精品解析：天津市河西区北京师范大学天津附属中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

北师大天津附中高一年级第一学期12月考数学试卷 一、单选题（9×5） 1. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 6. 函数零点所在的大致区间为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1％.若初始时含杂质20％，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：）（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（6×5） 10. 已知幂函数是偶函数，则______. 11. 设函数过定点，则_____________． 12. 函数的定义域是______． 13. 已知，，则______. 14. 已知函数的最大值为2，则______． 15. 已知函数，若存在实数满足，则的值为___________，的取值范围为___________. 三、解答题 16. 化简求值： （1） （2） 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性； （2）设函数的值域为区间，求； （3）函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大天津附中高一年级第一学期12月考数学试卷 一、单选题（9×5） 1. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入函数解析式可求得，进而得到，进而代值求解即可. 【详解】由题意得，，解得， 则，所以. 故选：C 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，，利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 3. 已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由得，又，所以定点为，从而， ， 当且仅当时等号成立. 故选：C. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，结合三个数与的大小关系进行判断即可. 【详解】因为，即， ，即， ，即， 所以， 故选：D 5. 已知函数且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举反例判断①，②，利用函数的奇偶性判断③，利用指数函数的性质判断④即可. 【详解】令，此时，而， ，故函数在其定义域内不单调递减， 函数的值域不可能为；即①，②错误， 因为，的定义域关于原点对称， 故，即， 得到是奇函数，则函数的图象是中心对称图形，故③正确， 当时，，故函数的图象过定点，即④正确. 综上，其中正确结论的个数是，故B正确. 故选：B 6. 函数零点所在的大致区间为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的单调性判断函数零点个数，再利用函数零点存在性定理进行判断. 【详解】因为函数在上单调递增，所以函数在上至多1个零点. 又，. 所以函数在上有零点. 综上，函数只在有1个零点. 故选：B 7. 函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性和函数的定义域求解即可. 【详解】设，则， 因为且，所以为上的减函数， 若函数在区间上是减函数，则是增函数，且时，， ，解得，即的取值范围为. 故选：B. 8. 已知定义在上的奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用奇函数的性质求得参数，再根据的函数解析式直接判断的单调性，再根据函数单调性将不等式转化为自变量的大小关系，最后解一元二次不等式即可. 【详解】易知定义在上的奇函数，，即，解得. 故，易在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增. 注意到，，故等价于， 又因为在上单调递增，故，整理得， 解得或， 故选：D. 9. 某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1％.若初始时含杂质20％，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：）（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】依题意列出不等式再由对数运算法则计算，解不等式可得结果. 【详解】设至少过滤的次数为， 则依题意可得，即， 即，所以， 可得， 所以至少过滤3次才能满足要求. 故选：B 二、填空题（6×5） 10. 已知幂函数是偶函数，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及偶函数特性求出. 【详解】幂函数是偶函数，则，解得或， 当时，是偶函数； 而当时，是奇函数，不符合题意， 所以. 故答案为：2 11. 设函数过定点，则_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据对数函数的图象性质列方程组求解即得，利用换底公式和对数运算性质即得答案. 【详解】由过定点，可知， 解得，故. 故答案为：4. 12. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是具体函数定义域的求解，只需根据限制条件列出不等式即可. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为． 故答案为：． 13. 已知，，则______. 【答案】16 【解析】 【分析】将方程化为，应用换元法得到一元二次方程求的值，即可得. 【详解】由， 设，则， 所以（负值舍去），则. 故答案为：16 14. 已知函数的最大值为2，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复合函数单调性分析内层函数的最值，结合二次函数性质求解可得. 【详解】设，则． 因为为减函数，又有最大值为2，所以有最小值． 二次函数有最小值所以开口向上，因此， 二次函数的最小值，所以，解得． 故答案为：. 15. 已知函数，若存在实数满足，则的值为___________，的取值范围为___________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】画出的图象，由图可知，化简可求出的值，然后求出函数与轴的交点坐标，从而可求出的取值范围 【详解】函数的图象如图所示， 因为存在实数满足， 所以，， ， 所以， 当时，，由，得， 所以， 故答案为：1， 三、解答题 16. 化简求值： （1） （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据根式和指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性； （2）设函数的值域为区间，求； （3）函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围 【答案】（1）偶函数； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义判断即可； （2）利用换元法，结合定义域与对数函数单调性，即可得解； （3）法一：运用参变分离法，将零点问题转化为两个函数的交点问题；法二：将零点问题转化为二次函数根的分布问题. 【小问1详解】 由，可得的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 为偶函数. 【小问2详解】 ， 令，则， 又函数为增函数 ∴，即. 【小问3详解】 方法一： 令，， 则由， 即直线与对勾函数，有且仅有一个交点. 在平面直角坐标系中画出对勾函数， 易知当且仅当时，取到最小值4. 由图可知，当或当时，直线与对勾函数有且仅有一个交点， 故实数的取值范围为或 方法二： 令在区间上恰有一个零点， 即函数在上恰有一个零点. ①，即， (i)若，得方程，解得，符合题意； (ii)若，得方程，解得，不符合题意； ②当且零点在上时只需，即，解得； ③当零点为4时，只需，即，无解. 综上所述，实数的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $