解答题第19题 概率与统计讲义-2026年高考数学二轮复习【会一题通一类系列】（北京专用）

解答题第19题 概率与统计（讲练测） 1 19 27 35 45 53 62 71 【典例】1．（2025·北京门头沟·一模）不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 【答案】(1) (2)答案见详解 (3) 【分析】（1）利用古典概型结合表格计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可； （3）利用二项分布的方差公式计算并比较大小即可. 【详解】（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为； （2）由题意可知的可能取值为：， 则， ， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 P 所以； （3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为, 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 易知， 由二项分布的方差公式可知， ， 所以. 【典例】2．（2025·北京海淀·三模）自动驾驶是依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆的技术，其安全性备受人们的关注．2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公司每年1月1日之前上交一份自动驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动驾驶脱离事件，脱离事件是指在自动驾驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件．每次脱离平均行驶里程（MPD值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要人工干预一次，它由一家公司报告的总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一．从《加州2023年自动驾驶脱离报告》中选取了9家公司的数据． 公司 所属国家 测试总里程（英里） 脱离次数 MPD值 百度 中国 108300 6 18050 谷歌Waymo 美国 1454137 110 13219 通用Cruise 美国 831040 68 12221 比亚迪 中国 32054 3 10684 小马智行 中国 174845 27 6475 Nuro 美国 68762 34 2022 Zoox 美国 67015 42 1595 小米 中国 12272 8 1534 苹果 美国 7544 64 117 (1)从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率； (2)从表中的9家公司随机抽取3家，求至少有2家MPD值大于10000的概率； (3)有人认为根据《加州2023年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全面超越谷歌公司．你是否同意此观点?并说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)不同意此观点，理由见解析 【分析】（1）由古典概型概率计算公式分析即可求解； （2）由互斥加法概率公式、古典概型概率计算公式以及组合数的计算即可求解. （3）不能单方面从MPD值来说明百度公司的自动驾驶技术超越谷歌公司，事实上百度公司的测试总里程108300远小于谷歌Waymo的1454137，具体说明只需言之有理即可. 【详解】（1）因为表中有4家中国公司，5家美国公司，随机抽取一家中国公司和一家美国公司共种情况． 表中所有的美国公司中，MDP值比百度低的有5家，比AutoX和小马智行低的有3家，比小米低的有1家， 所以抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的情况共有种 故抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率为． （2）设“从表中的9家公司随机抽取3家，至少有2家MPD值大于10000”为事件A， 表中的9家公司中有4家MPD值大于10000． 设“恰有2家公司MPD值大于10000”为事件B，“恰有3家公司MPD值大于10000”为事件C， 则，且B，C互斥 所以 （3）我不同意此观点，理由如下： ①虽然百度公式的MPD值为18050，高于谷歌Waymo的13219，但是百度公司的测试总里程108300远小于谷歌Waymo的1454137，样本比较小，测试值与实际值偏差较大的可能性更大，所以不能确定. ②虽然百度公式的MPD值为18050，高于谷歌Waymo的13219，但是MPD值只是衡量自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一，不能说明百度公司的自动驾驶技术在其他方面也超越了谷歌公司. 【典例】3．（2025·北京·三模）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算； （2）分别计算壶1、壶2投中和未投中的概率，再利用乘法公式和加法公式计算； （3）利用二项分布的概率最值计算. 【详解】（1）由用频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为. （2）用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率， 则壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为， 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为， 则这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率为. （3）用表示投完20次之后，这位同学投中壶2的次数，则， 则， 假设投中壶2的次数为时最大，则 ，即， 解得，因，则， 故投完20次之后，这位同学投中壶2的次数为时，概率最大. 【典例】4．（2025·北京大兴·三模）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立． (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分． ①从该地区男教师中抽取4名教师，求这4名教师得分总和为8分的概率； ②统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)140 (2)①；② 【分析】（1）首先完善表格，然后求出抽取的100人中认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率，最后即可计算该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； （2）对于①，首先求出男教师认为人工智能对于教学“没有帮助”、“有一些帮助”、“很有帮助”的概率，然后确定4名教师得分总和为8分的情况并计算出概率；对于②，首先根据平均值公式求出，然后比较它们的关系即可. 【详解】（1）根据表格中数据，完善表格， 可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为； （2）①男教师认为人工智能对于教学“没有帮助”的概率为， 男教师认为人工智能对于教学“有一些帮助”的概率为， 男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 因为， 所以 . ②， ， ， 因为，所以. 【典例】5．（2025·北京大兴·三模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 (1)估计软件能正确解答数学问题的概率； (2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； (3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3)答案见解析 【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解； （2）法一：确定的每一个取值，求得对应概率即可求解；法二：用、分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数，得到，，再由即可求解； （3）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， 由全概率计算公式求得比较大小即可. 【详解】（1）记软件能正确解答数学问题为事件， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得． （2）解法一：使用软件解答函数试题正确的概率为， 使用软件解答几何试题正确的概率为； 的可能取值为0、1、2、3， ， ， ， ， 则其分布列为： 0 1 2 3 其期望为：； 解法二：函数试题用软件解答，几何试题用软件解答． 用、分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数， 因为，， 0 1 2 0 1 的可能取值为0、1、2、3， ，， ，， 则其分布列为： 0 1 2 3 由二项分布的期望公式可得， 因为，相互独立，则 ． （3）小明应该使用软件来解决这道试题． 记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件． 则，，， ，，， 由全概率公式可得 ． ． 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该使用软件来解决这道试题． 【典例】6．（2025·北京丰台·二模）为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为． 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值． (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； (3)为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施． 措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动； 措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为．用样本估计总体，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求相应人数和频率，即可得结果； （2）分析可知从该校日均户外活动时长低于1小时、不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为、，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （3）根据题意结合加权平均数公式分别求，比较大小即可得结果. 【详解】（1）由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有人， 其中近视的学生有人， 所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为． （2）设事件“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4名学生中恰有2名近视”． 由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为， 从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为． 则． （3）由题意可知：日均户外活动时长在区间内的频率为；日均户外活动时长在区间内的频率为；日均户外活动时长在区间内的频率为， 则原数据的平均数为， 采取措施一后，该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为； 采取措施二后，该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为； 因为，所以. 【典例】7．（2025·北京海淀·三模）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．为了调查用户对不同模式的使用频率和使用大模型研究问题的种类，该公司调查了不同用户最近提出的共10000个问题作为样本，得到如下表格． 问题类别模式 生活类问题 学习类问题 其他类问题 深度思考 1100 600 300 联网搜索 1200 1500 300 兼用 1500 2500 1000 假设每个用户的每个问题的模式选择与问题类别均相互独立，用频率估计概率． (1)在样本中随机抽取一个问题，求该问题的处理模式是“兼用”模式的概率． (2)在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，估计生活类问题个数不超过学习类问题个数的概率． (3)不同模式处理问题的时间可以大致分为三组：，，（单位：秒）．在网络正常的时候，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．假设小明已经使用该AI大模型的同一种模式解决了两个问题，其中一个问题的处理时间，另一个问题的处理时间．若不考虑其他因素干扰，判断小明在解决这两个问题时最有可能使用的是哪种模式．（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)； (3)小明使用兼用模式的概率最大． 【分析】（1）根据给定数据，应用频率估计概率即可； （2）根据不同方法，综合应用独立事件乘法公式、互斥事件加法及对立事件的概率求法求概率； （3）法一：分别求出不同模式的对应概率，比较大小，即可得结论；法二：记事件：“小明处理两个问题，其中一个用时在，另一个用时在”；事件分别表示“小明使用深度思考模式”，“小明使用联网搜索模式”，“小明使用兼用模式”，依次求出，比较大小得结论. 【详解】（1）由表，样本数量为10000，问题处理模式是“兼用”模式的样本数量为． 在样本中随机抽取一个问题，设事件：“该问题的处理模式是‘兼用’”，则； （2）在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取1个，该问题是生活类问题的概率估计为，是学习类问题的概率估计为，是其他类问题的概率估计为． 在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，设事件：“生活类问题的个数不超过学习类问题的个数” 方法1：事件包含两种情况：①0个生活类问题和2个非生活类问题；②1个生活类问题，1个学习类问题，0个其他类问题， 所以． 方法2：事件包含两种情况：①0个生活类问题和0个学习类问题，2个其他类问题；②0个生活类问题和1个学习类问题，1个其他类问题；③0个生活类问题和2个学习类问题，0个其他类问题；④1个生活类问题，1个学习类问题，0个其他类问题， ； 方法3：事件包含两种情况：①2个生活类问题和0个非生活类问题；②1个生活类问题，0个学习类问题，1个其他类问题， ； （3）法一：由图可知，用深度思考模式处理两个问题分别用时在和的概率为； 用联网搜索模式处理两个问题分别用时在和的概率为； 用兼用模式处理两个问题分别用时在和的概率为． 所以用兼用模式处理两个问题分别用时在和的概率最大，故小明最有可能使用兼用模式． 法二：记事件：“小明处理两个问题，其中一个用时在，另一个用时在”； 事件分别表示“小明使用深度思考模式”，“小明使用联网搜索模式”，“小明使用兼用模式”． 则有，，，， 则， 同理， ， 所以， 即已知事件发生的条件下，小明使用兼用模式的概率最大． 【典例】8．（2025·北京·模拟预测）在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，对球进行简单随机抽样，获得抽样数据如表： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率； (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率. (3)若仓库中红色球的个数比白色球的个数少，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，该球为木质球的概率为，比较与的大小关系（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据表中数据，结合古典概型求出对应概率； (2)4个球中恰有2个塑料球的情况可以分三种，即从红色球中抽出的2个都是塑料球；或者红色球中抽出的是1个塑料球，1个木质球；或者红色球中抽出的2个都是木质球再结合事件的相互独立性求概率. (3)先分别设出红球白球的个数结合概率公式表示出再作差比较大小即可. 【详解】（1）由题知，从所有红色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为． （2）当所取4个球中塑料球的个数等于木质球的个数时即有两个塑料球两个木质球， 因为，所以从仓库所有红色球中随机抽取1个得到木质球的概率， 从所有白色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为， 从所有白色球中随机抽取1个，得到木质球的概率为， 当从红色球中抽出的2个都是塑料球，从白色球中抽的都是木质球时对应的概率为：， 当从红色球中抽出的是1个塑料球，1个木质球，从白色球中抽的是1个塑料球，1个木质球时对应的概率为：， 当从红色球中抽出的2个都是木质球，从白色球中抽的都是塑料球时对应的概率为：， 故当这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率为. （3）设红色球总数为，白色球总数为，已知， 从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为， 从仓库中随机抽取1个球，该球为木质球的概率为， ， 因为，所以，所以， 所以. 【典例】9．（2025·北京·三模）某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获得数据如下表： 甲同学 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5 乙同学 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9 已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立. (1)从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率； (2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的分布列和期望： (3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为和，试比较和的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分别列见详解，期望 (3)相等 【分析】（1）先算出甲同学“得分达到良好”的个数，再利用古典概型求解即可； （2）先算出乙同学“得分达到优秀”的个数，用样本估计总体，发现X服从二项分布，计算相关情况概率，写出分布列并计算期望； （3）分别求出甲乙样本的均值与方差比较即可. 【详解】（1）根据题意甲同学“得分达到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5共6个， 所以从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率为. （2）乙同学“得分达到优秀”的有：8.5，9，9.5，9共4个， 所以乙同学所以数学小练习中“得分达到优秀”的概率为， 从中随机抽取3份，随机变量X服从二项分布， ，， ，， 所以分布列为 X 0 1 2 3 P 期望. （3）根据题意样本中甲同学成绩的均值 ， 乙同学成绩的均值， 所以甲同学成绩的方差， 乙同学成绩的方差， 所以甲、乙两位同学小练习成绩的方差相等. 【典例】10．（2025·北京丰台·一模）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达 (1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率； (2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响. （ⅰ）记随机变量为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求的分布列和数学期望； （ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，数学期望为；（ⅱ）甲，理由见解析 【分析】（1）利用古典概率求概率公式得到答案； （2）（ⅰ）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，并求出数学期望； （ⅱ）列车运行时长最短为7小时17分，在上午，分别计算出甲，乙，丙选取此列车的概率，比较后得到结论. 【详解】（1）从北京西出发到广州南的高铁车次共7个， 运行时长不超过10小时的有4个，超过10小时的有3个， 故这趟列车的运行时长不超过10小时的概率为； （2）（ⅰ）上午运行时长不超过10小时的列车有2个，超过10小时的列车有2个， 下午运行时长不超过10小时的列车有2个，超过10小时的列车有1个， 甲选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为， 乙选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为， 丙选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为， 的可能取值为0,1,2,3， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望为； （ⅱ）甲选取的列车运行时长最短的概率最大，理由如下： 列车运行时长最短为7小时17分，在上午，甲选取此列车的概率为， 乙选取此列车的概率为0，丙选取此列车的概率为， 故甲选取的列车运行时长最短的概率最大. 11．（25-26高三上·北京·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，该队的比赛成绩记为，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，求的分布列； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，求不小于的概率； (3)假设，为使得的数学期望尽量大，应该由谁参加第一阶段比赛？（直接写出结论） 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)选甲参加第一阶段的比赛 【分析】（1）先确定的可取值为，然后分析出甲、乙谁先参加第一阶段的投篮对结果没有影响，再计算出的不同取值对应的概率，由此可得分布列； （2）根据不小于分析出甲第一阶段投篮至少投中次，乙第二阶段投篮也至少投中次，由此可计算对应概率； （3）分别计算出甲、乙参加第一阶段比赛时比赛成绩的数学期望，然后通过作差法比较大小，由此可确定出结果. 【详解】（1）由题意可知，可取， 由于甲、乙每次投中的概率相等， 所以无论甲、乙谁先投篮，该队不能进入第二阶段的概率都为， 所以该队能进入第二阶段的概率都为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： （2）若不小于，则说明甲第一阶段投篮至少投中次，乙第二阶段投篮也至少投中次， 甲第一阶段投篮至少投中次的概率为， 乙第二阶段投篮至少投中次的概率为， 所以. （3）若甲先参加第一阶段的比赛，比赛成绩可取， ， ， ， ， 所以 所以， 所以， 若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩可取， 同理可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以应选甲参加第一阶段的比赛. 12．（25-26高三上·北京·月考）随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. (1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【分析】（1）结合古典概型概率公式，用缩小样本空间法求解概率即可； （2）求出使用三种功能时使用功能的概率，则被抽取的人数，由二项分布概率公式即可求解； （3）求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出，再比较大小即可. 【详解】（1）至少使用两种功能的学生数为，恰好使用三种功能的学生数为， 则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率. （2）抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为，其中使用功能的学生数为40， 因此该校使用三种功能的学生中使用功能的概率大约为， 由已知的可能取值为，且， ，， ，. 的分布列为 0 1 2 3 . （3）由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150， 则的可能取值为，，， ，，. 所以； 的可能取值为，，， ，，. 所以，故. 13．（25-26高三上·北京·月考）在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，现对仓库中两种颜色的球，分别进行了简单随机抽样，所得结果统计如下： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率； (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率． (3)若仓库中红色球的个数是白色球的3倍，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，该球为木质球的概率为，比较与的大小关系（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表中数据，结合古典概型求出对应概率； （2）4个球中恰有2个塑料球的情况可以分三种，即从红色球中抽出的2个都是塑料球；或者红色球中抽出的是1个塑料球，1个木质球；或者红色球中抽出的2个都是木质球再结合事件的相互独立性求概率. （3）先分别设出红球白球的个数结合概率公式表示出，，再比较大小即可. 【详解】（1）由题知，从所有红色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为； （2）由（1）可知，从仓库所有红色球中随机抽取1个得到木质球的概率， 从所有白色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为， 从所有白色球中随机抽取1个，得到木质球的概率为， 当所取4个球中塑料球的个数等于木质球的个数时即有两个塑料球和两个木质球， 当从红球中抽出2个塑料球，从白球中抽出2个木质球时对应的概率为：， 当从红球中抽出1个塑料球，1个木质球，从白球中抽出1个塑料球，1个木质球时对应的概率为：， 当从红球中抽出2个木质球，从白球中抽出2个塑料球时对应的概率为：， 故这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率为； （3）设红色球总数为，白色球总数为， 从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为， 从仓库中随机抽取1个球，该球为木质球的概率为， 所以. 14．（25-26高三上·北京西城·期中）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”. (1)若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率.记X为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望； (3)假设选手乙参加10轮射击比赛，恰有8轮“稳定发挥”.从这10轮比赛中任选2轮，记Y为乙在这两轮比赛中“稳定发挥”的轮数，直接写出与的大小关系（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）先确定“稳定发挥”的轮次，利用古典概型概率公式求解； （2）问题转化为求二项分布的分布列和期望求解； （3）先求超几何分布的期望，再与比较大小. 【详解】（1）10轮比赛中，除第二、六两轮不是“稳定发挥”，“稳定发挥”的有8轮. 所以从以上十轮比赛中任选两轮，这两轮均“稳定发挥”的概率为： . （2）用频率估计概率，每轮能“稳定发挥”的概率为， 因为甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，所以“稳定发挥”的轮数， 即，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且. （3）的值可以为：0,1,2 且，，. 所以. 所以. 15．（2024·北京西城·二模）为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． (1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； (2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； (3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3)2018年和年 【分析】（1）按古典概型的概率计算求解. （2）先根据中位数的概念确定，的值，在确定，的所有可能值，进一步得的所有可能的取值，再求的分布列. （3）计算产销率，可直接得到结论. 【详解】（1）记事件为“工业机器人的产销率大于”． 由表中数据，工业机器人的产销率大于的年份为年，年，年，年，共年．                                             所以． （2）因为，， 所以的所有可能的取值为；的所有可能的取值为． 所以的所有可能的取值为．                             ，，．     所以的分布列为： 故的数学期望． （3）2018年和年． 16．（2025·北京昌平·二模）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照，，，，，五个区间进行分组，所得样本数据如下表： 使用次数分组区间 初中生人 高中生人 4 3 38 29 48 28 17 6 3 假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率． (1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数； (2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记为这3人中高中生的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的人数分别为和，比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）根据频数分布表，结合分层抽样的定义进行求解即可； （2）根据古典型概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可； （3）根据二项分布求得方差判断即可. 【详解】（1）根据题中数据，，得． 样本中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的频率为． 因此近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数估计为：． （2）参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中，初中生有4人，高中生有3人． 所以的取值范围为． 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． （3），理由如下： 根据分层抽样定义知，随机抽取200名学生中，初中生为120名，高中生为80名， 抽到初中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为， 抽到高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为， 该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生中英语口语自主练习次数位于的人数服从二项分布， 即， 所以，， 因为，所以. 17．（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算概率即可；           （2）应用超几何分布计算概率，再写出分布列，最后计算数学期望即可；                  （3）根据频率分布直方图的特征得出平均值关系即可. 【详解】（1）设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于分． 由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为， 所以． （2）B地区评分为的样本用户共有人， 其中评分不低于分的人数为5人． 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则X的数学期望. （3）． 根据频率分布直方图A地区评分的平均值为， B地区评分的平均值为， 所以A，B两地区评分的平均值； 18．（2025·北京·二模）网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下： 时间 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 13号 14号 15号 搜索量 6.2 5.1 6.1 7.2 6.1 7.4 6.2 6.3 6.4 6.3 7.1 6.3 7.3 7.6 7.9 时间 16号 17号 18号 19号 20号 21号 22号 23号 24号 25号 26号 27号 28号 29号 30号 搜索量 8.5 11.2 10.3 9.1 9.6 10.1 10.6 10.9 8.8 10.4 8.2 11.5 12.1 12.8 13.6 用频率估计概率. (1)从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率； (2)假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率； (3)记表中30天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为，试给出与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）找出2号至14号中该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的数据，再运用古典概型的概率公式计算即可； （2）求出未来的日子里某天该疾病的搜索量高于10万的概率，低于8万的概率，再求满足题意的概率的即可； （3）分别计算即可比较大小. 【详解】（1）记事件A为“从2号至14号中任取1天，且该天搜索量比其前后两日的搜索量都低”， 根据数据知，仅有2，5，7，10，12号这5天的搜索量比其前后两日的搜索量都低， 所以从2号至14号中任取1天，该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率． （2）记事件B为“在未来的日子里任取3天，且这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万”， 根据数据知，在未来的日子里，某天该疾病的搜索量高于10万的概率可估计为，低于8万的概率可估计为． 则． 所以在未来的日子里任取3天，估计这3天该疾病捜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率为． （3）， 最大的三个数为：，最小的三个数为：， 这6个数之和为， 故， 故. 19．（2025·北京东城·二模）已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示. (1)从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率； (2)将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率； (3)依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不能预测，理由见解析 【分析】（1）由图结合古典概型的概率计算公式求解即可； （2）先确定满足的冬季周期的个数，然后利用组合数计算即可求解； （3）根据图表中数据的特点分析即可. 【详解】（1）由图可知从2016年至2024年12月平均高温和平均低温都低于前一年的有2017，2018，2020，2022， 所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率为； （2）由已知可得从2015年至2024年这10个冬季周期分别为， 满足的有个， 从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中的概率为； （3）不能预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度，理由如下： 从图2可以看出，1月平均高温数据虽有波动，但没有明显的单调递增或递减的线性趋势，数据的波动是随机的，没有足够的依据能从过去10年的数据直接推断2026年1月平均高温低于4摄氏度. 20．（2025·北京海淀·二模）某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 颜色 小学生 初中生 高中生 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 黑色 80 20 40 20 20 20 白色 60 40 30 30 30 10 假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率； (2)从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，； (3). 【分析】（1）根据表中数据求出相应频率，用频率估计概率即可； （2）的可能取值为，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （3）分别求出小学生、初中生、高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率，结合所占的权重求得并与的大小比较即可. 【详解】（1）由表可知200名顾客中愿意购买黑色新品跑鞋的人数为140人， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率； （2）用频率估计概率，由表可知从初中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为， 从高中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为， 由题意的可能取值为， ， ， . 所以的分布列为 . （3）小学生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为； 初中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为； 高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为. 所以. 21．（2025·北京西城·一模）发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路.为调查研究，某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图(单位：百辆)： 在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为Q. (1)从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，求该年Q值超过的概率； (2)现从2019年至2024年这6年中依次随机抽取，每次抽取1个年份，若该年的Q值过，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到Q值超过的年份.记抽取的次数为，求的分布列和数学期望： (3)记2020年至 2024年这5年新能源汽车销量数据的方差为，且这5年纯电动汽车销量数据的方差为，写出与的大小关系.(结论不要求证明) 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）求出各年的值，利用古典概型概率公式求结论； （2）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望； （3）先求新能源汽车销量数据的平均数，纯电动汽车销量数据的平均数，再求两组数据的方差，比较大小即可. 【详解】（1）设从年至年这年中随机抽取1年，且该年的值超过为事件， 由图表知，年的值为，年的值为， 年的值为，年的值为， 年的值为，年的值为， 年的值为，年的值为， 所以在年至年这年中，有且仅有年至年这年的值超过， 所以． （2）由图表知，在年至年这年中，值超过的有年， 所以随机变量的所有可能取值为，，． 则，，． 所以的分布列为： 故的数学期望． （3）从年至年这年新能源汽车销量数据的平均数为， 所以从年至年这年新能源汽车销量数据的方差 ， 所以 从年至年这年纯电动汽车销量数据的平均数为， 从年至年这年纯电动汽车销量数据的方差 ， 所以， 所以. 22．（25-26高三上·北京顺义·月考）某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 【答案】(1) (2)分布列见解析, (3) 【分析】（1）利用频率来估计概率即可； （2）由于是从该市全体中来抽取，即从总体中来抽取，故用频率估计概率，再结合独立事件同时发生用乘法公式和分类加法原理来求解； （3）利用全概率公式来进行求解. 【详解】（1）由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； （2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计， 由题意可知X可能取值为0，1，2，3， 分布列如下： X 0 1 2 3 p （3）低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 利用全概率公式可得： 所以 23．（25-26高三上·北京·月考）某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户平台 购买景区门票用户（人） 未购买景区门票用户（人） 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率， (2)从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度，理由见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式，直接求出结果即可； （2）根据古典概型的概率计算公式，以及二项分布的概念，计算分布列和期望； （3）根据题目条件，计算两种宣传情况的利润，判断应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度. 【详解】（1）根据古典概型可知，短视频平台浏览用户是购买景区门票的概率为 （2）官方网站平台浏览用户中购买景区门票的概率为， 则随机抽取三人的购票费用总和随机变量可能的取值有四种情况， 则， ， ， ， 可得随机变量的分布列， 0 100 200 300 数学期望为 （3）官方网站平台利润为（元） 短视频平台利润为（元） 可知官方网站平台利润更高，所以选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度. 24．（25-26高三上·北京·月考）自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注．选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作．“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到．不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示． 表1 跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 选手表演完，得到相应动作的“执行分”．把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”．表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”． 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 4F 13.69 5.50 14.02 12.92 4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 表2 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立． (1)从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； (2)若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F这三个动作，且每个动作只完成一次．将这三个动作中成功的跳跃个数记为，求的分布列和数学期望； (3)在本赛季中，某选手从四个跳跃动作4Lz，4S，4T，4F选出两个，且每个动作只完成一次，为了使得该选手这两个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，应选哪两个动作？请直接写出这两个动作的名称． 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)4T，4F 【分析】（1）计算出表格中所有4T动作的“执行分”，然后得到成功的次数，即可求得跳跃为“成功”的概率； （2）设事件，写出各事件的概率，写出随机变量的可取值，然后求得各取值的概率，写出分布列求出数学期望； （3）由（2）中事件的概率，从四个动作选取其中两个动作，然后分别计算其数学期望，比较数学期望的值，即可选出这两个满足题意的动作. 【详解】（1）该选手上一赛季所有4T动作的“执行分”分别为：， 一共跳跃7次，其中“成功”了5次，“失败”了2次， ∴从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率. （2）设“完成4T成功”为事件，“完成4S成功”为事件，“完成4F成功”为事件， 则由表可知，，，， 随机变量的可取值为：0,1,2,3， ， ， ， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 数学期望 （3）设“完成4Lz成功”为事件， ∴，，，， 如果选4Lz，4S，数学期望 如果选4Lz，4T，数学期望 如果选4Lz，4F，数学期望 如果选4S，4T，数学期望 如果选4S，4F，数学期望 如果选4T，4F，数学期望 ∵， ∴故选4T，4F这两个动作. 25．（2024·北京·模拟预测）乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利． (1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． (2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：． (3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小． 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据题设写出列联表，应用卡方公式得，讨论参数结合独立检验基本思想即得答案； （2）根据题设，应用独立乘法公式及互斥事件加法得到，并化简，即可证； （3）考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后2局，设“赛满局甲获胜”为事件，第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为，根据题意分析得到，进而分情况写出关于参数p的概率公式，即可比较大小. 【详解】（1）由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下， 甲获胜场数 乙获胜场数 5局3胜 7局4胜 所以，若， 当时，根据小概率值的独立性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响． 当时，根据小概率值的独立性检验，没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响． （2）由题意， ， ， 综上，，得证. （3）考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后2局， 设“赛满局甲获胜”为事件，结合第一阶段结果，要使事件发生，有两种情况： 第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为， 则，得， 若第一阶段甲获胜，即赛满局甲至少胜局，有甲至少胜局和甲恰好胜局两种情况， 甲至少胜局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜； 甲恰好胜局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为， 所以， 若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜，得， 所以， 则 ， 由，所以，得. 【点睛】关键点点睛：第三问，设“赛满局甲获胜”为事件，第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为，根据题意分析得到为关键. （建议用时：60分钟） 26．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）某公司为了解，两个地区用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取400名用户，从地区随机抽取100名用户，请用户对公司产品评分.该公司将收集的评分数据按照，，，分组，统计如下： 地区 地区 40 30 120 20 160 40 80 10 合计 400 100 用频率估计概率. (1)对地区所抽取的400名用户按评分区间，，，进行分层随机抽样，从中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的人数； (2)从，两个地区各随机抽取1名用户，设X为这两人中评分不低于80分的人数，求至少有1名用户评分不低于80分的概率以及X的数学期望； (3)若地区用户对该公司产品的评分的平均值为，地区用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据比例相等得到，求出； （2）先求出从A、B两地区各随机抽取1名用户，评分不低于80分的概率和低于80分的概率，求出至少有1名用户评分不低于80分概率，并求出X的取值和对应的概率，得到期望值； （3）计算出，，，故，所以. 【详解】（1）设从A地区抽取的用户中抽取的10名参加座谈的用户中， 对公司产品的评分不低于60分的用户有m名，则，所以． （2）从A、B两地区各随机抽取1名用户，评分不低于80分的概率分别为和， 评分低于80分的概率分别为和. 故至少有1名用户评分不低于80分的概率为. 随机变量X的取值为0，1，2 故，， ， 所以； （3），理由如下： ， ， ， 其中，所以. 27．（25-26高三上·北京平谷·月考）空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲､乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示： (1)根据你所学的统计知识估计甲､乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由. (2)在15天内任取1天，估计甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； 【答案】(1)甲； (2). 【分析】（1）根据茎叶图，由中位数和数据的集中程度判断； （2）利用古典概型，分别求得甲､乙两城市空气质量类别为优或良的概率，再利用独立事件的概率求解. 【详解】（1）由茎叶图知：甲城市的中位数为：61，乙城市的中位数为79， 并且甲的大多集中在65以下，乙的大多集中在76以上， 所以甲城市空气质量总体较好； （2）甲城市空气质量类别为优或良的有10天， 所以甲城市空气质量类别优或良的概率为, 乙城市空气质量类别为优或良的有5天， 所以乙城市空气质量类别优或良的概率为, 所以甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为. 28．（25-26高三上·北京·月考）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示. 序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分 1 81 83 82 2 80 86 83 3 84 86 85 4 78 84 81 5 70 85 77.5 6 67 82 74.5 7 61 76 68.5 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 (1)从这10篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的概率； (2)从这10篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过5的篇数记为，求的分布列及数学期望； (3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对序号分别为1，2和3的这3篇论文按照标准化得分从高到低进行排名，请你写出排名结果.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3)序号，序号，序号 【分析】（1）将数据分为两类后结合概率公式计算即可得； （2）得到的可能取值后计算其对应概率即可得分布列，借助分布列即可得其数学期望 （3）可借助所给公式直接计算出三篇论文的标准化得分，也可借助标准差的性质及具体评分结合作差法得到三篇论文的标准化得分大小关系. 【详解】（1）篇论文中甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的有序号、序号两篇， 超过的有篇，故从这10篇论文中随机抽取1篇， 甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的概率为； （2）的可能取值为、、， 、、， 故的分布列为： 则； （3）法一：， ， ， ， 则序号的标准化得分为， 序号的标准化得分为， 序号的标准化得分为， 故从高到低的排名结果为序号，序号，序号. 法二：设序号、序号、序号的标准化得分分别为、、， 则， ， ， 由标准差与数据的波动程度的关系可得， 则， ，故， 故从高到低的排名结果为序号，序号，序号. 29．（25-26高三上·北京顺义·月考）刚刚结束的国庆、中秋双节假期旅游市场火爆，景点的“创意冰箱贴”常常因为体现独特的景区景色和承载着景区文化内涵，造型小巧，价格亲民而得到游客的青睐.双节期间，某景点的甲、乙、丙三款冰箱贴的日销售量统计数据，如下表（单位：个）： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 甲 600 650 660 680 670 660 630 530 乙 570 620 630 670 660 630 600 510 丙 550 600 610 600 620 610 580 500 (1)从10月1日至8日随机选取一天，求该天甲款冰箱贴日销售量大于650个的概率； (2)从甲、乙两款冰箱贴的日销售量数据中各随机选取1个，两种冰箱贴的销售相互独立，这2个数据中大于650的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)记丙款冰箱贴日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为 X 0 1 2 . (3) 【分析】（1）由表格分析甲款冰箱贴日销售量大于650个的天数为4天，所以从10月1日至8日随机选取一天，该天甲款冰箱贴日销售量大于650个概率为； （2）分别求得两款冰箱贴日销售量数据中大于650和不大于650的个数，即可分别求出，，，从而得到的分布列和数学期望； （3）对比两组数据的集中程度，可得方差间的大小关系. 【详解】（1）从10月1日至8日，甲款冰箱贴日销售量大于650个的有10月3日、10月4日、10月5日、10月6日，共4天，所以从10月1日至8日随机选取一天，则该天甲款冰箱贴日销售量大于650个概率为； （2）甲款冰箱贴日销售量大于650个的有4个，不大于650个的有4个； 乙款冰箱贴日销售量大于650个的有2个，不大于650个的有6个； 所以的可能取值是：. ，，. 所以的分布列为 X 0 1 2 所以. （3）由题中表格可以看出，丙款冰箱贴日销售量数据较所有的日销售量数据更为集中，所以. 30．（25-26高三上·北京·月考）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）： 场次 投篮次数 命中率 场次 投篮次数 命中率 主场1 22 客场1 18 主场2 15 客场2 13 主场3 12 客场3 21 主场4 23 客场4 18 主场5 24 客场5 25 (1)估计李明在主场比赛中的命中率； (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率恰有一场超过0.6的概率； (3)记为表中主场命中次数的方差，为表中客场命中次数的方差.试比较与的大小.（只需写出结论） 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据表格计算出李明在主场命中次数，再除以总投篮次数，即可得； （2）由表格确定主客场命中率超过的场数，再应用组合数及古典概型的概率求法求概率； （3）先求出主客场中各场的命中次数并求出平均数，再应用方差的求法求，比较大小即可得. 【详解】（1）由表格知，李明在主场命中次数为， 所以李明在主场比赛中的命中率为； （2）由表格，李明在5个主场中有3个命中率超过，在5个客场中有2个命中率超过， 所以李明的投篮命中率恰有一场超过0.6的概率为； （3）由（1）主场命中次数依次为，平均数为， 所以， 客场命中次数依次为，平均数为， ， 所以. （建议用时：60分钟） 31．（25-26高三上·北京延庆·月考）近年来，中国机器人科技水平在政策支持､技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升.国内很多科技公司致力于服务机器人的发展与创新，现抽取了由甲､乙､丙､丁四个公司研发的14款使用率较高的智能送餐机器人，并对这14款机器人的送餐失误率进行了测试，获得数据如下表： 公司 甲 乙 丙 丁 机器人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 失误率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的机器人中任取一个，求该机器人送餐失误率低于的概率； (2)从表中提供的失误率低于的送餐机器人中任取3个，用随机变量表示其中失误率低于的送餐机器人个数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)已知某餐厅使用乙或丙公司中的某个送餐机器人，经查证，该送餐机器人送餐失误，则该送餐机器人来自哪个公司的可能性更大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3)来自乙公司的可能性更大 【分析】（1）从表中统计送餐失误率低于的机器人的数量，再由古典概型概率公式求解即可； （2）议题得的取值可能为，再根据超几何分布概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，再计算数学期望即可； （3）设事件，为机器人分别来自乙，丙公司，事件为送餐失误，先由全概率公式求出乙、丙公司研发的机器人送餐失误的概率，，再由贝叶斯公式，分别求出送餐失误的机器人来自乙、丙公司的概率，，比较结果即得. 【详解】（1）表中提供的这14款机器人中送餐失误率低于有款， 所以从这14款机器人中任取一个，该机器人送餐失误率低于的概率为； （2）表中提供的失误率低于的送餐机器人有款， 其中失误率低于的送餐机器人有3款，从9个中任取3个， 所以随机变量的取值为， 所以，， ，. 随机变量的分布列为 0 1 2 3 数学期望为； （3）设事件为“机器人来自乙公司”，事件为“机器人来自丙公司”，事件为 “送餐失误”. 则， ， 因乙公司研发了第三款机器人，每个机器人被选中的概率为， 且第三款机器人送餐的失误率分别为1.5%，1.9%，2.9%， 故乙公司研发的机器人送餐的失误率为： 又因丙公司研发了第四款机器人，每个机器人被选中的概率为， 且第四款机器人送餐的失误率分别为0.7%，0.9%，1.6%， 2.4%， 故丙公司研发的机器人送餐的失误率为： . 由全概率公式可知送餐失误的概率为： . 根据贝叶斯公式，则送餐失误的机器人来自乙公司的概率为： ； 送餐失误的机器人来自丙公司的概率为： . 因为，所以来自乙公司的可能性更大. 32．（25-26高三上·北京·开学考试）李华的爸爸想通过随机抽奖方式给李华发压岁钱.在一个不透明盒子中放有材质、大小相同的六个小球，其中三个小球上注标100元，两个小球上注标150元，一个小球上注标300元.李华从盒中随机摸出n个小球，摸出所有小球上所标注的金额总和为李华所获得的压岁钱（单位：元，后省略）.记随机变量X为李华在该规则下所得到的压岁钱. (1)若，求的概率； (2)若，求X的分布列及数学期望； (3)若，李华爸爸给李华提供了另一种抽奖方案：不放回摸两次，如果他第一次摸出的小球金额为100元，李华爸爸在他第二次摸球前在盒中加入一个材质、大小相同的标注300元的小球；如果他第一次摸出的金额不是100元，李华爸爸在他第二次摸球前从盒中拿走一个150元的小球.记随机变量Y为李华在该规则下所得到的压岁钱总和.直接写出与的大小关系. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）由古典概型的概率计算公式可计算出结果； （2）由古典概型的概率计算公式和数学期望的计算公式可得结果； （3）分别计算得到和的值从而判断大小. 【详解】（1）当，. （2）当时，X的所有可能取值为200、250、300、400、450， ，，， ，， 所以X的分布列如下： 200 250 300 400 450 的数学期望为. （3）由题意，的可能取值为200、250、400、450， ，， ，， 所以，， ，. 33．（25-26高三上·北京·开学考试）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； (2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用频率来估计概率即可； （2）由于是从该市全体中来抽取，即从总体中来抽取，故用频率估计概率，再结合独立事件同时发生用乘法公式和分类加法原理来求解； （3）利用全概率公式来进行求解. 【详解】（1）由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； （2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率， 由题意的可能取值为0，1，2，3，4 ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 ． （3）低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为． 利用全概率公式可得：． 34．（24-25高三下·北京·月考）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题. (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）由古典概型得到答案； （2）由二项分布得到分布列和数学期望； （3）由方差的计算公式得到答案. 【详解】（1）由表格得，抽出的名学生中，男女生各有名，所以男女生各随机选取一人，共有种组合， 设“男生成绩高于女生成绩”为事件，则 ，共有种组合，所以， 即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为； （2）由表格知，在抽取的名学生中，成绩为优秀（分）的有人， 由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为， 因此，从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数，的取值范围为， ， ， 所以的分布列为： 数学期望； （3），原因如下： 男生的平均成绩为， 则， 女生的平均成绩为， 则， 从参加活动的男生中抽取成绩为87分的男生与表中男生组成新的男生样本， 则， ， 所以. 35．（24-25高三上·北京海淀·月考）通用人工智能（AIGC）是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示． 表1 问题类型 数学 物理 化学 生物 损失函数参考值 8.5 10.3 9.0 10.5 表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”． 表2 数学 6.46   5.77   8.79   11.62   8.13 物理 9.02   9.43   8.68   15.15   10.49   7.93 化学 6.31   14.50   5.98   7.08 生物 7.96   8.78   15.25   10.94   10.03   8.37   9.02 当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”． 假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立． (1)在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率； (2)在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为，求的分布列和数学期望； (3)若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可） 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望 (3)化学、生物 【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可； （2）的所有可能取值为，物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为，求出对应的概率可得分布列，进一步结合期望公式求解期望即可； （3）设选取的两科考试“有效”的概率依次为，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量，的所有可能取值为，计算出对应的概率，进一步得，故只需所选的两科目在该次考试中模型运行“有效”的概率分别是最大和第二大即可. 【详解】（1）因为在模型完成的四次化学考试中有3次模型“有效”，1次模型“无效”， 所以在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，模型均“有效”的概率为； （2）的所有可能取值为， 在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交， 物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望； （3）物理、化学、生物、数学四个学科考试“有效”的概率依次为， 从小到大排列为：， 设选取的两科考试“有效”的概率依次为，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量， 则的所有可能取值为， 则， 所有， 为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大， 只需最大即可， 而， 故只需令即可， 即为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，应选择化学、生物这两个学科. （建议用时：60分钟） 36．（2025·北京顺义·一模）AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技术，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示： 试卷序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 系统甲评分 82 88 76 92 87 66 75 69 90 58 86 84 系统乙评分 80 82 76 90 80 61 71 65 88 54 82 80 最后得分 81 85 76 91 85 64 74 67 89 56 84 83 (1)从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率； (2)从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望； (3)从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为.令，，试比较方差和的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 (3) 【分析】（1）由古典概型概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； （3）由方差计算公式即可求解； 【详解】（1）设事件为从这12篇份试卷中随机抽取1份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分， 又在这12篇份试卷中，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的有篇， 所以； （2）由已知的可能取值为，，，3 ，， 所以的分布列为 所以的数学期望为； （3），证明如下： 的取值依次为：1，3，0，1，2，2，1，2，1，2，2，1， 平均数为：， 的取值依次为：1，3，0，1，5，3，3，2，1，2，2，3， 平均数为： ， 所以. 37．（2025·北京朝阳·一模）某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 A地 B地 A地 B地 A地 B地 满意 12 2 18 3 15 6 一般 2 2 6 5 6 8 不满意 1 1 6 2 3 2 假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率； (2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率； (3)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生 人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率估计概率即可求解； （2）利用频率估计概率即可求解，结合相互独立事件的概率公式求解即可； （3）求出，，比较大小即可. 【详解】（1）从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为 ， 因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为． （2）设事件：抽取的高一学生选择去B地， 事件：抽取的高二学生选择去B地， 事件：抽取的高三学生选择去B地， 事件：抽取的3人中恰有人选择去B地，， 事件：抽取的3人中至少有2人选择去B地． 从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 抽取的100名学生中高二年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 抽取的100名学生中高三年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 因为， 所以 ． 所以抽取的3人中至少有2人选择去地的概率可估计为 ． （3）在三个年级去A地研学旅行的学生中， 调查结果为满意的学生人数的平均数为， 则调查结果为满意的学生人数的方差为， 调查结果为不满意的学生人数的平均数为， 则调查结果为不满意的学生人数的方差为， 则. 38．（24-25高三下·北京朝阳·月考）年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获 亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. 《哪吒之魔童降世》综合票房及占比     《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比 (1)从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率； (2)从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望； (3)设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 【答案】(1) (2)，，， (3)<， 【分析】（1）由图得出电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数结合古典概型即可求解； （2）先由图得出两部电影综合票房占比均超过％的天数，接着得随机变量的取值，再由古典概型即可计算各个取值的概率，结合数学期望公式计算期望即可得解； （3）由图中数据大小分布情况即可得解. 【详解】（1）由图电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数有7天， 所以从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，该天电影综合票房比前一天增多的概率为； （2）由图可知两部电影综合票房占比均超过的天数共有4天， 所以的取值有，所以的分布列为， 所以的分布列数学期望； （3）因为， ， 又由图可知《哪吒之魔童降世》除个别数据外综合票房数据大小比较变化幅度较小，所以， 所以，. 39．（2025·北京·模拟预测）某次测验满分为100分，A组和B组各有10人参加，成绩如下表： A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀. (1)从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率； (2)从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生.用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从A、B两组中均随机抽取3人，A组成绩为76，83，92.已知B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92，直接写出B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率， 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 (3) 【分析】（1）应用古典概型求解事件的概率即可； （2）A组中优秀的学生有5人，再从B组中优秀的学生有2人，再根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望； （3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a的取值范围即可求出概率. 【详解】（1）由题意知，A组中良好的学生有5人，再从B组中良好的学生有7人， 从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率为. 因此，学生成绩为良好的概率为. （2）根据题意得，A组中优秀的学生有5人，再从B组中优秀的学生有2人 X的可能取值为0，1，2. 则，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 因此，X的数学期望. （3）A组成绩为成绩分别为76，83，92，平均值为，方差为， B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92， ，平均值为， 所以， 即， 代入检验，可知最小为84，最大， 故B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率为. 40．（2025·北京平谷·一模）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下： 抽样人群 阳性人数 阴性人数 患者 36 4 非患者 2 58 (1)试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率； (2)若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率； (3)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由. 【答案】(1)0.94 (2) (3)超过，理由见解析 【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可； （2）设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“，事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误，由求解即可； （3）求得检测一次结果为阳性的人数，确定其中患者人数，即可判断； 【详解】（1）由题意知，使用该试剂盒进行一次检测共有100人，其中检测结果正确的共有94人， 所以使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率估计为. （2）设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“， 事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误； 根据题中数据，可估计为可估计为 该地区的患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为 该地区的非患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为 所以， 所以. 因此恰有一人检测结果错误的概率为 （3）此人患该疾病的概率超过0.2.理由如下： 由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次， 那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为900. 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为. （建议用时：60分钟） 41．（2025·北京延庆·一模）在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题. 时间 地点 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 康庄镇刁千营村 √ √ 康庄镇榆林堡村 √ √ 康庄镇小丰营村 √ √ 延庆镇付余屯村 √ √ 延庆镇东小河屯村 √ √ √ √ √ √ √ 香营乡屈家窑村 √ 旧县镇米粮屯村 √ √ 旧县镇东羊坊村 √ 永宁镇古城北街 √ √ √ √ √ √ √ (1)若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率； (2)若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列及期望； (3)从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式得解； （2）求出随机变量的概率，列出分布列，求期望即可； （3）分别计算两个随机变量的期望，即可得解. 【详解】（1）记“周一和周四的大集中各随机选一次大集，恰好选的都是延庆镇大集”为事件 A， 由表可知，周一选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为, 周四选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为， 所以. （2）随机变量的所有可能取值为， 根据题意，， ， 随机变量的分布列是: 0 1 2 数学期望 （3） 由题意，可能取值为， ，，， 故； 由题意，可能取值为， ，，， 故， 所以. 42．（24-25高三下·北京·月考）无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． (1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； (2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的取值集合为，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）计算出三个传感器判断无障碍的概率，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）80个路段中，传感器1判断正确的路段有个． 设“传感器1对该路况判断正确”为事件，则. （2）80个路段中共有60个有障碍的路段．60个有障碍的路段中，传感器1判断正确的路段有40个， 错误的有个，传感器2判断正确的路段有45个，判断错误的路段有个 的取值集合为． ，， ， 故的分布列为 随机变量的数学期望 （3）可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于． 分析：共有20个无障碍地路段，传感器1判断无障碍的有15个， 由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器1判断无障碍的概率为． 传感2判断无障碍的有15个，由频率估计概率，故无障碍路段上， 估计传感器2判断无障碍的概率为． 若传感器3在无障碍路段上，判断为无障碍的概率为1． 小汽车在无障碍的道路上减速的概率：． 故可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于． 43．（24-25高三上·北京海淀·期末）某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25 排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12 (1)从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率； (2)对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下： 当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分； 当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分. ①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望； ②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75 排名 1 2 2 4 4 6 7 7 原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5 排名 9 10 11 11 13 14 15 16 对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系. 【答案】(1)； (2)①分布列见解析，数学期望为185；②. 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算. （2）①根据表格中数据，原始成绩不低于的学生赋分成绩，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列求出期望；②求出课程甲、乙的赋分成绩，再求出期望北比较大小. 【详解】（1）设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件， 依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同， 由古典概型，得. （2）①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于的学生共有6人， 赋分依次为100，100，100，85，85，85，则的所有可能值为170，185，200， ， 所以的分布列如下： 170 185 200 . ②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100,100,100,85,85,85,70,70,70,60,60,60， 对课程乙进行赋分，赋分依次为：100,100,100,100,100,85,85,85,70,70,70,70,60,60,60,60， 因此， ； ， ， 所以. 44．（2025·北京通州·一模）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. （ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望. （ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ） 【分析】（1）运用古典概型概率公式计算； （2）（ⅰ）中求的分布列就是确定的所有可能取值，结合二项分布求每个取值的概率.进而得到分布列和均值；（ⅱ）运用超几何分布求出，与比较即可. 【详解】（1）已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部. 根据古典概型概率公式，所以. （2）（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即. 根据二项分布概率公式可得： ， ， ， ， ， 列出的分布列： .   （ⅱ）确定服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，. 求：根据超几何分布的数学期望公式，可得. 比较大小：因为，，所以. 45．（25-26高三上·北京西城·月考）2019年7月30日国家市场监督管理总局第11次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自2019年10月1日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%为优级品，固形物含量低于55%且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或不合格品． (1)现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品． （i）若每次从中随机取出1瓶，共取两次，且取出的罐头有放回，求恰有一次取到优级品的概率； （ii）对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验不放回，直到区分出6瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在10次独立重复抽检中，至少有8次抽到优级品的概率不小于（约为0.5256）．直接写出的最小值． 【答案】(1)（i）；（ⅱ）分布列见解析， (2) 【分析】（i）根据概率乘法公式求解即可； （ii）由题意可知，的取值可能为2、3、4、5，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）设在10次抽检中至少有8次抽到优级品的概率为，利用独立重复试验的概率公式可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，即可得出的最小值. 【详解】（1）（i）设恰有一次取到优级品的概率为， 由题知每次取出优级品的概率为，故. （ii）根据题意可知的取值可能为2、3、4、5． 则，， ，． 则的分布列为： 3 4 5 所以． （2）设在10次抽检中至少有8次抽到优级品的概率为， 则 ，其中， 因为，所以在单调递增． 注意到，所以，故的最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题第19题 概率与统计（讲练测） 1 11 13 16 20 23 26 29 【典例】1．（2025·北京门头沟·一模）不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 【典例】2．（2025·北京海淀·三模）自动驾驶是依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆的技术，其安全性备受人们的关注．2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公司每年1月1日之前上交一份自动驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动驾驶脱离事件，脱离事件是指在自动驾驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件．每次脱离平均行驶里程（MPD值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要人工干预一次，它由一家公司报告的总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一．从《加州2023年自动驾驶脱离报告》中选取了9家公司的数据． 公司 所属国家 测试总里程（英里） 脱离次数 MPD值 百度 中国 108300 6 18050 谷歌Waymo 美国 1454137 110 13219 通用Cruise 美国 831040 68 12221 比亚迪 中国 32054 3 10684 小马智行 中国 174845 27 6475 Nuro 美国 68762 34 2022 Zoox 美国 67015 42 1595 小米 中国 12272 8 1534 苹果 美国 7544 64 117 (1)从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率； (2)从表中的9家公司随机抽取3家，求至少有2家MPD值大于10000的概率； (3)有人认为根据《加州2023年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全面超越谷歌公司．你是否同意此观点?并说明你的理由． 【典例】3．（2025·北京·三模）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 【典例】4．（2025·北京大兴·三模）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立． (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分． ①从该地区男教师中抽取4名教师，求这4名教师得分总和为8分的概率； ②统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明） 【典例】5．（2025·北京大兴·三模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 (1)估计软件能正确解答数学问题的概率； (2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； (3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 【典例】6．（2025·北京丰台·二模）为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为． 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值． (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； (3)为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施． 措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动； 措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为．用样本估计总体，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【典例】7．（2025·北京海淀·三模）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．为了调查用户对不同模式的使用频率和使用大模型研究问题的种类，该公司调查了不同用户最近提出的共10000个问题作为样本，得到如下表格． 问题类别模式 生活类问题 学习类问题 其他类问题 深度思考 1100 600 300 联网搜索 1200 1500 300 兼用 1500 2500 1000 假设每个用户的每个问题的模式选择与问题类别均相互独立，用频率估计概率． (1)在样本中随机抽取一个问题，求该问题的处理模式是“兼用”模式的概率． (2)在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，估计生活类问题个数不超过学习类问题个数的概率． (3)不同模式处理问题的时间可以大致分为三组：，，（单位：秒）．在网络正常的时候，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．假设小明已经使用该AI大模型的同一种模式解决了两个问题，其中一个问题的处理时间，另一个问题的处理时间．若不考虑其他因素干扰，判断小明在解决这两个问题时最有可能使用的是哪种模式．（结论不要求证明） 【典例】8．（2025·北京·模拟预测）在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，对球进行简单随机抽样，获得抽样数据如表： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率； (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率. (3)若仓库中红色球的个数比白色球的个数少，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，该球为木质球的概率为，比较与的大小关系（结论不要求证明） 【典例】9．（2025·北京·三模）某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获得数据如下表： 甲同学 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5 乙同学 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9 已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立. (1)从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率； (2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的分布列和期望： (3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为和，试比较和的大小（结论不要求证明）. 【典例】10．（2025·北京丰台·一模）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达 (1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率； (2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响. （ⅰ）记随机变量为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求的分布列和数学期望； （ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明） 11．（25-26高三上·北京·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，该队的比赛成绩记为，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，求的分布列； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，求不小于的概率； (3)假设，为使得的数学期望尽量大，应该由谁参加第一阶段比赛？（直接写出结论） 12．（25-26高三上·北京·月考）随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. (1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 13．（25-26高三上·北京·月考）在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，现对仓库中两种颜色的球，分别进行了简单随机抽样，所得结果统计如下： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率； (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率． (3)若仓库中红色球的个数是白色球的3倍，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，该球为木质球的概率为，比较与的大小关系（结论不要求证明） 14．（25-26高三上·北京西城·期中）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”. (1)若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率.记X为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望； (3)假设选手乙参加10轮射击比赛，恰有8轮“稳定发挥”.从这10轮比赛中任选2轮，记Y为乙在这两轮比赛中“稳定发挥”的轮数，直接写出与的大小关系（结论不要求证明）. 15．（2024·北京西城·二模）为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． (1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； (2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； (3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 16．（2025·北京昌平·二模）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照，，，，，五个区间进行分组，所得样本数据如下表： 使用次数分组区间 初中生人 高中生人 4 3 38 29 48 28 17 6 3 假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率． (1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数； (2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记为这3人中高中生的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的人数分别为和，比较与的大小．（结论不要求证明） 17．（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 18．（2025·北京·二模）网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下： 时间 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 13号 14号 15号 搜索量 6.2 5.1 6.1 7.2 6.1 7.4 6.2 6.3 6.4 6.3 7.1 6.3 7.3 7.6 7.9 时间 16号 17号 18号 19号 20号 21号 22号 23号 24号 25号 26号 27号 28号 29号 30号 搜索量 8.5 11.2 10.3 9.1 9.6 10.1 10.6 10.9 8.8 10.4 8.2 11.5 12.1 12.8 13.6 用频率估计概率. (1)从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率； (2)假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率； (3)记表中30天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为，试给出与的大小关系.（结论不要求证明） 19．（2025·北京东城·二模）已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示. (1)从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率； (2)将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率； (3)依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由. 20．（2025·北京海淀·二模）某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 颜色 小学生 初中生 高中生 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 黑色 80 20 40 20 20 20 白色 60 40 30 30 30 10 假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率； (2)从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明） 21．（2025·北京西城·一模）发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路.为调查研究，某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图(单位：百辆)： 在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为Q. (1)从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，求该年Q值超过的概率； (2)现从2019年至2024年这6年中依次随机抽取，每次抽取1个年份，若该年的Q值过，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到Q值超过的年份.记抽取的次数为，求的分布列和数学期望： (3)记2020年至 2024年这5年新能源汽车销量数据的方差为，且这5年纯电动汽车销量数据的方差为，写出与的大小关系.(结论不要求证明) 22．（25-26高三上·北京顺义·月考）某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 23．（25-26高三上·北京·月考）某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户平台 购买景区门票用户（人） 未购买景区门票用户（人） 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率， (2)从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 24．（25-26高三上·北京·月考）自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注．选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作．“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到．不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示． 表1 跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 选手表演完，得到相应动作的“执行分”．把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”．表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”． 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 4F 13.69 5.50 14.02 12.92 4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 表2 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立． (1)从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； (2)若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F这三个动作，且每个动作只完成一次．将这三个动作中成功的跳跃个数记为，求的分布列和数学期望； (3)在本赛季中，某选手从四个跳跃动作4Lz，4S，4T，4F选出两个，且每个动作只完成一次，为了使得该选手这两个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，应选哪两个动作？请直接写出这两个动作的名称． 25．（2024·北京·模拟预测）乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利． (1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． (2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：． (3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小． 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 （建议用时：60分钟） 26．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）某公司为了解，两个地区用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取400名用户，从地区随机抽取100名用户，请用户对公司产品评分.该公司将收集的评分数据按照，，，分组，统计如下： 地区 地区 40 30 120 20 160 40 80 10 合计 400 100 用频率估计概率. (1)对地区所抽取的400名用户按评分区间，，，进行分层随机抽样，从中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的人数； (2)从，两个地区各随机抽取1名用户，设X为这两人中评分不低于80分的人数，求至少有1名用户评分不低于80分的概率以及X的数学期望； (3)若地区用户对该公司产品的评分的平均值为，地区用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 27．（25-26高三上·北京平谷·月考）空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲､乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示： (1)根据你所学的统计知识估计甲､乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由. (2)在15天内任取1天，估计甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； 28．（25-26高三上·北京·月考）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示. 序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分 1 81 83 82 2 80 86 83 3 84 86 85 4 78 84 81 5 70 85 77.5 6 67 82 74.5 7 61 76 68.5 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 (1)从这10篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的概率； (2)从这10篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过5的篇数记为，求的分布列及数学期望； (3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对序号分别为1，2和3的这3篇论文按照标准化得分从高到低进行排名，请你写出排名结果.（结论不要求证明） 29．（25-26高三上·北京顺义·月考）刚刚结束的国庆、中秋双节假期旅游市场火爆，景点的“创意冰箱贴”常常因为体现独特的景区景色和承载着景区文化内涵，造型小巧，价格亲民而得到游客的青睐.双节期间，某景点的甲、乙、丙三款冰箱贴的日销售量统计数据，如下表（单位：个）： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 甲 600 650 660 680 670 660 630 530 乙 570 620 630 670 660 630 600 510 丙 550 600 610 600 620 610 580 500 (1)从10月1日至8日随机选取一天，求该天甲款冰箱贴日销售量大于650个的概率； (2)从甲、乙两款冰箱贴的日销售量数据中各随机选取1个，两种冰箱贴的销售相互独立，这2个数据中大于650的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)记丙款冰箱贴日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小.（结论不要求证明） 30．（25-26高三上·北京·月考）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）： 场次 投篮次数 命中率 场次 投篮次数 命中率 主场1 22 客场1 18 主场2 15 客场2 13 主场3 12 客场3 21 主场4 23 客场4 18 主场5 24 客场5 25 (1)估计李明在主场比赛中的命中率； (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率恰有一场超过0.6的概率； (3)记为表中主场命中次数的方差，为表中客场命中次数的方差.试比较与的大小.（只需写出结论） （建议用时：60分钟） 31．（25-26高三上·北京延庆·月考）近年来，中国机器人科技水平在政策支持､技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升.国内很多科技公司致力于服务机器人的发展与创新，现抽取了由甲､乙､丙､丁四个公司研发的14款使用率较高的智能送餐机器人，并对这14款机器人的送餐失误率进行了测试，获得数据如下表： 公司 甲 乙 丙 丁 机器人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 失误率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的机器人中任取一个，求该机器人送餐失误率低于的概率； (2)从表中提供的失误率低于的送餐机器人中任取3个，用随机变量表示其中失误率低于的送餐机器人个数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)已知某餐厅使用乙或丙公司中的某个送餐机器人，经查证，该送餐机器人送餐失误，则该送餐机器人来自哪个公司的可能性更大？（结论不要求证明） 32．（25-26高三上·北京·开学考试）李华的爸爸想通过随机抽奖方式给李华发压岁钱.在一个不透明盒子中放有材质、大小相同的六个小球，其中三个小球上注标100元，两个小球上注标150元，一个小球上注标300元.李华从盒中随机摸出n个小球，摸出所有小球上所标注的金额总和为李华所获得的压岁钱（单位：元，后省略）.记随机变量X为李华在该规则下所得到的压岁钱. (1)若，求的概率； (2)若，求X的分布列及数学期望； (3)若，李华爸爸给李华提供了另一种抽奖方案：不放回摸两次，如果他第一次摸出的小球金额为100元，李华爸爸在他第二次摸球前在盒中加入一个材质、大小相同的标注300元的小球；如果他第一次摸出的金额不是100元，李华爸爸在他第二次摸球前从盒中拿走一个150元的小球.记随机变量Y为李华在该规则下所得到的压岁钱总和.直接写出与的大小关系. 33．（25-26高三上·北京·开学考试）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； (2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 34．（24-25高三下·北京·月考）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题. (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论） 35．（24-25高三上·北京海淀·月考）通用人工智能（AIGC）是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示． 表1 问题类型 数学 物理 化学 生物 损失函数参考值 8.5 10.3 9.0 10.5 表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”． 表2 数学 6.46   5.77   8.79   11.62   8.13 物理 9.02   9.43   8.68   15.15   10.49   7.93 化学 6.31   14.50   5.98   7.08 生物 7.96   8.78   15.25   10.94   10.03   8.37   9.02 当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”． 假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立． (1)在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率； (2)在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为，求的分布列和数学期望； (3)若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可） （建议用时：60分钟） 36．（2025·北京顺义·一模）AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技术，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示： 试卷序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 系统甲评分 82 88 76 92 87 66 75 69 90 58 86 84 系统乙评分 80 82 76 90 80 61 71 65 88 54 82 80 最后得分 81 85 76 91 85 64 74 67 89 56 84 83 (1)从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率； (2)从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望； (3)从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为.令，，试比较方差和的大小.（结论不要求证明） 37．（2025·北京朝阳·一模）某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 A地 B地 A地 B地 A地 B地 满意 12 2 18 3 15 6 一般 2 2 6 5 6 8 不满意 1 1 6 2 3 2 假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率； (2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率； (3)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生 人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明） 38．（24-25高三下·北京朝阳·月考）年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获 亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. 《哪吒之魔童降世》综合票房及占比     《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比 (1)从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率； (2)从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望； (3)设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 39．（2025·北京·模拟预测）某次测验满分为100分，A组和B组各有10人参加，成绩如下表： A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀. (1)从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率； (2)从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生.用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从A、B两组中均随机抽取3人，A组成绩为76，83，92.已知B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92，直接写出B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率， 40．（2025·北京平谷·一模）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下： 抽样人群 阳性人数 阴性人数 患者 36 4 非患者 2 58 (1)试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率； (2)若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率； (3)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由. （建议用时：60分钟） 41．（2025·北京延庆·一模）在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题. 时间 地点 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 康庄镇刁千营村 √ √ 康庄镇榆林堡村 √ √ 康庄镇小丰营村 √ √ 延庆镇付余屯村 √ √ 延庆镇东小河屯村 √ √ √ √ √ √ √ 香营乡屈家窑村 √ 旧县镇米粮屯村 √ √ 旧县镇东羊坊村 √ 永宁镇古城北街 √ √ √ √ √ √ √ (1)若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率； (2)若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列及期望； (3)从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小.（结论不要求证明） 42．（24-25高三下·北京·月考）无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． (1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； (2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 43．（24-25高三上·北京海淀·期末）某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25 排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12 (1)从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率； (2)对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下： 当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分； 当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分. ①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望； ②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75 排名 1 2 2 4 4 6 7 7 原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5 排名 9 10 11 11 13 14 15 16 对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系. 44．（2025·北京通州·一模）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. （ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望. （ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明） 45．（25-26高三上·北京西城·月考）2019年7月30日国家市场监督管理总局第11次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自2019年10月1日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%为优级品，固形物含量低于55%且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或不合格品． (1)现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品． （i）若每次从中随机取出1瓶，共取两次，且取出的罐头有放回，求恰有一次取到优级品的概率； （ii）对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验不放回，直到区分出6瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在10次独立重复抽检中，至少有8次抽到优级品的概率不小于（约为0.5256）．直接写出的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $