精品解析：山东省青岛市城阳第十三中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年九年级数学检测试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线y=x2向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式为（　　） A. y=（x﹣1）2+2 B. y=（x+1）2﹣2 C. y=（x﹣2）2﹣1 D. y=（x﹣1）2﹣2 4. 计算：cos30°+sin60°tan45°=（　　） A. 1 B. C. D. 5. 下列方程没有实数根的是（　　） A. x2﹣x﹣1＝0 B. x2﹣x+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2﹣x＝0 6. 如图，菱形对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 9 7. 如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 观察图1中的三种视图，在图2中与之对应的几何体是__（填序号） 10. 一个口袋有个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中，…，不断重复上述过程，小明共摸了次，其中次摸到黑球．根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是________． 11. 如图，在中，，与相交于点，则_______． 12. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是_____cm． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图象于B，C两点，若的面积是3，则的值为_______． 14. 已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为，．对于下列结论：①；②当时，；③当时，；④对任意实数m，不等式恒成立；⑤．其中正确的结论有________个． 三、作图题（本题满分4分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 现有一个四边形木块，且为直角，现要利用这块木块截一个正方形，使其对角线长等于已知线段．请在图中作出这个正方形． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）解方程：（配方法）； （2）解方程：； （3）若二次函数与x轴有两个交点，求出a的取值范围？ 17. 小明和小亮用如图所示两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 18. 某种商品标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 19. 在某次反潜演习中，我军舰A测得离开海平面的下潜潜艇C的俯角为，位于军舰A正上方1100米的反潜飞机B测得此时潜艇C的俯角为．求潜艇C离开海平面的下潜深度．（参考数据：） 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于第二象限内的A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，OA＝5，OC＝4，点B的纵坐标为6． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）写出kx+b﹣＜0的解集． 21. 如图，已知和都为等腰三角形，，， （1）当时． ①如图1，当点D在上时，与的数量关系是_______． ②如图2，当点D不在上时，与的数量关系是_______． （2）如图3，当时． ①探究线段与的数量关系_______． ②当，，时，请直接写出的长为_______． 22. 如图，在菱形中，为中点，的延长线与的延长线交于点，为延长线上一点，且． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并证明你的结论． 23. 北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．当运动员运动到离A处的水平距离为米时，离水平线的高度为米． （1）求抛物线所对应的函数表达式． （2）求出运动员离水平线轴的最大距离． （3）当运动员滑出点A后，求出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米． 24. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，动点P从点A出发，沿方向匀速向点B运动，速度为，同时，点M从C出发，沿方向匀速向点A运动，速度为，，交于点N，当点P，M中有一点停止运动时，另一点也停止运动，连接，回答下列问题： （1）如图1，当t何值时，使得？ （2）如图2，连接，，设的面积为y，求y与t之间的函数关系式（）． （3）如图3，过点B作，设的中点为G，是否存在t使得的中点G在线段上，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学检测试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用比例的基本性质，将各项进行变形，并注意分式的性质y≠0，这个条件. 【详解】A. 由，则x与y的比例是2:3，只是其中一特殊值，故此项错误； B. 由，可化为，且y≠0，故此项错误； C. ，化简为，由B项知故此项错误； D. ，可化，故此项正确； 故答案选D 【点睛】此题主要考查了比例的基本性质，正确运用已知变形是解题关键． 2. 在中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，正确记忆三角函数的定义是解题关键． 先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义分别求解可得． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 将抛物线y=x2向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式为（　　） A. y=（x﹣1）2+2 B. y=（x+1）2﹣2 C. y=（x﹣2）2﹣1 D. y=（x﹣1）2﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，根据顶点式写出平移后抛物线的解析式即可得出答案． 【详解】∵抛物线y=x2向下平移2个单位，再向右平移1个单位， ∴所得到的抛物线的解析式是y=（x﹣1）2﹣2． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移.将抛物线先化为顶点式再按平移规律写出平移后的解析式是解题的关键． 4. 计算：cos30°+sin60°tan45°=（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，通过实数运算，即可得出答案． 【详解】cos30°+sin60°tan45°=. 故选C. 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 5. 下列方程没有实数根的是（　　） A. x2﹣x﹣1＝0 B. x2﹣x+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2﹣x＝0 【答案】B 【解析】 【分析】逐项计算方程根判别式，进行判断即可． 【详解】解：在中，，故该方程有两个不相等的实数根，故A不正确； 在中，，故该方程没有实数根，故B正确； 在中，，故该方程有两个不相等的实数根，故C不正确； 在中，，故该方程有两个不相等的实数根，故D不正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 6. 如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 7. 如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据在平面直角坐标系中位似变换的性质解答即可． 【详解】解：线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， 则点B与点D是对应点， 则点D的坐标为，即． 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据a，b的取值分类讨论即可． 【详解】解：若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意； 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意； 若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意； 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 观察图1中的三种视图，在图2中与之对应的几何体是__（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】首先根据主视图中有两条虚线，发现该几何体的应该有两条从正面看不到的棱，然后结合俯视图、左视图即可确定几何体． 【详解】由主视图和俯视图可知几何体的背面应该有个凸起， 结合左视图可知，对应的几何体是③， 故答案为③. 【点睛】本题考查了利用三视图来判断几何体，解题的关键是利用三视图来确定几何体的形状. 10. 一个口袋有个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中，…，不断重复上述过程，小明共摸了次，其中次摸到黑球．根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是________． 【答案】 【解析】 【分析】小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数． 【详解】∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球， ∴摸到黑球与摸到白球次数之比为1：4， ∵这个口袋中有3个黑球， ∴共有白球3×4＝12个， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 11. 如图，在中，，与相交于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能求出两三角形相似及其相似比是解此题的关键．根据平行四边形的性质得出，，得到 ， 推出，进而得到，，设，，，从而表示出，，即可得解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 设，，， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是_____cm． 【答案】210 【解析】 【详解】过点B作BD⊥AC于D， 根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm）， ∵斜坡BC的坡度i=1：5， ∴BD：CD=1：5， ∴CD=5BD=5×54=270（cm）， ∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）． 故答案：210 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图象于B，C两点，若的面积是3，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图所示，连接、， ， ， ， 又的面积是3， ， ， 又， ， 故答案为：． 14. 已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为，．对于下列结论：①；②当时，；③当时，；④对任意实数m，不等式恒成立；⑤．其中正确的结论有________个． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质等知识点，从函数图像获取信息是解题的关键． 首先根据对称轴公式结合a的取值可判定出，根据a、b、c的正负即可判断出①的正误；由图像可知：当时，，即可判断出②的正误；根据二次函数的性质即可判断出③的正误；先求出该抛物线的最值，然后与抛物线上横坐标为m的点的纵坐标比较即可解答，即可判断④；根据抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为结合对称轴即可判断⑤． 详解】解：根据函数图像可知：抛物线开口向上，则，抛物线与y轴交于负半轴，则， ∵抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， ∴对称轴：， ∴， ∴，即①正确； 由函数图像可知：当时，，即②错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，即③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴该函数的最小值为：， ∵对任意实数m， ∴， ∴，即不等式恒成立；即④正确； 由可得， 由二次函数与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴，即，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 三、作图题（本题满分4分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 现有一个四边形木块，且为直角，现要利用这块木块截一个正方形，使其对角线长等于已知线段．请在图中作出这个正方形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，掌握基本作图的方法，证明该图形是正方形，掌握角平分线，线段垂直平分线，等腰直角三角形，正方形判定是解题关键．①作的角平分线； ②在上截取； ③作线段的垂直平分线，分别与木块交于B，D两点，然后证明正方形即为所求． 【详解】解： ①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交两边于两点，以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点，过点A与此点作射线，可得的平分线，②在上截取， ③以点A、C为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线交的两边于B，D，交于O，为线段的垂直平分线， 连接，则正方形ABCD即为所求． 证明：∵∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）解方程：（配方法）； （2）解方程：； （3）若二次函数与x轴有两个交点，求出a的取值范围？ 【答案】(1) ， (2) ，； (3) 且 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求出二次函数参数取值范围，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法和数形结合的数学思想． （1）利用配方法进行解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）结合二次函数和一元二次方程的关系，利用根的判别式列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：（1） ，； （2） ∴或， ∴，； （3）根据题意得， 且， 解得且． 17. 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 【答案】这个游戏对双方不公平．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了游戏的公平性、用树状图求概率等知识点，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平． 【详解】解：这个游戏对双方不公平．理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4， 所以小明胜的概率，小亮胜的概率， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 18. 某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解并取符合题意的x的值即可； （2）根据每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量列出函数关系式即可． 【小问1详解】 解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 19. 在某次反潜演习中，我军舰A测得离开海平面的下潜潜艇C的俯角为，位于军舰A正上方1100米的反潜飞机B测得此时潜艇C的俯角为．求潜艇C离开海平面的下潜深度．（参考数据：） 【答案】500 【解析】 【分析】本题考查俯角的定义、解直角三角形的应用等知识点，借助俯角构造直角三角形并解直角三角形成为解题的关键． 如图：作于点D．设米，在直角中利用三角函数用x表示出，然后在直角中利用三角函数列方程求解即可． 【详解】解：如图：作交延长线交于点D． 设米， ∵在直角中，， ∴． ∴, ∵直角中，， ∴，解得：． 答：潜艇下潜深度是500米． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于第二象限内的A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，OA＝5，OC＝4，点B的纵坐标为6． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）写出kx+b﹣＜0的解集． 【答案】（1）y＝﹣，y＝x+9；（2）9；（3）x＜﹣4或﹣2＜x＜0． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出AC长度，从而得知A点坐标，用待定系数法可求反比例函数解析式．把B点纵坐标代入反比例函数即可知道B点横坐标．同样用待定系数法把A、B的坐标代入一次函数解析式可得方程组，求出方程组的解即可求出一次函数解析式； （2）求出一次函数与x轴交点R的坐标．，根据三角形的面积公式求出和即可； （3）要使kx+b﹣＜0，即函数的图像在的下方，在根据A、B的坐标即可求出答案． 【详解】（1）在Rt△AOC中，， 故点A的坐标为(-4，3)， 将A(-4，3)代入，解得m＝﹣12， ∴反比例函数的解析式为y＝﹣； ∵当y＝6时，代入y＝﹣，解得x＝﹣2， ∴B(-2，6)， 将A(-4，3)，B(-2，6)代入y＝kx+b得 ，解得， ∴一次函数的解析式为y＝x+9； （2）设一次函数交x轴于点R， 把y＝0代入y＝x+9，解得：x＝﹣6， 即R的坐标是(-6，0)，OR＝6， S△AOB＝S△BOR﹣S△AOR＝； （3）由图象知kx+b﹣＜0的解集为：x＜﹣4或﹣2＜x＜0． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点的问题，反复用待定系数法先后求出反比例函数和一次函数的解析式，用大三角形面积减去小三角形面积也是本题的关键，最后根据函数图像和两个函数的交点，判断kx+b﹣＜0时，即函数的图像在的下方，x的取值范围． 21. 如图，已知和都为等腰三角形，，， （1）当时． ①如图1，当点D在上时，与的数量关系是_______． ②如图2，当点D不在上时，与的数量关系是_______． （2）如图3，当时． ①探究线段与的数量关系_______． ②当，，时，请直接写出的长为_______． 【答案】（1）①；② （2）①；②或． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握三角形的相关判定及性质以及运用分类讨论思想是解题的关键． （1）①根据题意当时，即和都为等边三角形，根据等腰三角形的性质以及线段间的等量关系即可解答；②利用证明，由三角形全等的性质即可解答． （2）①根据已知，利用两边对应成比例且夹角相等可证，再利用三角形相似的性质求解即可；②分点D在的外部和外部，分别运用相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵和都为等腰三角形，，，，， ∴和都为等边三角形， ，，， ，， ． 故答案为：． ②，理由如下， ，， ， 在和中， ， ∴， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①，理由如下∶ 当时，， ∴和为等腰直角三角形， ， ， ∴ ∵，， ， ∴， ， ． 故答案为：． ②当点D在的外部时，如图所示， ∴，， ∴， 又∵， ， ， ， 设，则， ∴，解得：， ∴； 当点D在内部时， 又∵， ， ∴， ∵， ∴ 如图：过点D作于H， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 22. 如图，在菱形中，为的中点，的延长线与的延长线交于点，为延长线上一点，且． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形是矩形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质得到，则，再由线段中点的定义可得，由此即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据菱形的性质结合已知条件证明，再根据矩形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分且相等， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定，熟知菱形的四条边相等，对边平行，对角线互相平分且相等的四边形是矩形是解题的关键． 23. 北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．当运动员运动到离A处的水平距离为米时，离水平线的高度为米． （1）求抛物线所对应的函数表达式． （2）求出运动员离水平线轴的最大距离． （3）当运动员滑出点A后，求出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米． 【答案】（1） （2）米 （3）米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解题的关键． （1）把、代入可得抛物线所对应的函数表达式； （2）由抛物线的解析式得出最大值即可； （3）根据纵坐标的差为米，列出方程可得答案． 【小问1详解】 把、代入中， 得,解得， 抛物线所对应的函数表达式； 【小问2详解】 抛物线所对应的函数表达式， 当时，取最大值为， 运动员离水平线轴的最大距离为米； 【小问3详解】 设运动员运动的水平距离是x米， 此时小山坡的高度是， 运动员离水平线轴的高度是， ， 解得或0（舍去）， 答：当运动员滑出点A后，运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为10米． 24. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，动点P从点A出发，沿方向匀速向点B运动，速度为，同时，点M从C出发，沿方向匀速向点A运动，速度为，，交于点N，当点P，M中有一点停止运动时，另一点也停止运动，连接，回答下列问题： （1）如图1，当t为何值时，使得？ （2）如图2，连接，，设的面积为y，求y与t之间的函数关系式（）． （3）如图3，过点B作，设的中点为G，是否存在t使得的中点G在线段上，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，锐角三角函数，待定系数法，正确运用三角函数的定义，建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）先求出，用t表示出，然后根据平行线分线段成比例定理回答即可； （2）分两种情况：或进行计算； （3）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，求出的解析式，将的中点G的坐标代入，列方程求解即． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， 运动t秒时，，，，， 由，则， 得， ， 解得； 【小问2详解】 解：过点M作，交于点E，交于点F，则， 在矩形中，，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，四边形是矩形， 在中，，， 在中，，， ， ，，， 当点P与点F重合时，，则， 解得，， 当时， ， ， ， ， ； 即当时，； 当时，如图，在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， 当时，； 综上， 【小问3详解】 解：存在，．理由如下： 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， ，，的坐标为， 设的解析式为， ，解得，， 的解析式为， ，， ， 在中，，， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 的解析式为， ， 中点的坐标为：，即的坐标为， 当点在上时， ，解得 存在t使得的中点G在线段上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $