利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练 利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题 专项训练 考点目录 利用旋转的性质求角度与边长 旋转作图问题 旋转的性质与三角形全等综合问题 考点一 利用旋转的性质求角度与边长 例1.(25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考)如图，将ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',点B恰好在边BC上， 若∠AB'C'=66°，则旋转角的度数为() A.66 B.58° C.48° D.33 【答案】C 【详解】解：由旋转知LABC=∠AB'C'=66°，∠BAB等于旋转角，AB=AB', ∠AB'B=∠ABC=66°， ∠BAB'=180°-∠ABB'-∠AB'B=48°， 即旋转角为48° 故选：C. 例2.(25-26九年级上辽宁铁岭·期末)如图，将Rt△ABC（其中∠ACB=90°)绕着直角顶点C逆时针方向旋转至 △DEC,点B恰好落在线段DE上，若AC=I2,CE=5,则BE的长为() 25 A. B.50 C.4 D.5 13 13 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点C作CF⊥DE于点F, 利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练 LACB=90°，AC=12,CE=5, AB=AC2+CB2=13 由旋转得，DE=AB=13,BC=CE=5,AC=CD=12 CD-CE-DE-CF 12x5=13CF CF=60 13 25 “EF=VCE2-CF2= 13 ~BC=CE,CF⊥DE ∴BE=2EF= 0 13 故选：B. 例3.(25-26九年级上辽宁抚顺月考)如图，点A0,4),分别以点0，点A为圆心，OA长为半径作弧，两弧相 交于点B,以点O为旋转中心，将△OAB逆时针方向旋转90°，得到△ODC,则点C的坐标为() A.(2,5 B.（-2, C.（-2,25 D.(2,-25 【答案】C 【详解】解：由作图可得0A=0B=AB=4 ∴aABO为等边三角形， ∠A0B=60°， 由旋转得，∠OCB=90°，OC=OB=4, ∠A0C=90°-∠A0B=30°， 过点C作CT⊥y轴于点T, 利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练 则CT=0C=2, 2 0T=V0C2-CT2=25, 点C的坐标为(-2,25， 故选：C. B D 例4.(25-26九年级上·辽宁沈阳·期末)如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BE,若 ∠CED=90°，ED=1,则线段BE的长度为一 【答案】√5 【详解】解：如图所示，过点B作BO⊥CE于O, D E B 由正方形的性质可得AB=BC=CD,∠BCD=90°， ×∠CED=90°， ∠OCB+∠ECD=∠ECD+∠EDC=90°，∠B0C=∠CED=90°， ∠OCB=∠EDC, AOCB≌△EDC(AAS, ∴0C=DE=1, 由旋转的性质得BE=BC, 利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练 “CE=20C=2, ∴CD=VCE2+DE2=V5, ∴BE=BC=CD=V5. 故答案为：√5. 例5.(25-26九年级上辽宁大连期末)如图，ABC中，BC=2,∠ABC=60°，AB=25,将BC边绕点B顺时 针旋转90°得到线段BD,连接AD，则AD的长为一 D B 【答案】2√7 【详解】解：过点D作DE⊥AB,交AB的延长线于点E,则∠E=90°， 将BC边绕点B顺时针旋转90°得到线段BD, E BD=BC=2,∠CBD=90°， LDBE=180°-∠ABC-∠CBD=180°-60°-90°=30°， 在Rt△BDE中，DE=BD=X2=1, 2 六BE=VBD2-DE2=V22-12=√5， AB=2√5， AE=AB+BE=23+3=33, ∴在RtA ADE中，AD=VAE2+DE2= 35+1P=2. 故答案为：2√7. 例6.(2526九年级上·天津西青·月考)如图，E为正方形ABCD内一点，LAEB=135°，△AEB按顺时针方向旋转 角度后成为△CFB,∠EFC= D 4 利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练 【答案】90° 【详解】解：四边形ABCD是正方形， LABC=90°， ~△AEB按顺时针方向旋转角度后成为△CFB, ∴BA=BC,BE=BF,∠BFC=∠BEA=135°， ∴旋转中心为点B,旋转角度为90°， ∠EBF=90°， ∴△EBF是等腰直角三角形， LBFE=∠BEF=45°， ∴∠EFC=∠BFC-LBFE=135°-45°=90°. 故答案为：90°， 变式1.(2025·四川绵阳一模)如图，菱形0ABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=√2， 将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至0A'B'C'的位置，则点B的坐标为() VA A.(1,-1) B.(-1,1) C.(2,-2) D.(5,-V5) 【答案】A 【详解】解：连接OB,OB,过点B作B'E⊥OA于点E, B 根据题意可知∠B0B'=105°， 四边形OABC是菱形， U 利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练 :0A=AB,∠A0B=∠A0C=∠ABC=x120°=60°， 2 2 2 ·AOB是等边三角形， ∴OB=0A=V2, ∴∠A0B'=∠B0B'-∠A0B=45°，0B=0B'=N2, ∴OE=B'E, 根据勾股定理，得EB2+OE2=OB2, 解得EB'=OE=1, 点B的坐标是(L,-1). 故选：A. 变式2，(25-26九年级上·浙江杭州月考)如图，△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若 ∠BAP=60°，∠CAP=30°，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为() D 30 A.P,30° B.A,30° C.P,90° D.A,90° 【答案】D 【详解】解：aABP是由△ACD按顺时针方向旋转而得， ∴△ABP≌△ACD, ∴LDAC=∠PAB=60°，AD=AP,AC=AB, ∠DAP=LCAB=90°， a△ABP是△ACD以点A为旋转中心顺时针旋转90°得到的. 故选：D 变式3.(25-26九年级上·辽宁葫芦岛期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=38°，将ABC绕点B 逆时针旋转得到△A'BC',当点C的对应点C恰好落在边AB上时，∠AA'C'的度数是() 6 利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练 A.71° B.52° C.19° D.14° 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质可知：∠ABC=∠ABC=38°，∠ACB=∠ACB=90,AB=A'B, ∠AHB=∠AAB=1809,38°=71°，∠ACA=90°， 2 ∠AA'C'=90°-∠A'AC'=19°： 故选C. 变式4.(25-26九年级上·河北沧州月考)如图，将菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得到菱形ABCD,连接 AC,AC',若LB=120°，LBAD'=100°，则∠CAC'=°. D 【答案】40 【详解】解：：四边形ABCD是菱形， AD∥BC, :∠BAD+∠B=180°， :∠B=120°， .LBAD=60°， ∠DAD'=∠BAD'-∠BAD=40°， 由旋转的性质得，∠CAC'=∠DAD'=40°. 故答案为：40. 变式5.(25-26九年级上吉林·期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1.将△ABC绕点A顺时针旋 转90°得到△AB'C',连接BB',则BB'的长为 C 【答案】√0 【详解】解：RtAABC,AC=2,BC=1, 利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练 六AB=VAC2+BC2=V5, ∠BAB=90°，即△BAB'为直角三角形， AB'=AB, ∴BB=VAB2+AB2=V10, 故答案为：√0 变式6.(25-26八年级上山东济宁·月考)如图，点D是等边ABC内一点，DA=8,BD=10,CD=6,则 ∠ADC的度数是」 8 10 【答案】150°/150度 【详解】解：如图，将△DBC绕点C顺时针旋转60°得△PAC, 8 10 6 .PC=CD,∠DCP=60°，AP=BD=10. “△CDP为等边三角形， .∠PDC=∠PCD=60°，PD=CD=6, .AD=8,AP=10,PD=6, AD2+DP2=PA2, ∴△ADP是直角三角形，∠ADP=90°， ∠ADC=∠ADP+∠PDC=150°. 故答案为：150° 6 利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练 考点二 旋转作图问题 例1.(25-26九年级上广东江门期中)如图，在平面直角坐标系中， S 4 3 -5-4-3-2-1Q 12345x 3 (1)画出ABC绕原点按顺时针方向旋转90°后的△A'B'C'; (②)求点A旋转到点A所经过的路线长.（结果保留刀） 【答案】（①）见解析 (2v0 2 【详解】(1)解：如图，△A'B'C'为所作； 4 B 2 -3-2-10 3 -4 (2)04=VP+32=√0， :点A旋转到点A所经过的路线长为90×π×0-0 180 2 例2.(25-26九年级上安徽毫州期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，ABC的顶点坐标分别为A(-3,-2), B(-1,-1,C(0,-3. 利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练 个y 0 (1)以点B为位似中心，在点B的上方画出A,BC,使A,BC,与ABC位似，且位似比为2：1，A,C的对应点分别 是A,G; (2)以点0为旋转中心，将ABC逆时针旋转90°得△4，B,C2,画出A,B,C的对应点分别是4，B,C2· (3)在(2)条件下，求点A运动路径的长 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 ③ 2π 【详解】(1)解：如图所示，△A,BC即为所求； A B(B (2)解：如图所示，△4，B,C,即为所求， 10利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题专项训练 利用旋转的性质求角度与边长、旋转作图、旋转的性质与三角形全等综合问题 专项训练 考点目录 利用旋转的性质求角度与边长 旋转作图问题 旋转的性质与三角形全等综合问题 考点一 利用旋转的性质求角度与边长 例1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，将（其中）绕着直角顶点逆时针方向旋转至，点恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 例3．（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）如图，点，分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点．以点为旋转中心，将逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为 ． 例5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，中，，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为 ． 例6．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为， ． 变式1．（2025·四川绵阳·一模）如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到的，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（   ） A．P， B．A， C．P， D．A， 变式3．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，当点C的对应点恰好落在边上时，的度数是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·河北沧州·月考）如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则 °． 变式5．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为 ． 变式6．（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，点D是等边内一点，，，，则的度数是 ． 考点二 旋转作图问题 例1．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中． (1)画出绕原点按顺时针方向旋转后的； (2)求点旋转到点所经过的路线长．（结果保留） 例2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为，A，的对应点分别是，； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出A， B， C 的对应点分别是，，． (3)在（2）条件下，求点A运动路径的长 例3．（25-26九年级上·广西钦州·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、，． (1)画出绕原点按顺时针方向旋转后得到的； (2)写出点的坐标； (3)求出旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，将以C为旋转中心逆时针旋转得到，请画出，并求出线段扫过的面积； (2)在图2中，线段上作点M，使得． 变式2．（25-26九年级上·四川自贡·期末）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)写出A、B、C的坐标． (2)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的． (3)将绕点A逆时针旋转，画出旋转后的．并求出在旋转的过程中扫过的面积． 变式3．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、．将绕点逆时针旋转90°后得到，点、分别与点、对应． (1)请在图中画出； (2)求在旋转过程中线段所扫过图形的面积．（结果保留π） 考点三 旋转的性质与三角形全等综合问题 例1．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）在中，，，将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当，时，求的长度； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，线段交线段于点． ①求的度数；（用含的式子表示） ②如图3，当，过点作于点，过点作于点．探究与之间的数量关系是否随变化而变化．若不变，证明与的数量关系；若改变，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)点H在边上，且，连接交于点N． ①判断与的位置关系，并证明你的结论； ②连接．若，请直接写出线段长度的最小值． 例3．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图1，已知点D是等边内一点，且，，． （1）求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点C顺时针旋转或绕B逆时针旋转； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； （2）若改成，，，的度数________°，点A到的距离为________； 类比迁移： （3）如图2，已知，，，，，，求的度数． 变式1．（25-26九年级上·广东广州·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)下列四边形一定是勾股四边形的有 ；（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形 (2)如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连接、、，，请判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由； (3)如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求的长． 变式2．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）活动课上，同学们以三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，将绕点顺时针旋转，得，连接，． (1)直接写出：与的数量关系为___________，位置关系为___________． (2)在等腰中，，． 如图2，点为内一点，， ①求的度数； ②求的面积． (3)在等腰中，，．如图3，若，点在边上，且，为边上一点，于，点是的中点，连接，直接写出的最小值为___________． 变式3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）【发现问题】 如图（1），和都是等边三角形，连接，交于点．与的数量关系为_________，的度数为_________°； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，，连接，．猜想与之间的数量关系及位置关系，并说明理由； 【实践应用】 将图（2）中的固定，在平面内绕点A旋转．若，，试探究以点C，D，E为顶点的三角形能否成为直角三角形．若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $