5.4 专题一：平抛运动的应用（一般抛体运动+斜面+临界问题+类平抛运动）讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦抛体运动核心知识点，系统梳理从一般抛体运动（斜抛）的分解方法、运动规律及对称性，到平抛与斜面/曲面结合问题的分析策略，再到临界问题的处理技巧，最后延伸至类平抛运动的迁移应用，构建递进式学习支架。 资料通过“思考与讨论”引导科学探究，结合机器人抛手绢、跳台滑雪等实例深化模型建构与科学推理，例题涵盖斜面碰撞、曲面轨迹等情景。课中助力教师高效授课，课后通过分层练习（夯实基础、能力提升、扩展探究）帮助学生查漏补缺，培养解决复杂问题的科学思维。

第五章 抛体运动 专题一：平抛运动的应用（斜面+临界问题+一般抛体运动）（原卷版） 学习目标 1.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题(重难点)。 2.进一步掌握平抛运动的规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点(重点)。 3.熟练运用平抛运动规律解决相关问题(重难点)。 4.熟练运用平抛运动规律分析解决平抛运动的临界问题(重难点)。 5.掌握类平抛运动的特点，能运用平抛运动的方法分析类平抛运动(难点)。 课堂学习 一 一般抛体运动 【知识梳理】 （一）一般抛体运动 如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动。 1.研究方法：将物体斜向上抛出，不考虑空气阻力，物体在水平方向上做 ，在竖直方向做竖直上抛运动。 2.斜抛运动的规律 设物体抛出的速度v0沿斜上方，v0与水平方向的夹角为θ，如图所示，则物体做斜抛运动时， (1)水平方向：速度vx=v0x= ，位移x=v0x·t= 。  (2)竖直方向：速度vy=v0y-gt= ，位移y= 。  3.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点 (1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小 ，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。 (2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间 下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 (3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 4.由抛出点到最高点的过程可逆向看作 运动来分析。 思考与讨论1： 1.做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？ 2.做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？ 3.做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当初速度与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？ 【例题分析】 机器人表演扭秧歌时，将左、右手中的手绢同时抛出互换，如图（b）所示。两手绢在空中的运动轨迹分别为轨迹和轨迹，若忽略空气阻力，则（　　）例1 A．沿轨迹运动的手绢加速度更大 B．沿轨迹运动的手绢在空中运动时间更长 C．沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 D．沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 （多选）将一物体以某一初速度沿与水平方向成角从点斜向上抛出，经过点时速度与水平方向的夹角为。已知A、B之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，，则下列说法正确的是（　　）例2 A．从点抛出时的速度大小为 B．从到过程中速度的最小值为 C．从到的时间为 D．A、B之间的高度差为 二 与斜面和曲面有关的平抛运动 【课堂探究】 （一）与斜面有关的平抛运动 1.如图甲所示，将小球从倾角为θ的斜面上A处以初速度v0水平抛出，又落在斜面上B点。(不计空气阻力，重力加速度为g) (1)小球位移方向怎样？水平分位移x和竖直分位移y有什么关系？ (2)从抛出至落至斜面上所需时间多长？ (3)小球落在斜面上时，速度偏转角的正切是多大？ (4)如果以2v0的初速度水平抛出，则当小球落在斜面上，与初速度v0抛出相比，则运动时间之比，位移之比是多大？ (5)小球什么时候距离斜面最远，最远距离是多大？ 2.如图乙所示，将小球从斜面外某处以初速度v0水平抛出，斜面倾角为θ，重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)若小球垂直击中斜面，求小球到达斜面经过的时间； (2)若小球以最小位移击中斜面，求小球到达斜面经过的时间。 （二）与曲面有关的平抛运动 情景示例 解题策略 从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度，构建速度三角形 vx=v0 vy=gt tan θ== 从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面 分解速度，构建速度三角形 vx=v0 vy=gt tan θ== 从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示 利用几何关系求解位移关系 x=v0t y=gt2 R2=(x-R)2+y2 【例题分析】 跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿上专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，以运动员在a处为计时起点，在斜坡b处着陆。测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力。下列说法不正确的是（　　）例3 A．运动员在a处的速度大小 B．在空中飞行的时间 C．运动员在空中离坡面的最大距离 D．运动员在空中离坡面的距离最大时对应的时刻 如图所示，水平地面上方有高和宽均为L的台阶，台阶下端与水平地面的交点为P，地面上Q点与P点相距L，将一小球从上方台阶端点以一定初速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g，不考虑小球的反弹，则（　　）例4 A．小球以不同的初速度抛出后，在空中运动的时间也一定不同 B．小球落在第一级台阶上和第二级台阶上，在空中飞行时间之比为 1∶2 C．小球可能落在地面上Q点左侧 D．小球能落在地面上的最小初速度为 某水流造景设施的截面如图所示，为水平喷水口，水柱刚离开的速度为，从喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为的斜面上的处。已知重力加速度为，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从到所用的时间为（　　）例5 A． B． C． D． 如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为，忽略空气阻力，则（　　）例6 A．两个毽子不会同时落到轨道上 B． C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 三 平抛运动的临界问题 【知识梳理】 （一）平抛运动的临界问题 与平抛运动相关的临界情况 (1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点。 (2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。 【例题分析】 中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　）例7 A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发球点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　）例8 A． B． C． D． 四 类平抛运动 【知识梳理】 （一）平抛运动的推论 1.类平抛运动的概念 合外力恒定且垂直于初速度方向的运动。 2.类平抛运动的两个特点 (1)合外力恒定，但加速度不一定等于重力加速度。 (2)初速度方向与合外力垂直，但初速度方向不一定沿水平方向。 3.类平抛运动的分析方法 (1)初速度v0方向上做匀速直线运动，vx=v0，x=v0t。 合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，a=，vy=at，y=at2。 【例题分析】 如图，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做类平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（　　）例9 A． B． C． D． 课堂总结 课后训练 夯实基础 1．某部队在水平地面上训练时，火炮发射的炮弹轨迹如图所示。火炮先以发射第一枚炮弹，一段时间后，再以发射第二枚炮弹，最终二者同时击中同一目标。已知与水平方向夹角分别为，不计炮身高度和空气阻力，则（　　） A．一定小于 B．可能等于 C．一定小于 D．可能等于 2．将两小球从水平地面同一地点分别斜向上抛出，抛出时两球速度大小相等，方向与水平方向夹角不同，两球均落在与抛出点相距为的地面，已知重力加速度为，不计阻力，则两小球在空中运动时间的乘积为（　　） A． B． C． D． 3．将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。如图所示为某次“打水漂”时石子的轨迹图，虚线为水面，设石子在空中的运动为抛体运动，石子完成轨迹1的水平初速度大小为和竖直初速度大小为，完成轨迹2的水平初速度大小为和竖直初速度大小为。若，则下列关系式可能正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的两点，落在两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为，落到斜面上时的速度大小分别为，在空中运动的时间分别为，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 5.一个倾角为θ=37°的斜面固定在水平地面上，从斜面底端正上方某处水平抛出一个物体，已知物体平抛的初速度为v0，斜面高为h，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。物体从抛出到落到斜面上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体在空中运动的时间t= B．若仅增大初速度v0，物体落到斜面上时的速度方向与斜面的夹角将增大 C．物体落到斜面上时，速度方向与水平方向夹角的正切值与初速度v0无关 D．若初速度v0变化，要使物体落在斜面上的同一点，可调整抛出点的高度 6.如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则（　　） A．a球一定先落在半圆轨道上 B．b球一定先落在斜面上 C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D．a球可能垂直落在半圆轨道上 7.如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　） A． B． C． D． 能力提升 8.从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 9．（多选）如图所示，在竖直平面内一发射器（视为质点）在O点先后以大小为、的初速度斜向上发射、两个完全相同的小球（视为质点），两球初速度方向相同，不计空气阻力，斜坡足够长，则下列说法正确的是（   ） A．、两小球从抛出到落到斜坡上的时间之比为1:2 B．、两小球从抛出到落到斜坡上的位移之比为1:4 C．、两小球从抛出到落到斜坡上过程离斜面最远距离之比为1:2 D．、两小球落到斜坡上前瞬间速度方向不同 10.如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力F风=5N的作用，风力与v0的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度保持不变 C．小球的加速度与初速度v0的夹角为60° D．小球的加速度大小为 11.（多选）如图工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　 　） A．运动时间为4s B．重物离PQ连线的最远距离为10m C．落地速度与水平方向夹角为60° D．轨迹最高点与落点的高度差为60m 12.（多选）如图所示，一斜面体固定在水平面上，斜面光滑且为矩形，倾角为θ，斜面的左上方顶点 P 与右下方顶点Q之间固定一与斜面垂直的挡板，挡板与斜面底边的夹角也为θ，一可视为质点的小物块由 P 点以平行于斜面底边的初速度水平射出，落在挡板上不再反弹。已知重力加速度为g，小物块在运动过程中始终在斜面上滑动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为 B．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为 C．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的2倍 D．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的4倍 13.如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，求： (1)网球碰墙后的速度大小v； (2)网球着地点到墙壁的距离d。 扩展探究 14.（多选）为了保护人民的生命和财产安全，科学家研究了对导弹或陨石的拦截技术并进行模拟测试。如图所示，假设某陨石从点以速度斜向下飞来，速度方向与水平方向的夹角为；此时在点的正下方处在同一竖直平面内以速度斜向上发射炮弹进行拦截，速度方向与竖直方向的夹角也为，最终拦截成功。已知重力加速度为，、间的高度差为，，不考虑空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A． B． C．炮弹击中陨石时离地面的高度为 D．炮弹击中陨石时离地面的高度为 15.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在黑龙江哈尔滨举行。现将大跳台比赛某段过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为的斜面顶端O点以飞出，已知，且与斜面夹角为。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球从O运动到A点所用时间t； (2)小球离斜面最远的距离L； (3)O、C两点间距离x。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 抛体运动 专题一：平抛运动的应用（斜面+临界问题+一般抛体运动）（解析版） 学习目标 1.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题(重难点)。 2.进一步掌握平抛运动的规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点(重点)。 3.熟练运用平抛运动规律解决相关问题(重难点)。 4.熟练运用平抛运动规律分析解决平抛运动的临界问题(重难点)。 5.掌握类平抛运动的特点，能运用平抛运动的方法分析类平抛运动(难点)。 课堂学习 一 一般抛体运动 【知识梳理】 （一）一般抛体运动 如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动。 1.研究方法：将物体斜向上抛出，不考虑空气阻力，物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向做竖直上抛运动。 2.斜抛运动的规律 设物体抛出的速度v0沿斜上方，v0与水平方向的夹角为θ，如图所示，则物体做斜抛运动时， (1)水平方向：速度vx=v0x=v0cos θ，位移x=v0x·t=v0tcos θ。  (2)竖直方向：速度vy=v0y-gt=v0sin θ-gt，位移y=v0tsin θ-gt2。  3.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点 (1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。 (2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 (3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 4.由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 思考与讨论1： 1.做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？ 做斜上抛运动的物体达到最高点的时间：t=，所以物体落回同一水平面的时间为t总=，则可知t总与竖直分速度有关。 2.做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？ 物体达到最大高度时，它的竖直分速度为零(vy=0)，可得：hm=，则上升的最大高度与竖直分速度有关。 3.做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当初速度与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？ 由x=t总得，做斜上抛运动的物体水平射程为： x=，可看出物体水平射程由抛射角θ和初速度v0共同决定。在初速度v0大小不变的情况下，随抛射角θ的增大，sin 2θ增大，射程也增大。当θ=45°时，sin 2θ=1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin 2θ减小，射程也减小。 【例题分析】 机器人表演扭秧歌时，将左、右手中的手绢同时抛出互换，如图（b）所示。两手绢在空中的运动轨迹分别为轨迹和轨迹，若忽略空气阻力，则（　　）例1 A．沿轨迹运动的手绢加速度更大 B．沿轨迹运动的手绢在空中运动时间更长 C．沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 D．沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 【答案】D 【详解】A．手绢沿轨迹和运动的加速度相等均为重力加速度，故A错误； B．手绢在空中为斜上抛运动，手绢从手中到最高点（逆向思维）与最高点到手中为对称的平抛运动，设手绢在空中运动时间为，由可知，沿轨迹运动的手绢更大，所以其在空中运动时间更长，故B错误； CD．设手绢在空中运动时间为，由 由图可知相同，沿轨迹运动的手绢在空中运动时间更短，所以沿轨迹运动的手绢到最高点时的速度更大，故C错误，D正确。 故选D。 （多选）将一物体以某一初速度沿与水平方向成角从点斜向上抛出，经过点时速度与水平方向的夹角为。已知A、B之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，，则下列说法正确的是（　　）例2 A．从点抛出时的速度大小为 B．从到过程中速度的最小值为 C．从到的时间为 D．A、B之间的高度差为 【答案】AB 【详解】ABC．物体做斜抛运动，将物体在A，B两点的速度分解如图所示， 可得，，， 取竖直向下为正方向，则有， 联立求得 从到的时间及从点抛出时的速度大小为，，故A正确，C错误。 B．根据斜抛运动规律，可知物体从到过程中，在最高点时速度最小，为，故B正确； D．取竖直向下为正方向，则A、B之间的高度差为 代入数据求得，故D错误。 故选AB。 二 与斜面和曲面有关的平抛运动 【课堂探究】 （一）与斜面有关的平抛运动 1.如图甲所示，将小球从倾角为θ的斜面上A处以初速度v0水平抛出，又落在斜面上B点。(不计空气阻力，重力加速度为g) (1)小球位移方向怎样？水平分位移x和竖直分位移y有什么关系？ 位移方向沿斜面向下，tan θ=。 (2)从抛出至落至斜面上所需时间多长？ 由tan θ===，得t=。 (3)小球落在斜面上时，速度偏转角的正切是多大？ 速度偏转角α的正切为位移偏转角正切的2倍，所以。 (4)如果以2v0的初速度水平抛出，则当小球落在斜面上，与初速度v0抛出相比，则运动时间之比，位移之比是多大？ 落在斜面上，可知位移偏转角没有发生改变，根据t=，可知； 由，可知，由，可知，又因为，故。 (5)小球什么时候距离斜面最远，最远距离是多大？ 如图所示，将初速度和重力加速度分解为沿着斜面和垂直于斜面的两个方向上，当vy减为0时，小球距离斜面最远，即；最远的距离为。 2.如图乙所示，将小球从斜面外某处以初速度v0水平抛出，斜面倾角为θ，重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)若小球垂直击中斜面，求小球到达斜面经过的时间； 小球垂直击中斜面，此时速度方向垂直斜面。 tan θ==，得t1= (2)若小球以最小位移击中斜面，求小球到达斜面经过的时间。 此时位移与斜面垂直 tan θ==，得t2= （二）与曲面有关的平抛运动 情景示例 解题策略 从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度，构建速度三角形 vx=v0 vy=gt tan θ== 从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面 分解速度，构建速度三角形 vx=v0 vy=gt tan θ== 从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示 利用几何关系求解位移关系 x=v0t y=gt2 R2=(x-R)2+y2 【例题分析】 跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿上专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，以运动员在a处为计时起点，在斜坡b处着陆。测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力。下列说法不正确的是（　　）例3 A．运动员在a处的速度大小 B．在空中飞行的时间 C．运动员在空中离坡面的最大距离 D．运动员在空中离坡面的距离最大时对应的时刻 【答案】C 【详解】A．运动员水平飞出后做平抛运动，水平方向位移 竖直方向位移 其中， 竖直方向由自由落体运动规律 代入， 解得 水平方向， 则，A正确； B．由竖直方向位移公式 解得，B正确； C．将运动分解为垂直斜坡方向和沿斜坡方向，垂直斜坡方向初速度 加速度 最大距离时垂直方向速度为0，时间 垂直方向位移，C错误； D．由垂直斜坡方向速度减为零时距离最大，时间，D正确； 故选C。 如图所示，水平地面上方有高和宽均为L的台阶，台阶下端与水平地面的交点为P，地面上Q点与P点相距L，将一小球从上方台阶端点以一定初速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g，不考虑小球的反弹，则（　　）例4 A．小球以不同的初速度抛出后，在空中运动的时间也一定不同 B．小球落在第一级台阶上和第二级台阶上，在空中飞行时间之比为 1∶2 C．小球可能落在地面上Q点左侧 D．小球能落在地面上的最小初速度为 【答案】C 【详解】A．若小球均落在同一台阶或地面上，小球在空中飞行的时间相等，故A错误； B．小球落在第一级台阶上时，下降的高度为L，落在第二级台阶上，下降的高度为2L，根据h=gt2，可知小球在空中飞行时间之比为1∶，B错误； D．小球恰好能落在地面上有2L=vt，2L=gt2 解得临界速度v=，D错误； C．小球以v=的速度抛出时，由3L=gt'2，x=vt' 落点到P的距离d=x-2L 解得d=L<L，C正确。 故选C。 某水流造景设施的截面如图所示，为水平喷水口，水柱刚离开的速度为，从喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为的斜面上的处。已知重力加速度为，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从到所用的时间为（　　）例5 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示 水滴从P到B做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，速度 竖直方向做自由落体运动，速度 因水柱垂直撞击倾角为的斜面，故撞击时速度方向与斜面垂直，即沿斜面方向的速度分量为零。将水平速度和竖直速度分解到沿斜面方向，水平速度沿斜面方向的分量为；竖直速度沿斜面方向的分量为，负号表示与斜面正方向相反。沿斜面方向合速度为零，有 代入得 化简解得 故选A。 如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为，忽略空气阻力，则（　　）例6 A．两个毽子不会同时落到轨道上 B． C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 【答案】B 【详解】A．由分析可知，两个毽子均为平抛运动，由几何关系，两毽子竖直方向的位移相等为 可得 则两个毽子会同时落到轨道上，A选项错误； B．由两毽子平抛运动水平方向位移为 可知，B选项正确； C．由平抛运动仅受重力，故加速度始终为竖直方向，速度变化量公式 可知速度变化量方向与加速度方向一致，故两个毽子速度变化量方向相同，C选项错误； D．由平抛运动推论，末速度的反向延长线与轴的交点为水平位移的中点，由几何关系可知O点不是水平位移中点，则落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点，D选项错误。 故选B。 三 平抛运动的临界问题 【知识梳理】 （一）平抛运动的临界问题 与平抛运动相关的临界情况 (1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点。 (2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。 【例题分析】 中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　）例7 A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 【答案】C 【详解】A．小面圈的运动视为平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则由 可得小面圈在空中运动的时间为 由于相同，所以所有小面圈在空中运动的时间也都相同，故A正确，不符合题意； B．根据可得，由于所有小面圈在空中运动的时间都相同，所以所有小面圈的速度变化量都相同，故B正确，不符合题意； D．由题意可知，小面圈运动过程水平位移的取值范围为 由于平抛运动水平方向为匀速直线运动，则水平初速度的最小值为 同理水平初速度的最大值为 所以水平初速度的取值范围为，故D正确，不符合题意； C．落入锅中时，最大速度为 最小速度为 则 即最大速度不是最小速度的3倍，故C错误，符合题意。 故选C。 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发球点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　）例8 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】水平方向匀速直线运动，水平位移最小即沿中线方向水平发射恰好过球网，此时从发球点到球网，下降高度为 水平位移大小为 对应的最小初速度 水平位移最大即斜向对方台面的两个角发射，根据几何关系此时的位移大小为 由 对应的最大初速度 所以平抛的初速度的取值范围为。 故选D。 四 类平抛运动 【知识梳理】 （一）平抛运动的推论 1.类平抛运动的概念 合外力恒定且垂直于初速度方向的运动。 2.类平抛运动的两个特点 (1)合外力恒定，但加速度不一定等于重力加速度。 (2)初速度方向与合外力垂直，但初速度方向不一定沿水平方向。 3.类平抛运动的分析方法 (1)初速度v0方向上做匀速直线运动，vx=v0，x=v0t。 合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，a=，vy=at，y=at2。 【例题分析】 如图，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做类平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（　　）例9 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球从A点开始做类平抛运动到C点，沿斜面向下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律推得加速度为 有Lgt2sin θ 沿水平方向做匀速直线运动，位移Lv0t 联立解得v0＝ 故选A。 课堂总结 课后训练 夯实基础 1．某部队在水平地面上训练时，火炮发射的炮弹轨迹如图所示。火炮先以发射第一枚炮弹，一段时间后，再以发射第二枚炮弹，最终二者同时击中同一目标。已知与水平方向夹角分别为，不计炮身高度和空气阻力，则（　　） A．一定小于 B．可能等于 C．一定小于 D．可能等于 【答案】D 【详解】AB．据斜抛运动规律，设θ是发射角，v是初速度，g是重力加速度。 则炮弹的射程公式为 飞行时间公式为 两炮弹的初速度分别为、发射方向和水平方向夹角分别为，由于两炮弹击中同一目标，射程相同，有 两炮弹先后发射但同时击中，第一枚炮弹飞行时间更长，即 故，A错误，B错误； CD．当两炮弹发射角互补，且时， 解得，C错误，D正确。 故选D。 2．将两小球从水平地面同一地点分别斜向上抛出，抛出时两球速度大小相等，方向与水平方向夹角不同，两球均落在与抛出点相距为的地面，已知重力加速度为，不计阻力，则两小球在空中运动时间的乘积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从水平地面斜向上抛出的小球，可分解为竖直上抛运动和水平方向的匀速直线运动，在竖直方向的运动时间为 在水平方向的位移为 解得 从水平地面同一地点斜向上抛出的速度大小相等，方向与水平方向夹角分别为、的两个小球，均落在与抛出点相距为的地面，则有 解得 设一个小球在空中运动的时间为 另一个小球在空中运动的时间为 两小球在空中运动时间的乘积为 将代入，得 故选A。 3．将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。如图所示为某次“打水漂”时石子的轨迹图，虚线为水面，设石子在空中的运动为抛体运动，石子完成轨迹1的水平初速度大小为和竖直初速度大小为，完成轨迹2的水平初速度大小为和竖直初速度大小为。若，则下列关系式可能正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】D．石子在空中做斜抛运动，竖直方向做竖直上抛运动，根据逆向思维有， 由于 则有 即不可能等于，故D错误； ABC．石子在空中做斜抛运动，水平方向上做匀速直线运动，则有， 竖直方向上有， 解得 根据给出的数据可知，只有第三个选项满足要求，故AB错误，C正确。 故选C。 4．跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的两点，落在两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为，落到斜面上时的速度大小分别为，在空中运动的时间分别为，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．运动员做平抛运动，运动时间满足 解得 由于运动员落到N点时竖直高度大，所以运动时间，故A错误； B．平抛运动只受重力作用，加速度为重力加速度，根据 结合上述分析可知，故B错误； C．如图所示 当竖直位移为时，通过比较此时二者的水平位移，根据可知落在斜面上的N点对应的平抛的初速度较大，运动员落在平台下方的斜面上的M时速度为 落在平台下方的斜面上的N时速度为 因此，故C错误； D．如图，连接P点到落点构造斜面 根据平抛运动推论：速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，则有， 由于 则有 即，故D正确。 故选D。 5.一个倾角为θ=37°的斜面固定在水平地面上，从斜面底端正上方某处水平抛出一个物体，已知物体平抛的初速度为v0，斜面高为h，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。物体从抛出到落到斜面上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体在空中运动的时间t= B．若仅增大初速度v0，物体落到斜面上时的速度方向与斜面的夹角将增大 C．物体落到斜面上时，速度方向与水平方向夹角的正切值与初速度v0无关 D．若初速度v0变化，要使物体落在斜面上的同一点，可调整抛出点的高度 【答案】D 【详解】A．物体水平位移 竖直位移 设抛出点高度，落在斜面上由几何关系可得，题目未确定，故A错误； C．速度方向与水平方向的夹角 满足 由 得 当抛出点高度一定，物体落到斜面时间与 有关，所以速度方向与水平夹角的正切值与初速度有关，故C错误； B．物体落到斜面上时的速度方向与斜面的夹角为，由可知：当抛出点高度一定，增大初速度，物体落到斜面时间变小，速度方向与水平夹角变小，所以物体落到斜面上时的速度方向与斜面的夹角变小，故B错误； D．若 变化，需调整抛出点高度以满足 ，从而保证物体落在同一点，故D正确。 故选D。 6.如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则（　　） A．a球一定先落在半圆轨道上 B．b球一定先落在斜面上 C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D．a球可能垂直落在半圆轨道上 【答案】C 【详解】ABC．将半圆轨道和斜面轨道重叠在一起 可知若小球初速度合适，两小球可同时落在距离出发点高度相同的交点A处，改变初速度，可以先落在半圆轨道，也可以先落在斜面上，故AB错误，C正确； D．若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圆轨道上，故D错误。 故选C。 7.如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为。由， 联立解得A、B之间的水平距离为 故选A。 能力提升 8.从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球1、球2的平抛初速度分别为v1、v2，设M点到N点水平距离为L，由平抛规律可知球2整个运动过程的时间 可得 球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为H，球2在水平方向一直做匀速运动，设球1从抛出到落地时间为t1，则有 且 联立解得 设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为vy1，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为x1、x2，有 设球1到达A点时竖直方向速度大小为vy2，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得 可得碰撞点到A点的时间为 球2刚好越过挡板AB的时间为 水平方向位移关系有 联立以上，解得 故选A。 9．（多选）如图所示，在竖直平面内一发射器（视为质点）在O点先后以大小为、的初速度斜向上发射、两个完全相同的小球（视为质点），两球初速度方向相同，不计空气阻力，斜坡足够长，则下列说法正确的是（   ） A．、两小球从抛出到落到斜坡上的时间之比为1:2 B．、两小球从抛出到落到斜坡上的位移之比为1:4 C．、两小球从抛出到落到斜坡上过程离斜面最远距离之比为1:2 D．、两小球落到斜坡上前瞬间速度方向不同 【答案】AB 【详解】A．设斜面倾角为，初速度与水平方向成，把初速度沿水平竖直方向分解，如图所示 水平方向有 竖直方向有 小球落到斜面上，有 解得 若初速度变为，则有 解得，故A正确； B．把初速度沿斜面和垂直斜面方向分解，如图所示 垂直斜面方向有 沿斜面方向有 解得 若初速度变为，则有 解得，故B正确； C．把初速度沿斜面和垂直斜面方向分解，由前面分析可知，从抛出到落到斜坡上过程离斜面距离最远用时为，则最远距离 若初速度变为，则有 解得，故C错误； D．把初速度沿斜面和垂直斜面方向分解，设小球落到斜面上时的速度与斜面夹角为，如图所示 沿斜面有 垂直斜面有 则 与初速度无关，故两小球落到斜坡上前瞬间速度方向相同，故D错误。 故选AB。 10.如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力F风=5N的作用，风力与v0的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度保持不变 C．小球的加速度与初速度v0的夹角为60° D．小球的加速度大小为 【答案】B 【详解】受到斜向右上方恒定的风力F风=5N的作用，同时受到竖直向下的重力mg=5N，则两个力的夹角为120°，合力 方向沿右下方与x轴成30°角，正好与初速度v0方向垂直，可知小球做类平抛运动，速度一直增加，因合力为恒力，则加速度保持不变，加速度方向与初速度v0垂直，加速度大小为 故选B。 11.（多选）如图工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　 　） A．运动时间为4s B．重物离PQ连线的最远距离为10m C．落地速度与水平方向夹角为60° D．轨迹最高点与落点的高度差为60m 【答案】AC 【详解】AB．将初速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有， 将重力加速度分解为沿方向加分速度和垂直分加速度，则有， 垂直方向根据对称性可得重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为，故A正确，B错误； C．重物落地时竖直分速度大小为 则落地速度与水平方向夹角正切值为 可得落地速度与水平方向夹角为，故C正确； D．从抛出到最高点所用时间为 则从最高点到落地所用时间为 轨迹最高点与落点的高度差为，故D错误。 故选AC。 12.（多选）如图所示，一斜面体固定在水平面上，斜面光滑且为矩形，倾角为θ，斜面的左上方顶点 P 与右下方顶点Q之间固定一与斜面垂直的挡板，挡板与斜面底边的夹角也为θ，一可视为质点的小物块由 P 点以平行于斜面底边的初速度水平射出，落在挡板上不再反弹。已知重力加速度为g，小物块在运动过程中始终在斜面上滑动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为 B．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为 C．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的2倍 D．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的4倍 【答案】BD 【详解】AB．小球的加速度方向平行斜面向下，大小为 小球在斜面上做类平抛运动，从P点抛出到落在挡板上有 解得，故A错误，B正确； CD．根据 若初速度变为，则小物块由P点抛出到落在挡板上的时间变为原来的2倍；根据 可知沿初速度方向的位移变为原来的4倍，根据 可知物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的4倍，故C错误，D正确。 故选BD。 13.如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，求： (1)网球碰墙后的速度大小v； (2)网球着地点到墙壁的距离d。 【答案】(1)m/s (2)3.9m 【详解】（1）设网球飞出时的速度为，竖直方向初速度满足 代入数据得 则 网球水平方向到点的距离 根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量 平行墙面的速度分量 反弹后，垂直墙面的速度分量 则反弹后的网球速度大小为 （2）网球落到地面的时间 着地点到墙壁的距离 扩展探究 14.（多选）为了保护人民的生命和财产安全，科学家研究了对导弹或陨石的拦截技术并进行模拟测试。如图所示，假设某陨石从点以速度斜向下飞来，速度方向与水平方向的夹角为；此时在点的正下方处在同一竖直平面内以速度斜向上发射炮弹进行拦截，速度方向与竖直方向的夹角也为，最终拦截成功。已知重力加速度为，、间的高度差为，，不考虑空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A． B． C．炮弹击中陨石时离地面的高度为 D．炮弹击中陨石时离地面的高度为 【答案】AC 【详解】AB．设经过时间，炮弹与陨石相遇，则在水平方向位移相等，则 所以，A正确，B错误； CD．在竖直方向有： 解得 故炮弹击中陨石时陨石离地面的高度为，C正确，D错误。 故选AC。 15.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在黑龙江哈尔滨举行。现将大跳台比赛某段过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为的斜面顶端O点以飞出，已知，且与斜面夹角为。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球从O运动到A点所用时间t； (2)小球离斜面最远的距离L； (3)O、C两点间距离x。 【答案】(1)2s (2) (3)40m 【详解】（1）垂直斜面方向， 由 得 （2）垂直斜面方向匀减速至0时有 代入数据得小球离斜面最远的距离。 （3）解法1：由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O到A与A到B所用时间相等，平行斜面方向， 沿斜面方向 小球在水平方向做匀速直线运动，C为OB中点，则 代入数据解得 解法2：小球在水平方向做匀速直线运动 由几何关系可得 解得 学科网（北京）股份有限公司 $