解答题第21题 数列新定义及集合新定义讲义-2026年高考数学二轮复习【会一题通一类系列】（北京专用）

解答题第21题 数列新定义及集合新定义（讲练测） 1 24 29 34 40 47 59 67 【典例】1．（2025·北京·三模）记集合，表示集合中元素的个数. (1)求和； (2)求证：当为奇数时，； (3)求. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合所给不等式，可先计算出的范围，再借助的取值讨论、的取值情况即可得解； （2）先计算为奇数且使得的情况，此时有，再假设且为奇数时，若，则一定有，可得；若，则一定有，可得，即可得； （3）当时，结合所给不等式，可先计算出的范围为，再根据的奇偶情况讨论可能的取值情况，即可借助等差数列求和公式计算得解. 【详解】（1）当时，则，由，则，即， 由，则，即，又，故，故， 则，又，，故， 即，故； 当时，则，由，则，即， 由，则，即，又，故或， 若，则，又，故； 若，则，又，则， 则或，此时分别取、， 故，即； （2）当时，，故， 当时，则，由，则，即， 由，则，即，故无正整数解，故； 即； 当且为奇数时，设，，，， 则，，故，又，故， 有，故一定有解； 设，则有，，，， 则，， ， 故，即； 设， 则有，，，， 则，故，由为奇数，故， 则， 故， 即， 又，， 故，即； 综上所述，当为奇数时，； （3）当时，则，由，则，即， 由，则，即，又，故， 则，又，则，， 即， 当为奇数时，为偶数，则可取遍中所有整数， 符合要求的的个数有， 当为偶数时，为奇数，则可取遍中所有整数， 符合要求的的个数有， 故 ， 故. 【典例】2．（2025·北京延庆·三模）已知数集具有性质:对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. (4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2个公式. 【答案】(1)不具有，具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)75 (4)答案见解析 【分析】（1）根据数列新定义计算判断即可； （2）结合数列新定义应用累加法计算证明； （3）根据数列新定义结合，分类讨论使得求解最小值即可. （4）略 【详解】（1）∵无法表示，∴数集不具有性质. ∵，，，，∴数集具有性质． （2）∵集合具有性质即对任意的，，使得成立， 又，， ∴，， ，， ∴， 即，，，， 累加得， 化简得． （3）最小值为． 首先注意到，根据性质，得到， 所以易知数集的元素都是整数， 构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为．下面证明是最小的和． 假设数集，满足最小， 第一步：首先说明集合中至少有个元素： 由（）可知，，，，又， ∴，，，，， ∴． 第二步：证明，， 若，设， ∵，为了使最小， 在集合中一定不含有元素，使得，从而； 若，根据性质，对，有，，使得，显然，∴， 此时集合中至少有个不同于，，的元素，从而，矛盾， ∴，且． 同理可证： ． 至此，我们得到，， 根据性质，有，，使得，我们需要考虑如下几种情形： ①，，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则； ②，，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则； ③，，此时集合，； ④，，此时集合，． 综上所述，若，则数集中所有元素的和的最小值是． （4） 【典例】3．（2025·北京海淀·三模）设和M均为正整数，是两两不同的M元集合组成的集合序列，若存在，使得，就称Q中存在“三叶草”，并称为Q中的一片三叶草． (1)若，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草： ， ； (2)若满足，其中，，证明：Q中不存在三叶草； (3)若，其中，证明：Q中一定存在三叶草． 【答案】(1)存在三叶草，；不存在三叶草. (2)证明过程详见解析 (3)证明过程详见解析 【分析】（1）先找到有共同元素的三个集合，再验证即可得到答案. （2）每个 可以看作一个四维向量，每个维度有固定的取值,然后再研究存在三叶草时，各个维度的坐标需满足的条件，然后用反证法证明. （3）需要证明当集合数量足够大时，必然存在三叶草，这里可以用鸽巢原理和集合的对称性来证明. 【详解】（1）对于，检查是否存在三个集合使得两两交集相等； 选取三个集合，，，发现交集分别为，，，不满足. 再尝试其他组合，第1，2，5个集合，，， 它们的交集均为，因此存在三叶草. 对于，由于每个元素仅出现在两个集合中，无法找到三个集合共享同一元素，故不存在三叶草. （2）给定 ，其中：，，，； 每个 可以看作一个四维向量，每个维度有固定的取值. 我们需要证明不存在三个集合 使得它们两两的交集相同， 假设存在三叶草，则需要满足 意味着： 和 在相同维度上取值相同; 和 在相同维度上取值相同; 和 在相同维度上取值相同; 这意味着 在所有维度上的相同性必须一致, 换句话说，对于每个维度，要么三个集合在该维度的取值都相同，要么两两不同; 由于每个维度只有 2 种取值，三个集合在某个维度上的取值只能是：全部相同（如 ）; 或者两两不同（如 ），但这是不可能的，因为每个维度只有 2 种取值; 因此，三个集合在每个维度上的取值必须相同, 这意味着 ，但题目要求集合两两不同，矛盾. 因此，不存在三叶草. （3）固定一个集合，考虑其他集合与的交集， 的子集有 种可能，因此 有 种可能； 对于每个，定义， 下面介绍一下鸽巢原理，又叫抽屉原理， 它指的是一个简单事实，如果鸽子的数量比巢穴的数量多，那么至少要有1个鸽巢被两只或多只鸽子占据， 即若有个鸽巢，个鸽子，则至少有1个巢内有至少2个鸽子， 至少数公式：当鸽子数不能被鸽巢数整除时，至少有一个鸽巢中会有（商+1）个鸽子， 另外，规定当，为整数时，，当时，， 其中，由鸽巢原理（相当于只鸽子飞回个巢）， 可知存在至少 个 使得 相同， 当时，由是两两不同的一元集合组成的集合序列， 可得,所以存在三叶草. 当时，至少存在2个 使得 相同，假设为， 则，同理 对于集合也是如此，即, 对于集合也是如此，即, 对于集合也是如此，即, 找到三个集合 满足 . 当 时， 中一定存在三叶草. 【典例】4．（2025·北京·三模）已知整数数列的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质： ①； ② 记 (1)若m=3，且，写出的值； (2)记其中表示集合A中元素的最大值. （i）若，，求的最大值； （ii）当时，若，求Q的最小值. 【答案】(1)，； (2)（i）2；（ii）30. 【分析】（1）直接根据定义性质得，解出，再计算即可； （2）（i）取极端情况为1，3，5；取数列为2，3，4，此时；方法一：利用反证法，假设，最后分析得到与性质②矛盾的点；方法二：一般性证明，设，通过引入进行合理放缩即可；方法三：利用枚举法，枚举出所有情况即可； （ii）考虑极端情况，显然，分类讨论为偶数和为奇数即可. 【详解】（1）由题意可得，， 所以. （2）（i）由②可得，两个数列均值相等，则要使越大，则可考虑一组数据更集中， 一组数据更分散，作为极端情况来考虑，此时要使取到最大值，对应极端情况，取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则， 下证：的最大值为2： 法1：（反证法）假设，则，不妨设， 若： 因为，所以， 则，与性质②矛盾，舍去；若： 因为，所以，可得 则，与性质②矛盾，舍去； 若： 因为，所以， 则，与性质②矛盾，舍去． 所以，同理可得，所以. 取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则成立，所以的最大值为2． 法2：（一般性证明）设，不妨设， 则， 所以，（7分） 取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则成立，所以的最大值为2． 法3：（枚举法） 取为1，2，3，则只能为1，2，3，此时； 取为1，2，4，则只能为1，2，4，此时； 取为1，2，5，则可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时或2； 取为1，3，4，则可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时或2； 取为1，3，5，则可能为1，3，5，也可能为2，3，4，此时或2； 取为1，4，5，则可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时或2； 取为2，3，4，则可能为2，3，4，也可能为1，3，5，此时或2； 取为2，3，5，则可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时或2； 取为2，4，5，则只能为2，4，5，此时； 取为3，4，5，则只能为3，4，5，此时． 综上，的最大值为2． （ii）考虑极端情况，显然， 若为偶数，取为， 取为 则 解得成立； 若为奇数，取为， 取为 则 解得，与为奇数矛盾，舍去， 所以的最小值为30， 当为为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时取到． 证明： 记， 则， ，设 则有，其中分别表示集合的元素个数 由（i）可得， 所以（＊） 又因为，所以，进一步有， 将代入（＊）中可得 ， 再次代入（＊）中可得，解得， 另一方面，当为为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时． 所以的最小值为30． 【典例】5．（2025·北京朝阳·二模）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数． (1)若，求的所有可能取值； (2)求证：数列中存在等于1的项； (3)求证：存在，使得集合为无穷集合． 【答案】(1)所有可能取值为2，3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1），先根据已知条件确定的值，然后再确定的值； （2），利用反证法，结合分类讨论进行证明； （3），采用反证法进行证明. 【详解】（1）因为，则中与相等的数有且仅有2个，除去本身，中与相等的数有且只有1个， ∴或． 当时，；当时，． 所以的所有可能取值为2，3． （2）假设中不存在等于1的项,则． 又，所以． 当时，由，则存在，使得． 所以，与假设矛盾． 当时，由，则存在，使得,且中有且只有一项与相等. ①若中有两项为2，一项为3， 则，与假设矛盾． ②若中有两项为2，一项为， 则，与假设矛盾． ③若中有一项为2，两项为3， 则，与假设矛盾． ④若中有一项为2，两项为， 则，矛盾． 综上，假设不成立，所以中存在等于1的项． （3）假设均为有限集合， 当时，, 则当时，（*） 令,下证当时，. 否则假设，则,与（*）矛盾. ∴当时，, ∵已知数列是无穷正整数数列， 所以存在，使得集合为无穷集合，矛盾， ∴假设错误，∴存在，使得集合为无穷集合． 【典例】6．（2025·北京·模拟预测）若有限数列A：的各项均为正整数，且对，都有，则称数列A具有性质P.将数列A各项之和记为. (1)分别判断下列两个数列：1，6，2，4，3，：1，2，3，4，5，…，10，是否具有性质P，并说明理由. (2)若数列A具有性质P，且项数m为6，求的最小值. (3)对具有性质P且项数固定为m的数列A，记的最小值为.判断是否存在正整数使得.若存在，求出所有的m；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)数列不具有性质，数列具有性质，理由见详解 (2)9 (3)不存在，理由见详解 【分析】（1）根据数列A具有性质P的定义判断即可； （2）用列举法，从数列最小的项开始尝试，直至求出满足条件的； （3）从开始尝试，构造出满足条件的数列，进而可求得结论. 【详解】（1）对于数列 因为 因为存在两个连续三项的和相等，所以数列不具有性质； 对于数列 因为所有连续三项的和互不相等，所以数列具有性质. （2）因为数列的各项均为正整数，所以为了使最小，数列的项应尽可能小，从1开始尝试， 构造数列，，要求互不相等， 当数列A的项全为1时，，所有连续三项的和为，不满足互不相等； 当数列A的项有5个1时，若有4个或5个1相邻，不满足互不相等，当有3个1相邻时，如， 不满足互不相等； 当数列A的项有4个1时，若有4个1相邻，不满足互不相等， 若有3个1相邻，如或或， 均不满足互不相等； 当数列A的项有3个1时，如或，满足题意； 此时数列的和最小，最小值为. （3）记 ，又因为为互不相等， 即，且所以，。由于要用到，我们先计算 ， 将按从小到大重新排序，不影响的值， 不妨设为， 要使最小，则相邻间的间隔最小，只能为1， 即 所以， 那么， （其中取） 所以， ①当时，。 这就是说，当时，的最小值不会为都不满足条件。 ②当时，由（2）的解析知不满足条件，所以不取$4，5，6$ ③当时， 这里，否则，不满足互不相等，又要最小，所以 这时，所以m不取7． 当时， 这里，否则，不满足互不相等，又要最小，所以 这时，所以m不取8． 同样可算得 当时，； 当时，； 当时，. 所以m不取9，10，11． 综上，满足条件的不存在. 【典例】7．（2025·北京昌平·二模）设为正整数，数列是公差不为的等差数列，若从中去掉两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列是的可分数列． (1)写出所有，使得数列是、的可分数列； (2)当时，证明：数列是的可分数列； (3)若数列是的可分数列，记所有满足条件的的个数为，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据可分数列的定义可得出合乎条件的； （2）对进行讨论：①，去掉后，按照可分数列的定义进行列举即可；②时，去掉后，前项按①中的分组，后面的项按原顺序每项分为一组，结合可分数列的定义可证得结论成立.综合可得结论； （3）设数列的公差为，将数列表示为：．分两种情况讨论：①；②.结合可分数列的定义，求出每种情况下“”的个数，可得出的个数，然后再结合可分数列的定义验证即可. 【详解】（1）根据题意，可以为． （2）设数列的公差为． 当时，去掉后，剩余项按照：； 分为三组（*），每组都是公差为的等差数列． 当时，去掉后，前项按如上（*）分组；后面的项按原顺序每项分为一组，每组都是公差为的等差数列． 综上，数列是的可分数列． （3）若数列是的可分数列，设其公差为， 将数列表示为：． ①当时，可以去掉数列中的项和，其余项顺序保持不变， 从前往后按原顺序每项分为一组，每组均为公差为的等差数列， 所以数列是的可分数列． 其中，符合的一组“”的取值有个． ②当时，且时，可以去掉数列中的和． 若，则数列分组为：，， 其中、部分按原顺序每项分为一组，每组均为公差为的等差数列； 部分按照被除所得余数分组，余数相同的每组数按序号从小到大每项分为一组， 则每组数均为等差数列，公差为． 若或，由上述证明，数列仍可分为组等差数列． 所以数列是的可分数列． 而符合的一组“”的取值有个． 满足上述两类的的个数为． 设，记， 用表示数列中的项组成的集合（下同）． 则，且中元素个数均为中元素个数均为． 由题意，数列去掉和两项后可分为每项一组的等差数列共组， 记为，，对应的公差为，则． 考虑被除所得余数： 当时，数列中的项均在某一个中； 当时，数列中的项分别在中， 且没有两项在同一个中，所以，或． 综上，所有满足条件的的个数． 【典例】8．（2025·北京·二模）已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯． (1)若数列：，求数列和； (2)设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列； (3)当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设中的新定义，进行运算，得到答案； （2）根据题设中新的变换，得到仍为递增数列，进而得到仍为递增数列，证得仍为递增数列，以此类推，对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列； （3）设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对，得到，得到数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，分情况讨论，即可得证. 【详解】（1）解：由题意得，数列，数列， 故数列． （2）证明：若对：进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，得，故仍为递增数列； 若对进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，很，故仍为递增数列： 若对进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，得，故仍为递增数列． 综上，对于任意，对进行变换后仍为递增数列． 以此类推，知对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列． （3）解：记数列：中去除等于0的项后得到的数列为（其余项相对位置不变，下同），中去除为0的项后得到的数列为． 设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对， 则． 如果对进行变换，即将替换为， 此时若与同号，则数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，即； 若与异号，则或； 若与中有0，则一定不与异号，故． 如果对进行变换，即将替换为， 此时若与同号，则； 若与异号，有以下三种情况： ①若与同号，显然也与异号，则； ②若与异号，则； ③若与中有0，只有一个0， 不妨设，则与异号，故，或，或． 若与同为0，则； 若，，不妨设，则与同号，故； 若，，不妨设，则与异号，故或； 对进行变换与进行变换类似． 综上，对进行一次变换后，． 以此类推，对进行2025次变换，每一次变换后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前的并不会增大，且． 在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变， 则该变换一定是变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号， 故变换之后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少1对． 所以对进行2025次变换时，其第一项的正负号最多发生次改变， 即． 【典例】9．（2025·北京东城·二模）已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. (1)已知数列，请写出中所有满足的数列； (2)当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； (3)当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 【答案】(1)；；；. (2)不存在，理由见解析； (3)7 【分析】（1）分析得，再写出满足题意的数列即可； （2）假设存在满足条件的数列，则分析有是偶数，则得到与条件相反的结论，即可证明不存在； （3）首先分析得当时，有，再分和讨论即可. 【详解】（1）因为数列，所以中的数列满足．因为， 所以中所有满足的数列有 ；；；. （2）假设存在满足条件的数列， 则满足，有，或，或． 所以与同为奇数或同为偶数． 所以是偶数． 所以是偶数． 又是奇数，矛盾． 所以假设不成立，不存在满足条件的数列． （3）当数列是的“恒元”时， 因为数列中，是个连续正整数的一个排列， 所以当时，有，且至多一项为1． 不妨记，所以，且． 当时，. 当时，有. 此时，或． 又，所以，，或，． ①当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，. 因为，，所以．所以． 当时，有，，，，所以（舍）． ②当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，, 所以． 当时，有，，，， 所以．所以（舍）． 又由于数列和满足条件． 综上所述，． 【典例】10．（2025·北京丰台·二模）设数列是的一个排列．由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中．任取不大于的正整数，当时，若数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，则称数列为“好数列”． (1)判断下列数列是否为“好数列”： ①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3． (2)证明：由的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列”（表示不超过的最大整数）； (3)若数列为“好数列”，求的最大值． 【答案】(1)①是“好数列”；②不是“好数列” (2)证明见解析 (3)7 【分析】（1）根据“好数列”的定义逐项检验即可判断①②； （2）分析可知若是“好数列”，可知存在，结合“好数列”的定义分析可得且，即可得结果； （3）分类讨论的奇偶性，利用反证法结合（2）可知为偶数不成立，为奇数时且，不存在“好数列”，即可得结果. 【详解】（1）对于①：检验可知①是“好数列”； 对于②：例如，取长为2的子列集和长为3的子列集， 此时，所以②不是“好数列”． （2）若是“好数列”，可知存在． 令与， 于是集合和也分别是数列和数列的子列集， 又存在，得． 因此． 所以，数列也是“好数列”． 设与中较小者为，则且， 因此，即，于是， 所以存在首项不超过的“好数列”． （3）的最大值为7． ①先考虑． 假设存在“好数列”．由（2）可知，不妨设． 若，则由长为的子列集和与集合的交集非空，知， 即此“好数列”为：． 又，长为的子列集和与集合的交集非空． 所以且，与矛盾． 若，则由长为的子列集和与集合的交集非空，知； 又与集合的交集非空，知，矛盾； ②再考虑．假设存在“好数列”． 由（2）可知，不妨设． 若，则由长为的子列集和 与集合的交集非空，知． 又，长为的子列集和与集合的交集非空． 所以且，与矛盾． 若，则由长为的子列集和 与集合的交集非空，知； 又与集合的交集非空，知， 此时，长为的子列集，矛盾． 所以，当时，不存在“好数列”． 又数列1，4，6，2，5，3，7是“好数列”． 综上，的最大值为7． 11．已知集合，1，2，，，集合，记的元素个数为．若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”． (1)若，分别判断集合，2，3，，，1，2，是否为“理想集”，并说明理由； (2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举； (3)若，证明：集合T必为“理想集”． 【答案】(1)T1不是“理想集”， T2是“理想集”，理由见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，分别取集合中的三个数，利用列举法，可得答案； （2）利用分类讨论的思想，根据集合的元素个数，结合元素的大小关系，可得答案； （3）利用反证法，任意取三个元素，假设不等式成立，结合元素之间的大小关系，可得答案． 【详解】（1）不是“理想集”， 是“理想集”． 由题意，令，，，则； 令，，，则； 令，，，则； 令，，，则；所以不是“理想集”． 令，，，则，所以是“理想集”． （2）共16个“理想集”． 若，有，1，2，3，4，． 当时，若，则，由可知， 故，，或； 若，则，由可知，则，故，，． 故含有三个元素的“理想集” ，1，，，1，或，2，，共3个． 当时，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，或，2，4，，共7个． 当时，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，共5个． 当时，，1，2，3，4，，共1个． 综上所述，所有“理想集” 的个数为16个分别为：，1，，，1，，，2，，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，，，2，4，，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，，1，2，3，4，． （3）证明：若，记，，，且． 利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有， 则，，2，，． 记，于是，则， 因此，矛盾． 故集合必为“理想集”． 12．已知数列，，记集合的元素个数为. (1)若为1，2，4，8，12，写出集合，并求的值； (2)若为1，3，a，b，且，求和集合； (3)若数列项数为，满足，求证：“”的充要条件是“为等比数列”. 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的定义，计算出所有即可. （2）结合集合的性质，可得，解出即可. （3）根据给定的定义，分别证明命题成立的充分条件和必要条件即可. 【详解】（1）集合，. （2）由为1，3，，，当之一为2时，不妨令，则互不相等， 是集合中元素，又，则，，解得，不符合题意， 则必有，得，，互不相等， 则3，，都是集合中的元素，又，则，解得，， 因此为1，3，9，27，所以. （3）充分性：若是递增的等比数列，设的公比为， 当时，， 所以，且，故充分性成立； 必要性：若是递增数列，且，则， 于是，且互不相等，又， 则，且互不相等， 因此，， 从而，所以为等比数列，故必要性成立， 综上，“”的充要条件是“为等比数列”. 13．对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 【答案】(1) (2)4 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据定义直接写出结果即可； （2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数； （3）对任意元素，可证或，故可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为中的元素是要么只属于，要么只属于， 所以； （2）设，则，因为， 故符合条件的的个数为. （3）对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且． 若，则；若，则． 故，从而． 因此，结论成立． 14．已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出利用“方特数列”的定义即可证明； （2）分类讨论当和时，数列的前项和为，“方特数列”的定义列出不等式即可求解； （3）当时，由（1）知满足条件，当且时，利用错位相减法求出数列的前项和为，利用“方特数列”的定义结合导数即可证明. 【详解】（1）当时，， ， ∴数列满足，即数列是“方特数列”. （2）当时，， ，满足条件； 当时，， ∵数列是“方特数列”， ∴，. ∴，∴且， 综上所述，当数列是“方特数列”时，的取值范围为. （3）当时，由（1）知满足条件， 当且时，， ， ∴， ∴， ， 设，∴， 当时，单调递增；当时，单调递减，∴， ∴， 综上所述，当时，数列是“方特数列”. 15．已知无穷数列中，，记，，． (1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值； (2)若为周期数列，证明：存在，使得当时，是常数． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据定义可直接求出的值. （2）令（周期），结合新定义，即可证明结论. 【详解】（1）因为，，所以； ，，所以； ，，所以； ，，所以. （2）证明：不妨设的周期为（）， 记，， 则当时，是常数，故是常数. 故可记，则当时，是常数， 即，使得当时，是常数. 16．（25-26高三上·北京大兴·月考）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”. (1)设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； (2)设数列的前三项为：，，，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； (3)设是公差为d的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且对任意，在中至少有n个为正数，求d的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)3个 (3) 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； （2）由新定义可得，求得的范围，即可得到所求个数； （3）运用等差数列的通项公式可得，讨论公差，，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． 【详解】（1）数列是与“接近”，理由如下： 是首项为1，公比为的等比数列， 可得，， 则， 可得数列与接近. （2）与 “接近”， ， 于是有， ， ， ， 由于， 其中, 互不相等，有3个元素. （3）与“接近”， ， ，， 因此， 是公差为的等差数列，， ①当时，则，此时中无正数； ②当时，存在， 满足：，即与“接近”， 满足：， 即这个都为正数； 综上，的取值范围是. 17．（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 【答案】(1)是平衡的，不是平衡的； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据平衡的三个条件逐个分析即可判断，找到反例，即可判断； （2）（i）考虑，根据性质③知若，则会得到矛盾点，即可证明； （ii）设中最小的（之一）为，且，设，根据（i）的证明方法知当时，，则都不大于，最后相加即可证明. 【详解】（1）是平衡的，不是平衡的． 理由：， ，，满足， 显然⫋，且对于中的任意两个不同元素，， 都存在唯一的，使得． 故是平衡的， ， 并不是的子集，故不是平衡的． （2）（i）当时，对于中的每个元素，考虑． 由③知存在唯一的，满足，则． 将每一个对应到， 若，就有，否则且与③矛盾． 所以． （ii）对中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次）， 一方面总个数就是， 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是， 所以．（＊） 不妨设中最小的（之一）为， 且，由②③知． 再不妨设． 由（i）的证明方法可证：当时，， 由③知， 所以， 又因为，所以都不大于， 全部相加得， 由的最小性知， 结合（＊）可得 ， 所以． 18．（25-26高三上·北京朝阳·期中）设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. (1)若集合具有性质，写出集合； (2)若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； (3)若集合具有性质，求的最大值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)13 【分析】（1）假设，根据条件②来进行排除，同理排除，最终得出； （2）用反证法证明，根据三个条件寻找矛盾即可； （3）结合（2）先证明，最多属于中的4个集合，再列举出时符合题意，反证不符合题意即可. 【详解】（1）由题意可得集合A中有3个不同的元素， 若，要使与满足条件②，则均不属于，所以， 同理可判断均不属于， 则符合题意，所以. （2）不存在，理由如下： 假设存在使得. 不妨设，设， ，，，. 由①②可知，a,b,c,d,e,f,g,h,l互不相同. 由③可知，存在集合与的交集不为， 且由②可知，集合与的交集中有且仅有一个元素， 不妨设集合为，且，故. 由②可知，的元素个数均为， 且均不为或， 所以集合或，或，或. 由于b,d,e,f,g,h,l互不相同，集合至少包含个元素，与①矛盾. 所以不存在使得. （3）设集合具有性质. 在中存在一个集合，其中至少有两个元素分别属于其他集合， 否则，若中的每一个集合中至多有一个元素属于其他集合， 则与②或③矛盾. 不妨设该集合为，设元素分别属于其他集合， 除了集合之外，设包含元素的集合有个，分别记为， 设集合包含元素. 当时，若，则，与②矛盾， 所以互不相同，且均不为. 因为的元素个数为，且已经包含一个元素，所以. 所以除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 同理可得，除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 所以. 当时，集合具有性质，其中： ，，，， ，，，， ，，，， . 所以的最大值为. 19．（25-26高三上·北京·月考）已知数表，，，若存在，使得中至少有4个元素大于，则称A为“大表”． (1)若，判断A是否为“大表”，说明理由； (2)若当，时，A必为“大表”，求t的最大值； (3)若当时，A必为“大表”，求的最小值． 【答案】(1)是“大表”，理由见解析 (2)5 (3)4 【分析】（1）根据“大表”的含义和集合与元素的关系进行判断即可. （2）根据“大表”的含义和集合与元素的关系，分别讨论和时的情形，即可得的最大值. （3）当时，可以构造一个数表，让每个元素的邻域里比它大的数都少于4个，比如：.利用反证法，假设存在一个的数表不是“大表”，进行推理，即可求解. 【详解】（1）先定义“邻域”概念：以为中心，所有满足“行差”且“列差” 的元素组成的集合（可理解为以为中心的九宫格区域）； 以为例，它的邻域包含元素（行差，列差的所有元素）， 其中比2大的数有3，8，9，4，共4个，满足“至少4个比它大”， 所以是“大表”. （2）当时，数表是 ，共9个元素（1到9）， 是中心元素，它的邻域是整个数表的九宫格， 所以需要让这个邻域里至少有4个数比大，同时找的最大值. 当时，邻域里的数是1，2，3，4，6，7，8，9，其中比5大的有6，7，8，9共4个，满足条件. 当时，比如，邻域里比6大的数是7，8，9，只有3个，不满足“至少4个”， 所以的最大值是5. （3）当时，我们可以构造一个数表，让每个元素的邻域里比它大的数都少于4个， 比如：. 假设存在一个的数表不是“大表”，即对于每一个元素， 它的邻域中比它大的数都少于4个（最多3个），对1，2，3，4这类小数： 若1不在角落（如在边缘/中心），其邻域规模，邻域中比1大的元素（远超3个），与假设矛盾； 因此1必须在角落（邻域规模=4），此时邻域中比1大的元素=3个（恰好满足）. 同理，2，3，4也必须在另外三个角落，各自邻域中比自身大的元素均为3个. 元素5：因为时，以5为中心的邻域（行差、列差）是一个的区域（共9个元素）. 在中，现在假设5的邻域里比它大的数“最多3个”， 那意味着它的邻域里至少有9-1-3=5个数比它小，但比5小的数只有1，2，3，4这4个，矛盾！ 因此，“存在的非大表”这个假设不成立，即时所有数表都是“大表”， 故n的最小值为4. 20．（25-26高三上·北京·月考）对于有限正整数数列：，若存在连续子列和符号序列，使得，其中，则称数列存在平衡连续子列． (1)写出数列2，1，2，3的一个平衡连续子列； (2)设对任意正整数，定义函数为满足的非负整数，其中为奇数，令．求数列并判断其是否存在平衡连续子列，说明理由； (3)设数列的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，存在平衡连续子列． 【答案】(1)子列1，2，3是数列2，1，2，3的平衡连续子列； (2)该数列不存在平衡连续子列，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用平衡连续子列的定义计算判断即可． （2）由题意得，，进而计算可得，，结合平衡连续子列的定义可得结论； （3）分和可证，分存在，使得，任意，两种情况可证得结论. 【详解】（1）1，2，3． 子列1，2，3对应原数列的，，， 设符号序列为，，，需满足，其中， 若取，，，则和为， 满足. 由于存在连续子列1，2，3，以及符号序列，，均属于， 使得符号与对应项乘积的和为0，完全符合“平衡连续子列”的定义（存在连续子列和符号序列，使符号加权和为0）， 综上，子列1，2，3是数列2，1，2，3的平衡连续子列； （2）因为1，3，5，7是奇数，故， 所以． 因为，所以． 因为，所以， 所以数列4，2，4，1，4，2，4． 因为， 所以与奇偶性相同． 当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数， 所以为奇数． 所以． 当取时， 经检验，对于不含的连续子列，其各项均为偶数，任意符号加权和也为偶数，且均不为0. 综上，该数列不存在平衡连续子列． （3）设，， 则是整数数列． 下面证明对任意，均有． 显然满足． 假设结论不成立，则存在，使得或， 且当时都有． （ⅰ）若，当时，， 因为，所以，矛盾； 当时，， 因为，所以，矛盾． （ⅱ）若，当时，， 因为，所以，矛盾； 当时，， 因为， 又是整数，所以，矛盾． 综上，对任意，均有． 若存在，使得， 则存在且，使得， 此时数列. 存在平衡连续子列． 若任意， 因为中共个非零整数， 当时，数列中存在且，使得， 从而存在，使得， 此时数列存在平衡连续子列． 综上，当时，数列Q存在平衡连续子列． （建议用时：80分钟） 21．（25-26高三上·北京·月考）对在平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义：若，那么称点是点的“下位点”. (1)点是点的“下位点”吗？请简单说明理由. (2)若点是点的“下位点”，试判断，，之间的大小关系. (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得点是点的“下位点”，且点是点的“下位点”，求正整数的最小值. 【答案】(1)点是点的“下位点”，理由见解析； (2)； (3)4051. 【分析】（1）根据“下位点”的定义，即可判断； （2）结合“下位点”的定义，利用作差法即可比较大小； （3）由已知得，从而可得到，结合m的取值，即可求得答案. 【详解】（1）因为，. 因为，即， 所以点是点的“下位点”. （2）∵点是点的“下位点”， ∴， 由题意知和都是第一象限内的点，可知，，，均为正数， 故，即，同理，即. 综上所述，. （3）由已知得， ∵，，为正整数， ∴， ∴，解得 该式对集合内的每个都成立， ∴， ∴正整数的最小值为4051. 22．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 23．（25-26高三上·北京·月考）如果无穷数列满足：，，使得，则称数列是“数列”. (1)下列无穷数列中，是“数列”的为 .（直接写出序号） ①满足，，； ②满足，，； ③满足，，； (2)证明：若无穷等差数列是“数列”，则且公差； (3)是否存在公比为整数且各项均为正数的无穷等比数列，使得和都是“数列”（其中的前项和记为）？若存在，求出所有符合题意的；若不存在，说明理由. 【答案】(1)①②； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据“数列”的定义，利用通项公式证明①②符合，结合单调性举反例证明③不符合； （2）分与讨论，根据“数列”的定义，可取特殊情况证明一定有且公差. （3）时可得符合题意；时，结合等比数列求和公式以及数列单调性举反例说明不存在即可. 【详解】（1）①数列是首项为1，公差为2的等差数列，则， ， 令，则，故①是“数列”； ②数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， ，令，则，故②是“数列”； ③由， 当时，，显然不存在，故③不是“数列”. （2）证明：若，则，所以或，且公差， 下设，则， 、，，， 作差得， 因为，所以. 、，，， 作差得， 因为，所以， 因此，. 综上，且公差. （3）由题意，， 当时，则，解得或0（舍），则，， ，，，，符合题意； 当时，若，，则， 时，， 由于，则， 由于单调递增，则不存在，不符合题意； 若时，若且，，则，即， 而，时，则， 整理得能成立， 时，不满足前提， 时，显然不成立， 所以不可能成立， 综上，当且仅当符合题意. 24．（25-26高三上·北京·月考）已知整数数列满足．定义数列，其中，对，表示集合的元素个数． (1)对于下列数列，分别写出其对应的： ①；②； (2)记，证明：若，则； (3)记为，当时，记为．证明：与的各项对应相等． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意写出数列即可； （2）根据数列各项可能的取值进行分类讨论； （3）先证明，再证明（2）中更一般的结论，进而通过反证法证明. 【详解】（1）根据题意可得 ①；②． （2）因，且数列为整数数列， 所以，，，而. 若，则均等于，于是，故． 若，则中恰有一个不等于，由于，所以， 于是，，故． 若，则中恰有两个不等于，而，，故， 于是，或1，，故. 若，由，故． 综上，. （3）先证明引理1：对任意． 设．因为，所以均不等于． 所以．故对任意，． 再证明引理2：记数列，对任意，若，则． 设．因为，所以均不等于．而， 所以中恰有项不等于，于是， 进而．易见，所以． 以下证明题目命题. 当时，或，两种情况下都有与的各项对应相等． 假设使得结论不成立的最小，即当时均有与的各项对应相等， 所以与的前项对应相等．根据引理2，与的前项分别相等． 假设与的第项不相等，根据引理1，的第项依次是． （ⅰ）假设的第项是，则的第项也是，矛盾； （ⅱ）假设的第项是时，则的第项也是， 于是的第项也是，矛盾； （ⅲ）假设的第项小于，根据引理2的证明，的第项与第项相等． 于是的前项均小于，则的第项是，矛盾. 故原命题成立． （建议用时：80分钟） 25．（25-26高三上·北京·月考）设，为平面直角坐标系上的两点，其中，令，，若，且，则称点B为点A的“相关点”，记作：.已知（）为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中. (1)请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； (2)求证：若与重合，一定为偶数； (3)若，且，记，求T的最大值. 【答案】(1)个，在圆上 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，或，，即可得的“相关点”个数，再利用点到点的距离为定值即可得圆的方程； （2）由题意可得，，则，再利用为奇数即可得证； （3）先利用或可计算出的最小值，再表示出后可得的个数越多，则越大，再分、进行讨论即可得. 【详解】（1）的“相关点”有个，且都在圆上，理由如下： 由，且，， 则，或，，故的“相关点”有个， 又因为，即有， 故这些“相关点”在圆上； （2）若与重合，则、， 令、， 则，， 则， 由（1）知，或，， 则必为奇数，即有个奇数相加为， 因为奇数个奇数的和为奇数，故必为偶数； （3）由题意可得， 又或，则，，，， 则，故， ， 由，或，， 则的个数越多，则的值越大， 而且在序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大， 则的次数最多时，取的次数才能最多，相应的的值最大； ①当时，令，， ，，， 则相应的取，，，， 则 ； ②（i）且为偶数时，设，此时可取个，个， 则所有的都为，为使最大，则所有都取， 且； （ii）当且为奇数时，设， 令，则其余的中取个，个， 则相应的，其余的时，最大， 此时； 综上所述：. 26．（2024·北京·三模）给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度. (1)若，，，，，求和； (2)求证：，； (3)求的最小值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是. 【分析】（1）直接根据定义求解； （2）分情况讨论证明，故可推知和不能同时为零，进而得到结论； （3）对的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可. 【详解】（1）以为首项的最长递增子列是，以为首项的最长递减子列是和. 所以，. （2）对，由于是的一个排列，故. 若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个， 得到一个以为首项的更长的递增子列，所以； 而每个以为首项的递减子列都不包含，且， 故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以. 这意味着； 若，同理有，，故. 总之有，从而和不能同时为零， 故. （3）根据小问2的证明过程知和不能同时为零，故. 情况一：当为偶数时，设，则一方面有 ； 另一方面，考虑这样一个数列：，. 则对，有，. 故此时. 结合以上两方面，知的最小值是. 情况二：当为奇数时，设，则一方面有 ； 另一方面，考虑这样一个数列：，. 则对，有，. 故此时. 结合以上两方面，知的最小值是. 综上，当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是. 【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某个数，再说明该表达式在某种情况下能取到，就得到了最小（或最大）值是，这便是“求最小（或最大）值”的本质. 而在这个过程中，“想到的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到的取值”无需交代，不影响解答的正确性. 换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的. 在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质. 27．（25-26高三上·北京·月考）从任一数列中，选取第项，第项，第 项（ ）， 新数列 为长度为 的子列.对于各项均不相同的数列，其各项从小到大按顺序排列为（其中 是 的一个排列.定义集合：，称集合的元素个数为数列的 “相邻计数”，记为 . (1)对于数列 ，直接写出它所有的 4 项子列 ，使得各项不同，且； (2)已知数列，证明：对于 的任意一个连续 4 项子列 ，都有； (3)已知数列 是 的一个排列，求证： 总存在长为 4050 项的子列 ，使得 . 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，各项不同的4项子列需要包含，利用题设中的新定义，结合列举法，即可求解； （2）利用反证法证明，假设，可得下标序号关系或，再分类分析矛盾可得； （3）先将数列的下标序列分组，由抽屉原理，删去首个至少包含两项的集合中的所有项及其他集合中的第一项生成新数列，并取出此两项为子列的前两项，依此类推构造系列新数列及取项，可得满足，进而得证. 【详解】（1）由题意，子列项数为，且子列各项由小到大排序后的下标序列， 需满足， 其中即且， 由数列， 各项均不同的长度为4的子列必包含， 则长度为4的子列所有可能为： ；；；；，； 因为各项从小到大按顺序排列后均为， 则对应下标序列的所有可能为： ；；；；； 故满足条件且的有；两种情况， 即满足题意的所有项子列为：与. （2）数列，各项不同，记为. 设是数列的任意一个长度为的子列，分别对应数列的第项， 且，对应项依次为， 记，即数列. 将这四项从小到大重新排序，记数列， 即，其中为的一个排列， 由，其中即且， 为集合中元素的个数. 下面用反证法证明：对于的任意一个长度为4的子列，都有； 假设，则，且， 则或， 即数列中，最小两项（前两项）都为原数列的奇数项，或都为原数列的偶数项. 将数列的下标序列分如下三组：， 这三组分别对应大数组；中数组；小数组. 由题意，假设若中至少存在个取值属于同一集合，则必存在，，这与假设矛盾. 故中至多两个取值属于同一集合， 第I类：当时，则， 即，且，即最小两项为，最大两项为， 则且. ①若，则，，则， 这与中至多两个取值属于同一集合矛盾； ②若，则由中至多两个取值属于同一集合，且， 可知，则， 故，这与矛盾； ③若，则，，则， 所以，这也与矛盾； 第II类：当时，则， 即，且，即最大两项为，最小两项为， 则且. ①若，则，，则， 这与中至多两个取值属于同一集合矛盾； ②若，则，， 同理由中至多两个取值属于同一集合， 可知，则，因此，则， 则， 故，这与矛盾； ③若，,同理可知，故. （i）若，，则，， ，这与矛盾； （ii）若，，， 若，，由数列为递减数列，则，这与矛盾； 若，则，，，这也与矛盾； 综上所述，不存在满足的数列， 故假设错误，，得证. （3）数列是的一个排列， 将数列的下标序列分如下组： ， 记（） 对的任意一个排列，总可以按如下方法构造一个数列， 在数列中前项中， 由抽屉原理可知，共个集合中至少存在一个包含项以上， 记首个包含第二项的集合为，数列中属于该集合的前两项分别设为， 其中，记， 可知中任意两项所属集合()都不同， 将数列中按序删去集合中所有项及属于其他集合的第一项，共删去项， 则数列为数列长度为的子列， 故数列中包含个集合的项，且每个集合各有项. 中还剩余项，可构成新数列， 则数列为数列长度为的子列， 故数列中包含个集合的项，且每个集合各有项. 同样的，在数列中前项中， 由抽屉原理可知，共个集合中至少存在一个包含项以上， 记首个包含第二项的集合为，属于该集合的前两项分别设为， 其中，记， 可知中任意两项所属集合()都不同， 将数列中按序删去集合中所有项及属于其他集合的第一项，共删去项， 则数列中还剩余项，可构成新数列， 则数列为数列长度为的子列， 故数列中包含除两集合外剩余个集合的项，且每个集合各有项 ， 依此类推，数列项的个数为，（规定数列） 数列中包含个集合的数，每个集合个数， 属于同一集合的前两项分别设为，，， 则可构造子列， 将中各项从小到大重新排序后，可知仍必相邻， 故. 由上构造可知，总存在长为4050项的子列，使得. 28．（25-26高三上·北京海淀·月考）如果无穷数列满足如下两个性质，则称数列为”好数列“： ①； ②集合和均为无限集. 对于任意”好数列“，将性质②中集合中的元素分别按照从小到大的次序排成数列和.对任意，令，称为”好数列“的相对位置数列. (1)分别写出下列”好数列“的相对位置数列： （i）； （ii）； (2)证明：对任意”好数列“是无限集； (3)已知”好数列“满足，且对任意，都有，证明： （i）对任意； （ii）不存在，使得. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 (3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据”好数列“的相对位置数列的定义直接写出即可. （2）利用反证法证明即可. （3）（i）用数学归纳法形式和用极值原理形式利用反证法证明即可；（ii）利用反证法证明即可. 【详解】（1）（i）由已知，， 所以数列为，数列为， 所以数列的相对位置数列为； （ii）由已知，， 所以数列为，数列为， 所以数列的相对位置数列为； （2）假设存在”好数列“不是无限集. 那么存在，当时，. 于是对任意，与为无限集矛盾！ 所以对任意”好数列“是无限集. （3）证明：（i）由得. 用数学归纳法形式书写： 假设时，， 所以 所以，又因为（即是相邻的两个下标）， 所以. 当时，，故， 于是. 同理，当时，也有. 所以对任意， 用极值原理形式书写： 假设是使得不成立的最小正整数，那么，且时，， 所以，所以， 又因为（即是相邻的两个下标），所以. 当时，，故， 于是.矛盾！ 同理，当时，也会引发矛盾. 所以对任意. （ii）假设存在，使得. 由（i）的结论可知，若，则下标必为偶数， 因为，所以这三个数中至少有两个数相等，分情况讨论： 情况1：或，若，则为偶数， 由周期性得，则为偶数， 但的奇偶性不同，矛盾。 情况2：且，此时必有， 由周期性，可得，这要求为偶数，即为偶数. 同时，由周期性，，可得， 这要求为偶数，即为奇数，既为偶数又为奇数，产生矛盾. 综上所述，假设不成立，故不存在，使得. （建议用时：80分钟） 29．（25-26高三上·北京通州·期中）设有序数阵，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． (1)若为的覆盖数阵，求的值； (2)当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵． (3)设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 【答案】(1)、、、、 (2)可为与 (3)证明见解析 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义可得，则可得符合要求的值，即可得解； （3）构造有序数阵，计算可得该有序数阵也是的覆盖数阵，且，则可得的覆盖数阵成对出现，即可得证. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则且，故，， 综上，有、、、、； （2）由，则，， 故， 又， 故， 则有， 即， 由，则， 当时，，不符； 当时，，不符； 当时，，符合， 实际上，符合要求； 当时，，符合， 由（1）知，符合要求； 综上所述：时，可为与； （3）若为的覆盖数阵， 则有，， 则存在有序数阵， 有，满足条件②， ，满足条件①， 故也为的覆盖数阵， 假设，则有，又， 则有，， 由，则与需恒为偶数，显然不可能， 故，故覆盖数阵成对出现，即为偶数，即有. 30．（25-26高三上·北京顺义·期中）对于数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，，记，，.对于数列：，，…，与：，，…，，定义.若数列：，，…，满足，则称数列为数列. (1)若：，1，，1，1，，写出，并求； (2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由： (3)若数列满足，求数列的个数. 【答案】(1)：1，，1，1，，，； (2)不存在适合题意的数列； (3). 【分析】（1）利用变换的定义即可； （2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得； （3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得. 【详解】（1）由：，1，，1，1，， 可得：1，，1，1，，， ，1，1，，，1. ∴； （2）∵， 由数列A为数列，所以， 对于数列，，…，中相邻的两项， 令，若，则，若，则， 记中有个，有个，则， 因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同， 故不存在适合题意的数列； （3）首先证明， 对于数列，，…，，有，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ∵， ， ∴， 故， 其次，由数列为数列可知，， 解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次， 若数列中的个数为个，此时数列有个， 所以数列的个数为个. 31．（24-25高三下·北京·月考）对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请直接写出集合和； (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； (3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 【答案】(1)， (2)最大值为31，最小值为11 (3)最小值为13，理由见解析 【分析】（1）根据新定义计算； （2）根据新定义可得当集合中的数字由大于1的因子组成时，中元素个数最大，当集合中的数字构成等比数列时，中元素个数最小，然后求最值即可； （3）对集合和分类，得到，，然后分和两种情况讨论即可. 【详解】（1），. （2）最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素， 可能构造如下：， 则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于1的因子组成； 最小值：不妨设，显然有， 则， 则至少有11个元素， 可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可. （3）中至少有13个元素，可能得构造如下：， 所以， 证明如下： 考虑对集合进行分类：，，， 设，，，表示集合中元素的个数， 则，， 设，在对集合进行分类： ，，， 设，，，分析与的关系： 对集合中的元素：，则， 则①； 对集合中的元素：②； 对集合中的元素：， 则， 则③； ①+②+③得到 ， 因为，则当时，，当或时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 从而元素个数至少为13. 【点睛】方法点睛：新定义题目解题策略： ①仔细阅读，理解新定义内涵； ②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 32．（24-25高三下·北京·开学考试）已知数列，记集合. (1)若数列为，数列为，分别写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值. 【答案】(1)，； (2)不存在，理由见解析； (3)2013. 【分析】（1）根据题目给出的集合的定义求解即可； （2）使用假设法，假设 存在，使得，进行计算检验，从而得出结论； （3）首先证明时，对任意的都有，然后证明除）形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解. 【详解】（1）对于数列，，，，所以； 对于数列，，，，所以. （2）假设存在，使得， 则有， 由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同， 又， 所以512中必有大于等于3的奇数因子，这与无1以外的奇数因子矛盾， 故不存在，使得. （3）首先证明时，对任意的都有， 因为， 由于与均大于2且奇偶性不同， 所以含有奇数因子， 对任意的都有， 其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 若正整数，其中， 则当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项， 由前面证明可知正整数不是中的项， 所以的最大值为2013. 【点睛】本题主要考查数列的综合应用，解题的关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. （建议用时：80分钟） 33．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知为有穷正整数数列，若存在，使得，其中，则称为连续可归零数列. (1)判断和是否为连续可归零数列？并说明理由； (2)对任意的正整数，记，其中表示数集S中最大的数.令， ①求和； ②求证：数列不是连续可归零数列； 【答案】(1)答案见解析； (2)；证明见解析. 【分析】（1）判断数列是否为连续可归零数列，关键看能否找到，使连续项.根据取值及式子奇偶性判断即可. （2）①直接根据定义计算的值，②求出数列各项.再依据与奇偶性相同，分或时，因为奇数其余为偶数，和为奇数；再结合取特定值时由第一题结论也不为，得出数列不是连续可归零数列. 【详解】（1）数列是连续可归零数列，理由如下： 取，则， 所以数列是连续可归零数列； 数列也是连续可归零数列，理由如下： 当时，取， 则， 所以数列也是连续可归零数列． （2）①因为1，3，5，7是奇数，故， ，显然； ②由上可知所以． 因为，所以． 因为，所以． 所以数列． 因为， 所以与奇偶性相同． （i）当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数， 所以为奇数． 所以． （ii）当取，时， 显然取与取相同，这里只分析前三种情况： 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 那么取同上论述， 综上可知：， 所以数列不是连续可归零数列． 34．（25-26高三上·北京·月考）已知含有n个元素的正整数集（）具有性质P：对任意不大于（其中）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k． (1)写出，的值； (2)证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”； (3)若，求当n取最小值时的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由性质，根据与时分析即可； （2）先证必要性：由，，…，成等差数列，故，由等差数列的求和公式得:；再证充分性：由，故（），故，，…，为等差数列； （3）先证明（）,因此，即，所以，由集合的性质，分类，即可求得当取最小值11时，的最大值为． 【详解】（1）由，且均为正整数，故，故， 故当不大于的正整数时，由题意必有，当时，可得； （2）先证必要性：因为，，，，…，成等差数列， 故其首项为，公差为，可得； 再证充分性：因为，，，…，为正整数数列， 故有，，，，…，， 所以，等号成立时， 又，故，故，，…，为等差数列． 综上可知，“，，…，成等差数列”的充要条件是“”； （3）先证明（）， 假设存在，且为最小的正整数， 依题意，则 ， 又因为， 故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和． 故假设不成立，即（）成立； 因此， 即，所以； 因为，则， 若，即时， 则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为， 故，即时， 此时可构造集合， 因为当时，可以等于集合中若干个元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； …… 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和， 所以集合满足题设， 所以当取最小值11时，的最大值为． 35．（25-26高三上·北京延庆·月考）已知数列，定义：.从中选取第项､第项､､第项，则称数列为的长度为的子列.若为的一个排列，则称数列具有性质. (1)已知，若数列是数列的长度为5的子列，写出的最大值和最小值； (2)已知数列具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值； (3)已知数列具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数. 【答案】(1)最大值9，最小值5 (2)最小值6 (3)最大值，这样的数列有个 【分析】（1）定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是，分析可得任意数列的子列的值不超过该数列本身的值.对于具有性质的数列，因此其长度为的子列的值不小于.然后计算数列的值，进一步构造子列使其值最大和最小； （2）根据已知条件分析可得该数列只有三个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项，这个极端项必为最大项6或最小项1，然后分别研究其最小值，最后比较得出总体的最小值； （3）分析可知对于数列,其值时必为交替数列，由此化简的表达式，并得出其最大值及取得最大值的条件，进而利用排列数和乘法计数原理得出当取得最大值时数列的个数. 【详解】（1）根据绝对值的性质可得当为单调递增或单调递减数列时，. 定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是极端项. 设数列A：中的极端项依次为，记， 则，其任意的子列,的每个极端项都必然在数列A的某两个相邻极端项之间，故其子列的相邻极端项的差的绝对值的和不超过数列的相邻极端项的绝对值的和，即. 对于具有性质的数列，是1，2，…的一个排列，任意相邻两项的差的绝对值都大于等于1， 因此其长度为的子列的值不小于. ​数列，. 子序列，，是的最大值， 子序列，，也是的最大值， 子序列，是的最小值. ∴的最大值和最小值分别是和； （2）∵已知数列A：具有性质，则是1,2,3,4,5,6的一个排列， 又∵存在唯一的长度为3的子列，使得， 则子列的极端项恰好是数列的极端项，且子列的极端项只有3个， ∴数列只有3个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项， 这个极端项必为最大项6或最小项1， 当中间的极端项1时，两端的极端项有一端为6，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6， 这样的数列的一个例子为. 中间的极端项为6时，两端的极端项有一端为1，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6， 这样的数列的一个例子为. ∴的最小值为6； （3）根据对称性不妨先设.首先证明：对于具有性质的数 ，当最大时，数不存在连续3项单调递增或递减， 假设具有性质的数列存在连续3项单调递增或递减， 即存在使得或， 则将调换到之前，得到， ，与最大矛盾， ∴假设不成立. 因此设，对于具有性质的数列，当最大时，必有， ∵为偶数，数列中的数分成2组： ，中的每个数都小于中的每个数， ∴ , 为了使得取得最大值，要尽可能的大，要尽可能的小， 在此之下，和再取剩余数中的最大和最小值， ∴， 当且仅当时取到“等号”，∴的最大值为， ∵有种不同的排列方式，也有种不同的排列方式， ∴这样的数列有个， 根据对称性，时也有同样的结果，对应的数列也有， ∴使得最大的数列总共有. 36．（25-26高三上·北京·开学考试）已知为给定的正整数，．数列，，若对于任意的，，都有，则称互为逆序数列． (1)已知，分别判断下面数列是否为的逆序数列，并说明理由． ①；②． (2)若，数列为等差数列，其前项和为，，．数列与数列互为逆序数列，求数列的公差的取值范围； (3)对于固定的正整数，，总有，，且数列互为逆序数列，求的最大值． 【答案】(1)数列不是的逆序数列，数列是的逆序数列. (2). (3) 【分析】（1）根据逆序数列的定义可得； （2）根据题意写出数列的通项公式及前项和的表达式，根据他们时逆序数列得到任意的，，据此分别分析当时与时的情况可得； （3）根据逆序数列的定义可得故当时，，当时，，其中，再就的不同范围分类计算后可得最大值. 【详解】（1）因为数列，由， 但，不满足条件； 数列，由， ，， 符合条件. 所以数列不是的逆序数列，数列是的逆序数列. （2）由题意，数列的通项公式为， 前项和为， 因为数列与数列互为逆序数列， 所以对于任意的，，故， 若，则，故， 故，矛盾； 若，则，故， 故，故即. 综上公差的取值范围为. （3）因为数列互为逆序数列，故时，，必定成立， 故为的一个排列，， 其中， 设，，则在中有项比小，有项比大， 故在中项比大，有项比小， 故当时，，当时，， 故，其中. 若为偶数，设，则. 当时， ; 当时， . 故此时. 若为奇数，设，则. 当时， ; 当时， . 当时，； 当时，； 故此时. 综上，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题第21题 数列新定义及集合新定义（讲练测） 1 7 8 9 10 11 13 14 【典例】1．（2025·北京·三模）记集合，表示集合中元素的个数. (1)求和； (2)求证：当为奇数时，； (3)求. 【典例】2．（2025·北京延庆·三模）已知数集具有性质:对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. (4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2个公式. 【典例】3．（2025·北京海淀·三模）设和M均为正整数，是两两不同的M元集合组成的集合序列，若存在，使得，就称Q中存在“三叶草”，并称为Q中的一片三叶草． (1)若，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草： ， ； (2)若满足，其中，，证明：Q中不存在三叶草； (3)若，其中，证明：Q中一定存在三叶草． 【典例】4．（2025·北京·三模）已知整数数列的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质： ①； ② 记 (1)若m=3，且，写出的值； (2)记其中表示集合A中元素的最大值. （i）若，，求的最大值； （ii）当时，若，求Q的最小值. 【典例】5．（2025·北京朝阳·二模）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数． (1)若，求的所有可能取值； (2)求证：数列中存在等于1的项； (3)求证：存在，使得集合为无穷集合． 【典例】6．（2025·北京·模拟预测）若有限数列A：的各项均为正整数，且对，都有，则称数列A具有性质P.将数列A各项之和记为. (1)分别判断下列两个数列：1，6，2，4，3，：1，2，3，4，5，…，10，是否具有性质P，并说明理由. (2)若数列A具有性质P，且项数m为6，求的最小值. (3)对具有性质P且项数固定为m的数列A，记的最小值为.判断是否存在正整数使得.若存在，求出所有的m；若不存在，请说明理由. 【典例】7．（2025·北京昌平·二模）设为正整数，数列是公差不为的等差数列，若从中去掉两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列是的可分数列． (1)写出所有，使得数列是、的可分数列； (2)当时，证明：数列是的可分数列； (3)若数列是的可分数列，记所有满足条件的的个数为，求的值． 【典例】8．（2025·北京·二模）已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯． (1)若数列：，求数列和； (2)设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列； (3)当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：． 【典例】9．（2025·北京东城·二模）已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. (1)已知数列，请写出中所有满足的数列； (2)当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； (3)当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 【典例】10．（2025·北京丰台·二模）设数列是的一个排列．由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中．任取不大于的正整数，当时，若数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，则称数列为“好数列”． (1)判断下列数列是否为“好数列”： ①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3． (2)证明：由的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列”（表示不超过的最大整数）； (3)若数列为“好数列”，求的最大值． 11．已知集合，1，2，，，集合，记的元素个数为．若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”． (1)若，分别判断集合，2，3，，，1，2，是否为“理想集”，并说明理由； (2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举； (3)若，证明：集合T必为“理想集”． 12．已知数列，，记集合的元素个数为. (1)若为1，2，4，8，12，写出集合，并求的值； (2)若为1，3，a，b，且，求和集合； (3)若数列项数为，满足，求证：“”的充要条件是“为等比数列”. 13．对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 14．已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 15．已知无穷数列中，，记，，． (1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值； (2)若为周期数列，证明：存在，使得当时，是常数． 16．（25-26高三上·北京大兴·月考）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”. (1)设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； (2)设数列的前三项为：，，，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； (3)设是公差为d的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且对任意，在中至少有n个为正数，求d的取值范围. 17．（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 18．（25-26高三上·北京朝阳·期中）设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. (1)若集合具有性质，写出集合； (2)若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； (3)若集合具有性质，求的最大值. 19．（25-26高三上·北京·月考）已知数表，，，若存在，使得中至少有4个元素大于，则称A为“大表”． (1)若，判断A是否为“大表”，说明理由； (2)若当，时，A必为“大表”，求t的最大值； (3)若当时，A必为“大表”，求的最小值． 20．（25-26高三上·北京·月考）对于有限正整数数列：，若存在连续子列和符号序列，使得，其中，则称数列存在平衡连续子列． (1)写出数列2，1，2，3的一个平衡连续子列； (2)设对任意正整数，定义函数为满足的非负整数，其中为奇数，令．求数列并判断其是否存在平衡连续子列，说明理由； (3)设数列的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，存在平衡连续子列． （建议用时：80分钟） 21．（25-26高三上·北京·月考）对在平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义：若，那么称点是点的“下位点”. (1)点是点的“下位点”吗？请简单说明理由. (2)若点是点的“下位点”，试判断，，之间的大小关系. (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得点是点的“下位点”，且点是点的“下位点”，求正整数的最小值. 22．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 23．（25-26高三上·北京·月考）如果无穷数列满足：，，使得，则称数列是“数列”. (1)下列无穷数列中，是“数列”的为 .（直接写出序号） ①满足，，； ②满足，，； ③满足，，； (2)证明：若无穷等差数列是“数列”，则且公差； (3)是否存在公比为整数且各项均为正数的无穷等比数列，使得和都是“数列”（其中的前项和记为）？若存在，求出所有符合题意的；若不存在，说明理由. 24．（25-26高三上·北京·月考）已知整数数列满足．定义数列，其中，对，表示集合的元素个数． (1)对于下列数列，分别写出其对应的： ①；②； (2)记，证明：若，则； (3)记为，当时，记为．证明：与的各项对应相等． （建议用时：80分钟） 25．（25-26高三上·北京·月考）设，为平面直角坐标系上的两点，其中，令，，若，且，则称点B为点A的“相关点”，记作：.已知（）为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中. (1)请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； (2)求证：若与重合，一定为偶数； (3)若，且，记，求T的最大值. 26．（2024·北京·三模）给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度. (1)若，，，，，求和； (2)求证：，； (3)求的最小值. 27．（25-26高三上·北京·月考）从任一数列中，选取第项，第项，第 项（ ）， 新数列 为长度为 的子列.对于各项均不相同的数列，其各项从小到大按顺序排列为（其中 是 的一个排列.定义集合：，称集合的元素个数为数列的 “相邻计数”，记为 . (1)对于数列 ，直接写出它所有的 4 项子列 ，使得各项不同，且； (2)已知数列，证明：对于 的任意一个连续 4 项子列 ，都有； (3)已知数列 是 的一个排列，求证： 总存在长为 4050 项的子列 ，使得 . 28．（25-26高三上·北京海淀·月考）如果无穷数列满足如下两个性质，则称数列为”好数列“： ①； ②集合和均为无限集. 对于任意”好数列“，将性质②中集合中的元素分别按照从小到大的次序排成数列和.对任意，令，称为”好数列“的相对位置数列. (1)分别写出下列”好数列“的相对位置数列： （i）； （ii）； (2)证明：对任意”好数列“是无限集； (3)已知”好数列“满足，且对任意，都有，证明： （i）对任意； （ii）不存在，使得. （建议用时：80分钟） 29．（25-26高三上·北京通州·期中）设有序数阵，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． (1)若为的覆盖数阵，求的值； (2)当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵． (3)设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 30．（25-26高三上·北京顺义·期中）对于数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，，记，，.对于数列：，，…，与：，，…，，定义.若数列：，，…，满足，则称数列为数列. (1)若：，1，，1，1，，写出，并求； (2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由： (3)若数列满足，求数列的个数. 31．（24-25高三下·北京·月考）对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请直接写出集合和； (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； (3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 32．（24-25高三下·北京·开学考试）已知数列，记集合. (1)若数列为，数列为，分别写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值. （建议用时：80分钟） 33．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知为有穷正整数数列，若存在，使得，其中，则称为连续可归零数列. (1)判断和是否为连续可归零数列？并说明理由； (2)对任意的正整数，记，其中表示数集S中最大的数.令， ①求和； ②求证：数列不是连续可归零数列； 34．（25-26高三上·北京·月考）已知含有n个元素的正整数集（）具有性质P：对任意不大于（其中）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k． (1)写出，的值； (2)证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”； (3)若，求当n取最小值时的最大值． 35．（25-26高三上·北京延庆·月考）已知数列，定义：.从中选取第项､第项､､第项，则称数列为的长度为的子列.若为的一个排列，则称数列具有性质. (1)已知，若数列是数列的长度为5的子列，写出的最大值和最小值； (2)已知数列具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值； (3)已知数列具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数. 36．（25-26高三上·北京·开学考试）已知为给定的正整数，．数列，，若对于任意的，，都有，则称互为逆序数列． (1)已知，分别判断下面数列是否为的逆序数列，并说明理由． ①；②． (2)若，数列为等差数列，其前项和为，，．数列与数列互为逆序数列，求数列的公差的取值范围； (3)对于固定的正整数，，总有，，且数列互为逆序数列，求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $