解答题第21题 导数及其应用讲义-2026年高考数学二轮复习【会一题通一类系列】（北京专用）

解答题第21题 导数及其应用（讲练测） 1 7 7 8 10 11 12 13 【典例】1．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 【典例】2．（2025·北京海淀·三模）已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【典例】3．（2025·北京·三模）设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 【典例】4．（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的极值点个数； (3)若且时，都有成立，直接写出的取值范围． 【典例】5．（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 【典例】6．（2025·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 【典例】7．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【典例】8．（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 【典例】9．（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【典例】10．（2025·北京通州·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值； (3)若有两个根，，写出a的范围并证明. 11．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 12．（25-26高三上·北京·月考）已知函数． (1)当时，写出函数的定义域并求这个函数的导数； (2)若曲线在点处的切线方程为，求a的值． 13．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 14．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知函数，曲线在处的切线方程平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的极值. 15．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 16．（2025·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 17．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 . (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点， （i）求的取值范围； （ii）求在区间上的零点个数. 18．（25-26高三上·北京大兴·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间及极值； (3)若集合恰有一个元素，直接写出的取值范围. 19．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 20．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其中. (1)求的极大值和极小值; (2)设点，其中为的极值点，若直线与轴交于点，求的最小值. 21．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 22．（2025·北京东城·二模）设函数，其中. (1)当时，求的零点： (2)当时，证明： （i）1为的极小值点； （ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. 23．（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 24．（2025·北京东城·一模）设函数，曲线在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：. 25．（2025·北京海淀·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求的值； (2)若为上的单调函数，求的取值范围； (3)若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． （建议用时：60分钟） 26．（25-26高三上·北京延庆·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间及极值； (3)直接写出函数的值域，不要求计算过程. 27．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值. 28．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知函数． (1)已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； (2)求的单调区间； (3)已知，直接写出函数的零点个数． 29．（25-26高三上·北京朝阳·月考）已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知，且函数存在极值，求的取值范围． 30．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 . (1)若在取极小值，且，求的值; (2)当 时，恒成立，求最大值； (3)是否可以与轴相切? 若可以，求间关系式； 若不可以，说明理由. （建议用时：60分钟） 31．（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间及极值； (2)直接写出函数的值域，不要求计算过程. 32．（25-26高三上·北京·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值． 33．（25-26高三上·北京·月考）已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)求证：当时，存在极大值，且极大值小于． 34．（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)设实数使得恒成立，求的取值范围； (3)设，求函数在区间上的零点个数. 35．（25-26高三上·北京东城·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知和在上均单调递增，求实数m的最小值； (3)已知方程与的解集的并集为，且，求证：． （建议用时：70分钟） 36．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线过原点，求的值. (2)当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 37．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其导函数为且，是的一个极值点： (1)求函数曲线在处的切线方程． (2)求的单调区间及所有极值点的和． (3)直接写出函数的解析式． 38．（2025·北京·二模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． 39．（2025·北京昌平·二模）已知函数，其中． (1)当时， ①若，求函数的最大值； ②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：； (2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围． 40．（24-25高三下·北京·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：有最大值； (3)若对任意，都存在正整数，使得，写出的取值范围（结论不要求证明）． （建议用时：70分钟） 41．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)设函数，求证：的最小值大于. 42．（24-25高三上·北京通州·期末）已知在点处与轴相切. (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，求证. 43．（24-25高三上·北京西城·期末）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方； (3)若函数有两个零点，且，求的取值范围. 44．（2025·北京西城·一模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． 45．（2025·北京·模拟预测）已知函数，. (1)求斜率为1的切线方程； (2)若对于任意，任意，总有，求的最大值； (3)若有4个极值点，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题第21题 导数及其应用（讲练测） 1 17 21 28 36 43 51 58 【典例】1．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数a的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 所以， 曲线在点处的切线方程为， （2）当时，， 所以该函数的定义域为， ， 由，解得或， 所以当时，求函数的单调递减区间为， （3）因为， 则， 令，因为函数在区间上只有一个极值点， 则函数在上有一个零点， 当时，对任意的，，不合乎题意； 当时，函数在上单调递增， 因为，只需，合乎题意； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，只需，不合乎题意，舍去. 综上所述，实数a的取值范围是. 【典例】2．（2025·北京海淀·三模）已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【答案】(1)极大值点，极大值，无极小值点和极小值； (2) (3) 【分析】（1）求出导函数，得出单调性，进而求出极值和极值点情况； （2）求出，根据的值域确定出的正负性，进而得出单调性即可求最值； （3）将问题转化为使得成立，求的最小值即可. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，极大值为，无极小值点和极小值； （2）因， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 因，则，， 则存在使得， 故时，；时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，则， 故函数在上的最小值为. （3）由题意可知，使得成立， 即使得成立， 又，则，即， 故a的取值范围为. 【典例】3．（2025·北京·三模）设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义可得，可得解； （2）利用导数求函数单调性； （3）求出切线方程，设，转化为在恒成立，再由二次函数性质可解. 【详解】（1）， 则， 解得； （2）， 令，得或， 当时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为； （3）因为，所以，， 所以处切线方程为， 整理得：， 设， 则 ， 所以， 若在单调，则恒成立， 所以只有即或（舍）时，恒成立， 即在单调递增，所以. 【典例】4．（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的极值点个数； (3)若且时，都有成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求解； （2）利用三阶导数研究函数的单调性可知当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减（），结合极值点的概念即可求解； （3）由（2）知，当时，若，则，不符合题意；当时，可知，证得在上为上凸函数，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， ，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知， 令，则， 令，则， 又当时，，， 所以，函数在上单调递增，所以， 即，所以函数在上单调递减，且， 当即时，，即， 所以函数在上单调递增，无极值点； 当即时，， 存在使得，即， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时在上有1个极大值点. 综上，当时，在上无极值点；当时，在上有1个极大值点. （3）由，且，知， 由（2）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 且，所以. 若，则，不符合题意； 当时，在上单调递增， 满足的情况； 由（2）知，， ，设， 则， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即， 所以在上为上凸函数， 则，均有， 所以. 【典例】5．（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合题意得切线方程建立方程，解之即可求解； （2）①由（1），利用导数研究函数的单调性，结合零点的定义即可证明；②利用导数的几何意义求出切线方程，令可得，结合，利用导数研究函数的单调性可得当时，当时，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以曲线在处的切线的斜率为， 又曲线在处的切线方程为， 所以，解得； （2）①：由（1）知，， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 且当时，，当时，， 所以函数在上存在唯一，使得， 即函数在上存在唯一零点. ②：由①知，切线的斜率为，又， 所以， 令，得， 设，则， 令或，或， 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增， 当时，，即，由①知，故不符合题意； 当时，由，得 ， 即，符合题意， 故实数的取值范围为. 【典例】6．（2025·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 【答案】(1)； (2)（i）1；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小； （2）（i）对函数求导，由已知有求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明在且上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证. 【详解】（1）由题设，则，故切线斜率， 所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为. （2）（i）由题设，则， 由，则，故且， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 所以是函数的极值点，故； （ii），则且， 当时，，此时，即证， 当时，，此时，即证， 综上，只需证明在且上恒成立， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 【典例】7．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由函数求导，根据导数的几何意义建立方程，可得答案； （2）先由图象分析零点的存在性，再分段研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案； （3）由函数求导并构造函数，利用导数要求新函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1），定义域为． ．由题可得，，解得． （2）由（1）可得，． 当时，，，故，在时无零点； 当时，，，故，在时无零点． 当时，，所以在上单调递增． 而，． 故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点． 当时，，，故，在时无零点； 综上：在上的零点个数为1． （3）．令，． 令，则． 当时，，，，所以．所以在上单调递增． ，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得． 当变化时，，的变化如下表： 0 极小值 又，，． 所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点． 不妨设．则当时，；当时，． 而，． 所以．故． 【典例】8．（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；②两个，理由见解析 【分析】（1）分，两种情况，解不等式，可得单调区间； （2）①由（1）可得满足题意，注意到，通过研究单调性可得答案； ②由（）单调性，结合零点存在性定理可得零点个数. 【详解】（1），． 当时，对，， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，得． 因为时，；时，． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）①由（1）知，当时，的单调递增区间为， 所以当时，有，不符合题意； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 令（），， 与在区间上的情况如下： － 0 ＋ ↘ 0 ↗ 所以 所以时，， 时，，所以． ②方程有两个根，证明如下： 令（），， ①时，令，， ，，单调递增， ， 所以，， ． － 0 ＋ ↘ 0 ↗ ，，， 所以在区间上有一个零点． ②时，，，所以，所以递增， ， 由（i）知，所以在区间上有一个零点． ③时，由①知，， 所以，所以无零点． ④时，因为， 对于函数，则, 故在上递增， 所以， 所以无零点． 综上可知函数有两个零点． 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常利用数形结合思想，转化为函数图象的交点问题，也可如本题，利用函数单调性结合零点存在性定理解决. 【典例】9．（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的减区间为,增区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数即可判断单调区间； （3）构造函数对任意恒成立，据此根据导数求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，又， 所以曲线在点处的切线为； （2）当时，， 所以， 令，则， 所以在单调递增，且， 所以当时，，则，函数单调递减， 当时，，则，函数单调递增， 所以函数的减区间为，增区间为； （3）设， 则， 因为时，所以为增函数， 又在上都是增函数， 所以函数在上单调递增，且， 当即时，， 所以函数在上单调递增，所以， 所以时，符合题意； ②当即时，，又， 当即时，恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 此时不符合题意； 当即时， 存在，使得， 且当时，，当时，， 即函数在上单调递减，此时，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 【典例】10．（2025·北京通州·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值； (3)若有两个根，，写出a的范围并证明. 【答案】(1)增区间，减区间 (2) (3)，证明见详解 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）利用导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，得到的表达式，利用导数求最大值； （3）由的单调性判断极值，值域，得到的取值范围，且，，要证，即证，又，即证在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，，利用导数证明恒成立即可. 【详解】（1）由， 故当时，，当时，， 所以的单调增区间为，减区间为； （2）曲线在处的切线斜率，又， 所以其切线方程为， 令，得，则，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以； （3）由（1），的单调增区间为，减区间为，且，， 当时，，当时，， 即时，，时，， 若有两个根，则，且，， 要证，即证，又在上单调递减， 即证，又， 即证在上恒成立， 又，即证， 两边取对数，原命题即证在上恒成立， 令，， ， 故在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，故得证. 11．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【详解】（1）由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． （2）因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 12．（25-26高三上·北京·月考）已知函数． (1)当时，写出函数的定义域并求这个函数的导数； (2)若曲线在点处的切线方程为，求a的值． 【答案】(1)定义域为， (2) 【分析】（1）先根据对数的意义求函数的定义域，然后由导数乘法公式求导数； （2）通过切点在切线上和函数的导数值等于切线的斜率，联立方程组求解即可. 【详解】（1）当时，函数，其定义域为. 求导得； （2）由题意，切点 在切线 上，得 ， 由函数定义得 ，故 ①，切线斜率为 ，即 ， 由 得 ，故 ②， 将①代入②得 ，解得 . 13．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 14．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知函数，曲线在处的切线方程平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）求导，得到函数在处的斜率，列方程求出的值； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求出极值. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又因为曲线在处的切线方程平行于轴， 所以，即，解得； （2）由（1）可知，所以， 要使该函数有意义，则，所以且， 所以函数定义域为 又，因为， 令，解得或（负值舍去）， 所以， 所以当时，，，单调递减， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为， 又极值点不能在区间端点处取得，所以该函数无极大值. 15．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，原结论得证. 【详解】（1）定义域为，，，又， 在处的切线方程为. （2）令， 则，在上单调递减， ，即当时， 16．（2025·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； (3)见解析 【分析】（1）求导得出即可求解； （2）利用导数求解函数的单调区间，分和和进行讨论，其中当和时，需要令，研究的单调性，得出与的关系即可判断； （3）把问题转化为：令，需要证明对任意成立，分两种情况来讨论，通过求导，证明出单调递增． 【详解】（1）， ， ， 切线平行于直线：， ，解得：； （2）， ， 当时，显然，故在上单调递增； 令，， 当时，，故在上单调递增， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故在上单调递增； 当时，令，， 当时，，故在上单调递减， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； （3）当时，需要证明：，恒有成立， 即， 化简得：， 即证：， 当时，，又， ， 当时，记，则， 记，则， ，， 所以当，单调递增，所以， 所以在单调递增，所以， 综上：对任意，恒有成立． 17．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 . (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点， （i）求的取值范围； （ii）求在区间上的零点个数. 【答案】(1)见解析 (2)（i）；（ii）1个零点 【分析】（1）先对函数求导，再求出和的值，根据导数的几何意义得到切线方程，进而证明切线与直线平行. （2）（i）对函数求导，根据函数在区间上存在极值点，分析导数在该区间上的正负变化，确定的取值范围. （ii）结合（i）问中的取值范围，分析函数在区间上的单调性，判断零点个数. 【详解】（1）由，得， ， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为， 所以曲线在点处的切线总与直线平行. （2）（i）由（1）知，因为， 所以，令， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 在区间上单调递增，无极值点. 当时，在区间上递减，令，得. 若，即时，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点. 若，即时， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减， 所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点. 综上，的取值范围是. （ii）由（i）知当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 当时，函数的趋势由起决定作用的项决定， 因为，所以， 因此在区间上有且仅有1个零点. 18．（25-26高三上·北京大兴·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间及极值； (3)若集合恰有一个元素，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 极小值为，极大值为. (3)或 【分析】（1）对函数求导，然后求出切点的导数值和函数值，进而即可求出切线方程. （2）根据导数的符号求出函数的单调区间以及极值点和极值. （3）根据（2）的单调性和极值画出函数图象，进而可确定的范围. 【详解】（1）因为函数，对函数求导得. 所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，则或. 当时，因为，所以，此时在上单调递增； 当时，因为，所以或，此时在，上单调递减； 所以在处取得极小值为， 在处取得极大值为. （3）因为集合恰有一个元素，即只有一个根. 也就是说函数与只有一个交点. 由（2）可画出函数的图象如下所示，    因为，时，， 所以根据图象可以得出当或时，集合恰有一个元素. 19．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得，利用导数直接求出的单调区间，即可求解； （2）利用（1）中结果得在区间上单调递增，从而当时，，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以，易知，， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为，则， 由（1）可知在恒成立， 所以在恒成立， 即在区间上单调递增， 所以当时，， 即，命题得证. 20．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其中. (1)求的极大值和极小值; (2)设点，其中为的极值点，若直线与轴交于点，求的最小值. 【答案】(1)极大值，极小值为 (2) 【分析】（1）利用导数工具研究函数导数正负情况结合极值定义即可求解； （2）由（1）得到A、B两点坐标，进而求出直线AB方程，接着求出解析式，再利用导数工具研究其单调性即可求解. 【详解】（1）， 令，得或， 由于，则 ， 所以当时，，当时，， 所以为极大值点，为极小值点， 所以函数极大值为，极小值为. （2）由（1）可知 为极大值点，为极小值点，极大值为，极小值为； 不妨设为极大值点，，则点，点， 则直线的斜率为， 所以直线AB方程为， 令，得，求导得， 令 ，得（舍去）或. 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 时， 取得最小值为. 21．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）把问题等价转为为证明在区间恒成立，设，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）求导后，分和两种情况讨论，当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值，当，函数先减后增，有最小值，求解即可； （3）记，分和和时讨论，根据（1）（2）中得结论结合零点存在定理，推出和两类不等式矛盾，当时，，得出在单调递增，从而，满足题意，即可求解． 【详解】（1）在恒正， 则在区间恒成立等价于在区间恒成立． 取，，故在区间单调递增， 所以． 故原不等式恒成立． （2），， 当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 则的最小值为，令，，则，的单调递增区间是，单调递减区间是，． 即当时，的最小值为0， ． （3）记， 则当时，由（2）知，在上单调递减，所以． 对恒成立， 又当时，由（1）知，， 取时，， 则与已知不等式矛盾． 当时，， ，由（1）知， 当时，，取，则， 从而由函数零点存在定理知，存在，使， 当时，，在单调递减，，与已知不等式矛盾． 当时，， 在单调递增，从而，，满足题意． 综上可知． 22．（2025·北京东城·二模）设函数，其中. (1)当时，求的零点： (2)当时，证明： （i）1为的极小值点； （ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. 【答案】(1)1 (2)（i）证明见解析 （ii）证明见解析 【分析】（1）由已知函数解析式，直接令函数等于0，即可求得结果； （2）（i）利用极小值定义即可证明结论； （ii）先根据题干得到，令函数，求得其在区间上的值域，再令函数，求其在区间上的值域，有交集即可证明结论. 【详解】（1）已知，定义域为，令， 则，解得（舍去）或（舍去）或，故的零点为1. （2）（i）当时，函数，定义域为， ，则， 当时，所以， 故在区间上单调递减， 当时，所以， 故在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，故1为的极小值点. （ii）已知， 故曲线在点处的切线斜率为， 在点处的切线斜率为， 因为与互为相反数，所以， 令，， 则， 当时，单调递增，且， 根据零点存在定理可知：存在，使得， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，故函数在区间上的值域为， 令，， 则， 当时，单调递减，且， 故时，恒成立，所以函数在区间单调递减， 故的值域为， 因为当时，， 所以是的子集， 故对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. 23．（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断在的单调性进而求最大值即可； （2）求导，结合导数的几何意义按的不同取值范围分类讨论求解即可； （3）由极值点的概念可得，消去得（*），令，利用导数可得，当且仅当时取等号，又（*）等价于，解得，代入求出的值即可. 【详解】（1）若，则，， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，取得最大值. （2）的定义域为， 当时，易知在区间上单调递减，符合题意； 当时，，设， 则，当时，，所以在区间上单调递减， ①若，即时，当时，，即， 此时在区间上单调递增，不符合题意； ②若，即时，， 所以存在唯一的使得， 当时，，即， 此时在区间上单调递减，符合题意； 综上，的取值范围为. （3）由题意可得即， 所以，即（*）， 设函数， ， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，当且仅当时取等号， 又（*）等价于，所以， 所以． 经检验，当时，存在极大值点且，符合题意， 所以． 24．（2025·北京东城·一模）设函数，曲线在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，结合已知求参数值； （2）导数研究函数的单调性，结合函数的零点求不等式的解集； （3）问题化为且上恒成立，即判定证明、在上单调递增即可证. 【详解】（1）由题设，则，而， 所以曲线在处的切线方程为， 所以，即为，则； （2）由（1）得，则， 令，则， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以，故在R上单调递增，且， 所以的解集为； （3）由（2）知在R上单调递增，要证，即证， 由且，即证， 由，，则且， 所以且上，证明，即恒成立， 所以，只需证在上单调递增，且增长速度逐渐变快， 由（2），、在上均单调递增， 所以且上，恒成立，故，得证. 25．（2025·北京海淀·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求的值； (2)若为上的单调函数，求的取值范围； (3)若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据，结合导数运算，即可求得参数值； （2）分类讨论，为增函数和减函数，参变分离，根据或在上恒成立，即可求得范围； （3）根据，以及为奇函数，只需证明在有一个零点即可；讨论时，的单调性，结合（2）中所求，即可证明. 【详解】（1），故，故； 由题可知，，故，解得. （2）若为上的单调增函数，则在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 若为上的单调减函数，则在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 综上所述，若为上的单调函数，则的范围为. （3），其定义域为，又，故其为奇函数； 又，故只需证明可以取无数个值，使得每一个的取值在有一个零点即可. 又，令，则， 当时，由（2）可知，为上的单调减函数，又，故在恒成立， 故在单调递减，又，，故存在，使得， 则当，，单调递增；当，，单调递减； 故当，，又， 故存在，使得； 综上所述：当时，在存在唯一零点， 也即当时，恰好有三个零点， 于是，可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. （建议用时：60分钟） 26．（25-26高三上·北京延庆·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间及极值； (3)直接写出函数的值域，不要求计算过程. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求在点处的切线方程. （2）根据函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，再根据函数的单调性分析函数的极值. （3）结合函数的单调性，分析函数的符号，可直接得到函数的值域. 【详解】（1）因为， 所以. 又，， 所以曲线在处的切线方程为： ，即. （2）由； 由或. 所以的递减区间为和，递增区间为. 函数的极小值为，极大值为. （3）因为函数在和上单调递减，在上单调递增， 且恒成立，时，时， 所以函数的值域为. 27．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)； (2)最大值，最小值. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数确定单调性，进而求出指定区间上的最值. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，， 当时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以当时，取得最大值，当时，取得最小值. 28．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知函数． (1)已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； (2)求的单调区间； (3)已知，直接写出函数的零点个数． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为； (3)1 【分析】（1）求导，设切点为，由导数几何意义得到方程，解得，得到切点坐标，求出切线方程； （2）先求定义域，令得，令得或，从而求出单调区间； （3）令，则或，从而可得零点个数. 【详解】（1）由题意的， 而切线的倾斜角是0，则切线斜率为， 设切点为，则，解得， 故，故切点坐标为， 故该切线方程为； （2）在中，令，解得， 故定义域为， 由（1）知，，令得， 令得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以单调递增区间为，单调递减区间为； （3）令，则或， 当时，即，解得， 当，即，解得， 因为函数定义域为， 所以函数零点的个数为1. 29．（25-26高三上·北京朝阳·月考）已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知，且函数存在极值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题意可得切线斜率，切点为，最后点斜式得出切线方程. （2）将问题转化为不等式恒成立，分类讨论结合单调性可得实数的取值范围. （3）根据函数存在极值，利用导数计算可得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为曲线在处的切线方程为，故切点为， 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得， 故的值为； （2）由题可知恒成立， 因为，所以不等式整理得恒成立， 当时，不等式恒成立，此时取任意实数. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递增，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 在上的下确界为，要使恒成立，故. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递减，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 要使恒成立，故. 综上所述，. （3）已知，且函数存在极值， 求导，令，求导， 令，解得. 因为时，时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值， 因为， 所以当时，，故函数存在极值， 当时，，故函数不存在极值； 当，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为． 30．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 . (1)若在取极小值，且，求的值; (2)当 时，恒成立，求最大值； (3)是否可以与轴相切? 若可以，求间关系式； 若不可以，说明理由. 【答案】(1)， (2)1 (3)（） 【分析】（1）求出导函数，由题意且，列式求解，最后再验证即可； （2）求导函数，利用导数研究的单调性，结合，利用函数的最值思想求解即可； （3）设切点为，利用导数的几何意义及切点在x轴上，得，然后利用函数法求得方程的根为，进而求得. 【详解】（1）由得， 因为在 取极小值，所以， ① 又，代入得，解得 ， 把代入①，得，所以； 验证：当，时，，当时，，当时，，所以为的极小值点，符合题意，故，； （2）当 时，恒成立，即恒成立， 令，则，符合，， 令，则， 因为，，所以，即在上单调递增， 所以， 若，（即），则，在上单调递增， 故，符合条件； 若，（即），则存在，使得， 当时，，单调递减，此时，不符合条件； 所以，即，当时，等号成立，故最大值为1； （3）若与轴相切，设切点为，则需满足，且， 即，由第二个方程得， 代入第一个方程得， 整理得，即， 令，则， 因为，，令，得或， 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的极大值（也是最大值）， 当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，无限趋向于正无穷大， 所以无限趋向于负无穷大，当x无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0， 所以无限趋向于0且，所以时，， 即方程的解为，所以， 所以可以与轴相切，此时满足（）. （建议用时：60分钟） 31．（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间及极值； (2)直接写出函数的值域，不要求计算过程. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，再根据函数的单调性分析函数的极值. （2）结合函数的单调性，分析函数的符号，可直接得到函数的值域. 【详解】（1）因为， 所以. 由； 由或. 所以的递减区间为和，递增区间为. 函数的极小值为，极大值为. （2）因为函数在和上单调递减，在上单调递增， 且恒成立， 又， 且时，时， 所以函数的值域为. 32．（25-26高三上·北京·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的导数就是该点处切线的斜率，再结合该点的函数值，用点斜式即可得到切线方程． （2）方法一：要使恒成立，需保证函数的最小值大于等于0，通过求导得到函数的单调性，确定极值点，进而得到最小值，再根据最小值的条件即可求解的值； 方法二：利用且恒成立，可得处函数取到最小值，亦是极小值，再利用极值点处导数为0求得的值，最后进行验证即可． 【详解】（1）由已知，函数，则， 又，， 所以点处的切线方程为，即． （2）方法一：由（1）可得，． 当时，恒成立，因此在定义域内单调递减， 而当时，与题意不符； 当时，令，解得， 则变化如下表． － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 要使恒成立，只需， 令， 则，令，解得， 则变化如下表． ＋ 0 － ↗ 极大值 ↘ 因此且可得，又由上表是唯一的最大值，因此． 方法二：由（1）可得，因此恒成立，即恒成立， 又在处有导数，因此在处取到最小值，亦是极小值， 从而，解得， 当时，，， 令，解得，则变化如下表． 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 因此，即当时，恒成立． 33．（25-26高三上·北京·月考）已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)求证：当时，存在极大值，且极大值小于． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率和，由题意列方程组，求解即得； （2）根据函数在给定区间上为增函数，得到在区间上恒成立，即在区间上恒成立，从而将问题转化为求的值域问题解决； （3）由题意可得关于的方程有正实根，在时，求得方程有两正根为，推出函数在时取得极大值，设，求得，结合，将待证结论转化成求证，构造函数，求导得出其单调性即可证得结论. 【详解】（1）由可得，， 则，由题意，可得，解得， 即； （2）由在区间上单调递增，可知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，也即在区间上恒成立. 因函数在区间上为增函数，故， 则的取值范围为； （3）因，要使存在极大值，需使关于的方程有正实根， 而当时，，此时方程有两正根为， 由可得或，由可得， 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数取得极大值. 不妨设，由可得，即得， 则的极大值为，且因，则得， 要证函数的极大值小于，只需证， 设，则， 因，则有，故函数在上单调递增， 则， 即， 故时，函数的极大值小于. 34．（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)设实数使得恒成立，求的取值范围； (3)设，求函数在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）先求出，在求出及，即可求解； （2）由得恒成立，等价于恒成立，设并求出其最大值，从而可求解； （3）求令，即求，由（2）即等价于函数的图象与函数的图象的交点个数，再结合在区间上的取值情况，再对分情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由题可得函数的定义域为，且， 则，因， 所以在点处的切线方程为，化简为. 故函数在点处的切线方程为. （2）由题意知得恒成立，即恒成立，等价于恒成立， 设，则，令，解得， 当时，；当时，， 所以当时，取到极大值也是最大值，所以， 所以的取值范围为. （3）由题知令，即，则得，从而得， 由（2）得函数在区间上的零点个数即等价于求函数的图象与函数的图象的交点个数， 又因在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且当时，取到极大值也是最大值， 又因为，， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当时，函数的图象与函数的图象的交点个数为. 综上所述：当或时，函数在区间上有个零点； 当或时，函数在区间上有个零点； 当时，函数在区间上有个零点. 35．（25-26高三上·北京东城·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知和在上均单调递增，求实数m的最小值； (3)已知方程与的解集的并集为，且，求证：． 【答案】(1)【小问1】 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据导数的意义即可求出切线斜率，代入切点及斜率，点斜式可写出切线方程； (2)分别分析的单调性，求出两个函数单调递增区间的交集即可； (3)两个函数都有两个解，但其中一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。，利用公共解条件得到，可将问题转化为证明，确定公共解的范围，即可完成证明。 【详解】（1）易知，所以切点为， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为. （2）, 由于, 所以时，单调递增， 所以在上单调递增。 ，令，解得， 所以时，，所以单调递增，即在上单调递增。 又所以， 即的最小值为. （3）因为的定义域为，的定义域为， 画出两函数图象如下图所示： 由图象可知需满足方程与的解集的并集才有三个元素； 因此两个函数的两个解中有一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。 因为， 所以，所以，所以或， 同理或， 因为，所以， 所以 所以，即， 可得， 因为，所以，所以， 因为是方程的正根， 令，所以当，所以， 当，因为，所以， 由连续性和单调性以及零点存在定理可得的唯一解， 所以，即，证毕. （建议用时：70分钟） 36．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线过原点，求的值. (2)当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 【答案】(1)； (2)①过点的切线分别有1条、0条；②2条，理由见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程，根据切线过原点，将原点坐标代入求参数值； （2）①②设切点为且，应用导数的几何意义求切线方程，根据点在切线上得到相关方程，再应用导数研究对应函数的零点个数，即可得. 【详解】（1）由题设，则，且， 所以曲线在处的切线为， 由切线过原点，则，可得， 所以； （2）由题设，则，设切点为且， 所以切线方程为，则， ①若切线过点，则，可得，即过点的切线仅有一条； 若切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上无零点，即没有过点的切线； ②切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上有2个零点，即过点的切线有2条. 37．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其导函数为且，是的一个极值点： (1)求函数曲线在处的切线方程． (2)求的单调区间及所有极值点的和． (3)直接写出函数的解析式． 【答案】(1) (2)单调增区间是，单调减区间是，所有极值点的和为4； (3) 【分析】（1）由导函数可得，再由及，求得，进而可求解； （2）由，和，确定函数单调区间，进而可求解； （3）由（1）即可得到答案. 【详解】（1）由，可得：， 由可得：，即， 又是的一个极值点， 所以， 所以，代入可得：， 所以，经验证是的极值点， 又，， 所以函数曲线在处的切线方程为：， 即 （2）由（1）可得， 由，可得：， 由，可得或， 所以的单调增区间是，单调减区间是， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 所以函数所有极值点的和为4； （3）由（1）可知. 38．（2025·北京·二模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)0 【分析】（1）由导数的几何意义确定切线方程，进而可求解； （2）通过二次求导，确定函数的单调性，即可求证； （3）由（2）得到，构造函数，求导确定单调性，进而可求解. 【详解】（1）求导，得， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 将点代入切线方程，得． （2）函数的定义域为． 设函数，则， 由，得， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以存在唯一的，使得，即． 当变化时，与的变化情况如下： - 0 + 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 故函数存在极小值． （3）由（2）知，函数有最小值． 由，得． 所以． 设函数，则． 今，得（舍）或． 当变化时，与的变化情况如下： 1 + 0 - 极大值 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，，即当时，． 结合，知当时，． 由函数的导数，知其在区间上单调递减， 故当且仅当时． 所以当时，取得最大值0． 39．（2025·北京昌平·二模）已知函数，其中． (1)当时， ①若，求函数的最大值； ②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：； (2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2) 【分析】（1）把代入，①利用导数探讨单调性求出最大值；②设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过的点，结合一元二次方程有解推理得证. （2）求出导数，由给定的极小值点可得，且，构造函数，按最小值不小于0和小于0分类讨论求解. 【详解】（1）（i）当时，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，且，在上单调递增，又 所以当时，函数的最大值为. （ii）设切点为，而，， 曲线在点处的切线方程为 由经过点，得，整理得， 由，得，所以. （2）函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极小值点，得，即， 则，令， 求导得，令，即，，得， 当时，；当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ①当时，即时，得，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； ②当时，即时，则，而， 则存在，使，当时，， 因此不是函数的极小值点，不符合题意， 所以的取值范围为. 40．（24-25高三下·北京·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：有最大值； (3)若对任意，都存在正整数，使得，写出的取值范围（结论不要求证明）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数解析式求导，代入，求出斜率与切点，利用切线方程，可得答案； （2）由函数的导数，构造函数，并对新函数进行求导，可得新函数单调性，根据零点存在性定理，可得导数的零点以及与零的大小关系，可得函数的单调性与最值； （3）对函数求导，并分情况研究导数与零的大小关系，进而可得函数的单调性，通过直观想象，结合题意，分别检验，可得答案. 【详解】（1）由题意求导可得， ，，所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，其中， 令，， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以存在，满足，即， 当变化时，，变化情况如下表： 0 ↗ 极大值 ↘ 所以当时，有最大值. （3）， 理由：易知在上恒成立， 当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，显然不符合题意； 当时，由，令， 求导可得在上单调递减， 由，， 则存在，使得，即， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减， 则函数的图象在趋近于时，无限趋近于轴， 即轴为函数图象的渐近线，显然符合题意. 综上，. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. （建议用时：70分钟） 41．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)设函数，求证：的最小值大于. 【答案】(1) (2)极小值为；无极大值. (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）求导函数，利用导数研究单调性，利用极值的定义求解即可； （3）利用导数研究函数的单调性，根据单调性求解最值函数，利用单调性求解最值函数值域即可求解. 【详解】（1）因为，所以，. 因为，所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为R.令，解得. 当x变化时，，的变化情况如下表： x 0 - 0 + 单调递减 1 单调递增 当时，取得极小值，极小值为；无极大值. （3）因为，所以. 因为函数和在R上单调递增， 所以在R上单调递增. 又，， 所以存在，使得①. 当x变化时，，的变化情况如下表： x - 0 + 单调递减 单调递增 当时，取到最小值，最小值为. 由①得，所以.设. 因为，在区间上单调递减， 所以，即.所以函数的最小值大于. 42．（24-25高三上·北京通州·期末）已知在点处与轴相切. (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，求证. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，无单调递增区间 (3)证明见解析 【分析】（1）依题意知，，联立求得答案； （2）对，利用导数求单调区间； （3）对不等式变形，换元，构造函数证明. 【详解】（1）因为在点处与轴相切，， 所以，，解得. （2）由（1）得，，定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，所以，所以单调递减， 当时，，单调递减，，所以单调递减， 所以的单调递减区间为，无单调递增区间. （3）因为，则，要证， 即证， 即证， 设，则， 即证， 即证， 令，， 又， 所以在上单调递增，， 即，故不等式成立. 43．（24-25高三上·北京西城·期末）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方； (3)若函数有两个零点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过求函数在某点的导数得到切线斜率，进而得出切线方程； （2）根据曲线与直线的位置关系转化为函数的最值问题，通过求导判断函数单调性来确定最值. （3）通过求导判断函数的单调性，根据单调性确定函数的极值点，再结合函数零点的情况来确定参数的取值范围.分别对不同情况下的值进行讨论，分析函数的最大值情况以及零点满足的条件，从而得出的取值范围. 【详解】（1）已知当时，，对求导得. 计算，将代入得. 计算，将代入得. 根据点斜式方程，所以切线方程为，即. （2）当时，，其定义域为. 因为曲线总在直线的下方等价于，即. 设函数，对求导得. 令，即，解得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，. 由于， 则，即，所以曲线总在直线的下方. （3）， 分情况讨论. 当，即时. 此时的导数. 根据的单调性，在上，单调递增； 在上，单调递减. 所以. 对于，有，所以恰有一个零点，不符合题意.   当，即时.因为，根据的单调性， 在上， ， 单调递增； 在上， ，单调递减. 知， 因为有两个零点，且满足，得，. 又因为此时，所以. 由于，即，移项得到. 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 又因为，所以.   当，即时. 根据的单调性， 在上， ， 单调递增； 在上， ， 单调递减，知. 因为有两个零点，且满足，得，. 所以. 由于，即，移项得到. 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 又因为，所以.   综上，的取值范围为. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 44．（2025·北京西城·一模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)2 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）易得函数在上单调递增，再结合题设将问题转化为，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 则，解得． （2）由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得， 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）由（2）知，当时，函数在区间单调递增， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增. 综上所述，函数在上单调递增， 所以． 由，得， 令，则， 由，得或． 当变化时，与的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在和上单调递增，在上单调递减． 又因为，，且， 所以当时，；当时，． 即当且仅当时，恒成立， 所以使得成立的的最小值为2． 45．（2025·北京·模拟预测）已知函数，. (1)求斜率为1的切线方程； (2)若对于任意，任意，总有，求的最大值； (3)若有4个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求得斜率，利用点斜式写出方程； （2）利用导数研究函数的最小值，求得最小值为，利用导数研究函数的单调性和极值，进而根据题意得到的取值范围； （3）利用导数分析，根据极值存在的条件，并作换元，转化为函数 与直线在 内有2个不同的交点，利用对数函数的图像和直线的图像，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）,令， ，故切点为， 切线方程为； （2）分析 在 的最小值： ， 时,单调递减； 时 ,单调递增； . 分析在的最大值： 导数. 在或时,单调递增； 时,单调递减. 在处有极大值，在处有极小值. 令，解得， 当时，在内单调递增，趋近于. 保证； 当时，在内的最大值严格小于， 因此，的最大值为； （3） 极值点满足，即：， 令 ，则，方程变为： 根据题意，此方程应当有四个不同的实数根 函数与直线在内有2个不同的交点， 函数在 内单调递减，以直线为渐近线， , 直线横截距为1，斜率为, 设,, ，所以, 此时，函数与直线在内有2个不同的交点， 交点横坐标分别记为，在每一个值的左右两函数值的差出现正负变号， 从而对应方程：的4个实数根的每一个的左右的值出现 正负变号，因此函数有4个极值点， 综上，实数的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $