　用含有根号的式子填空. (1)面积为3的正方形的边长为　　，面积为S的正方形的边长为　　；  (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为______m；  (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h＝5t2，如果用含有h的式子表 示t，那么t为　　　.  问题2　上面得到的式子表示什么意义？它们有什么共同特征？ 提示　它们表示一些正数的算术平方根，形如(a≥0). 知识梳理 一般地，我们把形如的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式. 注意点：a可以是数，也可以是代数式. 两个必备特征 (a≥0) 　　下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ (1)；(2)6；(3)；(4)(m≤0)；(5)(x，y异号)；(6)；(7). 例1 解　(1)(4)(6) 均是二次根式，其中a2＋1属于“非负数＋正数”的形式一定大于零；(2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 反思感悟 判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件： (1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数. 　　 　判断下列式子，哪些是二次根式？ (1)；(2)；(3)－；(4)；(5). 跟踪训练1 解　二次根式有(1)(3)(5). 问题3　当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？ 提示　x为任意实数时，都有意义；当x≥0时，有意义. (课本P2例1改编)当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； 例2 解　由x－2≥0，得x≥2. 当x≥2时，在实数范围内有意义. (课本P2例1改编)当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (2). 例2 解　由题意得x－1>0， ∴x>1.当x>1时，在实数范围内有意义. 反思感悟 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数大于等于零，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 　　 　(1)当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 跟踪训练2 解　∵被开方数需大于等于零， ∴x＋3≥0， ∴x≥－3. ∵分母不能为零， ∴x－1≠0，∴x≠1， ∴x≥－3且x≠1. (2)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ①； 解　∵无论x为任意实数，(x－1)2≥0. ∴x在任意实数范围内都有意义. (2)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ②. 解　∵－x2＋2x－1＝－≤0， ∴当x＝1时，在实数范围内有意义. 18 二、二次根式的双重非负性 知识梳理 二次根式的实质是表示一个非负数(或代数式)的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条：(1)a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；(2)表示一个数(或代数式)的算术平方根，可知≥0. 即≥0(a≥0). 　　若(c－4)2＝0，求a－b＋c的值. 例3 解　因为≥0，≥0，(c－4)2≥0， 由题意可知a－2＝0，b－3＝0，c－4＝0， 解得a＝2，b＝3，c＝4. 所以a－b＋c＝2－3＋4＝3. 反思感悟 多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 已知实数x，y满足等式y＝－5，求x2－2xy＋y2的值. 跟踪训练3 解　由题意得 解得x＝3. 把x＝3代入，得y＝－5.所以x2－2xy＋y2＝(x－y)2＝(3＋5)2＝64. 课堂小结 1.下列式子中，不属于二次根式的是 A. B. C. D. √ 解析　无意义. 课堂练习 2.式子有意义的条件是 A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x≤2 √ 解析　原式有意义，需3x－6>0，解得x>2. 课堂练习 3.当x＝　　　 时，二次根式取最小值，其最小值为　　 　.  －1 0 课堂练习 4.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　　　.  x≥0且x≠2 课堂练习 5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； 解　∵a－1≥0，∴a≥1. 课堂练习 5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (2)； 解　∵2a＋3≥0，∴a≥－. 课堂练习 5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (3)； 解　∵－a≥0，∴a≤0. 课堂练习 5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (4). 解　∵5－a>0，∴a<5. 课堂练习 谢谢 $