解答题第20题 解析几何（椭圆）讲义-2026年高考数学二轮复习【会一题通一类系列】（北京专用）

解答题第20题 解析几何（椭圆）（讲练测） 1 17 24 32 41 47 56 63 【典例】1．（2025·北京东城·二模）已知椭圆的一个顶点为.且过点. (1)求椭圆的方程及焦距 (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积. 【答案】(1)椭圆方程，焦距为 (2) 【分析】（1）根据椭圆过顶点和点构造方程求得，由此可得椭圆方程； （2）设过点的直线为，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由解得，再由弦长公式求以及点到直线的距离，最后求即可. 【详解】（1）由题意，因为椭圆的一个顶点为,且过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为，焦距为. （2）设过点的直线为，， 由，化简得， 则，即， 所以， 即， 则， 所以直线方程为，， 故， 且点到直线的距离， 所以. 【典例】2．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，，分别为左右顶点.点是直线上异于点的动点，直线交椭圆的另一点为点. (1)求的值； (2)直线与交于点，求证：. 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）法一：设，求出直线的方程并与椭圆方程联立，求得点的坐标，利用向量的坐标计算化简即得；法二：设，写出直线的方程，将代入求得点的坐标，利用和的坐标计算即得； （2）将待证等式等价转换为证明.对应（1）中的法一与法二：利用向量坐标的数量积运算得到即可. 【详解】（1） 法一：设，则直线， 与椭圆方程联立，得， 则由 ， 且，故，则. 所以. 法二：设，则 则直线的方程为：，令，代入即得. 所以. （2）因为， 所以，要证，只需证，即证. 对应（1）中的法一：因为，，，， 所以 ， 于是. 或者：因直线，直线，即， 联立，解得. 因为 ，所以. 对应（1）的法二：因为， 所以，要证，只需证，即证. 因为，，，， 所以， 于是. 【典例】3．（2025·北京·三模）已知椭圆：过，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点（不重合），已知，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将两点代入计算可得椭圆的方程； （2）设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合，由向量共线可得出坐标间的等量关系，联立解方程组可得直线斜率，可求得结论. 【详解】（1）将，代入椭圆的方程可得， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）结合题意可知，直线的斜率存在， 又，设直线方程为，，如下图所示： 联立，整理可得， 所以可得，且， 可得，即或； 因为，所以、的斜率分别为， 因此直线、的方程分别为， 则交点的坐标为； 结合可知，即, 也即，整理可得， 又，可得， 又因为，将代入， 可得，解得， 所以， 代入计算可得，解得， 即或，经检验符合题意， 所以直线的方程为或. 【典例】4．（2025·北京海淀·二模）已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点． (1)当时，求的值； (2)若点满足且，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，将直线的方程与椭圆方程联立，求出交点的坐标，再利用弦长公式可求得的值； （2）设点、，设线段的中点为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出、，利用勾股定理求出，可求出的值，可得出的值，进而可得出的值. 【详解】（1）设点、，当时，直线的方程为， 联立可得或， 所以. （2）设点、，设线段的中点为， 因为，则，且， 联立，可得， 则， 由韦达定理可得，， 则，故点， 所以，， ， ， 又因为，， 因为，则，故. 【典例】5．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，定点坐标为 【分析】（1）由焦点坐标以及短轴长的概念，结合椭圆的标准方程，可得答案； （2）利用分类讨论，分直线斜率存在与否，设出直线方程以及交点坐标，写出中点坐标，联立方程，写出韦达定理，可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点，所以， 又短轴长为，所以，由可得， 故椭圆的方程为. （2） 当直线和斜率存在时，设直线方程为：， 设，，则有中点， 联立方程，消去得：， 由韦达定理得：，所以的坐标为， 将上式中的换成，同理可得的坐标为， 若，即，， 此时直线斜率不存在，直线过定点； 当时，即直线斜率存在， 则， 直线为， 令，得， 此时直线过定点， 显然当直线或斜率不存在时，直线就是轴，也会过， 综上所述：直线经过定点，定点坐标为. 【典例】6．（2025·北京海淀·三模）椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积； (3)若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）利用题设条件列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）由条件推得为矩形，设，利用椭圆的定义得，再由勾股定理得，联立求出，从而可求的平行四边形的面积； （3）设，则，依题意求出的方程，联立求得点的坐标，由点Q在椭圆E上，解方程即可求得点P坐标. 【详解】（1）由题意，当P点在长轴端点时，取，则 ①， 当P点在短轴端点时，取，则 ②， 由②得，故代入①，可得，， 故椭圆E的标准方程为. （2） 如图1，若四边形为平行四边形，又，则，即为矩形， 设，则，又，则， 于是，故平行四边形的面积为. （3） 如图2，设，则，且， 因且，故，则； 因，则因，故，则. 由联立解得：， 因点Q在椭圆E上，则得，将代入化简得：， 解得，，即点P坐标为. 【典例】7．（2025·北京昌平·二模）已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在； 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合面积公式可列出方程组求解椭圆各参数即求解； （2）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，假设存在点，则可得相等关系，然后利用韦达定理来进行化简，计算即可得结果. 【详解】（1）由题意得，解得． 所以椭圆的方程为，离心率． （2） 设直线的方程为，点，点． 由，得． 依据题意，， 因为点与点关于轴对称，所以点． 若在轴上存在定点，使三点共线，则． 由，得． 由，得． 因为 ，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 【典例】8．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆 的长轴的两个端点分别为 ，短轴的两个端点与 恰构成一个等边三角形的三个顶点. (1)求椭圆 的标准方程； (2)点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点 为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在点P的坐标为 【分析】（1）根据已知条件，列出满足的等量关系，求得，即可求得椭圆的方程； （2），且，根据已知条件将点坐标以及用表示，求得，由此可将与的面积用表示，构成方程即可求解，即可解答. 【详解】（1）根据题意可得：，，解得， 故椭圆的方程为：. （2） 设，且，则 ， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，得，所以点的坐标为， 因为，所以直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以， 联立直线和直线的方程， 消去得，即， 整理有：， 因为，所以， 所以，解得点的横坐标， ，， 要使得与的面积相等，应有， 整理有，即， 解得，，因为，（舍去），所以， 由可得点P的坐标为. 【典例】9．（2025·北京·模拟预测）椭圆：，左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点.，面积的最大值为6. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)当点P不与椭圆顶点重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，交直线为D，直线交x轴为E.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由长轴长得，当点在椭圆上下顶点时，面积取得最大值， 由此求得，即得椭圆的方程，有平方关系可得，即求得离心率； （2）先设点的坐标，由椭圆的对称性得点的坐标， 再分别写出直线和直线的方程得点和的坐标， 由此得到的表达式，结合点在椭圆上代入化简即可证明. 【详解】（1）由题意知，当点在椭圆上下顶点时， 面积取得最大值，即， 所以椭圆方程为，，所以离心率； （2）不妨设点，由椭圆的对称性可知， 直线的斜率为，故直线的方程为， 令，得点纵坐标； 直线的斜率为，故直线的方程为， 令，得点横坐标， 所以直线的斜率为， 直线的斜率为， 故直线和直线的斜率之积为 ， 因为点在椭圆上，所以有， 也即，代入斜率之积的表达式的三次项中， 得为定值. 【典例】10．（2025·北京·二模）已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1)，离心率 (2) 【分析】（1）由直线方程确定，进而可求解； （2）设方程为，点，联立椭圆方程，结合韦达定理得到的坐标为，再由直线：，直线：．得点．再由线段的中点为，得，化简得到，进而可求解. 【详解】（1）因为直线与坐标轴交点为和， 所以． 由，解得， 所以椭圆的方程为，离心率． （2） 由题意，直线的斜率存在，故设其方程为， 设点， 由得， 所以． 所以点的横坐标，纵坐标． 结合直线过坐标原点，可得直线的方程为． 令，得点的坐标为． 当时，显然点不在轴上． 则直线：，直线：． 令，得点． 由线段的中点为，得， 整理，得， 即， 化简，得． 由，得． 当时，由题意，点中有一个与点重合（不妨设点与点重合）， 处为中点，且， 在中，，则直线的方程为， 由的中点为，则，即，故， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，的取值范围为. 11．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆经过点，且右顶点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：． 【答案】(1)，离心率 (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆过的点及右顶点坐标得到，，之间的关系，列出等式求解即可. （2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，求出，两点的横坐标，代入公式再求证即可. 【详解】（1）由题意， 又因为经过点，所以，所以 所以椭圆的方程，离心率. （2）证明：设， 由，消去可得，， 则， 由得． 同理，， 则 ， 上式分子部分 ， 故，所以． 12．（2025·北京·三模）已知椭圆 过点，焦距为 过点的直线与椭圆交于两个不同的点， 已知点， 为直线上一点， 且直线. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)求的横坐标. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）利用椭圆过点和焦距求出，即求得椭圆方程与离心率； （2）通过设直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理表示坐标，利用平行条件建立方程求出坐标. 【详解】（1）由题意可知，，由焦距，则， 所以， 所以椭圆方程为，离心率 （2）若斜率不存在，则，则； 设直线方程，， 则，消元可得； 则， 设，由点是直线上一点，， 则存在，使得，则， 由,则， 故，代入可得， , 故点的横坐标为. 13．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点，直线，分别与x轴交于点，比较与的大小，并证明. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据即可判断. 【详解】（1）依题意可得，，又，所以， 所以椭圆方程为. （2）依题意过点的直线斜率存在，设， 设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 即的中点横坐标为， 又，所以 14．（2025·北京丰台·二模）已知椭圆的左顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点且斜率为的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点．若与的面积之比为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知及椭圆中的关系，解出，即可得到椭圆的方程； （2）由题意，直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理可由表示出线段的中点坐标，进而写出线段垂直平分线的方程，得到点和点坐标，表示出的面积，再由表示出的面积，再由面积之比为得到方程，即可求得的值． 【详解】（1）由题意， 解得． 所以椭圆的方程为． （2）    由题意，直线的方程为， 由，得． 由题意，． 设，则， 解得， 所以线段的中点为． 线段垂直平分线的方程为：， 令得，所以． 令得，所以． 所以． 因为过点与直线平行的直线的方程为，故， 所以． 因为， 所以，整理得． 若，则，解得，故； 若，则，解得，故． 综上，或． 15．（24-25高三下·北京·月考）已知椭圆E：的左右焦点分别为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形．A为圆上一点（不在x轴上），B为椭圆E上一点，且满足轴，直线l与圆O切于点A，过作l的垂线，垂足为M． (1)求椭圆E的方程及圆O的方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知得出，且进而求得，即可求得椭圆和圆的方程； （2）首先由椭圆方程得出焦点坐标，设的坐标为，的坐标为，不妨取，根据点到直线距离公式求得，再根据两点间距离公式求得，即可证明为定值． 【详解】（1）已知以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形，设椭圆的焦距为， 则：，且， 所以，则椭圆的方程为：， 圆的方程为：． （2）证明：由椭圆方程得， 因为轴，所以设的坐标为，的坐标为，不妨取， 因为直线与圆切于点，切线的方程为：， 因为，所以， 由得，， 又，所以， 因为，所以， 所以． 16．（2025·北京通州·一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率和即可结合的关系求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据中点坐标可得，进而可得以及，即可结合向量的数量积以及两点距离公式化简求解. 【详解】（1）根据题意可知，解得， 故椭圆方程为 （2）设直线，联立与的方程可得， 设，则, 故，故， ， 故直线的方程为， 联立与椭圆方程可得，解得, 在直线中，令，则，故, 故 ， 故 17．（2025·北京海淀·一模）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为：，其长轴长为； (2)在椭圆上，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，列出满足的方程组，求得，即可求得椭圆方程和长轴长； （2）求出方程，设出点的坐标，进而写出方程，从而求得的坐标；再结合已知条件，求得方程，联立方程组，解得坐标，将其代入椭圆方程，即可检验和判断. 【详解】（1）由题可知，， 的面积为2，且，则，又，解得； 故椭圆的方程为：，其长轴长. （2）由（1）可知，，又， 故直线方程为：，又在直线上，故设点， 当时，直线斜率不存在，此时与重合，也与重合，显然在椭圆上； 当时，直线的斜率为，与轴没有交点，不满足题意； 当，且时，直线斜率为，直线方程为：， 令，可得，故； 直线斜率为：，直线方程为：； 直线斜率为：，直线方程为：； 联立，消去可得，代入可得：，即， 又，即，故点在椭圆上. 综上所述，在椭圆上. 18．（2025·北京西城·一模）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，且点到椭圆的两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的方程； (2)若关于原点的对称点为，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴于点，直线与轴交于点．用与分别表示与的面积，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆性质，已知离心率、长轴以及，通过解方程组就能得出、的值，进而得到椭圆方程. （2）先设点、、坐标，再设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到、表达式.因为，根据向量垂直性质得到，解出与的关系.排除直线过原点的情况后，确定时直线方程，求出点坐标，最后根据三角形面积公式得出. 【详解】（1）由题意，得解得，， 所以椭圆的方程为． （2）由题意，设点，则点，． 设直线的方程为，．由得． 所以，，， 故，． 又因为， 所以， 去分母化简得到，所以或． 当时，直线过原点，不符合题意． 当时，直线的方程为，则点坐标为， 所以，． 故. 19．（2025·北京房山·一模）已知椭圆的长轴长为4，一个焦点为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，离心率； (2)存在，. 【分析】（1）由题意确定椭圆参数值，即可得椭圆方程，进而得到离心率； （2）设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理得，法一：根据面积比得到，即直线的斜率与直线的斜率互为相反数，列方程求得；法二：根据面积比得，结合两点距离公式并整理求得，即得结论. 【详解】（1）由题意，得，所以. 所以椭圆的方程为，离心率. （2）设直线的方程为（显然），点， 设，联立方程， 整理得. 所以. 法一：因为. 又，所以. 所以，直线的斜率与直线的斜率互为相反数. 设直线的斜率为，直线的斜率为， ，整理可得， ，因为， 所以，， 即，解得. 所以点的坐标. 法二：因为，又， 所以，即，， 所以，且， 整理得， 则， 而，显然， 所以， 故， 所以，解得. 所以点的坐标. 20．（2025·北京门头沟·一模）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由右顶点及离心率可得a，c，然后可得椭圆方程. （2）设直线l，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可化简，得出四边形对角线垂直平分即可得答案. 【详解】（1）因椭圆顶点为，离心率为， 则，所以，故椭圆方程为：； （2）由题，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立， 可得. 即得 化简得 因直线与椭圆交于不同的两点，则. 设，由韦达定理. 又设，令得； 设，令得； 又因为 . 所以，，所以平分，所以四边形为菱形.    21．（25-26高三上·北京·月考）椭圆分别为左右焦点，为坐标原点，直线过与椭圆交于两点，的周长为，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过作直线交抛物线于点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点三角形的周长，建立方程组，解得，可得答案； （2）设出直线方程，分别联立椭圆与抛物线方程，写出韦达定理，利用三角形面积公式，结合二次函数以及不等式性质，可得答案. 【详解】（1）由题意可得的周长， 的周长， 联立可得，解得，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）由椭圆，即，则， 易知直线的斜率存在，设， 联立，化简可得， 显然，设，则， 可得， 由，且垂足为，则， 联立可得，化简可得， 显然，设，则， 可得， 设直线的倾斜角为，则，可得， ， 令，可得， 由，则令，求导可得， 易知当时，，所以函数在上单调递增，故， 即，可得 所以. 22．（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线交于两点，为的中点． (1)求的方程和短轴长； (2)若的垂直平分线交轴于，且. （i）求直线的方程； （ii）点在上，求△面积的最大值． 【答案】(1)的方程为，短轴长. (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据焦点与离心率，以及椭圆中的关系求解即可； （2）（i）设直线与椭圆联立，根据韦达定理得出中点，根据弦长公式以及建立方程求解即可； （ii）利用椭圆的参数方程设点，写出点到直线距离公式，结合辅助角公式求最大值即可. 【详解】（1）由题意，，则，， 则的方程为，短轴长. （2）（i）当直线斜率不存在时，，，不合题意， 故设直线的方程为：，， 联立，得， ， 所以， ， ， 由得， 解得， 所以直线的方程为：. （ii）由于点在上，故设， 由对称性，设，，， 则点到的距离 其中， 当时，， . 所以△面积的最大值为. 23．（2025·北京东城·一模）已知椭圆过点，离心率为，上的点关于轴的对称点为.设为原点，，过点与轴平行的直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)若点在以为直径的圆上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆过点可求出，由离心率为及椭圆中，可求得，即可得到椭圆方程； （2）先由条件得到的坐标，再得到过的直线方程，代入双曲线得到的坐标，进而得到以为直径的圆的方程，再利用点既在圆上，又在椭圆上，化简整理即可求出的值. 【详解】（1）因为椭圆过点， 所以，即. 因为椭圆的离心率为，所以，， 又因为椭圆中，代入可得， 解得，所以椭圆的方程为； （2） 如图所示，因为关于轴的对称点为，，所以， 因为，所以，所以， 所以过点与轴平行的直线为， 将直线代入椭圆方程， 可得，即， 所以，， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 因为点在圆上，所以， 即， 又因为点在椭圆上，所以，即， 代入可得 ， 化简后可得，解得或（舍）， 所以. 24．（24-25高三下·北京·月考）已知椭圆，且过，两点． (1)求的方程； (2)设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点与点关于点对称．证明：直线恒过点． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，由已知条件求出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，可得出椭圆的标准方程，求出的值，即可求出该椭圆的离心率； （2）分析可知，直线的斜率存在，先利用特殊位置猜想出直线过轴上的一个定点，设直线的方程为，、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，可求出点的坐标，由已知条件求出点的坐标，求出直线的方程，然后令，可求出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由题意，代入点得，，解得， 所以椭圆E的标准方程. （2）若直线的斜率不存在，此时直线与椭圆相切，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在. 当的斜率为时，的方程为， 此时、， 直线的斜率为，则直线的方程为， 令得， 由题意可得：， 此时直线的方程为过点， 当过椭圆的右顶点时， 直线的方程为，此时、， 直线的方程为，令得， 由题意可得，， 此时直线的方程，故直线过轴上一个定点. 设直线的方程为，、，    与椭圆方程联立得：， ，可得， 由韦达定理可得，， 在直线的方程为中， 令得， 由题意可得得，， ， 直线的方程为， 令，可得 ， 所以直线过定点. 25．（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆的离心率为，点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在. 【分析】（1）由离心率和点在椭圆上，列出等式求解即可； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点R也满足前面的结论，即得解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由题意可得， 解得， ，则， 所以椭圆的标准方程为． （2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆的方程，可得， 设，，则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时， 点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得， 不妨设，若， 则， ， 综上所述，在轴上存在点，使得为定值. （建议用时：70分钟） 26．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知椭圆的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用椭圆的短轴长与离心率，结合求出椭圆的基本参数，得到标准方程； （2）设直线方程与椭圆联立，利用向量垂直的条件求出直线斜率，再通过弦长公式与点到直线的距离公式计算三角形面积. 【详解】（1）由短轴长，得，故. 由离心率，得. 结合，代入得，解得. 故椭圆的标准方程为. （2）设直线方程为，代入椭圆方程得. 设，，则，. 由，得，代入、，化简得， 解得，此时， 原点到直线的距离， 弦长. 故的面积为. 27．（25-26高三上·北京·期中）已知椭圆的长轴长为，且. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)椭圆的左、右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）.直线与直线相交于点，求证：，，三点共线. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）椭圆的长轴长和、的关系求出椭圆方程和离心率； （2）再利用直线与椭圆相交，通过联立方程求出相关点的坐标，进而证明三点共线. 【详解】（1）已知椭圆长轴长为，得， 因为，所以， 因此，椭圆方程为， 由，得离心率； （2）设直线的方程为，如下图所示： 联立，消去得， 由韦达定理得， 直线的方程为，令，得， 要证三点共线，只需证， 因为，所以需证，即证， 将代入，化简得， 即，整理为， 代入韦达定理结果：左边，右边，等式成立，故三点共线. 28．（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 【答案】(1); (2)直线过定点 【分析】（1）根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率； （2）写出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ恒过的定点. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，解得， 所以椭圆E的方程为， 因为所以， 所以离心率为. （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设则有 直线的方程为 令，解得，则， 所以直线的斜率为且， 所以直线的方程为 令，则 所以直线过定点. 29．（25-26高三上·北京·月考）椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，． 【分析】（1）根据离心率和菱形的边长，建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）设，求出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，消去后得到韦达定理，从而用表示出点的坐标，写出的算式并化简即可求出的定值. 【详解】（1）由可得 又由题意，， 联立两式，解得 所以椭圆C的方程为． （2） 设，则，，， 则，． 则直线与椭圆方程联立， 消去可得：， 即． 显然,， 所以，． 所以，同理可得． 所以． 所以． 30．（25-26高三上·北京东城·月考）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，长轴长为． (1)求E的方程； (2)过焦点的直线交E于A，B两点，过焦点的直线交E于C，D两点，且轴，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，列式求出，根据求出即可得到答案； （2）设，直线的方程分别与椭圆方程联立求出点的纵坐标，结合给定向量关系求解. 【详解】（1）由椭圆的长轴长为，得，所以， 因为离心率为，所以，所以， 则，所以椭圆的方程为. （2）设，因为轴，则，且，而，， 依题意，，直线方程为， 由消去得， 则，解得， 因为，所以； 直线方程为，由，得， 则，解得， 因为，所以， 所以. （建议用时：70分钟） 31．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设点关于原点的对称点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为，且与直线交于椭圆内的点.设的面积和的面积分别为和，若，求直线的斜率. 【答案】(1)， (2)0 【分析】（1）根据题意有，解出即可得椭圆的方程，进而得离心率； （2）连接，由，得，进而得，点与点关于原点对称，得，进而得，得直线的方程，与椭圆方程联立即可得点坐标，进而求解. 【详解】（1）由已知有： ，解得， 所以椭圆方程为， 所以， 所以离心率； （2）连接，因为， 所以，即， 所以点和点到直线的距离相等， 由题意，点与点在直线的同侧， 所以， 因为点与点关于原点对称，所以， 又，所以， 所以， 直线的方程为，即， 由可得， 得或， 当时，，得， 当时，点与点重合，不合题意. 所以直线的斜率为0. 32．（25-26高三上·北京·开学考试）已知椭圆：的右顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】（1）利用已知得，又利用即可求椭圆的方程，利用离心率的公式即可求解； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，由韦达定理得，求直线的方程，进而得，同理得，求出和即可求解. 【详解】（1）由题意有：，所以， 又， 所以椭圆的方程为：， 所以离心率为； （2）由题意得直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为：， 所以， 所以，即， 设， 所以， 由，所以直线的方程为：， 令得，同理得， 所以， ， 当且时，，    当时，或， 此时与平行，没有交点，不合题意.    所以. 33．（25-26高三上·北京·开学考试）已知椭圆，其中，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程及上顶点的坐标； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意列方程组式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【详解】（1）由题意可得，解得. 所以椭圆方程为. 上顶点的坐标为； （2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 设， 联立方程，消去得： ， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 所以线段的中点是定点. 34．（25-26高三上·北京·开学考试）已知椭圆的右顶点为，上顶点与左右焦点构成一个等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为、点关于轴的对称点为与不重合），直线与轴的交点分别为．若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形可得，结合右顶点可求各基本量，从而可得椭圆方程； （2）利用知点求点可用直线的斜率结合表示，再根据可求得，故可得的坐标，从而求出线段的长．我们也可以设，则可用表示，再根据可求，故可求线段的长． 【详解】（1）由题设，，所以， 所以的方程为. （2）方法一：由题设，直线的斜率一定存在，设直线的方程为. 所以可得，， 设，所以，所以， 所以，所以， 直线的斜率，所以直线的方程为， 令，得，所以，同理可得 所以，又，所以， 因为与不重合，所以， 所以，所以，所以，所以. 方法二：设点，所以， 所以直线的方程为， 令，所以，同理直线的方程为， 令，所以， 又， 因为，所以，所以 所以，所以，所以，所以. 35．（24-25高三上·北京海淀·月考）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：． 【答案】(1)椭圆的方程为，椭圆的长轴长为 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据题意列方程组求出即可求解； （2）欲证，只需证明，由题意知斜率存在，设，联立椭圆方程，结合韦达定理得的坐标，求得方程，联立，可得，由题意得，求得方程，联立得，对比，即可得证. 【详解】（1）由题意，解得， 所以椭圆的方程为，椭圆的长轴长为； （2） 由题意知斜率存在，设， 联立与得，，化简得， 由韦达定理得，， 所以， 而直线，从而， 因为点满足四边形是平行四边形，关于中心对称， 根据平行四边形的中心对称性，可知也关于中心对称， 所以，而， 所以，显然，所以， 所以直线的方程为， 联立与，得， 即， 化简得，即， 因为，所以， 所以. （建议用时：70分钟） 36．（24-25高三下·北京·月考）已知椭圆方程，椭圆上有三个点，，． (1)求椭圆的标准方程，并求椭圆的离心率： (2)设是椭圆上的动点，且直线关于直线对称，求直线的斜率. 【答案】(1)方程为,离心率为； (2) 【分析】（1）将两点代入椭圆方程解方程即可求得椭圆方程和离心率； （2）设直线的方程并与椭圆联立，解得两点的坐标表示，即可求得的斜率. 【详解】（1）根据题意将代入椭圆方程可得，解得； 再代入点坐标，可得，可得； 所以， 因此椭圆的标准方程为，离心率为. （2）如下图所示： 因为两点关于轴对称，且直线关于直线对称，所以直线的斜率均存在，且互为相反数， 即； 设，则直线的方程为， 联立，可得， 显然是该方程的根，所以，可得； 即 因为， 同理可得， 可知 因此直线的斜率为. 37．（2025·北京延庆·一模）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由题意得，再结合求出，从而可求出椭圆E的标准方程； （2）假设存在点P，使得，则‖，设，由结合点在直线上，可求得，再由在椭圆上可求出，从而可求出，进而可求出点的坐标. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； （2）假设存在点P，使得，则‖， 所以， 设，则， 所以，直线的方程为， 因为点在直线上，所以， 所以， 因为点P是直线上不同于点Q的一点，所以， 所以，解得， 因为点在椭圆上，所以，解得或， 当时，，得， 当时，，得， 所以存在点P，使得，点的坐标为或 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为，再结合直线的方程和椭圆方程可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 38．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若过点，斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点，点在线段（不包括两端点）上，为坐标原点，直线与直线，分别交于点．求证：点关于原点对称. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意知，结合求出，即可得椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再表示出直线，的方程、求得坐标，并分别将直线，与直线联立求得，通过化简证明，得到点关于原点对称，即可得证. 【详解】（1）∵椭圆的离心率为，且经过点， ∴ 解得. ∴椭圆的方程为. （2） 过点，斜率为的直线方程为. 由 得 . .  设，则.   直线，  直线， 在直线方程中，令，得. 直线. 由得. 同理得. 所以，即点为线段中点. 所以点关于原点对称.    39．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知椭圆的上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设B为椭圆C的下顶点，动点M到坐标原点O的距离等于1（M与A，B不重合），直线AM与椭圆C的另一个交点为N.记直线BM，BN的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，表示出直线BN的斜率与直线AM的斜率，从而得到，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意得解得，. 所以椭圆C的方程为. （2） 因为B为椭圆C的下顶点，所以. 设（且），则直线BN的斜率. 由点M到坐标原点O的距离等于1，可知点M在以AB为直径的圆上， 所以直线AM与直线BM垂直. 由题意得直线AM的斜率， 所以直线BM的斜率.所以. 因为点N在椭圆C上，所以， 故，所以， 所以存在，使得恒成立. 40．（24-25高三上·北京西城·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，离心率（为椭圆半焦距），三角形面积公式，再结合椭圆中来确定椭圆方程. （2）先求出直线与椭圆的交点坐标关系，再根据垂直平分线的性质、正方形的性质来求解的值. 【详解】（1）已知，，， 则的面积，解得. 因为离心率，，所以. 又因为，，，所以. 所以椭圆的方程为. （2）将直线与椭圆联立得. 根据韦达定理，，. 计算， 从而得到线段中点坐标为.   然后求线段垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为， 根据点斜式可得垂直平分线方程为， 进而得到点.   最后根据四边形为正方形时： 则 展开得 进一步化简为 将，代入得，， 整理得，解得. （建议用时：70分钟） 41．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的左顶点为，离心率. (1)求的标准方程； (2)设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为. 当与不重合时，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及左顶点，求出、，即可得解； （2）设，，则，从而得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元，求出，即可得到，得到，即可得证. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，， 则，，得直线的斜率. 由得直线的斜率. 由经过点得直线的方程. 由，得， 由韦达定理 得. 所以. 因为 ，， 由于不重合，所以，所以 所以. 因为两条直线不重合，所以. 42．（2025·北京海淀·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． (1)求椭圆的焦距；若，求点的坐标； (2)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 【答案】(1)4，； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用椭圆方程直接求出焦距，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，结合椭圆方程求解. （2）法1，设，直线与椭圆方程联立证明即可；法2，设，联立直线与椭圆方程证明即可；法3，设，联立直线与椭圆方程证明即可；法4，直线与椭圆方程联立证明即可. 【详解】（1）设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为．依题意，，， 所以椭圆焦距为； 设点，而，则， 于是，即，由点在椭圆上，得， 解得，，由点在第一象限，得，则， 所以点的坐标为. （2） 方法1：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 显然直线斜率存在且不为0，设直线， 代入中得，， ， 设，则，， ，即，直线斜率， 由在直线上，得，即， 于是直线的斜率，，即， 又为线段中点，所以． 方法2：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 必有，设，则，， ，即， 直线斜率，而直线斜率， 则，即，又为线段中点，所以． 方法3：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 显然，设，则，， 于是，， 点，， 又，则，即， 因此是直角三角形，又为斜边中点，所以. 方法4：设，与椭圆联立，得，， 而点在第一象限，则，， 点，直线的斜率， 直线，令，则， 与椭圆联立得，显然， 线段中点，有，， 点，于是直线斜率，， 又为中点，所以. 43．（2025·北京朝阳·二模）已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的几何性质易得结果； （2）联立直线和椭圆方程，由及可得，设，由韦达定理得，由倾斜角的概念可得直线的倾斜角和直线的倾斜角满足，从而直线和的斜率和满足，代入的值，化简可得k的值. 【详解】（1）由题意得解得 所以椭圆E的方程为． （2）由得． 由得． 又，所以． 设，则． 不妨设点A在点B的上方， 因为，又， 此时，直线的倾斜角为， 直线的倾斜角为，所以． 由题可知直线和的斜率都存在，分别设为和，则． 因为， 所以，即． 由得． 所以．整理得， 又，所以.    44．（2025·北京朝阳·一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作直线l与椭圆E交于不同的两点A，B．设，直线BC与直线交于点N，求证：直线AN的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可求得的值，可求得椭圆的方程； （2）设直线，，与椭圆方程联立方程组由韦达定理可得，求得，进而计算可得，可得结论. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程是． （2）由题可知直线斜率存在．设直线． 由，得． 由，得，即． 设， 则． 直线的方程为． 令，得的纵坐标为． 因为 ， 所以． ． 又 ． 所以，即． 所以直线的斜率为定值． 45．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上不与端点重合的动点，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，直线与直线分别交于点，求线段的中点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率的定义和焦点三角形的周长列方程可解； （2）设出直线方程，联立曲线方程得到韦达定理，然后利用直线方程与联立表示出交点的纵坐标，再由中点坐标公式可得. 【详解】（1）由题意可得， 又的周长为，由椭圆的性质可得， 联立可解，所以， 所以椭圆的方程. （2） 显然直线的斜率存在，设其方程为， 联立椭圆方程，消去可得， 设， 显然，则， 因为， 所以，代入可解得， 同理可解得， 所以的中点的纵坐标为， 又 展开代入韦达定理可得 ， 所以线段的中点的坐标为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题第20题 解析几何（椭圆）（讲练测） 1 7 8 9 10 11 12 13 【典例】1．（2025·北京东城·二模）已知椭圆的一个顶点为.且过点. (1)求椭圆的方程及焦距 (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积. 【典例】2．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，，分别为左右顶点.点是直线上异于点的动点，直线交椭圆的另一点为点. (1)求的值； (2)直线与交于点，求证：. 【典例】3．（2025·北京·三模）已知椭圆：过，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点（不重合），已知，求直线的方程. 【典例】4．（2025·北京海淀·二模）已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点． (1)当时，求的值； (2)若点满足且，求的大小． 【典例】5．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 【典例】6．（2025·北京海淀·三模）椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积； (3)若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标． 【典例】7．（2025·北京昌平·二模）已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 【典例】8．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆 的长轴的两个端点分别为 ，短轴的两个端点与 恰构成一个等边三角形的三个顶点. (1)求椭圆 的标准方程； (2)点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点 为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【典例】9．（2025·北京·模拟预测）椭圆：，左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点.，面积的最大值为6. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)当点P不与椭圆顶点重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，交直线为D，直线交x轴为E.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【典例】10．（2025·北京·二模）已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 11．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆经过点，且右顶点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：． 12．（2025·北京·三模）已知椭圆 过点，焦距为 过点的直线与椭圆交于两个不同的点， 已知点， 为直线上一点， 且直线. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)求的横坐标. 13．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点，直线，分别与x轴交于点，比较与的大小，并证明. 14．（2025·北京丰台·二模）已知椭圆的左顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点且斜率为的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点．若与的面积之比为，求的值． 15．（24-25高三下·北京·月考）已知椭圆E：的左右焦点分别为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形．A为圆上一点（不在x轴上），B为椭圆E上一点，且满足轴，直线l与圆O切于点A，过作l的垂线，垂足为M． (1)求椭圆E的方程及圆O的方程； (2)求证：为定值． 16．（2025·北京通州·一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：. 17．（2025·北京海淀·一模）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 18．（2025·北京西城·一模）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，且点到椭圆的两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的方程； (2)若关于原点的对称点为，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴于点，直线与轴交于点．用与分别表示与的面积，证明：． 19．（2025·北京房山·一模）已知椭圆的长轴长为4，一个焦点为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 20．（2025·北京门头沟·一模）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形. 21．（25-26高三上·北京·月考）椭圆分别为左右焦点，为坐标原点，直线过与椭圆交于两点，的周长为，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过作直线交抛物线于点，求的取值范围. 22．（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线交于两点，为的中点． (1)求的方程和短轴长； (2)若的垂直平分线交轴于，且. （i）求直线的方程； （ii）点在上，求△面积的最大值． 23．（2025·北京东城·一模）已知椭圆过点，离心率为，上的点关于轴的对称点为.设为原点，，过点与轴平行的直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)若点在以为直径的圆上，求的值. 24．（24-25高三下·北京·月考）已知椭圆，且过，两点． (1)求的方程； (2)设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点与点关于点对称．证明：直线恒过点． 25．（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆的离心率为，点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由． （建议用时：70分钟） 26．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知椭圆的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积. 27．（25-26高三上·北京·期中）已知椭圆的长轴长为，且. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)椭圆的左、右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）.直线与直线相交于点，求证：，，三点共线. 28．（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 29．（25-26高三上·北京·月考）椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 30．（25-26高三上·北京东城·月考）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，长轴长为． (1)求E的方程； (2)过焦点的直线交E于A，B两点，过焦点的直线交E于C，D两点，且轴，，，求的值． （建议用时：70分钟） 31．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设点关于原点的对称点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为，且与直线交于椭圆内的点.设的面积和的面积分别为和，若，求直线的斜率. 32．（25-26高三上·北京·开学考试）已知椭圆：的右顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明． 33．（25-26高三上·北京·开学考试）已知椭圆，其中，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程及上顶点的坐标； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 34．（25-26高三上·北京·开学考试）已知椭圆的右顶点为，上顶点与左右焦点构成一个等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为、点关于轴的对称点为与不重合），直线与轴的交点分别为．若，求线段的长． 35．（24-25高三上·北京海淀·月考）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：． （建议用时：70分钟） 36．（24-25高三下·北京·月考）已知椭圆方程，椭圆上有三个点，，． (1)求椭圆的标准方程，并求椭圆的离心率： (2)设是椭圆上的动点，且直线关于直线对称，求直线的斜率. 37．（2025·北京延庆·一模）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 38．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若过点，斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点，点在线段（不包括两端点）上，为坐标原点，直线与直线，分别交于点．求证：点关于原点对称. 39．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知椭圆的上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设B为椭圆C的下顶点，动点M到坐标原点O的距离等于1（M与A，B不重合），直线AM与椭圆C的另一个交点为N.记直线BM，BN的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 40．（24-25高三上·北京西城·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值. （建议用时：70分钟） 41．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的左顶点为，离心率. (1)求的标准方程； (2)设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为. 当与不重合时，求证：. 42．（2025·北京海淀·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． (1)求椭圆的焦距；若，求点的坐标； (2)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 43．（2025·北京朝阳·二模）已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值． 44．（2025·北京朝阳·一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作直线l与椭圆E交于不同的两点A，B．设，直线BC与直线交于点N，求证：直线AN的斜率为定值． 45．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上不与端点重合的动点，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，直线与直线分别交于点，求线段的中点的坐标. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $