1.2 第2课时 多项式的乘法-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦多项式乘法（含单项式乘多项式、多项式乘多项式），以操场面积计算问题导入，通过整体与分区域面积计算引出乘法分配律，衔接同底数幂乘法等旧知，搭建新旧知识支架。 以几何直观为特色，借助长方形面积、风景画装饰区域等图形助理解法则，发展几何直观，通过小组探究归纳法则培养推理意识，设置地块面积、拼图等实际问题强化模型意识，提升学生运算能力与应用能力，为教师提供清晰教学流程与丰富例题。

2 整式的乘法 第2课时 多项式的乘法 课题 第2课时 多项式的乘法 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P13-15 教学目标 1.从特殊到一般探索单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的运算法则。 2.能借助图形理解多项式乘法的运算法则，发展几何直观。 3.能进行简单的多项式乘法运算，发展运算能力。 教学重难点 重点：会进行多项式的乘法运算。 难点：灵活运用多项式乘法的运算法则。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 (1)如图，在计算操场面积的问题中，如何计算A和B组成的长方形区域的面积?你是怎么计算的? 师生活动：教师先让学生自己思考，然后在小组内交流自己的想法和解题过程，交流结束后请几位同学回答自己的解题过程。 (2)小明认为，这个长方形的面积既可以表示为a(2b+3a)，也可以表示为2ab+3a2，于是a(2b+3a)=2ab+3a2。你能用运算律解释吗? 师生活动教师引导学生观察这两个算式，并引导学生通过乘法分配律、同底数幂乘法的性质解释两个式子相等的原因，由此引出本节课内容。 教师活动：这节课我们就来学习单项式乘多项式。（教师板书课题： 第2课时 多项式的乘法） 从计算操场的面积（即长方形面积）引入多项式的运算，运用乘法的分配律、同底数幂的乘法性质等说明引例中等式成立的原因，由此体会乘法分配律的重要作用。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 【操作·交流】 (1)你能计算ab·(abc+2x)，c2·(m+n-p)，(x2y+xy2)·(-xy)吗? 师生活动：教师组织学生先独立思考，再以两人或四人为小组讨论，鼓励学生大胆发表自己的见解，全班共同交流，引导学生分析得出单项式乘多项式的法则。 （2）一般地，如何进行单项式乘多项式的运算?与同伴进行交流。 教师活动：引导学生剖析单项式乘多项式法则：（投影仪展示） （1）单项式乘多项式的每一项时，不要漏乘； （2）计算时易出现符号错误，多项式中每一项都要包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号； （3）积的系数等于各系数的积； （4）相同字母相乘按照“底数不变，指数相加”法则进行计算。 【归纳总结】 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 【探究2】 【尝试·交流】 (1)如何计算(2a+b)(a+2b)，(x+y)(x-1)，(a2-b2)(a-b)?你是怎么做的? (2)一般地，如何进行多项式乘多项式的运算?与同伴进行交流。 师生活动：教师应先让学生独立思考，并完成前2个问题，教师积极引导启发学生总结归纳，得到多项式乘多项式的运算法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 【归纳总结】 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 【探究3】 【观察·思考】 (1)如图1-5，一幅边长为a m的正方形风景画，左右各留有宽为m的长方形空白区域作装饰，中间画面的面积是多少平方米? (2)如图1-6，一幅长为a m、宽为b m的长方形风景画，画面的四周留有空白区域作装饰，其中四角均是边长为x m的正方形，正中间画面的面积是多少平方米? 教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生口述解题过程，说明计算的依据和方法，最后利用投影仪出示解题过程和答案。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 继续研究几个具体的单项式与多项式的相乘问题，让学生体会解决问题的基本思路 在前面计算的基础上，引导学生反思解决问题的基本思路，归纳总结单项式与多项式相乘的运算法则，并用自己的语言加以描述；然后通过交流引导学生逐步形成较为规范的表述。 让学生利用自己积累的经验，将多项式与多项式相乘的问题转化成单项式与多项式相乘的问题，进而获得多项式与多项式相乘的运算法则。 让学生借助图形进一步理解单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的运算法则。解决问题时学生既可以直接求中间画面的面积，也可以用大面积减空白区域面积的方法。 3.学以致用，应用新知 考点1 单项式乘多项式 例1 计算： （1）2ab ( 5ab2 + 3a2b ) ； （2） (ab2–2ab )·ab ； （3） 5m2n ( 2n+3m-n2 )； （4）2(x+y2z+xy2z3)·xyz。 答案：（1）10a2b3+6a3b2 （2）a2b3–a2b2 （3）10m2n2+15m3n–5m2n3 （4）2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4 变式训练 计算： （1） a(a2m+n) ； （2）b2(b+3a-a2) ； （3） x3y(xy3-1) ； （4） 4(e+f 2d)·ef 2d 。 答案：（1）a3m＋an （2）b3＋3ab2-a2b2 （3）x4y4-x3y （4）4e2f2d＋4ef4d2 考点2 单项式乘多项式的应用 例2 如图，一长方形地块用来建造住宅、广场、商厦。 （1）这块地的长是多少？ （2）求这块地的面积。 解：（1）这块地的长为（3a+2b）+（2a-b）=5a+b。 （2）由图可知，这块地的宽为4a，长为5a+b， 所以这块地的面积为4a（5a+b）=20a2+4ab。 考点3 多项式乘多项式 例1 计算：（1）(m+2n) (m-2n) ； （2）(2n+5)(n-3)； （3）(x+2y)2 ； （4）(ax+b)(cx+d) 。 解：（1）原式=m·m-m·2n＋2n·m-2n·2n=m2-2mn＋2mn-4n2=m2-4n2。 （2）原式=2n·n-2n·3＋5·n＋5×(-3)=2n2-6n＋5n-15=2n2-n-15。 （3）原式=(x＋2y)(x＋2y)=x·x＋x·2y＋2y·x＋2y·2y=x2＋2xy＋2xy＋4y2=x2＋4xy＋4y2。 （4）原式=ax·cx＋ax·d＋b·cx＋b·d=acx2＋adx＋bcx＋bd。 变式训练 计算：（1）(x−3y)(x+7y)； (2)(2x + 5y)(3x−2y)。 解：（1）原式=x•x+ x•7y −3y•x−3y•7y =x2+7xy−3xy−21y2=x2+ 4xy−21y2。 （2）原式=2x•3x−2x•2y+5 y• 3x-5y•2y=6x2−4xy+ 15xy−10y2=6x2 +11xy−10y2。 考点4 多项式乘多项式的应用 例2 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(a+2b)，宽为(a+b)的大长方形，则需要C类卡片_______张。 答案：3 通过例题讲解，使学生明确利用单项式乘多项式法则进行计算的方法，明确每一步运算的道理，规范解题步骤，体会由单项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化。 通过变式训练巩固所学知识。 通过例题讲解，使学生明确利用多项式乘多项式法则进行计算的方法，明确每一步运算的道理，规范解题步骤，体会由多项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用法则解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.计算6x·(3-2x)的结果，与下列哪一个式子相同（ ） A．-12x2＋18x B．-12x2＋3 C．16x D．6x 答案：A 2.已知(x+a)(x+b)=x2-13x+36，则a+b的值是(　　) A.13 B.-13 C.36 D.-36 答案：B 3.若A=3x-2，B=1-2x，C=-6x，则C·B+A·C=_______。 答案：-6x2+6x 4.先化简，再求值：3a(2a2-4a＋3)-2a2(3a＋4)，其中a=-2。 解：原式=6a3-12a2＋9a-6a3-8a2=-20a2＋9a。 当a=-2时，原式=-20×4-9×2=-98。 5.如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为（2a+b）m，宽为（a+b）m，正方形的边长为a m。 （1）求剩余铁皮的面积； （2）当a=3，b=2时，求剩余铁皮的面积。 解：（1）(a+b)(2a+b)-a·a=a2+3ab+b2。 （2）将a=3，b=2代入，得32+3×3×2+22=31。 因此，剩余铁皮的面积为31 m2。 6. 读下列文字，并解决问题。 已知x2y=3，求2xy（x5y2-3x3y-4x）的值。 分析：考虑到满足x2y=3的x，y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入。 解：2xy（x5y2-3x3y-4x）=2x6y3-6x4y2-8x2y=2（x2y）3-6（x2y）2-8x2y=2×33-6×32-8×3=-24。 请你用上述方法解决问题：已知ab=3，求（2a3b2-3a2b+4a）•（-2b）的值。 解：原式=-4a3b3+6a2b2-8ab=-4×（ab）3+6（ab）2-8ab。 当ab=3时，原式=-4×33+6×32-8×3=-78。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.课堂小结 （1）单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （2）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.布置作业 课本P16习题1.2中的T2、T3、T4、T6、T7、T8。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 多项式的乘法 1.单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 投影区 2.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $