2.1 第1课时 对顶角、余角和补角-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦对顶角、余角、补角的概念及性质，通过展示生活中直线位置关系的图片导入，从具体实例抽象出相交线、平行线概念，搭建从现实到数学的学习支架，衔接直线知识引出新课。 亮点在于以情境培养数学眼光，如台球实例抽象几何图形发展几何直观，探究中通过观察猜想验证发展推理思维，例题变式训练结合实际提升应用意识，助力学生理解原理，方便教师高效教学。

1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、余角和补角 课题 第1课时 对顶角、余角和补角 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P34-35 教学目标 1.1.经历相交线、平行线、垂线等有关概念的抽象过程，以及相关性质的探索过程，发展抽象能力、几何直观和推理能力。 2.理解对顶角、补角、余角等概念，掌握对顶角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等的性质，并能解决一些简单问题。 教学重难点 重点：正确理解相交、平行(不相交)的概念,认识对顶角、余角、补角。 难点：理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 观察下面几幅图片，你认为两条直线有哪些位置关系？ 师生活动：教师操作多媒体，向同学们展示一些生活中的图片，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。 学生发现：图中有许多线，它们有些是相交的，有些是平行的。 教师总结：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。这节课我们就来学习相交线与平行线的相关知识。（教师板书课题： 第1课时 对顶角、余角和补角） 向同学们展示一些生活中的图片，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系，引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 【观察·交流】 如图，直线AB与CD相交于点O。 (1)∠1与∠2的位置有什么关系?它们的大小有什么关系? (2)你能说明理由吗?与同伴进行交流。 师生活动：教师引导学生观察和独立思考，用语言表达自己的发现。 教师追问：∠1与∠2是对顶角，那么它们的大小有什么关系呢？ 学生猜想：∠1与∠2边互为反向延长线，角的开口大小一样，角度相等，验证过程如下： 因为∠AOB和∠COD都是平角，所以∠4+∠1=∠2+∠4， 根据等式的性质，等式两边都减去∠4，得∠1=∠2。所以对顶角相等。 【归纳总结】 1.∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。 2.对顶角的性质：对顶角相等。 【探究2】 【观察·思考】 如图，∠1与∠3有什么数量关系？ 师生活动：由图可知，∠1与∠3组成一个平角，所以∠1与∠3的和是180°。 【归纳总结】 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。 类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 【探究3】 【思考·交流】 如图1，打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2。 图1 图2 将图1简化为图2，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。 (1)请在图2-4中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。 (2)∠3与∠4的大小有什么关系?∠AOC与∠BOD呢?你能说明理由吗?与同伴进行交流。 师生活动：让学生猜想，交流，验证，口答。根据学生的回答情况引导归纳，利用多媒体展示推理过程，如下 （1）互为补角的角：∠1与∠AOC，∠2与∠BOD等。 互为余角的角：∠1与∠3，∠2与∠4等。 （2）因为∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，且∠1=∠2， 所以∠3=∠4。 因为∠AOC+∠1=180°，∠BOD+∠2=180°，且∠1=∠2，所以∠AOC=∠BOD。 【归纳总结】 同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 通过两条相交直线，引出对顶角的概念和“对顶角相等”的结论。 通过分析两个角的数量关系，让学生自己观察和独立思考，推导出互为补角、互为余角的概念。 通过给出台球桌面的实景图和由实景图抽象出的几何图形，引导学生了解抽象的必要性和抽象的过程，引导学生探索出“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等”的结论. 3.学以致用，应用新知 考点1 相交线与平行线 例1 下列说法正确的是 （ ） A.不相交的两条线段是平行线 B.不相交的两条直线是平行线 C.不相交的两条射线是平行线 D.在同一平面内，不相交的两条直线是平行线 答案：D 考点2 对顶角及其性质 例2 下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ） 答案：D 变式训练 如图，直线AB，CD，EF相交于点O： （1）写出∠EOD，∠EOC的对顶角； （2）如果∠AOE＝30°，∠BOD＝60°，求∠COF和∠COB的度数。 解：（1）∠EOD的对顶角是∠COF；∠EOC的对顶角是∠DOF； （2）∠EOD＝180°﹣∠AOE﹣∠BOD＝90°， 所以∠COF＝∠EOD＝90°， 又因为∠BOF＝∠AOE＝30°， 所以∠COB＝∠COF+∠BOF＝120°． 考点3 余角、补角及其性质 例3 若∠A+∠B=180°，∠A与∠C互补，则∠B与∠C的关系是 （ ） A.相等 B.互补 C.互余 D.不能确定 答案：A 变式训练 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是_________。 答案：60° 通过例题讲解，巩固练习相关知识，一方面加深学生理解，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，提高学生营应用知识的能力。 4.随堂训练，巩固新知 1.下列说法正确的是（　　） A．有公共顶点的两个角是对顶角 B．相等的两角是对顶角 C．有公共顶点并且相等的角是对顶角 D．两条直线相交成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角 答案：D 2.若互为补角的两个角度数比是2∶3，则这两个角分别是（ ） A.72°，108° B.80°,100° C.100°，80° D.60°，120° 答案：A 3.如图，直线AD与直线BC相交于点O，OE平分∠AOB， ∠1=30°，则∠EOD的度数为________。 答案：105° 4.如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC=90°，OF是∠AOE的平分线，∠COF=34°，求∠BOD的度数。 解：因为∠EOC=90°，∠COF=34°， 所以∠EOF=56°。 因为OF是∠AOE的角平分线， 所以∠AOF=∠EOF=56°， 所以∠AOC=22°， 所以∠BOD=22°。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.课堂小结 （1）概念学习：相交线、平行线、互为补角、互为余角、对顶角的概念。 （2）性质学习：对顶角相等、同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。 2.布置作业 课本P39习题2.1中的T1、T4、T5、T6、T9。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 对顶角、余角和补角 1.相交线、平行线的概念。 2.对顶角及其性质 3.补角、余角的定义及其性质. 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $