专题5：空间立体几何-空间角问题综合课件-2026届高三数学一轮复习

　专题5：空间立体几何 （空间角问题综合） 学习目标 1.线线 2.线面 3.面面 （几何法——定义；向量法——建系） 线线平行 线面平行 面面平行 知识梳理 3 线线垂直 线面垂直 面面垂直 4 补充： 5 角度问题： 1.线线角范围： 异面直线角范围： 异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝ |cos 〈u，v〉|＝________． 6 角度问题： 2.线面角范围： 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ ________． 7 角度问题： 3.面面角范围： 面面夹角范围： 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ ＝|cos 〈n1，n2〉|＝________． 8 类型一：直接建系 [典例2]　(2024·福建厦门一模)如图，在四棱锥E-ABCD中，AD∥BC，2AD＝BC＝2，AB＝，AB⊥AD，EA⊥平面ABCD，过点B作平面α⊥BD． (1)证明：平面α∥平面EAC； (2)已知F为棱EC的中点，若EA＝2， 求直线AD与平面FBD所成角的正弦值． 类型一：直接建系 (2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ(0＜λ＜1)，若异面直线D1E与A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________． 类型二：做辅助线（简单） [典例1]　(1)(2025·辽宁沈阳模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝CC1＝2，BC＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 类型二：做辅助线（简单） [跟进训练] 1．(2025·云南大理模拟)如图，圆锥的高SO＝，底面直径AB＝2，C是圆O上一点，且AC＝1，若SA与BC所成的角为θ，则sin2－cos2＝(　　) A． B．－ C． D．－ 类型二：做辅助线（简单） [跟进训练] 2．(2022·浙江高考)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F -DC -B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点． (1)证明：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． 类型二：做辅助线（综合） [典例3]　(15分)(2024·新高考Ⅰ卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝． (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； (2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为， 求AD． 类型二：做辅助线（综合） [跟进训练] 3．(2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点． (1)证明：BC⊥DA； (2)点F满足＝， 求二面角D-AB-F的正弦值． 小结： 空间向量坐标法解题步骤： 1.建系（证明两两垂直，辅助线） 2.找点坐标（平面化，共线定理，中点，投影） 3.向量化（线：方向向量；面：法向量） 4.模块化 （1）位置关系 （2）角度问题 （3）距离问题 5.结论（三角转化） 题型：动点问题（方程）周练18：17题；例1（2） 作业： (2025·全国二卷)(15分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°. (1)证明：A′B∥平面CD′F； (2)求平面BCD′与平面EFD′A′所成的 二面角的正弦值． 作业： (2025·天津卷)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1，C1B1中点，点G在棱CC1上，且CG＝3C1G. (1)求证：GF⊥平面EBF； (2)求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值； (3)求三棱锥D-BEF的体积． $