精品解析：河南省洛阳市部分学校2025-2026学年九年级上学期数学期末模拟试卷

九年级上学期数学期末模拟试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 2 C. ﹣1或3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义可得a-3≠0，|a-1|=2，再解即可． 【详解】由题意得：a-3≠0，|a-1|=2， 解得：a=-1， 故选A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2. 如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图即从物体的左面观察得得到的视图，进而得出答案． 【详解】如图所示，该几何体的左视图是： 故选：C． 【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键． 3. “福”字象征着中华民族的历史文化与精神．图1是小明家大门上的福字，图2是抽离出来的正方形，顶点在门框直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的计算，熟练运用平角是本题的关键．由正方形可得，，根据平角，由，可以求出的度数． 【详解】解：∵正方形中，， 又∵， ∴， 故选：B． 4. 某园区内原有一块宽为20米，长为30米的长方形空地，后计划在此区域栽种面积为486平方米的鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光．如果设这个宽度为x米，那么所列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由小路的宽度，可得出栽种区域长为米，宽为米，结合在此区域栽种面积为486平方米的鲜花，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 5. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形三边对应成比例进行求解即可得. 【详解】设另一个三角形的最长边为xcm，由题意得 5：2.5=9：x， 解得：x=4.5， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 6. 已知抛物线（）经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向下，且对称轴为，顶点坐标为，再逐一分析即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向下，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，即， ∴， ∴不等式无解，故A不符合题意；B不符合题意； 当时，则， 当时，， 解得：或， 当时， ∴或， ∴C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．延长交于点H，证明，继而证明，根据三线合一可知，进一步可得，继而 可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵P是线段的中点， ∴， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 8. 如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 9. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球被踢出时，距离地面的高度是；③足球飞行路线的对称轴是直线；④足球被踢出时落地，其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．由题意得，抛物线经过，所以可设抛物线解析式为，代入可得抛物线解析式为，再根据抛物线解析式逐一分析判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得，抛物线经过， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得：， 设抛物线解析式为， 当时，有最大值， 即足球距离地面的最大高度为，故①错误； 当时，， 即足球被踢出时，距离地面的高度是，故②正确； 抛物线的对称轴为，即足球飞行路线的对称轴是直线，故③正确； 当时，， 即足球被踢出时落地，故④错误； 综上所述，只有②③正确，即正确的有2个． 故选：B． 10. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. 当x的值增大时，y的值随之减小 B. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y为500度 C. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约300度 D. 某人近视度数400度，镜片焦距应该调试为 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可以判断A；利用已知解析式代入相关数据可以判断B，C，D． 【详解】∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式为， ∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意； 将代入，y值为500，故B正确，不符合题意； 将．代入，y值约为333，故C正确，不符合题意； 将代入，x值为0.25，故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. （2015淄博）对于两个二次函数，，满足．当x=m时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数的解析式______________________________________（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）． 【答案】或（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标是，据此进行计算是正确解答此题的关键．注意本题答案不唯一． 已知当时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3，故抛物线的顶点坐标为，设出顶点式求解即可． 【详解】解：设，， 由题意得， 解得， ，或，， 当时， ，， 当时， ，， 故答案为：或（答案不唯一）． 12. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是_____米． 【答案】8 【解析】 【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴， 由反射知， ∴△ABP∽△CDP， 由相似三角形对应边的比相等可得，即， 解得CD=8m， 故答案为：8． 13. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 用频率和概率之间的关系解答即可． 【详解】解：∵点落在图案部分的频率稳定在0.6左右, ∴此不规则图案的面积大约为 故答案为： ． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，根据题意得出，进而得出的正切值，再结合的长即可求出的长，进一步得出的长度，进而得出的长，最后在中，求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ∴，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为的长． 最小值为． ， ． 在中，，， ． 最小值为． 故答案为：． 三、解答题 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的混合运算法则即可求解． 【详解】原式 【点睛】本题考查实数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值、求绝对值法则，负指数幂的运算法则是解题关键． 17. “青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录． （1）省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是________（填“全面调查”或“抽样调查”）； （2）为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请用画树状图或列表的方法求出甲、乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果． 【答案】（1）抽样调查 （2） 【解析】 【分析】（1）选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判定即可． （2）利用列表法求解即可． 【小问1详解】 解：省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 由表格可知，共有16种等可能结果， 其中甲、乙两名同学获得同一种绣品的结果共有4种， 即AA，BB，CC，DD ∴． 【点睛】本题考查抽样设调查与全面调查的判定，列表法求概率，熟练掌握调查方式的选择与用列表法可画树状图法求概率是解题的关键． 18. 如图，是的直径，是的弦． （1）请用无刻度的直尺和圆规，作直径下方的中点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接交于点E，，，求的长． 【答案】（1） 解：如图①，点D即为所求作（作法不唯一）； （2） 【解析】 【分析】（1）用尺规作出的垂直平分线即可； （2）先根据垂直平分线的性质得出，即，再根据圆周角定理得出 ，从而可求得， ，接着利用勾股定理求得，再证明，从而可得，列出比例式求出，从而可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，连接，过点E作于点F， ∵直线为的垂直平分线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 19. 如图正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点． （1）求反比例函数的表达式和B点坐标； （2）直接写出时，x的取值范围； （3）若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标． 【答案】（1），； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式和方程的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）由 的的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再联立两函数解析式求出点B的坐标即可． （2）根据反比例函数和正比例函数图象的中心对称性求得B点的坐标；再由图象即可求解； （3）根据“和谐点”的定义分两种情况，当在点的下方时，是线段的中点，当在点的上方时，是线段的中点，利用中点坐标公式列方程解题即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为， 联立，解得或， ∴． 【小问2详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， ∴观察图象，时，的取值范围是：或 ． 【小问3详解】 解：设，则， 如图1， 当在点的下方时，则， 解得， ， ， 如图2， 当在点的上方时，，则， 解得 ， ， ， ∴点的坐标为或． 20. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米． （1）求教学楼与旗杆的水平距离AD；（结果保留根号） （2）求旗杆CD的高度． 【答案】（1）4m （2）12m 【解析】 【分析】（1）根据题意得出∠ADB=30°，进而利用锐角三角函数关系得出AD的长； （2）利用（1）中所求，结合CD=AD•tan60°求出答案． 【小问1详解】 解：∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°， ∴∠ADB=30°， 在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m， ∴AD==4（m）， 答：教学楼与旗杆的水平距离是4m； 【小问2详解】 解：∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=4m， ∴CD=AD•tan60°=4×=12（m）， 答：旗杆CD的高度是12m． 21. 某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第天的售价与销量的相关信息如下表： 第天 售价（元件） 日销售量（件） 已知该商品的进价为元/件．设销售该商品的日销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大，最大日销售利润为多少元？ （3）问在当月有多少天的日销售利润不低于元．请直接写出结果． 【答案】（1）y=；（2）第五天日销售利润最大，最大日销售利润为元；（3）14天 【解析】 【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可得解； （2）化二次函数一般式为顶点式，即可判断求解； （3）根据题意列不等式求解即可； 【详解】解：（1）， ； （2）当时， ， ∵＜0，∴二次函数开口向下， 由题可知：函数对称轴为， ∴当时，最大值为6250； 答：第五天日销售利润最大，最大日销售利润为元． （3）∵， 当时，， 解得：， ∵， ∴共有天． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确分析计算是解题的关键． 22. 如果抛物线与x轴的其中一个交点到坐标原点的距离等于抛物线与y轴的交点到原点的距离，那么我们称这条抛物线为“等距抛物线”，特别地，如果抛物线与x轴没有交点，则该抛物线不是“等距抛物线”．已知二次函数的图象是“等距抛物线”． （1）求抛物线的函数表达式及其与x轴的交点坐标； （2）设一次函数的图象与等距抛物线的交点的横坐标分别为，且，写出一个符合条件的一次函数表达式，并说明理由； （3）将等距抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折，与剩余图象构成曲线C，已知曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有10个“整点”（横、纵坐标都是整数的点称为“整点”），请直接写出m的取值范围． 【答案】（1），交点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数的整点问题． （1）当时，，根据“等距抛物线”得当时，或，进而得到与x轴的交点坐标，再利用待定系数法求即可求出二次函数解析式； （2）由，得一次函数的图象过定点．将代入，得，要使，则需点在一次函数的图象的下方，即 ，解得且，则时符合条件； （3）将等距抛物线的x轴下方的图象沿x轴翻折，得到的曲线C，如答案图所示，当时，曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有6个整点；当时，曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有10个整点，进而可得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象是“等距抛物线”，且当时，， ∴当时，或， ∴或， 解得（舍去）或， ∴抛物线的函数表达式为，与x轴的交点坐标为； 【小问2详解】 一次函数的表达式可以为（答案不唯一）．理由如下： 由（1）可知． ∵， ∴一次函数的图象过定点． ∵抛物线过点， ∴． ∵， ∴将代入，得， 要使，则需点在一次函数的图象的下方， 即 ， 解得且， 则时符合条件， ∴一次函数的表达式为符合条件； 【小问3详解】 由（1）知，等距抛物线的表达式为， 将等距抛物线的x轴下方的图象沿x轴翻折，得到的曲线C如图所示， 当时，曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有6个整点； 当时，曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有10个整点， ∴m的取值范围为． 23. 问题提出 （1）如图1，在中，，，为的角平分线，则图中相等的线段是______，的值是______． 问题解决 （2）如图2，现有一块四边形板材，，，，，工人师傅想用这块板材裁出一个三角形部件，使得点P在四边形的边上，且的一个内角等于另一个内角的2倍，他在这块板材上的作法如下： 第一步：作边的垂直平分线交于点R； 第二步：作的平分线交于点O； 第三步：连接并延长交于点P，得． 若按上述作法，裁得的三角形部件是否符合要求？若符合，请求出的面积．若不符合，请给出一种符合要求的作法． 【答案】（1），；（2）符合， 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理可求，，，由为的角平分线，可得，则，； （2）由垂直平分，可得，，则，由平分，可得，则，裁得的三角形部件符合要求；证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，，如图，作于，证明，则，，设，则，由勾股定理得，，即，可求，由勾股定理得，，证明，则，即，可求，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴裁得的三角形部件符合要求； ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 如图，作于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴符合，的面积为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，含的直角三角形，等角对等边，勾股定理，垂直平分线的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学期末模拟试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 2 C. ﹣1或3 D. 3 2. 如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. “福”字象征着中华民族的历史文化与精神．图1是小明家大门上的福字，图2是抽离出来的正方形，顶点在门框直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 某园区内原有一块宽为20米，长为30米的长方形空地，后计划在此区域栽种面积为486平方米的鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光．如果设这个宽度为x米，那么所列出的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 6. 已知抛物线（）经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 7. 如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　） A. B. C. D. 8. 如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球被踢出时，距离地面的高度是；③足球飞行路线的对称轴是直线；④足球被踢出时落地，其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. 当x的值增大时，y的值随之减小 B. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y为500度 C. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约300度 D. 某人近视度数400度，镜片焦距应该调试为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. （2015淄博）对于两个二次函数，，满足．当x=m时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数的解析式______________________________________（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）． 12. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是_____米． 13. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为________． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为_____． 15. 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______． 三、解答题 16. 计算：． 17. “青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录． （1）省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是________（填“全面调查”或“抽样调查”）； （2）为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请用画树状图或列表的方法求出甲、乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果． 18. 如图，是的直径，是的弦． （1）请用无刻度的直尺和圆规，作直径下方的中点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接交于点E，，，求的长． 19. 如图正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点． （1）求反比例函数的表达式和B点坐标； （2）直接写出时，x的取值范围； （3）若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标． 20. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米． （1）求教学楼与旗杆的水平距离AD；（结果保留根号） （2）求旗杆CD的高度． 21. 某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第天的售价与销量的相关信息如下表： 第天 售价（元件） 日销售量（件） 已知该商品的进价为元/件．设销售该商品的日销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大，最大日销售利润为多少元？ （3）问在当月有多少天的日销售利润不低于元．请直接写出结果． 22. 如果抛物线与x轴的其中一个交点到坐标原点的距离等于抛物线与y轴的交点到原点的距离，那么我们称这条抛物线为“等距抛物线”，特别地，如果抛物线与x轴没有交点，则该抛物线不是“等距抛物线”．已知二次函数的图象是“等距抛物线”． （1）求抛物线的函数表达式及其与x轴的交点坐标； （2）设一次函数的图象与等距抛物线的交点的横坐标分别为，且，写出一个符合条件的一次函数表达式，并说明理由； （3）将等距抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折，与剩余图象构成曲线C，已知曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有10个“整点”（横、纵坐标都是整数的点称为“整点”），请直接写出m的取值范围． 23. 问题提出 （1）如图1，在中，，，为的角平分线，则图中相等的线段是______，的值是______． 问题解决 （2）如图2，现有一块四边形板材，，，，，工人师傅想用这块板材裁出一个三角形部件，使得点P在四边形的边上，且的一个内角等于另一个内角的2倍，他在这块板材上的作法如下： 第一步：作边的垂直平分线交于点R； 第二步：作的平分线交于点O； 第三步：连接并延长交于点P，得． 若按上述作法，裁得的三角形部件是否符合要求？若符合，请求出的面积．若不符合，请给出一种符合要求的作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $