精品解析：云南省昆明市五华区2025—2026学年上学期期末七年级数学试卷

2025－2026学年上学期七年级数学质量监测卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年11月5日，我国首艘自主设计采用电磁弹射技术的弹射型航母福建舰正式入列海军．以福建舰排水量8万吨为基准，若完成补给时，排水量增加万吨记作万吨，那么实际航行中因物资消耗，排水量减少万吨可以记作（ ） A. 万吨 B. 万吨 C. 万吨 D. 万吨 2. 云南是电力能源大省，截至年月，云南电力总装机规模超过千瓦．用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ） A. 我 B. 中 C. 国 D. 梦 4. 根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5. 几种液体在标准大气压下的沸点如下表所示，沸点最高的液体是（ ） 液体名称 液态氦 液态氢 液态氮 液态氧 沸点/ A. 液态氦 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氧 6. 下列图形中，表示同一个角的是（ ） A. B. C. D. 7. 单项式的系数、次数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）． ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 9. 用四舍五入法按要求对分别取近似数，其中错误的是（ ） A. （精确到千分位） B. （精确到百分位） C. （精确到） D. （精确到） 10. 下列选项中，相随变化的两个量成反比例关系的为（ ） A. 路程一定，速度和时间 B. 圆柱的高一定，体积和底面积 C. 被减数一定，减数和差 D. 购买铅笔和钢笔的总费用一定，铅笔的费用和钢笔的费用 11. 如图为李明家和学校的位置，那么李明家在学校的（ ） A. 北偏东的方向上 B. 南偏西的方向上 C. 北偏东的方向上 D. 南偏西的方向上 12. “学校图书馆有故事书420本，________，科技书有多少本？”为了解决这个问题，天天补充一条信息后，设科技书有x本，列出的方程是“”．天天补充的信息是（ ）． A. 故事书比科技书少 B. 故事书比科技书多 C. 科技书比故事书少 D. 科技书比故事书多 13. 数轴上表示数的点如图所示，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中的一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形……．按照这样的规律，图2026中共有正方形（ ） A. 6070个 B. 6073个 C. 6076个 D. 6079个 15. 数学活动课上，学习小组的同学进行了如下实验： 在一根质地均匀的木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处作为木杆的支点，木杆两端各悬挂一重物．首先，在木杆左端物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；再在木杆左端两个物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作，同时记录数据如下表： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量（） 到支点距离（） 重物质量（） 到支点距离（） 5 30 5 30 平衡 10 15 5 30 平衡 15 10 5 30 平衡 20 5 30 平衡 25 6 5 30 平衡 根据以上实验记录数据的规律，学习小组的同学把的重物换成了每个质量为的重物再次进行实验，此时支点右端悬挂一个重物且与支点距离为．左端悬挂5个重物移动至左右平衡．那么支点左端重物到支点的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 如图是同一时刻深圳和佳木斯的天气信息，此时两地的温差为_____． 17. 若是关于的方程的解，则的值为___________． 18. 将一副三角尺按如图位置摆放，若，则为_____． 19. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是______． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 先化简，再求值：，其中， ． 22. 如图，已知四点． （1）画直线交于点； （2）画线段交于点； （3）画射线，连接，交于点． 23. 下面是王芳同学解方程的过程： 解：去分母（方程两边乘12），得．……第①步 去括号，得．……第②步 移项，得．……第③步 合并同类项，得．……第④步 系数化为1，得．……第⑤步 根据王芳的解题过程，回答下列问题： （1）开始出现错误的步骤是第_____步； （2）请写出正确的解方程过程． 24. 如图，正方形和正方形的边长分别为和6． （1）用含的代数式表示阴影部分的面积； （2）已知，求阴影部分的面积． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 七年级一班的部分学生和家长共12人，计划假期去龙门石窟景区游玩．刘伟同学负责做旅游攻略，以下是他手绘的旅游路线图． 素材一 刘伟查阅的景区购票信息如下：成人票每张90元；学生票按成人票5折优惠；团体票（13人及以上）按成人票8折优惠． 素材二 若单独购票，共需900元． 请完成下列任务： 任务一 七年级一班去旅游的学生和家长各有几人？ 任务二 通过计算，给出最节省费用的购票方案． 26. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程是“和谐方程”．例如：方程和是“和谐方程”． （1）关于的方程与_____“和谐方程”（填“是”或“不是"）； （2）若关于的方程与是“和谐方程”，求的值． 27. 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段、请完成探索过程： 【探索发现】 （1）课上老师提出问题：如图1，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，当时，求线段的长度．下面是张华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 思想方法 解答过程 知识要素 未知线段 已知线段 解：因为分别是线段的中点， 所以①__________ ． 所以②__________， ③__________． 因为， 所以_____④_____． 线段中点的定义； 线段的和、差； 等式的性质． 【知识迁移】 （2）张华举一反三，发现求角度也可以用类似的方法进行转化计算．如图2，已知，是内部的一条射线，射线，射线分别平分和，请你写出张华求的过程． 【拓展延伸】 （3）老师提出这样一个问题：如图3，已知长方形纸片，点在边上，点，在边上，连接，，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕．若，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期七年级数学质量监测卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年11月5日，我国首艘自主设计采用电磁弹射技术的弹射型航母福建舰正式入列海军．以福建舰排水量8万吨为基准，若完成补给时，排水量增加万吨记作万吨，那么实际航行中因物资消耗，排水量减少万吨可以记作（ ） A. 万吨 B. 万吨 C. 万吨 D. 万吨 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若排水量增加用“”表示，那么排水量减少就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若完成补给时，排水量增加万吨记作万吨，那么实际航行中因物资消耗，排水量减少万吨可以记作万吨， 故选：B． 2. 云南是电力能源大省，截至年月，云南电力总装机规模超过千瓦．用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是正确确定的值以及的值． 【详解】解： ， 故选：． 3. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ） A. 我 B. 中 C. 国 D. 梦 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体表面展开图，根据特点作答即可． 【详解】A、“我”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； B、“中”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； C、“的”字一面的相对面上的字为“国”，不符合题意； D、“梦”字一面的相对面上的字为“我”或“中”，不符合题意； 故选：C． 4. 根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． 【详解】解：A. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意； B. 如果，那么，故该选项正确，符合题意； C. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意； D. 如果，当时，那么，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 5. 几种液体在标准大气压下的沸点如下表所示，沸点最高的液体是（ ） 液体名称 液态氦 液态氢 液态氮 液态氧 沸点/ A. 液态氦 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氧 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此比较各液体的沸点数值即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴沸点最高的液体是液态氧， 故选：D． 6. 下列图形中，表示同一个角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角的表示，理解其表示方法是解题的关键． 根据角的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：A：点处有四个角，不能代表，故该选项不合题意； B：点处有三个角、、，不能代表，故该选项不合题意； C：点处只有一个角且，故该选项符合题意； D：点处只有一个角，但是不能表示，故该选项不合题意．   故选：C ． 7. 单项式的系数、次数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式的系数和次数的定义：单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数的和为单项式的次数，进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是和． 故选：C． 【点睛】本题主要考查单项式的次数与系数的定义，熟练掌握单项式的次数与次数的定义是解决本题的关键． 8. 在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）． ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了直线、线段的性质，关键是掌握两点确定一条直线、两点之间、线段最短．利用两点确定一条直线、两点之间线段最短、点动成线进行解答即可． 【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，利用了“两点确定一条直线”，故①符合题意； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线利用了点动成线，故②不符合题意； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程利用了“两点之间线段最短”， 故③不符合题意； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，利用了“两点确定一条直线”， 故④符合题意； 综上符合题意的有：①④． 故选：C． 9. 用四舍五入法按要求对分别取近似数，其中错误的是（ ） A. （精确到千分位） B. （精确到百分位） C. （精确到） D. （精确到） 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，则要对该位的下一位数字进行四舍五入，据此求解判断即可． 【详解】解：A、（精确到千分位），原说法错误，符合题意； B、（精确到百分位），原说法正确，不符合题意； C、（精确到），原说法正确，不符合题意； D、（精确到），原说法正确，不符合题意； 故选：A， 10. 下列选项中，相随变化的两个量成反比例关系的为（ ） A. 路程一定，速度和时间 B. 圆柱的高一定，体积和底面积 C. 被减数一定，减数和差 D. 购买铅笔和钢笔的总费用一定，铅笔的费用和钢笔的费用 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例关系的识别，若两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例，若两个量的商一定，那么这两个量成正比例，据此求解即可． 【详解】解：A、路程速度时间，当路程一定时，速度与时间的乘积一定，故此时速度和时间成反比例，符合题意； B、圆柱的体积底面积高，当高一定时，圆柱的体积与底面积的商一定，故此时圆柱的体积和底面积成正比例，不符合题意； C、被减数等于减数加上差， 当被减数一定，减数与差的和一定，此时减数和差不成比例，不符合题意； D、购买铅笔和钢笔的总费用等于铅笔的费用加上钢笔的费用，当购买铅笔和钢笔的总费用一定，铅笔的费用与钢笔的费用的和一定，此时铅笔的费用和钢笔的费用不成比例，不符合题意； 故选：A． 11. 如图为李明家和学校的位置，那么李明家在学校的（ ） A. 北偏东的方向上 B. 南偏西的方向上 C. 北偏东的方向上 D. 南偏西的方向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角，根据图中信息即可得到答案． 【详解】解：由题意得，李明家在学校的北偏东的方向上， 故选：C． 12. “学校图书馆有故事书420本，________，科技书有多少本？”为了解决这个问题，天天补充一条信息后，设科技书有x本，列出的方程是“”．天天补充的信息是（ ）． A. 故事书比科技书少 B. 故事书比科技书多 C. 科技书比故事书少 D. 科技书比故事书多 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了列方程解应用题，要熟练掌握，解答此题的关键是弄清楚题中的各个量之间的数量关系． 【详解】解：设科技书有本，列出的方程是“”， 天天补充的信息是：故事书比科技书多． 故选：B． 13. 数轴上表示数的点如图所示，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，由数轴可得，，据此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， 故选：D． 14. 将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中的一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形……．按照这样的规律，图2026中共有正方形（ ） A. 6070个 B. 6073个 C. 6076个 D. 6079个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律并利用规律． 根据图形的变化发现规律即可求解． 【详解】解：图1中正方形的个数为， 图2中正方形的个数为， 图3中正方形的个数为， 图4中正方形的个数为， …… 依此类推，第个图形正方形的个数为， 当时，， ∴图2026中共有正方形6076个． 故选：C． 15. 数学活动课上，学习小组的同学进行了如下实验： 在一根质地均匀的木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处作为木杆的支点，木杆两端各悬挂一重物．首先，在木杆左端物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；再在木杆左端两个物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作，同时记录数据如下表： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量（） 到支点距离（） 重物质量（） 到支点距离（） 5 30 5 30 平衡 10 15 5 30 平衡 15 10 5 30 平衡 20 5 30 平衡 25 6 5 30 平衡 根据以上实验记录数据的规律，学习小组的同学把的重物换成了每个质量为的重物再次进行实验，此时支点右端悬挂一个重物且与支点距离为．左端悬挂5个重物移动至左右平衡．那么支点左端重物到支点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设支点左端重物到支点的距离为，根据表格中的数据可知，左右两端平衡的条件是支点左端重物的总质量支点左端重物到支点的距离支点右端重物的总质量支点右端重物到支点的距离，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设支点左端重物到支点的距离为， 由题意得，， 解得， ∴支点左端重物到支点的距离为， 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 如图是同一时刻深圳和佳木斯的天气信息，此时两地的温差为_____． 【答案】37 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，用深圳的气温减去佳木斯的气温即可得到答案． 【详解】解：， ∴此时两地的温差为， 故答案为：37． 17. 若是关于的方程的解，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 根据方程解的定义，将代入方程求出的值，再代入计算． 【详解】解：因为是关于的方程的解， 所以将代入方程，得， 因此，． 故答案为 3． 18. 将一副三角尺按如图位置摆放，若，则为_____． 【答案】165 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据三角板中角度的特点可得，据此可求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：165． 19. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是______． 【答案】452 【解析】 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算减法即可得到答案． 【详解】解： ． 21. 先化简，再求值：，其中， ． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，先去括号，再合并同类项，然后代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 22. 如图，已知四点． （1）画直线交于点； （2）画线段交于点； （3）画射线，连接，交于点． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了画直线，线段和射线，熟知画直线，线段和射线的画法是解题的关键． （1）根据直线的画法作图即可； （2）根据线段的画法作图即可； （3）根据射线和线段的画法作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 下面是王芳同学解方程的过程： 解：去分母（方程两边乘12），得．……第①步 去括号，得．……第②步 移项，得．……第③步 合并同类项，得．……第④步 系数化为1，得．……第⑤步 根据王芳的解题过程，回答下列问题： （1）开始出现错误的步骤是第_____步； （2）请写出正确的解方程过程． 【答案】（1）② （2） 解： 去分母（方程两边乘12），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）第②步去括号时，方程右边的括号内的2没有乘以2，且前面的符号没有变号，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【小问1详解】 解：观察可知，在第②步去括号时，方程右边的括号内的2没有乘以2，且前面的符号没有变号，方程右边的展开错误，正确应为， 故答案为：②； 【小问2详解】 略 24. 如图，正方形和正方形的边长分别为和6． （1）用含的代数式表示阴影部分的面积； （2）已知，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用，理解题意正确表示阴影部分的面积是解题的关键． （1）阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积三角形的面积三角形的面积，据此即可求解； （2）代入到（1）中的代数式求值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：阴影部分面积 ； ∴阴影部分的面积为； 【小问2详解】 解：当时， ， ∴阴影部分的面积为14． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 七年级一班的部分学生和家长共12人，计划假期去龙门石窟景区游玩．刘伟同学负责做旅游攻略，以下是他手绘的旅游路线图． 素材一 刘伟查阅的景区购票信息如下：成人票每张90元；学生票按成人票5折优惠；团体票（13人及以上）按成人票8折优惠． 素材二 若单独购票，共需900元． 请完成下列任务： 任务一 七年级一班去旅游的学生和家长各有几人？ 任务二 通过计算，给出最节省费用的购票方案． 【答案】任务一：七年级一班一共去了8名家长，4名学生 任务二：单独买票更省钱 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并列出方程是解题的关键． 任务一：设七年级一班一共去了名家长，列出一元一次方程，即可解答； 任务二：分别求出单独买票与购买团体票的费用，再比较大小，即可解答． 【详解】解：任务一：设七年级一班一共去了名家长，则有： ， 解得， ∴（名）； 答：七年级一班一共去了8名家长，4名学生； 任务二：单独买票，即分别购买成人票和学生票更省钱，理由如下： 若购买团体票，需要花费（元）， 若单独买票，需要花费900元， ∵， ∴单独买票更省钱． 答：单独买票更省钱． 26. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程是“和谐方程”．例如：方程和是“和谐方程”． （1）关于的方程与_____“和谐方程”（填“是”或“不是"）； （2）若关于的方程与是“和谐方程”，求的值． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出方程的解，根据“和谐方程”的定义得到方程的解，再代入求解m的值即可． 【小问1详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； ∵， ∴关于的方程的解和关于的方程的解互为相反数， ∴关于的方程与是“和谐方程”； 【小问2详解】 解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵关于的方程与是“和谐方程”，且3的相反数是， ∴是关于的方程的解， ∴， 解得． 27. 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段、请完成探索过程： 【探索发现】 （1）课上老师提出问题：如图1，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，当时，求线段的长度．下面是张华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 思想方法 解答过程 知识要素 未知线段 已知线段 解：因为分别是线段的中点， 所以①__________ ． 所以②__________， ③__________． 因为， 所以_____④_____． 线段中点的定义； 线段的和、差； 等式的性质． 【知识迁移】 （2）张华举一反三，发现求角度也可以用类似的方法进行转化计算．如图2，已知，是内部的一条射线，射线，射线分别平分和，请你写出张华求的过程． 【拓展延伸】 （3）老师提出这样一个问题：如图3，已知长方形纸片，点在边上，点，在边上，连接，，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕．若，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；②；③；④； （2） ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据线段中点的定义和所给步骤作答即可； （2）由角平分线的定义可得，，根据，计算求解即可； （3）由题意知，分点在点左侧，点在点右侧，两种情况求解；当点在点左侧，如图，由折叠的性质得，，，由，可得，根据计算求解即可；当点在点右侧，如图，同理①计算求解即可． 【详解】解：（1）因为，分别是线段，的中点， 所以，， 所以， ， 因为， 所以； （2）略 （3）当点在点左侧，如图， 由折叠的性质得，，， ∵，， ∴， ∴； ②当点在点右侧，如图， 由折叠的性质得，，， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和与差，角平分线的定义，角度的和与差，折叠的性质．明确线段之间的数量关系，角度之间的数量关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $