精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

高二数学期末考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可. 【详解】将数列改写为：，，，，，…， 所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式. 故选：D 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将原方程转化为抛物线的标准形式，再确定参数P的值，最后代入计算出焦点坐标即可. 【详解】因为，所以， 因为，解得 ， 又因为抛物线开口向上，对称轴为y轴，所以焦点坐标为 ， 代入 ，得 ，因此焦点坐标为 . 故选：B. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】由等差数列的性质可知， 则，故. 故选：D 4. 如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据线线夹角的向量公式求解即可． 【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，所以，． 设异面直线AG与EF所成的角为， 则． 故选：C． 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】从中解出，由分别求出，，，得到是以3为周期的周期数列，则从而得解. 【详解】因为，所以. 因为，所以，，， 所以是以3为周期的周期数列，则. 故选：A. 6. 直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设中点为，根据得到，利用圆内直角三角形得到；又由直线与圆相交得到，从而得到关于的不等式，求解即可. 【详解】设中点为，则，因为，所以， 即，又，所以， 直线与圆交于两点，所以 所以，有，因为，所以 故选：B. 7. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可. 【详解】取的中点的中点，连接. 因为，所以，且. 以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以点到平面的距离为. 故选：A. 8. 已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出双曲线的半焦距，再求出渐近线，即可推导出是等腰直角三角形，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】因为等轴双曲线的实轴长为， 则双曲线的半焦距， 所以双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以， 由，即为的中点，又为的中点， 所以，则，， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 若，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得离心率，知A错误；当为椭圆短轴端点，面积最大，知B正确；结合椭圆定义可将化为关于的二次函数，根据的范围可求得C正确；利用椭圆定义可知，由此可求得D错误. 【详解】对于A，由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆离心率，A错误； 对于B，设，则， 当为椭圆短轴端点时，面积取得最大值，B正确； 对于C，由椭圆定义知：， ； ，， 当时，；当或时，； 的取值范围为，C正确； 对于D，由椭圆定义知：， （当且仅当三点共线时取等号，即位于图中处时取等号）， 又，，即的最大值为，D错误. 故选：BC. 10. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，直接利用向量法即可判断C选项；证明平面，即可判断D选项. 【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，即， 则，解得，即共面， 又为公共始点，因此,,,四点共面，A正确； ，则，， 因此与所成角的余弦值为，与所成角的大小为，B正确； 对于C，假设在线段上存在，可设 ，， 则， 由，得，由，得， 即与垂直和与垂直不能同时成立，因此与平面不垂直，C错误； ，则，，又，则， 又平面，平面，因此平面， 点到平面的距离即为点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：ABD 11. 已知双曲线C：的实轴长为4，左、右焦点分别为，，左顶点为A，平行于x轴的直线l与C左、右两支分别交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之积为－4，P为C的右支上一点，若，则（ ） A. C的渐近线方程为 B. C的离心率为 C. M到两渐近线的距离之积为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，由条件可解出，进而可判断AB；利用点到直线的距离公式计算可判断C；由双曲线的定义及，可计算出，再通过向量的运算可判断D. 【详解】设，则，有，即， 则，又， 则，，，所以C的方程为， 故渐近线方程为，A错误； ，B正确； 因为，则，即， 所以点M到C的两条渐近线的距离之积为，C正确； 由双曲线定义得．由， 得， 解得，则， 所以，D正确． 故选：BCD 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 直线与直线平行，则_________. 【答案】－2 【解析】 【分析】利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果. 【详解】由，得到， 因为，所以，由，得到 所以，即，解得， 故答案为：. 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 14. 已知圆：，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据切线长，将所求问题转化为求的最小值，进而利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则， 所以在中，， 要使最小，只需最小，因为点在直线上，圆心， 则的最小值即为点到直线的距离， 即，， 故答案为：2 四､解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤．） 15. 已知直线l经过直线和的交点，且与直线垂直． （1）求直线l的方程； （2）若圆C的半径，且圆心C在y轴的负半轴上，直线l被圆C所截得的弦长为，求圆C的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两直线联立方程求出交点，再根据垂直的条件求出直线的斜率，代入点斜式可得直线方程； （2）设出圆的圆心和半径，利用圆的弦长公式可联立方程解方程可得. 【小问1详解】 由已知，得解得两直线交点为， 设直线l的斜率为k，因为直线l与垂直，所以，解得， 所以直线l的方程为，即． 【小问2详解】 设圆C的标准方程为， 由于直线l被圆C所截得的弦长为，设弦长为，圆的半径为，圆心到直线的距离为， 则，，， 则由题意，得， 解得或（舍去）， 所以圆C的标准方程为． 16. 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，点是的中点，点F是平面与线的交点 （1）证明 （2）求直线与平面所成的角的正弦值 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，利用线面平行的性质，推出，即得； （2）由题意建系，写出相关点和相关向量的坐标，求出平面的法向量，由空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因，平面,平面,则平面， 又因平面,平面平面,故, 故； 【小问2详解】 因平面,,,可得， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则, , 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成的角为， 则 故直线与平面所成的角的正弦值为. 17. 已知各项均不为零的两个数列 满足 . （1）设 .求证：数列是等差数列 （2）已知 ，数列 是首项为2的等差数列，设 数列的前n项和为，求证 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据，可得，即，从而可证得数列是等差数列； （2）由（1）可求得数列和的通项，从而可得数列的通项，再利用裂项相消求和法即可得解. 【详解】（1）证明：∵，∴， 即，即，所以数列是等差数列. （2）解：由（1）可知，数列是首项为，公差为2的等差数列， 故， 即，，故，所以数列的公差， ∴. 所以，， ∴ ， 又，所以，即. 18. 已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆的概念，以及中点的坐标公式，求出动点的轨迹方程即可. （2）根据两点之间的距离公式，以及圆与圆的位置关系，根据圆的弦长公式，求出参数范围即可. （3）根据直线与圆的位置关系，以及韦达定理，根据斜率之积为定值，求出参数之间的关系，进而求出直线经过的定点即可. 【小问1详解】 如图所示，设， 因为是中点，所以，即， 因为B在圆上运动，所以， 即，整理得圆C方程为. 【小问2详解】 设，因为，所以， 化简得，所以 当时，点P的坐标为，不在圆C上，不符合题意. 当时，点P在以为圆心，为半径的圆上， 依题意圆D与圆C有公共点，又， 所以，解得. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 设直线l的方程为，，， 由得， 所以， 且 由，得， 所以， 所以，所以直线l的方程为，当时，恒有， 即直线l过定点. 19. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长； （3）求的面积最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值； （3）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式、韦达定理以及对勾函数的单调性可求得的面积最大值. 【小问1详解】 由题可知，，故，因此， 又因为点在椭圆上，故， 联立，解得，故椭圆. 【小问2详解】 由题可知，，故直线，设点， 联立直线与椭圆，得， 根据韦达定理，，， 由弦长公式知. 【小问3详解】 易知直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立，得， ， 由韦达定理可得， 所以， 所以三角形的面积为 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 若，则的最大值为 10. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 11. 已知双曲线C：的实轴长为4，左、右焦点分别为，，左顶点为A，平行于x轴的直线l与C左、右两支分别交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之积为－4，P为C的右支上一点，若，则（ ） A. C的渐近线方程为 B. C的离心率为 C. M到两渐近线的距离之积为 D. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 直线与直线平行，则_________. 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 14. 已知圆：，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______. 四､解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤．） 15. 已知直线l经过直线和的交点，且与直线垂直． （1）求直线l的方程； （2）若圆C的半径，且圆心C在y轴的负半轴上，直线l被圆C所截得的弦长为，求圆C的标准方程． 16. 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，点是的中点，点F是平面与线的交点 （1）证明 （2）求直线与平面所成的角的正弦值 17. 已知各项均不为零的两个数列 满足 . （1）设 .求证：数列是等差数列 （2）已知 ，数列 是首项为2的等差数列，设 数列的前n项和为，求证 18. 已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 19. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长； （3）求的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $