解答题第17题 三角函数与解三角形讲义-2026年高考数学二轮复习【会一题通一类系列】（北京专用）

解答题第17题 三角函数与解三角形（讲练测） 1 7 7 9 11 12 14 16 【典例】1．（25-26高三上·北京房山·开学考试）在中，． (1)求的值； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分． 【典例】2．（25-26高三上·北京延庆·月考）如图所示，公园里有一块边长为2的等边三角形草坪（记为），计划沿图中线段铺设灌溉水管，在上，在上，设.    (1)若，求的面积； (2)若图中把草坪分成面积相等的两部分，求关于的函数关系及的最小值. 【典例】3．（25-26高三上·北京·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且． (1)求角B的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得唯一确定，求的周长， 条件①： 条件②： 条件③：边上的高是7． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【典例】4．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【典例】5．（25-26高三上·北京·月考）已知，是函数的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. (1)求的解析式； (2)若在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【典例】6．（25-26高三上·北京·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)给出以下三个条件： 条件①：；条件②：；条件③：. 这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： （i）求的值； （ii）求的角平分线的长. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【典例】7．（2025·北京东城·二模）已知函数. (1)若的最小值为，求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【典例】8．（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：是的一个零点． 【典例】9．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题． (1)求的值，并写出函数的单调递减区间； (2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【典例】10．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 11．（2025·北京昌平·二模）在中，为锐角，． (1)求； (2)若，求的面积． 12．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 13．（2025·北京丰台·二模）在中，． (1)求； (2)若,，求边上的高． 14．（2025·北京·二模）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 15．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 16．（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)若，求的值； (2)若在一个周期内的部分取值如下表，： x 0 m 求的解析式及单调增区间． 17．（2025·北京·模拟预测）在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 18．（2025·北京丰台·一模）在中，． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（25-26高三上·北京通州·月考）在中，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20．（25-26高三上·北京朝阳·月考）在中，． (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 21．（2025·北京海淀·一模）在中，已知，． (1)求的值； (2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 22．（2025·北京海淀·三模）在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 23．（2025·北京·三模）已知函数. (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 24．（2025·北京海淀·三模）已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题． 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③：． (1)求、的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 25．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． 条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为；条件③：的图象经过点． (1)确定的解析式； (2)将纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再将图像向右平移个单位，然后横坐标不变纵坐标变为原来的，就得到了的图像，令，求的最大值及取得最大值时的值 （建议用时：40分钟） 26．（25-26高三上·北京·月考）在 中， . (1)求的值； (2)再从条件 ①、条件 ②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 27．（24-25高三上·北京海淀·月考）在中，角的对边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：边上的中线长为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 28．（25-26高三上·北京·月考）已知函数的一部分图像如图所示. 其中 点是图像与轴的交点，点横坐标，且. (1)求的解析式： (2)将的图像向左平移个单位得到的图像，令函数 ，求的单调递减区间，和在上的值域. 29．（25-26高三上·北京延庆·月考）已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是奇函数； 条件③：是的一个零点. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 30．（25-26高三上·北京海淀·月考）在中，（为的面积）. (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. （建议用时：50分钟） 31．（25-26高三上·北京·开学考试）在中，. (1)求； (2)若，并在条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：设CD为AB边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 32．（25-26高三上·北京·月考）在中，分别为角的对边，，且. (1)求角的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 33．（2025·北京西城·一模）在中，． (1)求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 34．（2025·北京通州·一模）设函数 (1)若，求的值. (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值. 条件①：在区间上单调递减； 条件②：； 条件③：为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分， 35．（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：在区间上单调递增； 条件②：的最大值为； 条件③：为偶函数． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （建议用时：50分钟） 36．（2025·北京延庆·一模）在中，，. (1)求b； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积. 条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 37．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）在中，，. (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 38．（25-26高三上·北京东城·月考）设的内角的对边分别为，且． (1)求角大小； (2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 39．（25-26高三上·北京·月考）函数. (1)若，求及的单调递增区间； (2)在上单调递增，且存在，使在至少有3个零点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在唯一确定，求的最小正周期. 条件①:； 条件②:； 条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，第一个解答计分. 40．（2025·北京·三模）在△ABC中, (1)求∠B； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件①: ； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. （建议用时：60分钟） 41．（25-26高三上·北京东城·月考）在中，. (1)求角的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①．的周长为；条件②．；条件③．边上的高线长为1．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 42．（2025·北京朝阳·一模）在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 43．（25-26高三上·北京·月考）在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 44．（25-26高三上·北京·月考）已知函数.从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定. (1)求的值； (2)若不等式在区间内有解，求的取值范围. 条件①：； 条件②：图象关于对称，且在区间有且只有一个最大值和一个最小值； 条件③：在区间内无极值点，且恒成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 45．（24-25高三下·北京·月考）已知函数（，）的最小正周期为T.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并回答下面两个问题. (1)直接写出和的值，并求的对称轴. (2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求m的取值范围. 条件①：的图象可由的图象平移得到； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：； 条件④：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题第17题 三角函数与解三角形（讲练测） 1 18 22 29 37 44 52 59 【典例】1．（25-26高三上·北京房山·开学考试）在中，． (1)求的值； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用同角公式及正弦定理边化角求解. （2）选择条件①，利用余弦定理、三角形面积公式求解；选择条件②，利用正弦定理求出，再利用余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，由，得， 由及正弦定理，得，所以. （2）选择条件①：，由余弦定理，得， 而，解得，所以的面积为. 条件②：，由正弦定理得，由（1）得， 由余弦定理，得， 而，解得，所以的面积为. 【典例】2．（25-26高三上·北京延庆·月考）如图所示，公园里有一块边长为2的等边三角形草坪（记为），计划沿图中线段铺设灌溉水管，在上，在上，设.    (1)若，求的面积； (2)若图中把草坪分成面积相等的两部分，求关于的函数关系及的最小值. 【答案】(1) (2)，，的最小值为. 【分析】（1）根据余弦定理求，再根据正弦定理，即可求解； （2）首先根据三角形面积公式求，再根据余弦定理表示函数关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可知，, 条件，所以，则， 因为，，则， ， 所以根据正弦定理，，则, 所以； （2）， 所以，即，得， 中，根据余弦定理, 所以，， 所以，当时，即时等号成立， 所以，，的最小值为. 【典例】3．（25-26高三上·北京·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且． (1)求角B的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得唯一确定，求的周长， 条件①： 条件②： 条件③：边上的高是7． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）已知条件利用余弦定理和三角形面积公式化简得，可求角B的大小； （2）根据所选条件，结合正余弦定理解三角形，求周长. 【详解】（1）由余弦定理和三角形面积公式，，， 已知，则， 所以，由，得. （2）若选择条件①和条件②： 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有，，， 由，得， ， 由正弦定理和，， ，， 周长为. 若选项条件①和条件③： 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有，，边上的高是7． 由，得， ， 边上的高是7，则有，即， 得，，， 周长为. 若选择条件②和条件③： 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有，，边上的高是7． 边上的高是7，则有，又，则有， 由正弦定理有，则，不合题意， 此时不存在. 【典例】4．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解， （2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解. 【详解】（1）方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由①②得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. （2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①. 选条件②： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③： 边上的高，所以， 以下与选择条件②相同. 【典例】5．（25-26高三上·北京·月考）已知，是函数的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. (1)求的解析式； (2)若在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)答案详见解析 (2) 【分析】（1）可选择条件①与条件②，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件①可得函数最小正周期，即可得，再借助条件②，由极值点定义计算可得；或条件①与条件③，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件①可得函数最小正周期，即可得，再借助条件③计算可得；不能选择条件②与条件③，结合对称轴的定义计算可得，但使用条件③时会导致多解； （2）结合正弦型函数性质计算即可得. 【详解】（1） ； 若：选择条件①：与条件②：： 由，则的最小正周期，则，即； 由为对称轴，可得， 所以的极值为或， 根据条件②，可得或， 解得（与矛盾，舍去）或， 故，； 若：选择条件①：与条件③：： 由，则的最小正周期，则，即； 又，则，即， 故； 不能选择条件②与条件③，理由如下： 若：选择条件②：与条件③：： 由为对称轴，可得， 所以的极值为或， 根据条件②，可得或， 解得（与矛盾，舍去）或， 由，则，有， 故或，， 则或，，则有无数种取值可能，的解析式不唯一； （2）当时，， 由在区间上有且仅有2个零点， 则，解得. 【典例】6．（25-26高三上·北京·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)给出以下三个条件： 条件①：；条件②：；条件③：. 这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： （i）求的值； （ii）求的角平分线的长. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选②③，（i）；（ii） 【分析】（1）由两角和差的正弦及辅助角公式化简可得，进而可得； （2）利用余弦定理即可推出条件①不正确；根据三角形面积公式和余弦定理求出，结合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程组即可. 【详解】（1）由可得， 即，， 因为，所以，则，解得； （2）若条件①正确，由，得， 由余弦定理，得，即， 解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确； （i）由，， 得，解得， 由余弦定理，得， 因为，所以，由正弦定理， 得，即； 由正弦定理，得，即， （ii）因为平分，，所以， 在中，由正弦定理，得， 在中，由正弦定理，得， 又，上述两式相除，得， 解得，所以. 【典例】7．（2025·北京东城·二模）已知函数. (1)若的最小值为，求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换将解析式变形为，根据三角函数的性质可得最小值，即可求解； （2）由，即可求解，可得；若选择条件①：由已知可得，，求解函数的对称轴，将和代入可知函数存在且不唯一；若选择条件②：根据单调区间可得，将点代入，可得，根据的范围即可求解，根据的范围结合三角函数的图象与性质即可求解；若选择条件③：由可知，再根据可知或，结合的范围即可求解，根据的范围结合三角函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1） ， 因为的最小值为，所以，所以； （2）因为，所以，解得， 所以， 若选择条件①：函数的图象的对称轴为， 所以，所以，， 因为，所以，， 所以，即， 因为，故，且，对应的满足题意， 所以函数存在且不唯一； 若选择条件②：因为在区间上单调，所以， 所以，又，所以， 因为的图象关于点对称，所以， 所以，所以， 所以，解得，因为，所以，即， 所以，此时当时，， 故在上单调减，故符合题设要求. 因为，所以， 所以，所以； 若选择条件③：因为的最小正周期，所以， 所以，又，所以， 因为，所以， 所以或， 所以或， 当时，，因为，所以，此时， 当时，，因为，所以不存在满足不等式的，此时无解，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以. 【典例】8．（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：是的一个零点． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式化简，再代入的值，即可得到函数解析式，再由正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再根据所选条件，得到方程，求出的取值（集合），即可得到函数解析式，从而求出函数的最小正周期. 【详解】（1）因为 ， 当时，，则， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）因为，在区间上单调递增，且， 所以，解得； 若选①：，又在区间上单调递增， 所以曲线关于对称，且点在曲线的递增部分上， 则，所以，解得， 又，所以， 则，所以的最小正周期为； 若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增， 所以在处取得最大值， 则，所以，解得， 又，所以， 则，所以的最小正周期为； 若选③：是的一个零点， 则，所以，解得， 又，所以或， 当时，，所以的最小正周期为； 当时，，所以的最小正周期为； 则函数唯一，不符合题意. 【典例】9．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题． (1)求的值，并写出函数的单调递减区间； (2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)答案见解析， (2) 【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解，再由整体代入法求单调区间即可； （2）由和差角公式以及辅助角公式化简，由整体法即可代入求解. 【详解】（1）选条件①：无意义，所以选条件①时不存在，故不能选①， 选条件②． 由题设，所以． 因为， 所以，所以． 所以． 选条件③，由题设． 整理得． 因为， 所以，所以． 所以． 所以 由， 解得， 即函数的单调递减区间为 （2）由（1） ， 因为， 所以． 于是，当且仅当，即时，取得最大值； 当且仅当，即时，取得最小值． 又，即时，． 时，故， 故 在上单调递增，同理在上单调递减， 所以曲线与直线恰有一个公共点时，则或 的取值范围是． 【典例】10．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式即可求解； （2）关于条件①，从函数的周期，以及单调区间两方面限制求出的取值范围；关于条件②求出函数对称中心表达式，将代入，确定的取值；关于条件③根据已知条件确定，从而确定的取值；再从选条件①②、①③、②③三种情况分别确定的值，再利用函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以. （2）对于条件①：在上是单调函数， 因为在上是单调函数，所以， 所以，又因为，解得， 因为， 解得， 所以函数的单调单调递增区间为： ， 若函数在上单调递增，则， 整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 因为， 解得， 所以函数的单调单调递减区间为： ， 若函数在上单调递减，则， 整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 对于条件②：图象的一个对称中心为， 因为，解得， 所以函数的对称中心为， 若是图象的一个对称中心， 则，解得； 对于条件③：对任意的，都有成立， 则时，函数取得最大值，有， 解得； 若选条件①②，则有，方程无解， 或，时，， 所以，因为，所以， 因为在区间上仅有一个零点， 所以，，解得； 若选条件①③，则有有，方程无解， 或，时，， 所以，因为，所以， 因为在区间上仅有一个零点， 所以，，解得； 若选条件②③，则有， 即，方程解不唯一， 此时取值不唯一，所以函数不唯一，不合要求. 11．（2025·北京昌平·二模）在中，为锐角，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算求出角； （2）先根据正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】（1）由及正弦定理， 得． 因为在中，，所以． 因为，所以． 因为为锐角，所以． （2）由，且，解得． 由余弦定理，得，解得或（舍）． 所以的面积． 12．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积； （2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证. 【详解】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 13．（2025·北京丰台·二模）在中，． (1)求； (2)若,，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数的性质求解角； （2）先根据余弦定理求出边，然后利用三角形面积公式求出边上的高. 【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理及，得， 因为， 所以， 所以． 所以． （2）因为， 由余弦定理，得， 所以．设边上的高为， 又的面积， 所以， 所以AB边上的高为． 14．（2025·北京·二模）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数的关系及正弦二倍角公式化简，即可求解； （2）由正弦定理求得，再结合余弦定理求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由，得． 由，得，故， 所以． （2）由正弦定理得，，即． 由余弦定理得，， 即，解得或（舍）． 所以， 故． 15．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式化简可得解； （2）根据三角形面积可得，再根据等面积法可得角分线长度. 【详解】（1）由已知， 又由正弦定理可得， 又，所以， 则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即， 解得. 16．（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)若，求的值； (2)若在一个周期内的部分取值如下表，： x 0 m 求的解析式及单调增区间． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）代入求出的值. （2）利用表格中数据求出对称轴及可能对称中心，进而求出，再利用正弦函数单调性求出增区间. 【详解】（1）由，得，而， 所以. （2）函数， 由表格中数据知，是函数图象的对称轴，对称中心可能为或， 又所给取值在函数的一个周期内，则周期，， 则或，解得或， 则或，而，因此，， 由，得，又，则， 所以的解析式是； 由，得， 所以的单调递增区间是. 17．（2025·北京·模拟预测）在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 【答案】(1) (2)选①无解；选②或；选③ 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式可得； （2）选①，由三角形中边长数据分析可得不合题意；选②，利用正弦定理，余弦定理及三角形面积公式即得；选③，由，利用余弦定理可求得，再由余弦定理可求得，进而求得，由三角形面积公式即得. 【详解】（1）在中，， 又， 由正弦定理得，， 即， 即，由正弦定理得，， 又，所以. （2）选①边上的高为7， 过作于，如图， 由已知，在中，，， 显然这样的三角形不存在，所以无解. 选②，即， 又，，则由正弦定理得，即， 则， 由余弦定理，得， 即，解得或， 当时， 的面积， 当时， 的面积. 选③边上的中线长5， 设的中点为，由（1）知，则， 又， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 因为，所以， 则，解得， 在中，由余弦定理，， 则， 所以的面积. 18．（2025·北京丰台·一模）在中，． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用余弦定理的推论，将等式进行变形即可求出的值，在由同角三角函数的基本关系即可求解； （2）选择条件①时，利用面积公式求出，再利用正弦定理得，联立求解即可；选择条件②：利用面积公式求出，利用，且，所以．进一步得出，再联立求解即可；选择条件③：不符合题意，因为，不可能． 【详解】（1）在中，因为， 由余弦定理，得． 因为，所以． （2）选择条件①： 因为，所以，． 由题意得，所以． 因为，， 所以 ． 由正弦定理，得， 又，解得，所以． 选择条件②： 由题意得，所以． 因为，且，所以． 又，所以， 又，解得或． 选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能． 19．（25-26高三上·北京通州·月考）在中，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选②或③， 【分析】（1）由正弦定理可得出的值； （2）选①，根据三角形三边关系说明三角形不存在；选②，利用余弦定理求出角的值，进而得出的值，结合勾股定理可知为等腰直角三角形；选③，利用正弦定理化简得出的值，可得出角的值，利用余弦定理可求出的值，结合勾股定理可知为等腰直角三角形.再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理得. （2）依题意，，由正弦定理得. 选①，， 则，三角形不存在，不符合题意. 选②，， 则， ，则为锐角，且. 由得，解得， 所以，故， 此时三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意. 选③，， 由正弦定理得， 由于，，所以，则，则为锐角，且. 由余弦定理得，即， 得，故， 所以，故， 所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意. 所以. 20．（25-26高三上·北京朝阳·月考）在中，． (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1) (2)条件①：不存在，不存在面积；条件②：；条件③： 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式即可； （2）若选条件①：利用余弦定理分析即可；若选条件②：利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可；选条件③：利用余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理， 得． 所以． 所以． 因为，所以． 所以． 所以． （2）选条件①：，， 由余弦定理， 得， ，不存在. 选条件②：， 由，可得， 由正弦定理， 得， 由余弦定理得： ， 整理得， 解得，或（舍）， 所以的面积． 条件③：， 因为，且，所以， 由余弦定理， 得， 解得，或（舍）， 所以的面积为： ． 21．（2025·北京海淀·一模）在中，已知，． (1)求的值； (2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）转化已知条件求得，解得正弦定理，即可求得； （2）对条件①：求得，由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由，判定角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得，以及，即可求得其面积；对条件③，求得，由，判定为锐角，三角唯一，同理求得，即可求得三角形面积. 【详解】（1）因为，则， 又，，故，也即； 又，由正弦定理可得：，解得. （2）由（1）可知，，又为锐角，故，又； 若选择条件①：，由正弦定理可得，解得， 此时，可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择； 若选择条件②：，则，由正弦定理，可得； 此时，两角均为锐角，故三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 若选择条件③：，又，解得， 因为，又为锐角，故也是锐角，此时，三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为. 22．（2025·北京海淀·三模）在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)所选条件见解析，. 【分析】（1）法一：由正弦定理及已知可得，再由三角形内角的性质、诱导公式、和角正弦公式并整理得，进而求角的大小；法二：由余弦边角关系及已知得，再由余弦定理求角的大小； （2）根据所选条件，综合运用正余弦定理、三角形面积公式求边上中线的长． 【详解】（1）法一：由正弦定理及，得， 因为， 所以，整理得． 因为，所以，所以，又，所以． 法二：由余弦定理，，代入得：． 整理得：，所以，又，所以． （2）选条件①：取的中点，连接， 由正弦定理及，得， 因为，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件③：取的中点，连接，由正弦定理及，得， 因为的面积为，所以，即， 又，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件②：由，知， 在中，由余弦定理知，， 若，则，该等式恒成立， 即不唯一，不符合题意． 23．（2025·北京·三模）已知函数. (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）化简函数为，进而求得的值； （2）先化简得到，根据题意，分别选择①②，②③和①③，结合三角函数的图象与性质，列出方程求解，即可得到答案. 【详解】（1）解：若，可得， 所以. （2）解：由 ， 若选择条件①： 由，可得，所以，因为，可得不存在； 故只能选择条件②③： 由，由且的最小值为， 可得，可得，可得，所以， 此时， 又由图象关于直线对称，可得， 即，所以，可得， 因为，可得； 所以，当时，， 时，取最大值， 所以，. 24．（2025·北京海淀·三模）已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题． 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③：． (1)求、的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助二倍角公式化简，根据不成立说明不能选择条件①.若选条件②或③，结合函数的对称性及特殊点的函数值可得结果. （2）结合正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）由题意得， . 若选条件①：因为是图象的对称轴，所以，不可能满足， 所以不能选择条件①； 若选条件②：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，当时，取到最小值， 所以的最小正周期，且， 因为，所以， 所以，故， 所以，，即，， 因为，所以. 若选条件③：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，， 所以的最小正周期，且， 因为，所以， 所以，故， 所以，，即，， 因为，所以. （2）由（1）知，， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 故实数m的最大值为 25．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． 条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为；条件③：的图象经过点． (1)确定的解析式； (2)将纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再将图像向右平移个单位，然后横坐标不变纵坐标变为原来的，就得到了的图像，令，求的最大值及取得最大值时的值 【答案】(1)； (2)当，或，时，取得最大值 【分析】（1）分别将条件①②③化简，结合三角函数的性质代入计算，即可得到其解析式； （2）由三角函数的图像变换得到函数的解析式，再结合换元法，由二次函数的最值即可得到结果. 【详解】（1）由图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 可得的最小正周期，， 此时， 选条件①②， 因为，所以， 因为图象的一个对称中心为，所以， 因为，所以，所以； 选条件①③， 因为，所以， 因为的图象经过点，则， 即，， 因为，即，所以， 所以，解得， 所以； 选条件②③， 因为图象的一个对称中心为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为的图象经过点，则， 即，，即，所以， 所以； （2）将纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，解析式变为， 再将图像向右平移个单位，解析式变为， 然后横坐标不变纵坐标变为原来的，可得， ， 令，， 函数可化为， 对称轴为，在上单调递增，上单调递减， 且，所以， 即的最大值为， 此时，， 即或. （建议用时：40分钟） 26．（25-26高三上·北京·月考）在 中， . (1)求的值； (2)再从条件 ①、条件 ②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由，求得，再由，结合正弦定理，即可求解； （2）选择条件①，由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解；选择条件②，利用正余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解；选择条件③，由余弦定理，列出方程，得到，此时可以取任意值，不符合题意. 【详解】（1）解：由，因为，可得， 又由，根据正弦定理，可得，所以， （2）解：选择条件①：且，由余弦定理得， 可得，解得， 所以的面积； 选择条件②：，由正弦定理，可得， 因为，可得， 因为，由余弦定理得， 可得，解得， 所以的面积； 选择条件③：且，可得， 由余弦定理得，即， 即，此时恒成立，可以取任意值，此时不确定，（舍去）. 27．（24-25高三上·北京海淀·月考）在中，角的对边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：边上的中线长为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换得即可求解； （2）选条件①，说明即可说明①不符合题意；选条件②，由余弦定理依次算得即可说明存在且唯一，结合三角形面积公式计算的面积即可；选条件③，，结合以及余弦定理得，解得，故③符合题意. 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以； （2）若选条件①：，则， 此时，但这与三角形内角和矛盾，此时不存在； 若选条件②：边上的中线长为， 设，由题意，，， 由余弦定理有，即， 解得或舍去， 由余弦定理得，， 此时存在且唯一，且的面积； 若选条件③：，， 即， 因为，所以由余弦定理有，即， 即， 因为，所以， 即，解得, 则，此时三角形是唯一存在的， 所以的面积为. 28．（25-26高三上·北京·月考）已知函数的一部分图像如图所示. 其中 点是图像与轴的交点，点横坐标，且. (1)求的解析式： (2)将的图像向左平移个单位得到的图像，令函数 ，求的单调递减区间，和在上的值域. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由，得到，求得，再由，求得，得到，即可求得函数的解析式； （2）根据三角函数的图象变换，求得，得到，结合正弦型函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的一部分图像， 因为，可得点的纵坐标为，即， 根据正弦函数图象的五点法，可得， 又因为，所以，所以 又由点横坐标，可得，即， 可得，解得， 又因为，可得，所以， 所以函数 （2）解：由（1）知：， 将的图像向左平移个单位得到， 所以 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为； 当时，可得， 当时，即时，，所以； 当时，即时，，所以， 所以的最大值为，最小值为，所以函数的值域为 29．（25-26高三上·北京延庆·月考）已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是奇函数； 条件③：是的一个零点. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)选择条件①或③， (2)最大值，最小值 【分析】（1）根据正弦函数图像的性质，利用整体代入法求； （2）先用积化和差公式将函数解析式变形，再考虑的单调性，从而求出在区间上的最值 【详解】（1）若选择条件①. .所以，.故. 因为，所以只有当时满足条件，故. 若选择条件②. 定义域为，因是奇函数，所以对，有. 因此，，因对恒成立，故有. 因而，应是函数的一条对称轴，故，. 因为，没有满足条件，故不存在. 若选择条件③. 因为是的一个零点，所以，即. 因此，即，. 因为，所以只有当时满足条件，故. 故选择条件①或③，. （2），用积化和差公式得，. 故. 当时，即时，函数单调递增，即函数单调递减. 即当时，在区间上单调递减. 又因为图象的一条对称轴为，所以在区间上单调递增. 故在区间上，函数在上单调递减，上单调递增. ，，. 因此，函数在区间上的最大值为，最小值为. 30．（25-26高三上·北京海淀·月考）在中，（为的面积）. (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据余弦定理和三角形面积公式即可求得角的值. （2）选条件①②：先求出，然后求出，然后利用正弦定理求出，即可求出三角形的周长；选条件①③：先求出，然后利用正弦定理和余弦定理求出，即可求出三角形的周长. 选条件②③：不存在. 【详解】（1）由余弦定理，，又， 所以，得 （2）选条件①②： ， ，则. 由正弦定理，代入解得：， 所以的周长为. 选条件①③： ， ， 由正弦定理可得， 不妨设，设中点为， 由余弦定理， 由得，解得，所以的周长为. （注：若选条件②③，此时边上的高，边上的中线， 由于，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.） （建议用时：50分钟） 31．（25-26高三上·北京·开学考试）在中，. (1)求； (2)若，并在条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：设CD为AB边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择条件，答案见解析. 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用差角的余弦公式求解. （2）选择条件①，利用余弦函数单调性，结合已知导出矛盾；选择条件②，利用余弦定理及三角形面积公式求解；选择条件③，利用直角三角形边角关系求出，再利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，解得，又， 所以. （2）选择条件①：，而，余弦函数在上单调递减， 则，，与矛盾，因此不存在. 选择条件②：，由（1）及余弦定理，， 得，解得，，经检验存在且唯一确定， 所以的面积. 选择条件③：CD为AB边上的高，且，则， 由（1）及余弦定理，， 得，解得，，经检验存在且唯一确定， 所以的面积. 32．（25-26高三上·北京·月考）在中，分别为角的对边，，且. (1)求角的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据三角形边与角的关系结合即可求解； （2）对给出的三个条件逐一探讨，若选①，由余弦定理解得或.分类讨论三角形的形状，再结合面积公式即可求解；若选择②，先计算，由正弦定理得,再由余弦定理解得或.分类讨论三角形的形状，再结合面积公式即可求解；若选③，由正弦定理求出的值，由两角和的正弦公式求出的值，结合面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，，所以，所以， 所以，又， 所以，所以； （2）选择条件①：为锐角， 由（1）， 由余弦定理有：， 所以，即， 解得或， 当时，，所以为钝角，不满足题意， 当时，，所以为锐角，满足题意， 综上，满足条件的存在且唯一确定， 所以； 选择条件②：， 由（1）， 所以为钝角，且唯一，满足题意， 所以， 由正弦定理得， 又由余弦定理得， 所以，即， 解得或， 当时，，所以为钝角，满足题意， 当时，，所以为锐角，不满足题意， 综上，满足条件的存在且唯一确定， 所以； 条件③：， 由（1）， 所以，由正弦定理得，所以， 所以， 由正弦定理得， 又， 所以. 33．（2025·北京西城·一模）在中，． (1)求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)条件选择见解析，答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值； （2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可值条件①，不符合要求； 选择条件②，求出的值，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可求出边上的高； 选择条件③；求出、的值，利用两角和的正弦公式可求出的值，利用正弦定理求出的值，进而可得出边上的高为，求解即可； 【详解】（1）由正弦定理，且， 得，即． 由，得．所以． 由，得，所以． （2）选择条件①：因为，且余弦函数在上单调递减， 故，又因为，从而可得，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立. 选择条件②：由，且，得． 由余弦定理，得， 解得或（舍）． 设边上的高为，则三角形面积， 所以． 选择条件③：由，且，得． 由，且，得． 所以． 由正弦定理，得，所以边上的高． 34．（2025·北京通州·一模）设函数 (1)若，求的值. (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值. 条件①：在区间上单调递减； 条件②：； 条件③：为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分， 【答案】(1) (2)选择条件①或③，. 【分析】（1）利用得，再结合的范围即可； （2）选择条件①或③，则可利用最小值和最大值求出半周期，即可求，再根据最值即可求解；若选择②，因不在值域范围内，故不存在解析式. 【详解】（1）由题意可知，即， 因，则. （2）条件①：在上单调递减，在上单调递增，且， 则在处取最小值，在处取最大值， 则，， 则，， 因，则， 则； 条件②：因，则不可能成立，故无解析式； 条件③：因，则在处取最大值， 又为函数图象的一条对称轴，且在上单调递增， 则在处取最小值， 则，， 则，， 因，则， 则. 综上可知，若选择条件①或③，则； 若选择条件②，则不存在解析式. 35．（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：在区间上单调递增； 条件②：的最大值为； 条件③：为偶函数． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）由两角和的正弦公式化简，再由正弦型函数的周期性、单调性求解； （2）分别选择条件后根据条件分析的取值是否唯一，若唯一，再由正弦型函数的性质求最值即可，若不唯一，则放弃该条件的选择. 【详解】（1）由题意得， 所以的最小正周期， 由， 得． 所以的单调递增区间为． （2）选择条件①： 由题意得． 由（1）可知的单调递增区间为． 由在区间上单调递增，得 解得． 又因为，所以． 从而存在且唯一， 当时，， 所以当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值．                     选择条件②： 由题意得， 函数最大值为，则只需， 由于，故的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②； 选择条件③： 由题意得． 由为偶函数可知， 解得． 又因为，所以． 从而存在且唯一． 当时，， 所以当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值． （建议用时：50分钟） 36．（2025·北京延庆·一模）在中，，. (1)求b； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积. 条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解； （2）若选择①②，应用余弦定理结合锐角三角形，即可判断；若选择③应用余弦定理及同角三角函数关系，以及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，因为， 再由 可得. 所以，即， 所以. 因为，所以. （2）选择条件①：，，， 由余弦定理得，， 因为为锐角三角形，所以不符合题意，不存在三角形； 选择条件②： 在中，设点为的中点，则，， 中，根据余弦定理 解得，所以，所以， 因为，所以为锐角三角形， 所以， 在中，. 选择条件③：在中，为锐角三角形， 因为，所以， 所以，，，所以， 所以，所以，解得或舍. 所以，所以为锐角三角形， 所以， 在中，. 37．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）在中，，. (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择见解析， 【分析】（1）利用正弦定理即可求解； （2）若选择条件①，解法1：利用正弦定理求即可判断，解法2：利用余弦定理得，利用判别式即可判断； 若选择条件②，利用同角三角函数平方关系先求，利用两角和的正弦公式得，再利用正弦定理求，最后由三角形的面积公式即可求解； 若选择条件③，利用余弦定理即可求，进而得，再由三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为在中， ， 由正弦定理，      ，                               因为，所以 ； （2）若选择条件①： ， 解法1：由正弦定理得， 此时，不存在，不符合要求， 解法2：将,，， 由余弦定理得：，， 所以方程无实数解，不存在，不符合要求，                           若选择条件②：， 因为在中，， 所以由正弦定理得，                    所以，                 ，                                         又由正弦定理得 ， 所以三角形的面积为： ；                    若选择条件③：， 将,代入余弦定理 ， ，                   解得：，              进而得，                  所以三角形的面积为： . 38．（25-26高三上·北京东城·月考）设的内角的对边分别为，且． (1)求角大小； (2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理可得，即，再结合为三角形内角可求角. （2）选①：由余弦定理可得满足条件的三角形不唯一，故选①不合题意. 选②：根据正弦定理可求边，再利用求，再利用三角形的面积公式求三角形面积. 选③：先由求得，再由余弦定理求边，最后利用三角形的面积公式求三角形面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为，所以，则，即，所以. （2）选①：由余弦定理可得，即，解得或3，不符合题意； 选②：因为，，所以， 由正弦定理可得， 此时三角形两角一边确定，故三角形唯一确定，符合题意， 又， 此时的面积； 选③：因为边上的高，所以，则， 由余弦定理，即，解得，（舍去）， 故唯一，符合题意， 此时的面积． 39．（25-26高三上·北京·月考）函数. (1)若，求及的单调递增区间； (2)在上单调递增，且存在，使在至少有3个零点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在唯一确定，求的最小正周期. 条件①:； 条件②:； 条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，第一个解答计分. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数单调性，可得答案； （2）根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的周期性与对称性，可得答案. 【详解】（1） ， 由，则，可得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由，则当时，即， 由函数在上单调递增，则，解得. 由函数在上至少存在个零点，则，解得. 选择条件①： 由，解得，即， 令，化简可得，即或，不符合题意. 选择条件②： 由，且，则直线为函数图像上的一条对称轴， 令，化简可得，则，化简可得， 令，解得，即，符合题意， 可得，则，此时最小正周期. 选择条件③：， 由， 结合三角函数的诱导公式，可得，， 或，，解得或，可知存在或符合条件，不唯一. 综上所述，选择条件②，此时，存在且唯一，最小正周期. 40．（2025·北京·三模）在△ABC中, (1)求∠B； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件①: ； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由余弦定理可求出，再由可求出； （2）若选择①：不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一；若选择②：由面积公式可求得，再代入可得，即可求出△ABC的周长；若选择③：由等面积法可求出，再代入可得，即可求出△ABC的周长. 【详解】（1）由可得， 由余弦定理可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，因为，所以. （2）若选择①：因为，，所以，所以， 则，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①. 若选择②：由（1）可得，即， 则，解得， 再代入可得：， 所以△ABC的周长为：. 若选择③：由（1）可得，即， 由可得：， 所以， 又因为AC边上的高等于，， 所以，解得：，所以，， 所以△ABC的周长为：. （建议用时：60分钟） 41．（25-26高三上·北京东城·月考）在中，. (1)求角的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①．的周长为；条件②．；条件③．边上的高线长为1．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)①②不符合题意③ 【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）选条件①由余弦定理可得；选条件②，验证不符合题意；选条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】（1）在中，因为，又，所以． 因为，所以．因为，所以． （2）选条件①：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中．因为， 所以．所以． 设点为线段的中点，在中，由余弦定理得 ， 所以，即边上的中线的长. 选择条件②：由（1）知，所以，可知， 不唯一，故②不符合题意，不可选择条件②. 选择条件③：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中．设边上的高线长为， 则面积，即，解得，因此， 设点为线段的中点，则，在中，由余弦定理得 ， 所以，即边上的中线的长. 42．（2025·北京朝阳·一模）在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值； （2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长. 【详解】（1）由正弦定理及 得． 所以． 所以． 又因为，所以． 所以． （2）选条件①：因为，且， 所以． 因为，所以．所以． 又因为，所以． 所以． 又，所以． 所以的周长为． 选条件②：因为边上的高为，所以． 又因为，所以． 所以． 因为，所以． （1）当时，由，得． 又，所以． 所以． 所以的周长为． （2）当时，由，得． 又，所以，不符合题意． 综上，的周长为． 选条件③： 由余弦定理，可得，即。 解得或，此时不唯一，不符合要求. 43．（25-26高三上·北京·月考）在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理和三角形的内角和定理，求得，进而求得的大小； 又因为，所以，可得. （2）分别选择条件①②③，结合题意，利用正弦定理、余弦定理和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 因为，且， 所以，得， 因为，即， 则，又因为，可得， 所以，可得，可得. （2）解：选择条件①：，因为且， 由余弦定理得， 即，解得， 所以为方程的根，解得或， 即或，所以三角形的元素不唯一，不符合题意. 选择条件②：，因为，可得, 由正弦定理，可得， 因为且，所以为锐角且唯一，所以存在且唯一， 又由， 由正弦定理可得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 条件③：，由正弦定理，可得， 因为，所以， 又因为，所以为锐角，且唯一确定，所以存在且唯一， 又由， 因为， 所以， 又由正弦定理得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 44．（25-26高三上·北京·月考）已知函数.从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定. (1)求的值； (2)若不等式在区间内有解，求的取值范围. 条件①：； 条件②：图象关于对称，且在区间有且只有一个最大值和一个最小值； 条件③：在区间内无极值点，且恒成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简函数然后根据①、②、③的条件分别利用正弦（型）函数的性质逐个分析得出的值； （2）先化简不等式得出，然后解出不等式的解集，最后根据题意要求得出的取值范围. 【详解】（1）由函数 ， 若选择①：则， 即， 所以， 解得：不唯一， 所以函数不唯一确定； 若选择②：若图象关于对称， 则， 即， 由，所以 所以若函数在区间有且只有一个最大值和一个最小值， 则，即， 即，则有， 又，所以， 所以，所以函数存在且唯一确定； 若选择③： 设函数的最小正周期为， 因为在区间内无极值点，且， 故，， 由此得出唯一，所以函数唯一确定； 综上所述函数要唯一确定，则. （2）由（1）得：， 所以不等式 所以， 即， 因为，我们需要找到满足： 且的情况， 则当时有：， 所以要使得不等式在区间内有解，则， 所以的取值范围为：. 45．（24-25高三下·北京·月考）已知函数（，）的最小正周期为T.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并回答下面两个问题. (1)直接写出和的值，并求的对称轴. (2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求m的取值范围. 条件①：的图象可由的图象平移得到； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：； 条件④：. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）通过分析①③，①④，①②，②③，②④，③④六种条件组合，选择①③，①④时可推出唯一确定的，，使得函数存在且唯一确定，从而推出，根据函数性质求出对称轴. （2）根据（1）结论，令，由，利用正弦函数的性质推出的单调性和值域，根据单调性和值域讨论与的交点情况，得出的取值范围. 【详解】（1）若选择①②， 由①可得，故最小正周期，故， 取，则当时，，在递增； 且可由向右平移个单位得到； 取，则当时，，故在递增； 且可由向右平移个单位得到， 故此时不唯一，舍； 若选择①③，由①可得，故最小正周期，代入： ，结合，得. 所以，，故. 对称轴：令，解得. 若选择①④，同理可得且最小正周期为， 而由④可得， 结合可得为函数图像的对称轴， 故，而，故即. 对称轴：令，解得对称轴方程为：. 若选择条件②③， 由③可得最小正周期，代入： ， 由，得唯一解为即函数， 当时，， 因为在区间上单调递增；故， 故，此时不唯一，舍； 若选择条件②④， 取 则当时，，故在递增； 而， 取，由前述分析可得满足②④， 故此时不唯一，舍； 若选择条件③④，由③可得最小正周期，代入： ， 由，得唯一解为即函数， 取，则由前述分析得满足③④， 取，则， 此时， 满足， 故此时不唯一，舍； 综上，选择①③或①④，此时，此时对称轴方程为：. （2）令，则. 而当时，单调递增，值域为； 当时，单调递减，值域为. 因为曲线与直线在恰有一个公共点， 故曲线与直线在恰有一个公共点 故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $