专题19.3二次根式的加法与减法寒假预习题型突破讲义(9大题型+典题专练)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题19.3二次根式的加法与减法寒假预习题型突破讲义 【9大题型共计54题】 专情分析 基础题型：直接考查同类二次根式的判断、单一的二次根式加减运算，多以 选择题、填空题形式出现，分值3-5分，难度低。 中档题型：二次根式的加减乘除混合运算，常结合分母有理化，以解答题形 式出现，分值6-8分，难度中等，是中考必考点。 ●拓展题型：与整式的化简求值结合，先化简含二次根式的代数式，再代入数 值计算；或结合几何图形（如三角形、四边形边长计算）考查，难度中等偏 上， 区分度较高。 2 预习内容概览 知识点01：同类二次根式 知识点02：二次根式的加减运算法则 知识点03：二次根式的混合运算 知识点04：易错点总结 .题型1.同类二次根式的识别与判定 题型2.二次根式的加减运算 题型3.二次根式的混合运算 题型4分母有理化的方法与应用 题型5.已知字母的值，化简求值 题型6.已知条件式，化简求值 题型7二次根式的大小比较 题型8.二次根式的应用 题型9.复合二次根式的化简 知识点梳理 【知识点01.同类二次根式】 1定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式。 2.两个关键条件 ①必须先化为最简二次根式： 试卷第1页，共3页 ②最简二次根式的被开方数相同。 示例2、32、22是同类二次根式： √8=22，因此V8和2是同类二次根式： √2和3不是同类二次根式（被开方数不同）。 【知识点02.二次根式的加减运算法则】 核心步骤：先化简，后合并 ①化简：将每个二次根式化为最简二次根式 ②找同类：找出其中的同类二次根式： ③合并：合并同类二次根式，合并方法与合并同类项类似，系数相加，被开方 数和根指数不变。 字母表示：ac±bc=(a±b)c(c≥0) 示例： 计算V12+27-V3 解：原式=23+33-3=(2+3-1)3=43 【知识点03.二次根式的混合运算】 运算顺序：与有理数混合运算顺序一致 ①先算乘方、开方： ②再算乘除： ③最后算加减： ④有括号的先算括号内的。 运算律：有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，同样 适用于二次根式的运算。 示例：V2(V3+V2)=2×3+V2×V2-6+V2 【知识点04.易错点总结】 1.忽略化简步骤直接合并 易错示例：计算4+9时，错误写成V4+9=13,正确做法是先化简V4 =2,V9=3,再计算2+3=5。 试卷第2页，共3页 2.混淆同类二次根式判断条件 易错点：未化成最简二次根式就判断，如误认为8和20是同类二次根式， 实际化简后8=22,20=25，被开方数不同，不是同类二次根式。 3.合并时错误改变被开方数 易错示例：计算32+2只3时，错误写成55，注意非同类二次根式不能合 并。 4.混合运算时运算顺序错误 易错点：先算加减再算乘除，如计算2×6+3时，应先算乘法2×6=12 =23,再算加法23+V3=3V3 常考题型精讲精练 【题型1.同类二次根式的识别与判定】 1.若5与最简二次根式2m-6 可以合并，则m的值为() A.m=4 B.m=3 C.m=5 D.m=6 2.若最简二次根式v2a+1和25 和 能合并，则a的值为 3 3.当m=一时，两个最简二次根式22m+1和4N2+m可以合并。 4.若最简二次根式2x+1与3x- 能合并，则x 5。若最简二次根式V2m-8与Vm+ 可以合并，则V3m+6 的值是() A.3V3 B.3V5 C.4V5 D.4V3 6已知二次根武9西与0而是同类二次根代，求口+8 的值. 【题型2.二次根式的加减运算】 7.计算V2+2-V+i6-2的结果是() 试卷第3页，共3页 A.22-V3+1B.5+1 C.3+1 D.V5+3 8.若a+2=V27 ,则表示实数a的点会落在数轴的() ① ③) ④ 0 2 3 4 A.段①上 B.段②上 C.段③上 9.我们规定运算符号“△”：当a>b时，a△b=a+b;当a≤b时，a△b=a-b,其他运 算符号的意义不变.计算：(N5△V2-25△32= 10.计算：2+223+5+i2+12而 解答题 1.计算：35+3-52-23 1 12. 化简a+网84如开取一个a的值，使其结果为整双 【题型3.二次根式的混合运算】 13.如图，数轴上4，B,C,D四个点所表示的数中，与25-÷V2 最接近的数对 应的点是() 4B C D -10129344→ A.A B.B C.C D.D 14.计算： 15.计算5-斗辰的结果是() 试卷第4页，共3页 A.4W3-1 B.43-7 4 C.4v5+2 D.43-2 16.计算而-（而+到的结果为 17.计算：5-2)0×5+20=（） A.5+2 B.V5-2 C.2026 D.2025 解答题 18.计算： 0)6+8x五-6×y6. V20+V5 ai-55++9. 厚-+x6 【题型4.分母有理化的方法与应用】 19.若02+16=1 「1-√2，则a与b的关系是() A.互为相反数B.互为倒数 C.相等 D.互为负倒数 20.Vm+的有理化因式可以是一 1 2L.已知m2一n是m的小数部分.则m-2+m+ 2.已知a=V2023-V202,b=2024-V2023,c=V2025-V2024 则下列结论正确的是 试卷第5页，共3页 A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a √+1(2+12+1 23.例如：√2-12-1V2+ =22+3.像这样通过分子、分母同乘一个式子把分 母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化.则下列结论正确的有() 个 @若，是5的小数部分，则22V2+2:2此较大：2025-2024>2024-203 1=V6+V2-2 ；③变形：√3+V2+14；④计算： 2 2 2 2 6 3+N5+5W5+3W5+7N5+5万+…+2025N2023+2023N20254 A.1 B.2 C.3 D.4 解答题 24.数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式. 第1个等式： 1 2-1=2-=5-1 V2+1(2+12-12-1 第2个等式： 1 5-2 3-2-5-2 3+23+V2V3-V23-2 请你根据上述方法完成下列题目： 1 (I)计算：0+ 1 2)计算：n+Vn- 试卷第6页，共3页 1+11 (3)计算： (2+1t5+2+v4+V5+…+22s+22jv20晒+刊】 1 1 1 25.已知2+5,2-万，求+r+9的值. 【题型5.已知字母的值，化简求值】 26.当=1+5时，代数武-2x+2019=（) A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 27.已知=5+↓，)=5-1，则代数式-0+少的值为一 5+2,3-2 28.若x-√5-V今，6 √5+√2，则x2-3y+y2的值为() A.90 B.91 C.93 D.95 5-x5-x 29.已知等式Vx-3x-3成立，化简-6+x-2的结果为() A.2x-8 B.8-2x C.-4 D.4 V2+1 x= 30.已知2，求代数式4x4+4x3-9x2-2x+10的值为一· 解答题 1 31.已知05+5,6-5-2. ()求a+b的值： a/b+bya (2)求√a+√b .Jab 的值. 【题型6.已知条件式，化简求值】 1 试卷第7页，共3页 A.2V2 B.22 C.25 D.2V5 3.已知a-万，则+行的值为一 a 4.已知0+=3+5。-b=3-5,求代数式2。-2沙的值是一 解答题 35.已知Va-6+-6b+9=0,求式子oaab-5a15V6的值 36.(1)计算： 2)已知=8+8+18，求代数式-的值。 【题型7.二次根式的大小比较】 37.已知人，m,”都是整数，若50=k10,V80=20m,80=6,则下列关 于k,m,n大小关系的结论，正确的是() A.m<k<n B.m=n<k C.m<n<k D.k<m=n 38.已知：a=6-5b=万-v6c=22-V ,则a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 39.比较大小：7-V6V6-5 40.已知m=3V2 则下列数中比m大的是() A.25 B.4 C.7 D.25 解答题 41.在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果.例如，比较 a=56和b=65 的大小，我们可以把a和b分别平方. 试卷第8页，共3页 .a2=150、2=180 :a<b2a>0、b>0 而 ∴.a<b.请利用“平方法”解决下面问题： 0)比较=25，d=5的大小，。d(填写，<或者) (2猜想m=25+.m=2万+5 间的大小关系，并证明. 【题型8.二次根式的应用】 3W10 42.已知矩形的长为 0,面积为 0W6 ,要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的 正方形的最大面积是() A.30 B.40 C.50 D.60 43.如图，在长方形ABCD中，无重叠放入面积分别为18和8的两张正方形纸片，则剩余 部分的面积为 4 D 18 B 44.如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则 图中空白部分的面积为()cm2. D 12 16 A.16-8V5 B.-l2+8V5 C.8-45 D. 4-25 45.观察下列等式： 试卷第9页，共3页 11 113 .11 .117.11 1113 +下+22 1 =1+ i22,V+2+3 236V1+京+4=1+3 =1+ 3412,…, 则前10个等式的和是」 解答题， 46.海伦一案九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、C,设P=a++C 2一，则三 角形的面积为： S=p(p-a)(p-b)(p-c) 5cm 3cm B 6cm (I)用公式计算如图三角形的面积： (2)你是否有其它方法求出这个三角形的面积？试试看. 47.有一块矩形木板1BCD,木工甲采用如图的方式，将木板的长AD指 22cm,宽 AB增加 √2cm 得到一个面积为 128cm 的正方形1EFG D B (I)正方形AEFG的边长为 cm;(填最简二次根式) (2)求矩形木板ABCD的面积： (3)木工乙想从矩形木板ABCD中截出长为2.0cm、宽为l.0cm的矩形木条，最多能截出 根这样的木条， 【题型9.复合二次根式的化简】 48.下列二次根式中，不是同类二次根式的是() 试卷第10页，共3页 专题19.3二次根式的加法与减法寒假预习题型突破讲义 【9大题型共计54题】 ·基础题型：直接考查同类二次根式的判断、单一的二次根式加减运算，多以选择题、填空题形式出现，分值 3 - 5 分，难度低。 ·中档题型：二次根式的加减乘除混合运算，常结合分母有理化，以解答题形式出现，分值 6 - 8 分，难度中等，是中考必考点。 ·拓展题型：与整式的化简求值结合，先化简含二次根式的代数式，再代入数值计算；或结合几何图形（如三角形、四边形边长计算）考查，难度中等偏上，区分度较高。 知识点01:同类二次根式 知识点02:二次根式的加减运算法则 知识点03:二次根式的混合运算 知识点04:易错点总结 .题型1.同类二次根式的识别与判定 题型2.二次根式的加减运算 题型3.二次根式的混合运算 题型4.分母有理化的方法与应用 题型5.已知字母的值,化简求值 题型6.已知条件式,化简求值 题型7.二次根式的大小比较 题型8.二次根式的应用 题型9.复合二次根式的化简 【知识点01.同类二次根式】 1.定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 2.两个关键条件 ① 必须先化为最简二次根式； ② 最简二次根式的被开方数相同。 示例、3、 是同类二次根式； =2，因此 和 是同类二次根式； 和 不是同类二次根式（被开方数不同）。 【知识点02.二次根式的加减运算法则】 核心步骤：先化简，后合并 ① 化简：将每个二次根式化为最简二次根式 ② 找同类：找出其中的同类二次根式； ③ 合并：合并同类二次根式，合并方法与合并同类项类似，系数相加，被开方数和根指数不变。 字母表示：a±b=(a±b)（c≥0） 示例： 计算 +− 解：原式=2+3−=(2+3−1)=4 【知识点03.二次根式的混合运算】 运算顺序：与有理数混合运算顺序一致 1 先算乘方、开方； 2 再算乘除； 3 最后算加减； 4 有括号的先算括号内的。 运算律：有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，同样适用于二次根式的运算。 示例：(+)=×+×=+ 【知识点04.易错点总结】 1.忽略化简步骤直接合并 易错示例：计算 +​ 时，错误写成 =，正确做法是先化简 =2，=3，再计算 2+3=5。 2.混淆同类二次根式判断条件 易错点：未化成最简二次根式就判断，如误认为 和 是同类二次根式，实际化简后 =2，=2，被开方数不同，不是同类二次根式。 3.合并时错误改变被开方数 易错示例：计算 3+2 时，错误写成5，注意非同类二次根式不能合并。 4.混合运算时运算顺序错误 易错点：先算加减再算乘除，如计算×+ 时，应先算乘法 ×==2​，再算加法 2+=3 【题型1.同类二次根式的识别与判定】 1．若与最简二次根式可以合并，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二根式的定义是解题的关键，根据同类二次根式的定义解题即可． 【详解】解：∵ 与 可以合并， ∴， 解得：． 故选：A． 2．若最简二次根式和能合并，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴被开方数相同，即， 解得：， 当时，，是最简二次根式，且被开方数与相同，故能合并． 故答案为：2． 3．当 时，两个最简二次根式和可以合并． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，解题的关键是掌握所学的定义进行计算． 根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程即可求出答案． 【详解】解：∵最简二次根式和可以合并， ∴被开方数相同． ∴． 解得． 故答案为：1． 4．若最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，解一元一次方程，熟记定义并能灵活运用是解决本题的关键． 由题意得，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：6． 5．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 6．已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】题目主要考查同类二次根式及最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用等，理解题意，根据同类二次根式及最简二次根式列出方程组是解题关键． 根据同类二次根式及最简二次根式的意义，列方程组解答即可． 【详解】解：二次根式与是同类二次根式， ， 解得：，此时，不符合题意， 或， 解得：， 符合题意， ． 所以的值为1． 【题型2.二次根式的加减运算】 7．计算 的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法以及二次根式的加减混合运算法则． 先根据绝对值的性质，二次根式的性质化简，再计算加减即可． 【详解】解： 故选：B 8．若，则表示实数a的点会落在数轴的（   ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出的值，再估算出范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵，即， ， ， ，即， 故实数的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 9．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，正确分母有理化是解题的关键． 先对代数式的每一项分母有理化，再加减抵消即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 解答题 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 先去括号，然后合并同类二次根式，即可得出答案． 【详解】解：原式． 12．化简，并任取一个的值，使其结果为正整数． 【答案】，当时，原式．（的值不唯一，满足结果为正整数即可） 【分析】此题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简，然后代入，进而得出答案，使其结果为正整数即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式．（的值不唯一，满足结果为正整数即可） 【题型3.二次根式的混合运算】 13．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 先进行化简，再进行估算即可． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴数轴上最接近的是A． 故选：A． 14．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是灵活运用乘法分配律简化计算，同时熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 先利用乘法分配律进行计算，再计算二次根式的除法，最后合并同类项． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 15．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法运算，解题关键是熟练掌握各运算的法则，按顺序逐步计算并准确合并同类二次根式． 先分别计算负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法，再合并同类项，最后对比选项得出结果． 【详解】解：先逐步计算各部分： 负整数指数幂：； 绝对值： = ； 二次根式除法： = = = ； 合并计算：原式 ． 故选：C． 16．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 先将化为，然后根据积的乘方与幂的乘方运算法则，结合平方差公式，进行计算即可解答． 【详解】原式 = = = = = = ． 故答案为：． 17．计算：（   ） A． B． C．2026 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式与幂的运算，解题关键是通过拆分指数，结合平方差公式简化高次幂的计算． 利用同底数幂的运算法则，将指数拆分后结合平方差公式简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 解答题 18．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可； （2）分别根据二次根式的除法法则和乘法法则计算第一项和第二项，然后进行减法运算即可； （3）先化简，根据乘法分配律计算，计算负整数次幂，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据二次根式的除法法则，乘法分配律计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【题型4.分母有理化的方法与应用】 19．若，则与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题关键在于掌握运算法则．把的分子分母同乘，进一步化简与a比较得出结论即可． 【详解】解：， ∴a与b互为相反数. 故选：A． 20．的有理化因式可以是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的有理化、平方差公式等知识点，灵活运用平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式确定的有理化因式即可． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式可以是． 故答案为：． 21．已知 ，n 是 m 的小数部分．则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，分母有理化，先根据分母有理化化简m，然后根据无理数的估算求出n，再代入代数式计算解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 22．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 23．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化的应用，解题的关键是熟练运用分母有理化的方法对式子进行变形、计算和比较． 依次对四个结论进行分析，通过分母有理化、根式的性质及大小比较方法来判断对错． 【详解】①由题意，，则．分子分母同乘，得：等式成立，①正确； ②     因为，根据分子相同，分母越大分数越小， 所以，即， ②错误； ③交叉相乘验证等式：左边，右边．展开后合并同类项得，等式不成立，③错误； ④每一项可以表示为：， ， ， ④错误． 综上，仅①正确， 故答案为：A． 解答题 24．数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算：______________； (2)计算：______________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化． （1）分母有理化即可； （2）分母有理化即可； （3）利用（2）中的规律将原式变形为，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解： ． 25．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先分母有理化得到，再求出和的值，最后把所求式子变形为并代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴ ． 【题型5.已知字母的值,化简求值】 26．当时，代数式 （      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，直接利用完全平方公式将原式变形，进而代入已知数据求出答案． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 27．已知，，则代数式的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值．由题意得出，，再将式子变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：由已知，，， 则， ， ． 故答案为：8． 28．若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 29．已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 30．已知，求代数式的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二次根式的变形运算、代数式降次求值技巧，解题的关键是通过对已知变形平方，得到低次等式，再利用该等式将原式进行变形并整体代入即可求得结果． 由已知的表达式变形得，两边平方消去根号，推导得出；利用此等式对原式进行恰当的变形，代入化简，最终消去含的项得到结果． 【详解】解：由得， 两边平方得，即． ∴ 故答案为：10． 解答题 31．已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化和代数式的化简是解题的关键． （1）首先将，进行分母有理化，再计算即可； （2）首先对该分式进行化简，最后将，的值代入即可． 【详解】（1）解：化简， ， 故． （2）解：原式 将，代入上式得． 故 【题型6.已知条件式,化简求值】 32．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 33．已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 34．已知，求代数式的值是 ． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 解答题 35．已知，求式子的值． 【答案】 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 36．（1）计算： （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件， （1）先进行二次根式的乘除运算，化简后再进行减法运算； （2）先根据二次根式有意义的条件确定，继而求得的值，再代入计算即可； 掌握相应的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，， 解得：且， ∴， ∴， ∴． 【题型7.二次根式的大小比较】 37．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 38．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 39．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键． 先对和分子有理化，然后比较分母即可解答． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 40．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 解答题 41．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 【题型8.二次根式的应用】 42．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为， ∵， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为， 故选：D 43．如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为18和8的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，则两张正方形纸片边长分别为和，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴两张正方形纸片边长分别为和， ∴剩余部分的面积， 故答案为：． 44．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 45．观察下列等式： ，，…，则前10个等式的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了裂项相消法的应用，掌握将等式展开后，抵消中间重复的正负项来简化计算是解题的关键． 先写出前 10 个等式的具体展开形式，再通过裂项相消，计算最终的和． 【详解】解：​第1个等式： 第2个等式： …… 第9个等式： ​第10个等式： 故答案为：． 解答题. 46．海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则三角形的面积为：． (1)用公式计算如图三角形的面积； (2)你是否有其它方法求出这个三角形的面积？试试看． 【答案】(1) (2)有其他方法，解法见解析 【分析】本题主要考查二次根式的应用，勾股定理，弄清海伦公式的计算方法以及勾股定理是解答此题的关键． （1）依据题意，先求出p的值，再代入公式即可； （2）依据题意，过点A作于D，设，则，根据，得出，进而求得，然后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）有其他方法，解答如下． 如图所示，过点A作于D， 设，则， 又∵在中，， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 47．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为___________ ；（填最简二次根式） (2)求矩形木板的面积； (3)木工乙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出___________根这样的木条． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查二次根式的应用，无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）正方形的边长等于面积的算术平方根； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，相乘即可； （3）比较矩形的长与木条的长之间的数量关系，矩形的宽与木条的宽之间的数量关系，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ， 即矩形木板的面积为； （3）解：，， 最多能截出的木条数量为：， 故答案为：4． 【题型9.复合二次根式的化简】 48．下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握同类二次根式，二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质，同类二次根式定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．与是同类二次根式，故选项A不符合题意； B．，是同类二次根式，故选项B不符合题意； C．，是同类二次根式，故选项C不符合题意； D．与不是同类二次根式，故选项D符合题意． 故选：D． 49．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 50．化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 51．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 52．设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． .解答题 53．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式把式子化简，再进行计算． 【详解】解： ． 54．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查的是二次根式的乘法，二次根式的化简，二次根式的加减，掌握二次根式的运算方法并正确的应用是解题的关键． (1)根据二次根式的乘法法则进行计算即可； (2)根据二次根式的乘法法则进行计算，再进行二次根式的化简即可； (3)先进行二次根式的乘法，二次根式的化简，再进行二次根式的加减即可； (4)先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减即可． 【详解】（1）解： . （2） （3） （4） ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $