精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高二年级1月月考 数学试题 一、单选题：本题共40分. 1. 设直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合则集合的元素个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C D. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线：与椭圆：至多有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共18分. 9. 已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ） A. B. C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线的斜率为4 11. 已知正方体的棱长是6，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线是相交直线 B. 在边上存在一点，使得 C. 三棱锥的体积为36 D. 平面截正方体形成的截面图形为五边形 三、填空题：本题共15分. 12. 已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则_________ 13. 已知函数在单调递减，且为奇函数，则满足的的取值范围为_______. 14. 双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是________. 四、解答题：本题共77分. 15. 已知等差数列前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 16. 如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，. （1）在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，. （1）求抛物线的方程. （2）若平行于x轴，证明：S抛物线C上. （3）在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围. 18. 已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． （1）求双曲线标准方程； （2）过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 19. 已知拋物线：（）的焦点为，为坐标原点，为拋物线上一点，且． （1）求拋物线的方程； （2）设直线：交轴于点，直线过点且与直线平行，动直线过点与拋物线相交于，两点，直线，分别交直线于点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高二年级1月月考 数学试题 一、单选题：本题共40分. 1. 设直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，考虑截距为0和不为0两类，分别求解． 【详解】若截距为0，则斜率，直线方程为， 若截距不为0，设直线在轴上截距为，直线方程为或， ∵直线过，则或，解得或， ∴直线方程为或，即或， 共有3条． 故选：C． 【点睛】本题考查直线的截距式方程，解题时注意截距相等，截距的绝对值相等时要讨论截距为0的情形，否则易出错． 2. 已知集合则集合的元素个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合A的描述求集合，利用交集运算确定的元素个数； 【详解】或，所以. 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用交集运算所得集合确定元素的个数，属于简单题； 3. 已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系概念，可得答案. 【详解】易知点关于平面对称的点的坐标关系是横坐标和竖坐标不变，纵坐标互为相反数， 与点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B. 4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，所求直线的斜率为，进而根据点斜式求解即可. 【详解】解：因为直线的斜率为， 所以，过点且与直线垂直的直线的斜率为， 所以，所求直线方程为. 故选：A 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由零点存在性定理求解即可. 【详解】由函数， 得，， ，，， 因为，， ，， 所以函数的零点所在的区间是. 故选：B. 6. 已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ） A B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义和性质，以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于利用椭圆的定义求出的周长，再结合三角形面积公式建立等式求解点的纵坐标. 【详解】由题知，， 所以. 设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程）， 所以，得. 故选：B 7. 如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：由向量的线性运算结合椭圆的性质可得，再由离心率的定义计算可得； 方法二：设，由坐标计算向量的数量积再求离心率即可. 【详解】由题可知 方法一：因为， 则， 即，可得，所以椭圆的离心率. 方法二：由在以为直径的圆上可设，则， 易知，则， 所以，即，可得，所以椭圆的离心率. 故选：A. 8. 已知直线：与椭圆：至多有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线：与椭圆：至多有一个公共点，即联立方程，化简整理得，即可理解为双曲线外部的点（可行域），转化为线性规划的题，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到的取值范围. 【详解】联立方程，化简整理得： 因为直线：与椭圆：至多有一个公共点， 所以，即， 即点满足双曲线外部的点，即可行域，如图所示，为x轴，k为y轴， 将变形为，平移直线， 由图可知，当直线与双曲线相切时为临界条件. 联立，化简整理得： 由题知，，解得 若可行域是双曲线右支外部的点，即临界条件切线需要往上平移，即； 若可行域是双曲线左支外部的点，即临界条件切线需要往下平移，即； 综上可知，的取值范围是 故选：D. 【点睛】本题考查直线与椭圆交点个数问题，考查用双曲线外部点作可行域，求线性目标函数的最值，考查学生的转化与化归思想，数形结合思想与运算求解能力，属于难题. 二、多选题：本题共18分. 9. 已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式求出首项和公差，从而逐项判断. 【详解】根据题意，等差数列中，，， 可得，解得， 由于，A正确； ，B错误； ， 所以，C正确； ，D正确. 故选：ACD 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ） A B. C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线的斜率为4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义求得，，再逐项计算判断即可. 【详解】由，设，，由，得， 则，，而，解得，因此，， 对于A，，A错误； 对于B，显然，则，B正确； 对于C，令，在中，由，得， 则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确； 对于D，由，结合对称性,则直线的斜率为，D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 11. 已知正方体的棱长是6，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线是相交直线 B. 在边上存在一点，使得 C. 三棱锥的体积为36 D. 平面截正方体形成的截面图形为五边形 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用线线位置关系判断A，建系列向量得出平行判断B，根据等体积法计算求解C，由题意，根据空间线面的位置关系实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解D． 【详解】对于A：直线与平面相交于，且点不在直线上， 直线与直线是异面直线，A选项错误； 对于B：如图建系，设在边上存在一点，设，则 ，当时，即时，，B选项正确； 对于C：，C选项正确； 对于D：如图，，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故，连接， 所以五边形为所求截面图形，D选项正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共15分. 12. 已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂的意义及幂函数的定义计算即可. 【详解】， 设，则，故， . 故答案为：. 13. 已知函数在单调递减，且为奇函数，则满足的的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 由函数的单调性和奇偶性得,解之可得答案. 【详解】因为函数在单调递减，且为奇函数，所以, 所以由得,所以,解得, 故答案为: . 【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性求解不等式,关键在于由性质,化简不等式,得到关于 的不等式,属于基础题. 14. 双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆上的一点，得到中点坐标为，代入双曲线的渐近线方程，得到，根据直线与圆存在公共点，结合，求得，进而求得离心率的取值范围. 【详解】由双曲线的右焦点为，则， 又由圆的圆心为，半径为， 设圆上的一点，可得的中点坐标为， 因为双曲线的渐近线方程为，可得，即， 又因为直线与圆存在公共点， 则圆心到直线的距离， 即，可得， 所以，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共77分. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由通项公式及求和公式列出等式求出首项、公差即可求解； （2）由（1）结合等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 设公差为， 由题意可得，， 解得：， 所以 【小问2详解】 由（1）可得 则是首项，公比为2的等比数列 则 16. 如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，. （1）在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）存在，2 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面的法向量，结合线面平行时向量关系求解即可. （2）求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 连接，交于点，则为，中点， 因为，，所以，为等边三角形， 所以. 又因为，，所以为等边三角形， 所以，平面， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面， 所以. 以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设，则， 因为平面，所以，即，解得， 此时点与重合，则. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，. （1）求抛物线的方程. （2）若平行于x轴，证明：S在抛物线C上. （3）在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用两点距离公式可计算P坐标，代入抛物线方程即可； （2）设方程及坐标，利用E坐标表示方程，联立方程得出S坐标，结合点在抛物线与直线上消元转化即可证明； （3）设坐标及直线方程，利用坐标表示，结合焦点弦的性质消元转化表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可. 【小问1详解】 因为若当点P的纵坐标为时，, 不妨设，则，即， 代入抛物线方程有，所以； 【小问2详解】 由（1）知，C的准线， 不妨设，， 若平行于x轴，则， 所以，整理得， 联立方程有， 又在抛物线C和直线上，即， 则有，此时，即， 则S在抛物线C上，证毕； 【小问3详解】 在（2）的条件下可知两点重合，由重心的性质不难知Q为线段的中点， 同（2），仍设，， 则， 联立， 所以， 且， 则， 可知，整理得， 设， 与C联立有， 所以，即， 由于Q为线段的中点，所以到直线的距离相等， 则， 设， 若，则，显然，所以； 若，则； 若，则，所以； 综上. 【点睛】思路点睛：第二问是教材例题的变式，设点坐标表示相应直线方程，求出S坐标，验证其横纵坐标是否满足抛物线方程即可；第三问，仍是利用点坐标来表示直线方程，利用韦达定理表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可. 18. 已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，从而直线的方程为，与双曲线方程联立，求得点A，B的坐标，再由求解； （2）法一：根据过点，分不存在和存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据为中点，求得k，再利用弦长公式求解；法二：根据点为中点，利用点差法求得直线的斜率为，再利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由题设双曲线， 因为， 所以，直线的方程为， 联立方程解得， 故， 又因为， 所以， 所以，则， 而． 所以双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 如图所示： 法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，直线斜率为， 1）当不存在时，直线的方程，显然不是中点（舍）， 2）当存在时，设直线的方程为，即， 联立方程得①， 设，则， 因为为中点，所以，，解得， 故直线的方程为，即， 将代入①，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长， 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 为线段的中点可知，直线的方程不是， 设，直线的斜率为， 由，得， 所以， 因为为中点，则 即， 直线的方程为，即， 联立方程，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长. 19. 已知拋物线：（）的焦点为，为坐标原点，为拋物线上一点，且． （1）求拋物线的方程； （2）设直线：交轴于点，直线过点且与直线平行，动直线过点与拋物线相交于，两点，直线，分别交直线于点，，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设，根据，结合抛物线的定义解出，最后由可以解出p，从而得到抛物线方程； （2）先求出直线的方程，设：，代入抛物线方程，由根与系数的关系得到，，写出直线，与直线的方程联立解出，同理解出，证明即可得证. 【详解】（1）拋物线方程为，设， 因为，由拋物线定义，即．所以， 又由，得，解得（舍去）， 所以抛物线的方程为． （2）证明：直线：，令，得，所以点． 因为直线平行于直线：且过点，所以直线：． 设点，，直线：， 联立消去得， 则．由根与系数关系得，， 易得直线：，直线：． 联立解得， 同理可得， 所以 ． 因为，所以，即A是的中点，所以． 【点睛】本题的运算量很大，解析几何压轴题要把握一个原则就是“这道题需要什么那就应该先求出什么”，需要，那么就应该先求出，进而应该先求出直线，直线的方程；另外涉及根的问题，一定要想到用根与系数的关系进行解决，平常注意对题型的归纳和总结. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $