专题06因式分解寒假预习核心讲义(知识梳理+常考题型精析+强化题型突破)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题06因式分解寒假预习核心讲义 【12大经典题型共计51题】 一、重点内容 1.因式分解的概念辨析 核心：明确因式分解是多项式→整式积的变形，与整式乘法互逆。 关键：能准确判断一个变形是否为因式分解（看结果是否为整式乘积、对象是否为多项式）。 2.提公因式法的熟练运用 核心步骤：找公因式（系数最大公约数 + 相同字母最低次幂 + 相同多项式因式）→ 提取公因式（首项为负先提 “−”，括号内各项变号）。 关键要求：公因式必须提尽，提取后另一个因式的项数与原多项式一致。 3.公式法的精准套用 平方差公式：牢记适用条件（二项式、两项平方、符号相反），能灵活处理系数、指数、多项式整体的变形。 完全平方公式：抓住核心特征（三项式、两平方项同号、第三项为底数乘积的 2 倍），会识别和变形如 (x+y)2+6(x+y)+9 这类整体形式。 4.分组分解法的合理分组 核心思路：四项及以上多项式，通过二二分组或一三分组，使每组能分解且组间可提公因式 / 套公式。 关键技巧：分组后无法继续分解时，及时调整分组方式；括号前是负号时，括号内各项要变号。 5.因式分解的完整步骤 严格遵循一提二套三查：先提公因式→再根据项数选方法→最后检查是否分解彻底。 二、难点内容 1.公因式的全面寻找 难点：含多项式因式（如 (x−y)）或系数为分数时，公因式容易找不全；易忽略 “提尽” 要求。 突破方法：按 “系数→字母→多项式因式” 三步找，提公因式后检查另一个因式是否还有公因式。 2.公式法的灵活变形应用 难点：识别整体代换型多项式（如把 2x−y 看成一个整体用公式）；区分平方差和完全平方公式的适用场景。 突破方法：熟记公式结构，遇到复杂多项式先整理成标准公式形式，再确定 “a” 和 “b”。 3.分组分解法的分组策略 难点：四项式分组方向不明确，不知道该 “二二分组” 还是 “一三分组”；分组后组间无法继续分解。 突破方法：优先尝试 “二二分组” 提公因式；若不行，观察是否有三项能构成完全平方式，再用 “一三分组” 套平方差公式。 4.因式分解的彻底性把控 难点：分解到半途停止，未检查因式是否还能继续分解（如分解 x4−1 只到 (x2+1)(x2−1)）。 突破方法：每分解一步都检查，确保最终每个因式都不能再分解（整式范围内）。 必备知识 点梳理 1.因式分解的概念(核心基础) 2.提公因式法(优先使用基础) 3.公式法(核心方法) 4.十字相乘法(重点补充) 5.分组分解法 6.因式分解的步骤及应用 常考题型 精讲精炼 1.判断是否为因式分解 2.已知因式分解结果求参数 3.公因式的确定与识别 4.提公因式法分解因式 5.平方差公式分解因式 6.完全平方公式分解因式 7.综合运用公式法分解因式 8.综合提公因式和公式法分解因式 9.因式分解在有理数简运算中的应用 10.十字相乘法分解因式 11.分组分解法分解因式 12.因式分解的应用与综合题型 强化巩固 (15题) 【知识点01.因式分解的概念】 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。 2.核心辨析 对象是多项式，单项式无因式分解。 结果是整式乘积形式，不能含加减运算。 与整式乘法是互逆运算： 整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc（积→和差） 因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c)（和差→积） 3.判断技巧：看变形形式，“和差变乘积” 且是整式积，才是因式分解。 【知识点02.提公因式法(优先使用的基础方法)】 1.公因式定义：多项式各项都含有的公共因式。 2.找公因式四步法 (1)系数：取各项系数的最大公约数（分数系数先统一提取分数公因式）。 (2)字母：取各项都含有的相同字母。 (3)指数：取相同字母的最低次幂。 (4)多项式因式：若含相同多项式因式，也作为公因式。 3.步骤：确定公因式→提取公因式→原多项式各项除以公因式得另一个因式。 4.注意：首项为负先提 “−”，括号内各项变号；提公因式要提尽。 【知识点03.公式法(核心方法)】 （一）平方差公式 公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 适用条件：二项式 + 两项均为平方形式 + 两项符号相反。 变形应用：如 x4−y4=(x2+y2)(x+y)(x−y) （二）完全平方公式 公式 和：a2+2ab+b2=(a+b)2 差：a2−2ab+b2=(a−b)2 适用条件：三项式 + 两项为平方项且同号 + 第三项是两平方底数乘积的 2 倍。 变形应用：如 (x+y)2+6(x+y)+9=(x+y+3)2 【知识点04.十字相乘法】 适用形式：二次三项式 x2+px+q 原理：分解常数项 q=ab，且满足 a+b=p，则 x2+px+q=(x+a)(x+b) 【知识点05.分组分解法】 核心思路把多项式的项合理分组，使每组能单独因式分解，且组与组之间能继续提取公因式或套用公式。 适用题型：多项式项数≥4，且不能直接提公因式或套公式。 常见分组方法 （1）“二二分组”（四项式常用） 类型 1：分组后每组提公因式，再提组间公因式 步骤： 把四项分成两组，每组两项； 每组分别提取公因式； 提取两组之间的公因式，完成分解。 例：分解 ax+ay+bx+by 解：原式=(ax+ay)+(bx+by) =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b) 类型 2：分组后两组分别用公式，再用平方差公式 步骤： 把四项分成两组，每组两项（注意符号搭配）； 每组分别用完全平方公式； 两组结果构成平方差形式，再用平方差公式分解。 例：分解x2−y2+2x+1 解：原式=(x2+2x+1)−y2 =(x+1)2−y2 =(x+1+y)(x+1−y) （2）“一三分组”（四项式或五项式常用） 适用条件：四项式中有三项能构成完全平方式，另一项为平方项，分组后用平方差公式。 步骤： 把三项分为一组，构成完全平方式；另一项单独为一组； 两组结果构成平方差形式，套用平方差公式分解。 例：分解 x2−2xy+y2−4 解：原式=(x2−2xy+y2)−4 =(x−y)2−22 =(x−y+2)(x−y−2) 分组技巧与注意事项 1.分组的关键是 **“分组后能继续分解”**，若一组分解后，组间无公因式、不能套公式，说明分组不合理，需调整分组方式。 2.分组时可尝试添加括号，注意括号前是 “−” 时，括号内各项要变号。 3.分解要彻底，分组分解后，需检查最终因式是否还能再分解。 【知识点06.因式分解的步骤及应用】 一.因式分解的一般步骤（解题规范） 一提：优先提取公因式（无论几项式，第一步必做）。 二套：提公因式后，观察剩余因式结构 二项式→尝试平方差公式； 三项式→尝试完全平方公式或十字相乘法； 四项及以上→尝试分组分解法。 三查：检查分解是否彻底，因式是否为整式，无遗漏、无多余因式。 二.因式分解的应用 1.简便计算：如 20262−20252=(2026+2025)(2026−2025)=4051 2.求代数式的值：如已知 a+b=3，ab=2，则 a2b+ab2=ab(a+b)=6 3.判断整除性：如证明 n3−n 能被 6 整除（n 为整数），分解得 n(n−1)(n+1)，三个连续整数含 2 和 3 的倍数。 【题型1.判断是否为因式分解】 【典例】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，关键是知识点的熟练应用； 根据因式分解的定义，判断哪个选项是将多项式化为整式的积的形式即可． 【详解】解：∵ 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式； ∴选项A：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项B：右边是，不是积的形式； 选项C：右边是，不是积的形式； 选项D：右边是，是积的形式，符合因式分解； 故选：D． 【跟踪专练1】式子 叫做a、b的平方差，它分解因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式和因式分解，掌握平方差公式的结构是解题的关键． 根据平方差公式和因式分解的定义即可解答． 【详解】解：式子叫做a、b的平方差，它分解因式是． 故答案为：，． 【跟踪专练2】下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法和因式分解，根据因式分解的定义，因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式.． 甲的变形是将乘积展开为多项式，属于整式的乘法；乙的变形结果不是乘积形式，因此不是因式分解． 【详解】解：因式分解需满足结果为整式的乘积， 甲: ，左边为乘积，右边为多项式， 甲是整式的乘法，不是因式分解； 乙: ，右边为和的形式，不是乘积， 乙不是因式分解. 甲、乙均不是因式分解． 故选：D． 【题型2.已知因式分解结果求参数】 【典例】若多项式可以被分解为，则 ， ， ． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：多项式可以被分解为， ， ，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 【跟踪专练1】把多项式分解因式，得，则a，b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 将因式展开后与多项式比较系数，求出a和b的值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵原多项式为， ∴，， ∴． 故选B． 【跟踪专练2】已知是多项式的因式，则 ． 【答案】/0.25 【分析】根据题意，，根据整式的乘法求得，，进而得出的值，根据负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：∵是多项式的因式， ∴设 ∵ ∴ ∴①，，②，③ 由①②得④， 由③④得， 代入解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解，负整数指数幂的运算，掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 【题型3.公因式的确定与识别】 【典例】用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（   ） A．x B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法是解题关键．根据和均含有即可得出答案． 【详解】解：用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是， 故选：A． 【跟踪专练1】的公因式是 ；的公因式是 . 【答案】 3y 【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】多项式的系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是y，故公因式是3y； 多项式的系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂是，故公因式是． 故答案为： 【点睛】本题考查了公因式的定义，熟练掌握多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式是解题的关键． 【跟踪专练2】多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【题型4.提公因式分解因式】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，准确的计算是解决本题的关键． 利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】把多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找公因式，解题的关键在于熟练掌握公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积． 根据公因式定义分析求解，即可解题． 【详解】解：∵系数的最大公约数为2；变量x的指数最小为1，y的指数最小为1，z并非各项共有， ∴公因式为， 故选：B． 【跟踪专练2】已知，，则 ． 【答案】66 【分析】本题考查了代数式求值，先利用因式分解得，进而求得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：66． 【题型5.平方差公式分解因式】 【典例】多项式 因式分解的结果是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解，利用平方差公式因式分解是关键． 是平方差形式，直接因式分解即可． 【详解】解：． 故选：C． 【跟踪专练1】若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，已知式子的值求代数式的值． 将利用平方差公式分解为，代入已知条件，再化简整个表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：16 【跟踪专练2】若，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，把因式分解，然后根据对应系数相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【题型6.完全平方公式分解因式】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的因式分解，掌握完全平方公式是解题关键． 该二次三项式符合完全平方公式的形式，通过观察系数和常数项即可直接分解． 【详解】解：已知，其结构符合完全平方公式：， 其中： ，即； ，即； 中间项； 直接套用完全平方公式分解得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解． 选项A错误，因平方差公式应为；选项C和D不符合因式分解的形式，因式分解结果不应包含加号；选项B正确，符合完全平方公式． 【详解】解：，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误； 故选：B． 【跟踪专练2】已知有理数a、b、x、y满足，且，那么 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，代数式求值，非负数的性质，根据题意可得和 ，代入方程得到关于和的方程，利用完全平方公式结合非负数的性质得到和，再求出和，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， 解得，． ∴，． ∴， 故答案为：． 【题型7.综合运用公式法分解因式】 【典例】由多项式与多项式相乘的法则可知： 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． 同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式． 请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝ ． 【答案】 【分析】根据题意根据立方差公式因式分解即可． 【详解】﹣64x3＋y3 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，根据题意套用立方差公式是解题的关键． 【跟踪专练1】因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 【跟踪专练2】在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】将化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用． 【题型8.综合提公因式和公式法分解因式】 【典例】把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解决问题的关键．先提公因式，再运用平方差公式即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查因式分解的方法，熟练掌握提取公因式法和公式法（如平方差公式、完全平方公式）是解题的关键． 利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答． 【详解】A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【答案】84 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 【题型9.因式分解在有理数简便运算中的应用】 【典例】利用因式分解计算： ． 【答案】9800 【分析】根据平方差公式进行因式分解再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：9800． 【点睛】主要考查公式法分解因式，正确地运用平方差公式是解决问题的关键． 【跟踪专练1】与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练2】计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【题型10.十字相乘法分解因式】 【典例】计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故选B． 【跟踪专练1】将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵多项式进行因式分解得到， ∴， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练2】分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，先运用多项式乘多项式求得，的值，再对原式进行因式分解． 【详解】解：李想同学看错了a的值，分解的结果是，但是正确，则； 王敏同学看错了b的值，分解的结果是，但是正确，则， ∴， 故选：B． 【题型11.分组分解法分解因式】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】把多项式分成两部分，分别利用公式法和提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的分组分解法，熟练运用公式法和提取公因式法，把多项式的每一项正确分组是解决问题的关键． 【跟踪专练1】下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解的方法判断即可． 【详解】解：A. ，正确；     B. ，错误，所以此选项符合题意； C. ，正确； D. ，正确 故选B. 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【跟踪专练2】多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解得到分组后的公因式是，由此可得和此单项式分成一组后应得到公因式，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴第一种情况，与一组， ∴ ； 第二种情况，与一组， ∴ ； 故答案为：或． 【题型12.因式分解的应用与综合题型】 【典例】琳琳和楠楠在因式分解关于x的多项式时，琳琳获取的其中一个正确的因式为，楠楠获取的另一个正确因式为，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的应用，根据题意得到，得到，代入代数式即可得到答案. 【详解】解：根据题意可知，， ∴ ∴ 故选：C 【跟踪专练1】有一个数学游戏，如图．、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，解决本题的关键是将题中的式子因式分解． 先由和可求出A，B，C，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵、、均为含的整式．且的系数均为正整数． ∴，，， ∴． 故答案为： ． 【跟踪专练2】已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，因式分解．根据已知条件，结合各选项中的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，即，本选项不符合题意； B、当时，，代入得，即，整理为，本选项不符合题意； C、由得， ∵， ∴，即， ∵， ∴，本选项不符合题意； D、若，由得，解得或，本选项不符合题意； 故选：D． 1．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【详解】解：选项A，，是对单项式的拆分，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项B，，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项C，，是因式分解，故该选项符合题意； 选项D，，不是整式，原变形不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 3．如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（     ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故 故选B 【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键． 4．对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式． 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解． 则代数式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，理解题意是关键．仿照题中分解方法进行即可． 【详解】解： ． 故答案为： 5．已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6．若a+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a²b²+ab3的值为 ． 【答案】12 【分析】首先提公因式ab，再利用完全平方公式进行分解，分解后再代入a+b＝2，ab＝3求值即可． 【详解】解：a3b+2a²b²+ab3 =ab（a²+2ab+b²） =ab（a+b）² a+b=2，ab=3 ∴原式=ab（a+b）2 =3×22 =3×4 =12 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 7．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 8．小明将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是 ． 【答案】4041 【分析】根据（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212得到c1＝20212，同理可得 c2＝20202，所以c1-c2=20212-20202，进而得出结论． 【详解】解：∵（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212， ∴c1=20212， ∵（2021x-2020）2=（2021x）2-2×2020×2021x+20202， ∴c2=20202， ∴c1-c2=20212-20202=（2021+2020）×（2021-2020）=4041， 故答案为：4041． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，解决本题的关键是要熟悉公式的结构特点． 9．若，则的值为（   ） A．14 B．21 C．49 D．56 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，幂的乘方和积的乘方，先利用幂的乘方与积的乘方得到原式，再利用平方差公式计算，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 10．代数式的最小值是 ． 【答案】13 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，把原式化为：可求出最小值． 【详解】解：∵ ； ∵， ∴ ∴的最小值为13． 故答案为：13． 解答题 11．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）平方差公式进行分解因式即可； （2）完全平方公式进行分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （5）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 12．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ． 解得：， ∴另一个因式为，的值为， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为________，得：=________， 则 ． 解得：=________，=________． 另一个因式为________，的值为________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)；；；；； (2)另一个因式为，的值为 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可； （2）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、p的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得：， 则 ． 解得：，． 另一个因式为，的值为20， 故答案为：；；；；；； （2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ， 则， 解得， ∴另一个因式是，的值为． 13．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式． 14．【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ①； ②． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）4 【分析】本题考查了因式分解、二元一次方程组的应用等知识，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得； （2）①将因式分组为，再利用提取公因式法分解因式即可得； ②将因式分组为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可得； （3）先利用完全平方公式分解因式可得，根据偶次方的非负性可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：（1） ， 故答案为：． （2）① ． ② ． （3） ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，据此计算求解即可； （2）根据代值计算即可； （3）根据代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06因式分解寒假预习核心讲义 【12大经典题型共计51题】 一、重点内容 1.因式分解的概念辨析 核心：明确因式分解是多项式→整式积的变形，与整式乘法互逆。 关键：能准确判断一个变形是否为因式分解（看结果是否为整式乘积、对象是否为多项式）。 2.提公因式法的熟练运用 核心步骤：找公因式（系数最大公约数 + 相同字母最低次幂 + 相同多项式因式）→ 提取公因式（首项为负先提 “−”，括号内各项变号）。 关键要求：公因式必须提尽，提取后另一个因式的项数与原多项式一致。 3.公式法的精准套用 平方差公式：牢记适用条件（二项式、两项平方、符号相反），能灵活处理系数、指数、多项式整体的变形。 完全平方公式：抓住核心特征（三项式、两平方项同号、第三项为底数乘积的 2 倍），会识别和变形如 (x+y)2+6(x+y)+9 这类整体形式。 4.分组分解法的合理分组 核心思路：四项及以上多项式，通过二二分组或一三分组，使每组能分解且组间可提公因式 / 套公式。 关键技巧：分组后无法继续分解时，及时调整分组方式；括号前是负号时，括号内各项要变号。 5.因式分解的完整步骤 严格遵循一提二套三查：先提公因式→再根据项数选方法→最后检查是否分解彻底。 二、难点内容 1.公因式的全面寻找 难点：含多项式因式（如 (x−y)）或系数为分数时，公因式容易找不全；易忽略 “提尽” 要求。 突破方法：按 “系数→字母→多项式因式” 三步找，提公因式后检查另一个因式是否还有公因式。 2.公式法的灵活变形应用 难点：识别整体代换型多项式（如把 2x−y 看成一个整体用公式）；区分平方差和完全平方公式的适用场景。 突破方法：熟记公式结构，遇到复杂多项式先整理成标准公式形式，再确定 “a” 和 “b”。 3.分组分解法的分组策略 难点：四项式分组方向不明确，不知道该 “二二分组” 还是 “一三分组”；分组后组间无法继续分解。 突破方法：优先尝试 “二二分组” 提公因式；若不行，观察是否有三项能构成完全平方式，再用 “一三分组” 套平方差公式。 4.因式分解的彻底性把控 难点：分解到半途停止，未检查因式是否还能继续分解（如分解 x4−1 只到 (x2+1)(x2−1)）。 突破方法：每分解一步都检查，确保最终每个因式都不能再分解（整式范围内）。 必备知识 点梳理 1.因式分解的概念(核心基础) 2.提公因式法(优先使用基础) 3.公式法(核心方法) 4.十字相乘法(重点补充) 5.分组分解法 6.因式分解的步骤及应用 常考题型 精讲精炼 1.判断是否为因式分解 2.已知因式分解结果求参数 3.公因式的确定与识别 4.提公因式法分解因式 5.平方差公式分解因式 6.完全平方公式分解因式 7.综合运用公式法分解因式 8.综合提公因式和公式法分解因式 9.因式分解在有理数简运算中的应用 10.十字相乘法分解因式 11.分组分解法分解因式 12.因式分解的应用与综合题型 强化巩固 (15题) 【知识点01.因式分解的概念】 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。 2.核心辨析 对象是多项式，单项式无因式分解。 结果是整式乘积形式，不能含加减运算。 与整式乘法是互逆运算： 整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc（积→和差） 因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c)（和差→积） 3.判断技巧：看变形形式，“和差变乘积” 且是整式积，才是因式分解。 【知识点02.提公因式法(优先使用的基础方法)】 1.公因式定义：多项式各项都含有的公共因式。 2.找公因式四步法 (1)系数：取各项系数的最大公约数（分数系数先统一提取分数公因式）。 (2)字母：取各项都含有的相同字母。 (3)指数：取相同字母的最低次幂。 (4)多项式因式：若含相同多项式因式，也作为公因式。 3.步骤：确定公因式→提取公因式→原多项式各项除以公因式得另一个因式。 4.注意：首项为负先提 “−”，括号内各项变号；提公因式要提尽。 【知识点03.公式法(核心方法)】 （一）平方差公式 公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 适用条件：二项式 + 两项均为平方形式 + 两项符号相反。 变形应用：如 x4−y4=(x2+y2)(x+y)(x−y) （二）完全平方公式 公式 和：a2+2ab+b2=(a+b)2 差：a2−2ab+b2=(a−b)2 适用条件：三项式 + 两项为平方项且同号 + 第三项是两平方底数乘积的 2 倍。 变形应用：如 (x+y)2+6(x+y)+9=(x+y+3)2 【知识点04.十字相乘法】 适用形式：二次三项式 x2+px+q 原理：分解常数项 q=ab，且满足 a+b=p，则 x2+px+q=(x+a)(x+b) 【知识点05.分组分解法】 核心思路把多项式的项合理分组，使每组能单独因式分解，且组与组之间能继续提取公因式或套用公式。 适用题型：多项式项数≥4，且不能直接提公因式或套公式。 常见分组方法 类型 1：分组后每组提公因式，再提组间公因式 步骤： 把四项分成两组，每组两项； 每组分别提取公因式； 提取两组之间的公因式，完成分解。 例：分解 ax+ay+bx+by 解：原式=(ax+ay)+(bx+by) =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b) 类型 2：分组后两组分别用公式，再用平方差公式 步骤： 把四项分成两组，每组两项（注意符号搭配）； 每组分别用完全平方公式； 两组结果构成平方差形式，再用平方差公式分解。 例：分解x2−y2+2x+1 解：原式=(x2+2x+1)−y2 =(x+1)2−y2 =(x+1+y)(x+1−y) 适用条件：四项式中有三项能构成完全平方式，另一项为平方项，分组后用平方差公式。 步骤： 把三项分为一组，构成完全平方式；另一项单独为一组； 两组结果构成平方差形式，套用平方差公式分解。 例：分解 x2−2xy+y2−4 解：原式=(x2−2xy+y2)−4 =(x−y)2−22 =(x−y+2)(x−y−2) 分组技巧与注意事项 1.分组的关键是 **“分组后能继续分解”**，若一组分解后，组间无公因式、不能套公式，说明分组不合理，需调整分组方式。 2.分组时可尝试添加括号，注意括号前是 “−” 时，括号内各项要变号。 3.分解要彻底，分组分解后，需检查最终因式是否还能再分解。 【知识点06.因式分解的步骤及应用】 一.因式分解的一般步骤（解题规范） 一提：优先提取公因式（无论几项式，第一步必做）。 二套：提公因式后，观察剩余因式结构 二项式→尝试平方差公式； 三项式→尝试完全平方公式或十字相乘法； 四项及以上→尝试分组分解法。 三查：检查分解是否彻底，因式是否为整式，无遗漏、无多余因式。 二.因式分解的应用 1.简便计算：如 20262−20252=(2026+2025)(2026−2025)=4051 2.求代数式的值：如已知 a+b=3，ab=2，则 a2b+ab2=ab(a+b)=6 3.判断整除性：如证明 n3−n 能被 6 整除（n 为整数），分解得 n(n−1)(n+1)，三个连续整数含 2 和 3 的倍数。 【题型1.判断是否为因式分解】 【典例】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】式子 叫做a、b的平方差，它分解因式是 ． 【跟踪专练2】下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【题型2.已知因式分解结果求参数】 【典例】若多项式可以被分解为，则 ， ， ． 【跟踪专练1】把多项式分解因式，得，则a，b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】已知是多项式的因式，则 ． 【题型3.公因式的确定与识别】 【典例】用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（   ） A．x B． C． D． 【跟踪专练1】的公因式是 ；的公因式是 . 【跟踪专练2】多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型4.提公因式分解因式】 【典例】分解因式： ． 【跟踪专练1】把多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，，则 ． 【题型5.平方差公式分解因式】 【典例】多项式 因式分解的结果是 （   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则 ． 【跟踪专练2】若，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【题型6.完全平方公式分解因式】 【典例】分解因式： ． 【跟踪专练1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知有理数a、b、x、y满足，且，那么 【题型7.综合运用公式法分解因式】 【典例】由多项式与多项式相乘的法则可知： 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． 同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式． 请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝ ． 【跟踪专练1】因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在实数范围内分解因式 ． 【题型8.综合提公因式和公式法分解因式】 【典例】把多项式分解因式的结果是 ． 【跟踪专练1】下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【题型9.因式分解在有理数简便运算中的应用】 【典例】利用因式分解计算： ． 【跟踪专练1】与相等的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算的值为 ． 【题型10.十字相乘法分解因式】 【典例】计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【跟踪专练2】分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型11.分组分解法分解因式】 【典例】分解因式： ． 【跟踪专练1】下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 【题型12.因式分解的应用与综合题型】 【典例】琳琳和楠楠在因式分解关于x的多项式时，琳琳获取的其中一个正确的因式为，楠楠获取的另一个正确因式为，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练1】有一个数学游戏，如图．、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填 ． 【跟踪专练2】已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 3．如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（     ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 4．对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式． 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解． 则代数式因式分解的结果为 ． 5．已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 6．若a+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a²b²+ab3的值为 ． 7．已知，则的值为 ． 8．小明将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是 ． 9．若，则的值为（   ） A．14 B．21 C．49 D．56 10．代数式的最小值是 ． 解答题 11．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ． 解得：， ∴另一个因式为，的值为， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为________，得：=________， 则 ． 解得：=________，=________． 另一个因式为________，的值为________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 13．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 14．【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ①； ②． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足，求的值． 15．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $